日期:2021-04-27
這是鴿巢問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)華應(yīng)龍,是優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教案文章,供老師家長(zhǎng)們參考學(xué)習(xí)。
“鴿巢”問(wèn)題就是“抽屜原理”,教材通過(guò)三個(gè)例題來(lái)呈現(xiàn)本章知識(shí),“鴿巢”問(wèn)題教學(xué)反思。例1:本例描述“抽屜原理”的最簡(jiǎn)單的情況,例2:本例描述“抽屜原理”更為一般的形式,例3:跟之前教材的編排是一樣的,是抽屜原理的一個(gè)逆向的應(yīng)用。本節(jié)內(nèi)容實(shí)際上是一種解決某種特定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)或生活問(wèn)題的模型,體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)的思想方法。讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程,初步形成模型思想,體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的緊密聯(lián)系,發(fā)展抽象能力、推理能力和應(yīng)用能力,是課標(biāo)的重要要求。
興趣是學(xué)習(xí)最好的老師。所以在本節(jié)課我認(rèn)真鉆研教材,吃透教材,盡量找到好的方法引課,在網(wǎng)上搜索了一個(gè)較好的引課設(shè)計(jì),就照搬了:“同學(xué)們:在上新課之前,我們來(lái)做個(gè)“搶凳子”游戲怎么樣?想?yún)⑴c這個(gè)游戲的請(qǐng)舉手。叫舉手的一男一女兩個(gè)同學(xué)上臺(tái),然后問(wèn),老師想叫三位同學(xué)玩這個(gè)游戲,但是現(xiàn)在已有兩個(gè),你們說(shuō)最后一個(gè)是叫男生還是女生呢?”同學(xué)們回答后,老師就說(shuō):“不管是男生還是女生,總有二個(gè)同學(xué)的性別是一樣的,你們同意嗎?”并通過(guò)三人“搶凳子”游戲得出不管怎樣搶“總有一根凳子至少有兩個(gè)同學(xué)”。借機(jī)引入本節(jié)課的重點(diǎn)“總有……至少……”。這樣設(shè)計(jì)使學(xué)生在生動(dòng)、活潑的數(shù)學(xué)活動(dòng)中主動(dòng)參與。
教學(xué)目標(biāo):
1.理解簡(jiǎn)單的鴿巢問(wèn)題及鴿巢問(wèn)題的一般形式,引導(dǎo)學(xué)生采用操作的方法進(jìn)行枚舉及假設(shè)法探究“鴿巢問(wèn)題”。
2.體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在日常生活中的廣泛應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)。
教學(xué)重點(diǎn):了解簡(jiǎn)單的鴿巢問(wèn)題,理解“總有”和“至少”的含義。
教學(xué)難點(diǎn):運(yùn)用“鴿巢原理”解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,理解數(shù)學(xué)中的優(yōu)化思想。
教學(xué)過(guò)程:
一、游戲激趣 導(dǎo)入新課
1.同學(xué)們看,老師手中拿的是什么?拿出大王和小王,剩下的牌中共有幾種花色?
2.現(xiàn)在我們一起來(lái)玩猜花色的游戲,請(qǐng)5位同學(xué)到前面每人隨意抽一張紙牌,抽完后不要讓老師看到。
3.抽后老師大膽猜測(cè):一副撲克牌,取出大王和小王,5人每人隨意抽一張,至少有2張牌花色相同(課件出示)。
4.有些同學(xué)一定覺(jué)得老師只是湊巧猜對(duì)了,我們?cè)俪橐淮危蠋熯€大膽猜測(cè):一副撲克牌,取出大王和小王,5人每人隨意抽一張,至少有2張牌花色相同。如果老師猜對(duì)了,就給老師點(diǎn)掌聲。
5.如果老師再換5名同學(xué)來(lái)抽牌,我還敢確定的說(shuō)至少有2張牌的花色相同,這是為什么呢?其實(shí)這里面蘊(yùn)藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)原理--抽屜原理,也叫鴿巢原理或鴿巢問(wèn)題,這節(jié)課我們就一起來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。(板書(shū)課題)
