這是柯西不等式教案，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

柯西不等式教案第 1 篇

認識不等式

教學目標:

通過對具體實例的學習，使學生能夠了解生活中的不等量關系，理解不等式的概念，知道什么是不等式的解，為以后學習不等式的解法奠定基礎.

知識與能力:

1.通過對具體事例的分析和探索，得到生活中不等量的關系.

2.通過理解得到不等式的概念，從而使學生經歷實際問題中數量的分析、抽象過程，體會現實中有各種各樣錯綜復雜的數量關系.

3.了解不等式的意義，知道不等式是用來刻畫生活中的數量關系的.

4.知道什么是不等式的解.

過程與方法:

1.引導學生分析具體事例，從對具體事例的分析中得到不等量關系.

2.引導并幫助學生列出不等式，分析不等式的成立條件.

3.通過分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.

4.通過習題鞏固和加深對概念的理解.

情感、態度與價值觀:

1.通過學生的分析和抽象過程使他們體會現實中錯綜復雜的數量關系，從而培養其抽象思維能力.

2.通過分組討論學習，體會在解決具體問題的過程中與他人合作的重要性，培養學生的團體協作精神，使學生獲得合作交流的學習方式.

3.通過聯系與發展、對立與統一的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育.

4.通過創設問題串，讓學生仔細觀察、對比、歸納、整理，嘗試對有理數進行分類，體驗教學活動充滿著探索性和創造性.

教學重、難點及教學突破

重點: 不等式的概念和不等式的解的概念.

難點: 對文字表述的數量關系能列出不等式.

教學突破: 由于學生在以前已經對數量的大小關系和含數字的不等式有所了解，但還沒有接觸過含未知數的不等式，在學生分析問題的時候注意引入現實中大量存在的數量間的不等關系，研究它們的變化規律，使學生知道用不等式解決實際問題的方便之處. 在本節的教學中能夠在組織學生討論的過程中適當地滲透變量的知識，讓學生感受其中的函數思想，并引導學生發現不等式的解與方程的解之間的區別.在處理本節難點時指導學生練習有理數和代數式的知識，準確“譯出”不等式.

教學過程：

一. 研究問題：

世紀公園的票價是:每人5元,一次購票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊員去世公園進行活動.當領隊王小華準備好了零錢到售票處買了27張票時,愛動腦的李敏同紀學喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學不明白.明明只有27個人,買30張票,豈不浪費嗎?

那么,究竟李敏的提議對不對呢?是不是真的浪費呢

二. 新課探究：分析上面的問題:設有x人要進世紀公園,①若x≥30，應該如何買票? ②若x<30, 則又該如何買票呢?

結論：至少要有多少人進公園時，買30張票才合算?

概括：1、不等式的定義：表示不等關系的式子,叫做不等式.不等式用符號>,<,≥,≤.

2、不等式的解：能使不等式成立的未知數的值,叫做不等式的解.

3、不等式的分類：⑴恒不等式：-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1.

⑵條件不等式：x+3>6,a+2>3,y-3>-5.

三、基礎訓練.

例1、用不等式表示： ⑴ a是正數;⑵ b不 是負數;⑶ c是非負數; ⑷ x 的平方是非負數;⑸ x的一半小于-1;⑹ y與4的和不小于3.

注：⑴不等式表示代數式之間的不相等關系，與方程表示相等關系相對應;

⑵研究不等關系列不等式的重點是抓關鍵詞，弄清不等關系.

例2、用不等式表示： ⑴ a與1的和是正數;⑵ x的2倍與y的3倍的差是非負數;⑶ x的2倍與1的和大于—1;⑷a的一半與4的差的絕對值不小于a.

例3、當x=2時，不等式x-1<2成立嗎?當x=3呢?當x=4呢?

注：⑴檢驗字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右兩邊，如果符合不等號所表示的關系，就成立，否則就不成立. ⑵代入法是檢驗不等式的解的重要方法.

學生練習：課本P42練習1、2、3.

四、能力拓展

學校組織學生觀看電影，某電影院票價每張12元，50人以上(含50人)的團體票可享受8折優惠，現有45名學生一起到電影院看電影，為享受8折優惠，必須按50人購團體票.

⑴請問他們購買團體票是否比不打折而按45人購票便宜;

⑵若學生到該電影院人數不足50人，應至少有多少人買團體票比不打折而按實際人數購票便宜.