(設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)這個(gè)游戲激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的好奇心,也使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)和生活中的聯(lián)系,知道學(xué)習(xí)本節(jié)課的重要性。)
二、呈現(xiàn)問(wèn)題 自主探究
1.小紅在整理自己的學(xué)習(xí)用品是有這樣的發(fā)現(xiàn)(課件出示:把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中,不管怎么放,總有一個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆。)學(xué)生齊讀。
2.在這句話中你有什么不理解的嗎?學(xué)生提出不理解的詞語(yǔ)。
(1)不管:隨意,想想怎么放就怎么放。
(2)總有:一定有。
(3)至少:最少,最起碼。
師提問(wèn):最少2支指的是幾支呢?具體來(lái)說(shuō)。
2.把整句話翻譯過(guò)來(lái)再說(shuō)一遍。
(設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生充分理解這句話的意思,為接下來(lái)的研究做好鋪墊。)
2.你覺(jué)得這句話說(shuō)得對(duì)嗎?給同學(xué)們1分鐘時(shí)間同學(xué)生靜靜思考一下。
3.現(xiàn)在同學(xué)用擺一擺、畫一畫、寫一寫等方法來(lái)驗(yàn)證這句話,老師出示自己的溫馨提示。(課件出示:溫馨提示:選擇自己喜歡的方式驗(yàn)證,比如,同桌合作,用紙杯代替筆筒,用鉛筆擺一擺,一人擺,一人記錄。(注意:不考慮順序。)
4.學(xué)生匯報(bào)驗(yàn)證的方法:
生1:利用圖片來(lái)列舉出幾種放法
教師提問(wèn):我們來(lái)看這位同學(xué)的擺法,憑什么說(shuō)“總有一個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆”呢?比2支多也可以嗎?
教師小結(jié):非常好,我們?cè)谟^察這幾種擺法,把符合要求的筆筒用彩色筆標(biāo)出來(lái):所以說(shuō)不管怎么放總有一支筆筒里至少有2支鉛筆。
生2:利用數(shù)字方法列舉出幾種方法(4,0,0)(3,1,0)(2,1,1)(2,2,0)
我們一起圈出每種分法不少于2的數(shù)字。(表?yè)P(yáng)生2,方法更簡(jiǎn)單一些)
5.同學(xué)們像剛才把所有中情況都列舉出來(lái),這種方法就叫做列舉法或枚舉法。(板書(shū))
6.除了這種枚舉法,還有沒(méi)有別的方法也能證明這句話是對(duì)的。
生:先假設(shè)每個(gè)筆筒中放1支鉛筆,這樣還剩1支鉛筆,這時(shí)無(wú)論放到哪個(gè)筆筒,哪個(gè)筆筒就是2支鉛筆了,所以我認(rèn)為是對(duì)的。
師追問(wèn):你為什么要現(xiàn)在每個(gè)筆筒里放1支呢?
生:因?yàn)橐还灿?支筆,平均分后每個(gè)筆筒只能分到一支。
師追問(wèn):那為什么要一開(kāi)始就去平均分呢?
生:平均分就可以使每個(gè)筆筒中的筆盡量少一點(diǎn),如果這樣都能符合要求,其他中情況都能符合要求了。
(設(shè)計(jì)意圖:教師的追問(wèn)讓學(xué)生更明確為什么要平均分,平均分的好處是什么。)
7.這位同學(xué)的想法真是太與眾不同了,我們?yōu)樗恼疲l(shuí)聽(tīng)懂了他的想法,把他的想法在復(fù)述一遍。
8.想這位同學(xué)的方法就是假設(shè)法。(板書(shū):假設(shè)法)
9.到現(xiàn)在為止,我們可以得出結(jié)論了。
三、提升思維 構(gòu)建模型
1.剛才我們通過(guò)不同的方法驗(yàn)證了這句話是正確的,現(xiàn)在老師把題目改一改,同學(xué)們看看還對(duì)不對(duì)了,為什么?(課件出示:把5支鉛筆放進(jìn)4個(gè)筆筒里,不管怎么放,總有一個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆。)生回答并說(shuō)明理由。
2.課件繼續(xù)出示:(1)把6個(gè)蘋果放進(jìn)5個(gè)盤子里呢?(2)把10本書(shū)放進(jìn)9個(gè)抽屜中呢?(3)把100只鴿子放進(jìn)99個(gè)籠子中呢?
3.我們?yōu)槭裁炊疾捎昧思僭O(shè)法來(lái)分析,而不是畫圖用枚舉法呢?(枚舉法雖然直觀,但是有一定的局限性,假設(shè)法更具有一般性)
(設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)出示更大的數(shù),讓學(xué)生感受到用假設(shè)法的方便性,實(shí)用性,同時(shí)引出的優(yōu)化的思想。)
4.在數(shù)學(xué)課堂上我們通常采用更便于我們解決的方法來(lái)解決問(wèn)題,這是一種優(yōu)化的思想。(板書(shū):優(yōu)化思想)
5.引出物體數(shù)、鴿巢數(shù)、至少數(shù),學(xué)生觀察,你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?(當(dāng)物體數(shù)比鴿巢數(shù)多1時(shí),總有一個(gè)鴿巢里至少有2個(gè)物體。)
6.回過(guò)頭來(lái)我們看課前老師猜測(cè)的撲克牌的游戲,誰(shuí)能解釋一下是怎么回事呢?看來(lái)并不是老師神奇,而是鴿巢問(wèn)題神奇啊。
7.同學(xué)們今天的發(fā)現(xiàn)是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷最早提出的:課件介紹有關(guān)鴿巢問(wèn)題的來(lái)歷。
四、解決問(wèn)題 練習(xí)鞏固
通過(guò)學(xué)生的努力,我們一起研究出鴿巢問(wèn)原理,現(xiàn)在老師出幾道題看同學(xué)們是否真的學(xué)會(huì)了。
1.5只鴿子飛進(jìn)了3個(gè)鴿籠,總有一個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)了2只鴿子。為什么?
2.把( )本書(shū)放進(jìn)3個(gè)抽屜,不管怎么放,總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)2本書(shū)。()中能填幾呢?
(設(shè)計(jì)意圖:習(xí)題2鍛煉學(xué)生的逆向思維,同時(shí)也為下節(jié)課的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。)
五、課堂總結(jié)
這節(jié)課的探究學(xué)習(xí)中,我們一起經(jīng)歷了與德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷一樣的偉大發(fā)現(xiàn),你有什么收獲呢?
板書(shū)設(shè)計(jì):
鴿巢問(wèn)題
枚舉法 假設(shè)法
(列舉法) (平均分)
優(yōu)化思想
【教學(xué)內(nèi)容】
人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)第68-69頁(yè)例1、例2。
【教材分析】
教材專門安排數(shù)學(xué)廣角這一單元,向?qū)W生滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。本單元教材通過(guò)幾個(gè)直觀例子,借助實(shí)際操作,向這生介紹“鴿巢問(wèn)題”,知道“鴿巢問(wèn)題”就是以前老教材的“抽屜原理”。使學(xué)生在理解“鴿巢問(wèn)題”這一數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上,對(duì)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”,會(huì)用“鴿巢問(wèn)題”加以解決。這節(jié)課安排了兩個(gè)例題。例1教材借助把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中的操作情景,介紹了一類簡(jiǎn)單的“鴿巢問(wèn)題”,即把m個(gè)物體放進(jìn)n(m>n,n是非0自然數(shù))個(gè)空抽屜里,那么一定有一個(gè)抽屜里至少2個(gè)物體。數(shù)據(jù)較小,為學(xué)生自主探索提供了很大的空間,教學(xué)時(shí),可以放手讓學(xué)生自主思考,先采用不同的方法進(jìn)行“證明”,然后再進(jìn)行交流。例2介紹的是把a(bǔ)(a>n)個(gè)物體放進(jìn)n(非0的自然數(shù))個(gè)空抽屜里,那么一定有一個(gè)抽屜中至少放進(jìn)(商+1)個(gè)物體。
【學(xué)情分析】
“鴿巢問(wèn)題”就是老教材的“抽屜原理”。“抽屜原理”本身或許并不復(fù)雜,但它的應(yīng)用廣泛且靈活多變,因此,用“抽屜原理”來(lái)解決問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到一些困難。例如,有時(shí)要找到實(shí)際問(wèn)題與“抽屜問(wèn)題”之間聯(lián)系并不容易,即使找到了,也很難確定用什么作為“抽屜”,要用幾個(gè)“抽屜”,要用幾個(gè)抽屜。因此,教學(xué)時(shí),不必過(guò)于追求學(xué)生“說(shuō)理”的嚴(yán)密性,只要能結(jié)合具體問(wèn)題把大致意思說(shuō)出來(lái)就可以了,更要允許學(xué)生借助實(shí)物操作等直觀方式進(jìn)行猜測(cè)、驗(yàn)證。