解：⑴按實際45人購票需付錢_________　元，如果按50人購買團體票則需付錢50×12×80%=480元，所以購買團體票便宜.

⑵設有x人到電影院觀看電影，當x_____時，按實際人數買票______張，需付款_______元，而按團體票購票需付款________元，如果買團體票合算，那么應有不等式________________，

由①得，當x=45時，上式成立，讓我們再取一些數據試一試，將結果填入下表：

x 12x 比較480與12x的大小 48<12x成立嗎?

30

40

41

42

由上表可見，至少要__________人時進電影院，購團體票才合算.

五、小結:⑴不等式的定義，不等式的解.

⑵對實際問題中探索得到的不等式的解，不僅要滿足數學式子，而且要注意實際意義.

六、作業: 課本P42習題8.1第1、2、3題.

補充題：

1.用不等式表示：

(1) 與1的和是正數; (2) 的 與 的 的差是非負數;

(3) 的2倍與1的和大于3; (4) 的一半與4的差的絕對值不小于 .

(5) 的2倍減去1不小于 與3的和; (6) 與 的平方和是非負數;

(7) 的2倍加上3的和大于-2且小于4; (8) 減去5的差的絕對值不大于

2.小李和小張決定把省下的零用錢存起來.這個月小李存了168元，小張存了85元.下個月開始小李每月存16元，小張每月存25元.問幾個月后小張的存款數能超過小李?(試根據題意列出不等式，并參照教科書中問題1的探索，找出所列不等式的解)

3.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農用車12輛和6輛，現需要調往A縣10輛，調往B縣8輛，已知從甲倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元，從乙倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元，(1)設從乙倉庫調往A縣農用車 輛，用含 的代數式表示總運費W元;(2)請你用嘗試的方法，探求總運費不超過900元，共有幾種調運方案?你能否求出總運費最低的調運方案.

柯西不等式教案第 2 篇

第8章 一元一次不等式

8.1 認識不等式 【教學目標】 知識與技能

1.能夠從現實問題中抽象出不等式，理解不等式的意義，會根據給定條件列不等式.

2.正確理解“非負數”、“不小于”等數學術語.

3.理解不等式的解的意義，能舉出一個不等式的幾個解并且會檢驗一個數是否某個不等式的解.

過程與方法

經歷由具體實例建立不等式模型的過程，進一步發展學生的符號感和數學化的能力，體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性. 情感態度與價值觀

使學生產生獨立克服困難、運用知識解決問題的成功體驗，樹立學好數學的自信心；在獨立思考的基礎上，積極參與討論，在合作交流中有一定收獲. 【教學重點】

能夠從現實問題中抽象出不等式，理解不等式的意義，會根據給定條件列不等式. 【教學難點】

理解不等式的解的意義，能舉出一個不等式的幾個解并且會檢驗一個數是否某個不等式的解.

【教學過程】 （一）情境引入

設計意圖：數學教育必須基于學生的“數學現實”，現實情境問題是數學教學的平臺，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實．基于此,設置如下情境:

【名師測控】2016春七年級數學下冊 8.1 認識不等式教案 (新版)華東師大版

情境1：如圖，天平左盤放三個蘋果，右盤放200克砝碼，天平傾斜.設每個蘋果的質量為x 克，怎樣表示x 與200之間的關系？

先引導學生獨立思考、合作交流，再根況出示思考題：

1．天平左邊的三個蘋果的總質量如何用含x 的代數式表示？ 2．天平哪邊重？

3．應該用怎樣的符號才能把表示天平左右兩邊的代數式連接起來？ 答案：3x ＞200,或200＜3x.

由實際問題入手，既體現數學知識的實用性，又激發學生的學習興趣.

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情境2:如圖,小明與小聰玩蹺蹺板,大家都不用力時,蹺蹺板左低右高.小明體重50千克,小聰體重a 千克,小聰背的書包重2千克,小明沒有背書包.怎樣表示a 與50之間的關系呢?

票價

每張票5元;一

次購票滿30張，

每張票4元.

在上個情境的啟發下，學生分組討論后可以很快得到答案：a+2＞50,或50＜a+2.

通過上面兩個實例,學生們切實經歷了不等式的產生過程,體驗到不等式是由于表示不等關系的需要而產生的數學模型. 接著師生互動進行歸納：

引導學生思考:上面的4個式子:3x ＞200，200＜3x,a+2＞50，50＜a+2. 有什么共同特征?它們是等式嗎?