【教學(xué)目標(biāo)】
1、經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程,初步了解“抽屜原理”(鴿巢原理)的基本形式,并能運(yùn)用“抽屜原理”解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題或解釋相關(guān)現(xiàn)象。
2、通過(guò)操作、觀察、比較、說(shuō)理等數(shù)學(xué)活動(dòng),使學(xué)生經(jīng)歷抽屜原理的形成過(guò)程,體會(huì)和掌握邏輯推理思想和模型思想,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
3、通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。
【教學(xué)重點(diǎn)】
1、經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程,初步了解“抽屜原理”。
2、“不管怎么放”、“總有”、“至少”的具體含義,以及為什么商+1而不是加余數(shù)。
【教學(xué)難點(diǎn)】
1、理解“抽屜原理”,并對(duì)一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”。
2、判斷誰(shuí)是物體,誰(shuí)是抽屜。
【突破方法】
在建立“抽屜原理”模型的過(guò)程中,對(duì)模型中的各個(gè)要素進(jìn)行深入分析,從而學(xué)會(huì)將生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題和“抽屜原理”的各個(gè)要素進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)。
【教學(xué)準(zhǔn)備】
撲克牌、多媒體課件。
【教學(xué)過(guò)程】
一、情景激趣導(dǎo)入。
師:今天上課前,我先給大家表演一個(gè)魔術(shù),大家想看嗎?這個(gè)魔術(shù)需要一名同學(xué)來(lái)配合,誰(shuí)愿意?(向大家介紹)這是一副撲克牌,取出大王、小王,還剩多少?gòu)垼空?qǐng)你任意從中抽取5張牌。我敢肯定地說(shuō):你手中的5張至少有兩張是同一花色。同學(xué)們,你們相信嗎?好,見(jiàn)證奇跡的時(shí)刻到了。(打開(kāi)牌讓大家看)
神奇吧!再給你們表演一個(gè),這回請(qǐng)你任意抽出14張,我很確信的說(shuō),現(xiàn)在你手里的14張牌中至少有一對(duì)兒!
(理解“至少”的意思)
老師為什么能做出準(zhǔn)確的判斷呢?因?yàn)檫@個(gè)魔術(shù)中蘊(yùn)含了一個(gè)數(shù)學(xué)原理,大家有興趣研究嗎?
【設(shè)計(jì)意圖】第一次與學(xué)生接觸,在課前進(jìn)行的情景激趣、游戲激趣,一使教師和學(xué)生進(jìn)行自然的溝通交流;二激發(fā)學(xué)生的興趣,引起探究的愿望;三為今天的探究埋下伏筆。
二、通過(guò)操作,探究新知
(一)教學(xué)例1
師:同學(xué)們都帶稿紙了嗎?請(qǐng)用“︱”代表一枝鉛筆,用“○”代表筆筒,現(xiàn)在我們就開(kāi)始研究吧!
《鴿巢問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)《鴿巢問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)板書(shū): 鉛筆 筆筒
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師:將4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒里,可能會(huì)有怎樣的結(jié)果?大家在稿紙上畫畫看。
(師巡視,了解情況,個(gè)別指導(dǎo),然后指名上黑板展示,師引導(dǎo)學(xué)生共同將可能的幾種結(jié)果訂正并完善。)
【設(shè)計(jì)意圖】此處設(shè)計(jì)從最簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)開(kāi)始,將實(shí)際物件抽象為符號(hào)代替來(lái)進(jìn)行操作探究,從而化繁為簡(jiǎn),有利于學(xué)生操作、觀察、理解,更能調(diào)動(dòng)所有的學(xué)生積極參與進(jìn)來(lái)。
師:請(qǐng)大家注意觀察,黑板上同學(xué)們呈現(xiàn)的四種情況,它們都不一樣是吧?(是)但它們卻有一個(gè)共同的特點(diǎn),誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)?
生1:——
生2:——
生3:它們總有一個(gè)筆筒里裝有兩根或兩根以上的鉛筆。
師: 你真了不起,一語(yǔ)道破了天機(jī),請(qǐng)同學(xué)們重復(fù)一下他說(shuō)的話!
生重復(fù):不管怎么放,總有一個(gè)筆筒里至少有2枝鉛筆。
師:“不管怎么放”是什么意思?
師:“總有”是什么意思?
生:一定存在。
師:“至少”有2枝什么意思?
生:不少于兩只,可能是2枝,也可能是多于2枝。
師:你能在3個(gè)筆筒中的一個(gè)筆筒里擺放出比2枝更少的情況嗎?(生:不能)
師:讓我們?cè)僦貜?fù)一遍我們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)結(jié)論吧。
生:把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒里,不管怎么放,總有一個(gè)筆筒里至少有2枝鉛筆。
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)觀察,使學(xué)生積極投入到對(duì)問(wèn)題研究中。同時(shí),加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“不管怎么放”、“總有”、“至少”幾個(gè)詞的理解,并初步滲透建模的數(shù)學(xué)思想。
師:把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒里,不管怎么放,總有一個(gè)筆筒里至少有2枝鉛筆。這是我們通過(guò)實(shí)際操作進(jìn)行枚舉的方法發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)論。(板書(shū):枚舉法)那么,我們能不能找到一種更為直接的方法,只擺一種情況,也能得到這個(gè)結(jié)論呢?
(學(xué)生思考——組內(nèi)交流——匯報(bào))
師:哪一組同學(xué)能把你們的想法匯報(bào)一下?
組1生:我們發(fā)現(xiàn)如果每個(gè)筆筒里放1枝鉛筆,最多放3枝,剩下的1枝不管放進(jìn)哪一個(gè)筆筒里,總有一個(gè)筆筒里至少有2枝鉛筆。
師:你能結(jié)合操作給大家演示一遍嗎?(學(xué)生操作演示)
師:你們組太聰明了!大家給他們點(diǎn)掌聲!同位之間邊演示邊說(shuō)一說(shuō)好嗎?
師:這種分法,實(shí)際就是先怎么分的?
生眾:平均分
師:為什么要先平均分?(組織學(xué)生討論)
生1:要想發(fā)現(xiàn)存在著“總有一個(gè)筆筒里一定至少有2枝”,先平均分,余下1枝,不管放在那個(gè)筆筒里,一定會(huì)出現(xiàn)“總有一個(gè)筆筒里一定至少有2枝”。
生2:這樣分,只分一次就能確定總有一個(gè)筆筒至少有幾枝筆了。
師:哦,這個(gè)方法真妙。你們聽(tīng)明白了嗎?我也聽(tīng)明白了。就是先假設(shè)在每個(gè)筆筒里放一只鉛筆,3個(gè)筆筒里就放了3只鉛筆,還剩下1枝,放入任意一個(gè)筆筒,那么這個(gè)筆筒中就有2枝鉛筆了。這種方法我們可以把它叫做“假設(shè)法”。(板書(shū):假設(shè)法)那么,用“假設(shè)法”研究這類問(wèn)題的核心是什么?(先平均分)
師:其他小組還有其它的方法嗎?
(補(bǔ)充數(shù)的分解法并板書(shū))
師:同學(xué)們真聰明!看來(lái)在探究解決問(wèn)題時(shí),通常都存在幾種不同的方法策略。在我們剛才展示的三種方法中,你們認(rèn)為最佳的方法是那一種?為什么?大家同桌之間互相討論一下。
生1:我認(rèn)為假設(shè)法最方便,因?yàn)榧僭O(shè)法只需平均分一次就知道至少是多少。
師:我也這樣認(rèn)為。那么,讓我們用這種最佳的方法來(lái)進(jìn)行后面的研究,好不好?
【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)課堂應(yīng)為學(xué)生自主探索、合作交流提供足夠的空間。在解決問(wèn)題時(shí),培養(yǎng)學(xué)生從多角度出發(fā)探索解決問(wèn)題的不同策略和方法,從而簡(jiǎn)單地滲透“方法論”的哲學(xué)思想。
師:請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考:把5枝筆飯放進(jìn)4個(gè)盒子里,不管怎么放,總有一個(gè)盒子里至少有幾枝鉛筆?為什么?
生:(一邊演示一邊說(shuō))5枝鉛筆放在4個(gè)盒子里,不管怎么放,總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。因?yàn)槿绻總€(gè)盒子里放1枝鉛筆,最多放3枝,剩下的1枝不管放進(jìn)哪一個(gè)盒子里,總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。
師:把6枝筆放進(jìn)5個(gè)盒子里呢?
生:6枝鉛筆放在5個(gè)盒子里,不管怎么放,總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。
師:把10枝筆放進(jìn)9個(gè)盒子里呢?
把100枝筆放進(jìn)99個(gè)盒子里呢?……(板書(shū)類推數(shù)字)
你發(fā)現(xiàn)什么?
生1:筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1,不管怎么放,總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。
師:你的發(fā)現(xiàn)和他一樣嗎?(一樣)如果我們把“99個(gè)盒子”用“n個(gè)抽屜”來(lái)代替,把“100枝鉛筆”用“n+1個(gè)物體”來(lái)代替,那么該怎樣歸納這個(gè)發(fā)現(xiàn)呢?
生1:將n+1個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里,不管怎么放,總有一個(gè)抽屜里至少有2個(gè)物體。
師:你們同意嗎?(同意)
【課件】出示抽屜原理1。(生齊讀)
【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生自主探索的基礎(chǔ)上,教師進(jìn)一步比較優(yōu)化,讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來(lái)思考問(wèn)題。在有趣的類推活動(dòng)中,引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論,讓學(xué)生體驗(yàn)和理解“抽屜原理”的最基本原理,當(dāng)物體個(gè)數(shù)大于抽屜個(gè)數(shù)時(shí),一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)物體。這樣的教學(xué)過(guò)程,從方法層面和知識(shí)層面上對(duì)學(xué)生進(jìn)行了提升,有助于發(fā)展學(xué)生的類推能力,形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。)
師:你太了不起了!如果你早出生200年,數(shù)學(xué)史將因你而改寫!那也沒(méi)關(guān)系,今天你卻是第一個(gè)吃到螃蟹的人,大家給他以熱烈的掌聲!
【課件】抽屜原理的來(lái)歷
師:這個(gè)發(fā)現(xiàn)最早是由19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家“狄里克雷”發(fā)現(xiàn)的,人們?yōu)榱思o(jì)念他從平凡的事情中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,就把這個(gè)規(guī)律用他的名字命名,叫“狄里克雷原理”,又把它叫做“抽屜原理”,還把它叫做“鴿籠原理”。而我們今天正是利用抽屜原理來(lái)解決的這類問(wèn)題,我們也把它叫做“鴿巢問(wèn)題”(板書(shū)課題:鴿巢問(wèn)題)在我們剛才的探究中,“4枝鉛筆”就是“4個(gè)要分放的物體”,“3個(gè)筆筒”就是“3個(gè)抽屜”,這個(gè)問(wèn)題用“鴿巢問(wèn)題”的語(yǔ)言來(lái)描述就是:4只鴿子要飛進(jìn)3個(gè)鴿籠,總有一個(gè)鴿籠至少要飛進(jìn)2只鴿子。
【設(shè)計(jì)意圖】介紹抽屜原理的由來(lái),以增加數(shù)學(xué)文化的氣息。同時(shí)教育學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的觀察生活的態(tài)度,研究問(wèn)題的方法。
2.解決問(wèn)題。
師;我們剛才用三種不同的方法研究出了抽屜原理1,知道了抽屜原理的來(lái)歷。抽屜原理也叫“鴿籠原理”。瞧,鴿子來(lái)了。
【課件】5只鴿子飛回3個(gè)鴿籠,至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠里,為什么?
師:你們能用三種方法中的其中一種方法來(lái)說(shuō)理嗎?
(學(xué)生活動(dòng)——獨(dú)立思考, 自主探究,交流、說(shuō)理)
師:誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)為什么?或者你是怎么想的?
生1:如果一個(gè)鴿籠里飛進(jìn)一只鴿子,最多飛進(jìn)3只鴿子,還剩2只,要飛進(jìn)其中的一個(gè)鴿籠里或兩個(gè)鴿籠。不管怎么飛,至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠里。
師:同意嗎?(生:同意)老師把這位同學(xué)說(shuō)的算式寫下來(lái),(板書(shū):5÷3=1……2)
師:同位之間再說(shuō)一說(shuō),對(duì)這種方法的理解。
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)“做一做”中的鴿巢問(wèn)題,使學(xué)生可以利用例題中的方法進(jìn)行遷移類推,對(duì)從余數(shù)1到余數(shù)2在思維層次上進(jìn)一步提升。
(二)教學(xué)例2
過(guò)渡語(yǔ):德國(guó)數(shù)學(xué)家“狄里克雷”在生活中,發(fā)現(xiàn)了抽屜原理1這個(gè)規(guī)律后,并沒(méi)有停止對(duì)現(xiàn)象的研究,又發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題。我們也想一想,還有沒(méi)有值得我們繼續(xù)研究的問(wèn)題呢?如果物件的數(shù)量更多一些會(huì)怎么樣呢?
1.【課件】出示例2:把5本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜里,不管怎么放,總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書(shū)?如果8本書(shū)會(huì)怎樣呢?10本呢?
(留給學(xué)生思考的空間,師巡視了解各種情況)
2.學(xué)生匯報(bào)。
生1:把7本書(shū)放進(jìn)3個(gè)抽屜里,如果每個(gè)抽屜里先放2本,還剩1本,這本書(shū)不管放到哪個(gè)抽屜里,總有一個(gè)抽屜里至少有3本書(shū)……
板書(shū):
先平均分 總有一個(gè)抽屜里至少數(shù)
7÷3=2……1 3(2+1=3)
8÷3=2……2 3(2+1=3)
10÷3=3……1 4(3+1=4)
【設(shè)計(jì)意圖】在例1和“做一做”的基礎(chǔ)上,相信學(xué)生會(huì)用平均分的方法解決“至少”的問(wèn)題,將證明過(guò)程用有余數(shù)的除法算式表示,為下一步,學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論與商和余數(shù)的關(guān)系做好鋪墊。
師:觀察板書(shū)你能發(fā)現(xiàn)什么?
生1:“總有一個(gè)抽屜里的至少有2本”只要用 “商+ 1”就可以得到。
師:如果把8本書(shū)放進(jìn)3個(gè)抽屜里,不管怎么放,總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書(shū)?
生:“總有一個(gè)抽屜里的至少有4本”只要用8÷3=2本……2本,用“商+ 2”就可以了。
生:不同意!先把8本書(shū)平均分放到3個(gè)抽屜里,每個(gè)抽屜里先放2本,還剩2本,這2本書(shū)再平均分,不管分到哪兩個(gè)抽屜里,總有一個(gè)抽屜里至少有3本書(shū),不是3本書(shū)。
師:到底是“商+1”還是“商+余數(shù)”呢?誰(shuí)的結(jié)論對(duì)呢?同位間進(jìn)行研究、商量一下。
交流、說(shuō)理活動(dòng):
生1:把8本書(shū)平均分放到3個(gè)抽屜里,每個(gè)抽屜里先放2本,余下的2本可以在2個(gè)抽屜里再各放1本,結(jié)論是“總有一個(gè)抽屜里至少有3本書(shū)”。
生2∶我們組的結(jié)論是8本書(shū)平均分放到3個(gè)抽屜里,“總有一個(gè)抽屜里至少有3本書(shū)”用“商加1”就可以了,不是“商加2”。
師:現(xiàn)在大家都明白了吧?那么怎樣才能夠確定總有一個(gè)抽屜里至少有幾個(gè)物體呢?
生4:用書(shū)的本數(shù)除以抽屜數(shù),再用所得的商加1,就會(huì)發(fā)現(xiàn)“總有一個(gè)抽屜里至少有商加1本書(shū)”了。
師:同學(xué)們同意吧?
【課件】展示板書(shū):至少數(shù)=平均數(shù)+1
師:同學(xué)們,在前面例一的研究中,同學(xué)們很了不起,發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出了“抽屜原理1”。那么,通過(guò)剛才對(duì)例2的研究,你們能不能也總結(jié)出一句話呢?
師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)。
【課件】展示“抽屜原理2”
把a(bǔ)個(gè)物體放進(jìn)n個(gè)空抽屜里,如果a÷n=b……c(c≠0),那么一定有一個(gè)抽屜至少放(b+1)個(gè)物體。
生齊讀。
【設(shè)計(jì)意圖】在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中通過(guò)抓住假設(shè)法最核心的思路就是用“有余數(shù)除法” 形式表示出來(lái),使學(xué)生學(xué)生借助直觀,很好的理解了如果把書(shū)盡量多地“平均分”給各個(gè)抽屜里,看每個(gè)抽屜里能分到多少本書(shū),余下的書(shū)不管放到哪個(gè)抽屜里,總有一個(gè)抽屜里比平均分得的書(shū)的本數(shù)多1本。特別是對(duì)“某個(gè)抽屜至少有書(shū)的本數(shù)”是除法算式中的商加“1”, 而不是商加“余數(shù)”,教師適時(shí)挑出針對(duì)性問(wèn)題進(jìn)行交流、討論,使學(xué)生從本質(zhì)上理解 “抽屜原理”。
三、應(yīng)用原理解決問(wèn)題(說(shuō)明“把誰(shuí)當(dāng)做物體,把誰(shuí)當(dāng)做抽屜”)
師:經(jīng)過(guò)剛才的探索研究,我們經(jīng)歷了一個(gè)很不簡(jiǎn)單的思維過(guò)程,我們獲得了解決這類問(wèn)題的好辦法,下面讓我們用抽屜原理輕松地解決問(wèn)題。
【課件】69頁(yè)“做一做”。
(獨(dú)立完成,交流反饋)
2、張叔叔參加飛鏢比賽,投了5鏢,成績(jī)是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于幾環(huán)?
【設(shè)計(jì)意圖】研究的問(wèn)題來(lái)源于生活,還要還原到生活中去。課的前后需要一定的聯(lián)系,通過(guò)讓學(xué)生去用這節(jié)課學(xué)過(guò)的抽屜原理解釋課始老師呈現(xiàn)的問(wèn)題,再?gòu)纳钪信e出和抽屜原理有關(guān)的例子,讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系 。
四、回顧總結(jié),拓展延伸
這節(jié)課,我們通過(guò)一系列的研究,初步了解了“抽屜原理,并能結(jié)合生活實(shí)際進(jìn)行理解。但是,它的應(yīng)用確實(shí)千變?nèi)f化的,用它可以解決許多有趣的問(wèn)題。
現(xiàn)在你們能解釋老師在課的開(kāi)始說(shuō)到5張牌至少有兩張是同一花色和14張牌中至少有有一對(duì)的解釋嗎?(學(xué)生作解釋。)請(qǐng)大家課后相互說(shuō)一說(shuō)。
五、課堂小結(jié)
通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?
【板書(shū)設(shè)計(jì)】
數(shù)學(xué)廣角——鴿巢問(wèn)題
《鴿巢問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)《鴿巢問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)
《鴿巢問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)《鴿巢問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)
《鴿巢問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)
物體數(shù) 抽屜數(shù) 總有一個(gè)抽屜至少數(shù)
n+1 n 2 (1+1=2)
5 ÷ 3=1……2 2 (1+1=2)
先平均分 商+1
7 ÷ 3=2……1 3 (2+1=3)
8 ÷ 3=2……2 3 (2+1=3)
10 ÷ 3=3……1 4 (3+1=4)
a ÷ n=b……c b+1
【教學(xué)反思】
本節(jié)課的“鴿巢問(wèn)題”就是老教材的“抽屜原理”,而“鴿巢問(wèn)題”學(xué)生在生活中常常能遇到這樣的實(shí)例,但并不能有意識(shí)地從數(shù)學(xué)的角度來(lái)理解和運(yùn)用“抽屜原理”。教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地讓學(xué)生理解“抽屜原理”的一般化模型。數(shù)學(xué)課堂是師生互動(dòng)的過(guò)程,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人,教師是組織者和引導(dǎo)者。本節(jié)課注重為學(xué)生提供自主探索的空間,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探索,初步了解“抽屜原理”,會(huì)用“抽屜原理”解決問(wèn)題。六年級(jí)的學(xué)生都有一定的邏輯能力,小組合作能力和動(dòng)物操作能力,加上已有的生活經(jīng)驗(yàn),很容易感受到“抽屜原理”帶來(lái)的樂(lè)趣。因此我在教學(xué)時(shí)借助實(shí)物或畫草圖的方式來(lái)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。本節(jié)課的教學(xué)突出體現(xiàn)以下兩個(gè)特點(diǎn):一、魔術(shù)開(kāi)課,激發(fā)興趣。教師從學(xué)生熟悉的撲克牌魔術(shù)開(kāi)始,讓學(xué)生先猜,再打開(kāi)牌看,使學(xué)生明確這是現(xiàn)實(shí)必然存在的,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,為后面開(kāi)展教與學(xué)的活動(dòng)作了鋪墊。二、注重“說(shuō)理”活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力。在教學(xué)例2時(shí),教師抓住了假設(shè)法最核心的思路就是用“有余數(shù)除法”形式表示出來(lái),使學(xué)生借助直觀,很好的理解了如果把書(shū)盡量多地“平均分”給各個(gè)抽屜里,看每個(gè)抽屜里能分到多少本書(shū),余下的書(shū)不管放到哪個(gè)抽屜里,總有一個(gè)抽屜比平均分得的書(shū)的本數(shù)多1本。特別是對(duì)“某個(gè)抽屜至少有書(shū)的本數(shù)”是除法算式中的“商+1”,而不是“商+余數(shù)”,教師適時(shí)挑出針對(duì)性問(wèn)題進(jìn)行交流、討論,使學(xué)生從本質(zhì)上理解了“抽屜原理”。這節(jié)課也有需要改進(jìn)的地方:數(shù)學(xué)語(yǔ)言不夠精煉,且在整節(jié)課的時(shí)間把握上沒(méi)分配好,略顯前松后緊。
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