目的是引導學生回憶等式的概念，類比得出不等式的概念：

用不等號“<”或“>”表示不等關系的式子，叫做不等式（inequality ）. 教師順勢引出本節課題：§8.1認識不等式 同時告訴學生：“≠”、“≥”、“≤”也是不等號,并利用下表加深印象. 常見不等號的讀法和意義： 通過以上探索，學生很自然地理解了不等式的意義及常見的不等號的讀法和意義，本節重點和難點都得到了初步突破. （二）新知探究

情境3：春光明媚的一天，某班的27名同學到世紀公園游園.

問題1呢？為什么?

左邊的量大于或小于右邊的量

小方：買27張票，付款：5×27=135(元);

小敏：買30張票，付款：4×30=120(元).

顯然120<135.

這就是說，買30張票比買27張票付款要少，表面上看是“浪費”了3張票，而實際上節省了.

問題2: 我們只用120元就買了30張票，買30張票，我們不僅省錢，而且多買了票，那么剩下的3張票如何處理呢？

剎那間,同學們暢所欲言，相互啟迪，有的說：“賣掉”,有的說：“到售票處退掉”,有的說：“送給經濟困難的學生或者門外的其它游客”……發散性思維訓練和思想教育水到渠成. 問題3：買30張票比買27張票付的款還要少，這是不是說任何情況下都是多買票反而花錢少？

如果你們一家三口去游園，是不是也買30張票呢？

為什么去的人少了,買30張票就不合算呢？

問題4：

至少要有多少人去參觀，多買票反而合算呢？能否用數學知識來解決？

教師先指出：設有x人要去公園游園.

此時重點啟發學生從以下兩方面探索，滲透分類思想.

（1）如果x≥30，則按實際人數買票，每張票只付4元.

（2）如果x＜30，那么：按實際人數買票x張,要付款5x元；

買30張票,要付款4×30＝120(元).如果買30張票合算，則120＜5x.

問題5:x取哪些數值時,120＜5x成立？

為便于思考,讓學生借助表格進行探究.引導學生有目的地討論、探索，表內和表下畫橫線部分都由學生自主完成.

列表計算：

12

5

接著借助學生完成的表格，引導學生觀察最后一列，分析、討論：

X的值可以分為哪幾類？

學生很快發現X的值分兩類：一類使120＜5x不成立，一類使120＜5x成立.

進一步引導學生類比方程的解的概念概括出不等式的解的概念：

能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解（so lution of inequality）.

（三）例題

例1用不等式表示下列關系，并寫出兩個滿足不等式的數：

（1）x的一半小于－1；

（2）y與4的和大于0.5；

（3）a是負數；

（4）b是非負數.

這是教材第42頁的例題，前3個小題,讓學生獨立思考,教師個別指導完成后,讓學生點評.重點啟發變式最后一個小題并給出規范的書寫過程，如把“b是非負數”變式為“b是負數”、“b是正數”,“b是非正數”等,讓學生反復體味不等號的用法和意義.

解：（1）0.5x<-1,如x=-3,-4;

（2）y+4>0.5,如y=0,1;

（3）a<0，如a=-3,-4；

（4）b是非負數，就是b不是負數，它可以是正數或零，即b>0或b=0，通?？梢员硎境蒪 ≥0，如b=0,2.

然后啟發學生歸納出:

1.列不等式的基本步驟:

（1）確定不等式兩邊的代數式.

（2）根據所給條件中的關系，選擇合適的不等號.

（順利突出本節重點）

2.常用的表示不等關系的詞語及對應的不等號:

②不低于

通過歸納，加深對不等號的用途和意義的理解，第一個難點再次突破.

例2下列各數:0，－3，3，4,－0.5，－20 ,－0.4中, 是方程x+3=0的解；

是不等式x+3＞0的解；是不等式2x+3＜x的解.

此例是為突出重點和難點而增加的題目，體現創造性地拓寬、使用教材.

通過判斷這幾個數是否方程x+3=0的解,啟發學生類比得出:檢驗一個數是否不等式的解的方法:把所給的數值分別代入不等式的兩邊，化簡后，觀察不等式是否成立，成立者即為不等式的解，否則不是.

(第2個難點又一次順利突破.)

答案：0，－3，3，4,－0.5，－20,－0.4中,－3是方程x+3=0的解；

0，3，4,－0.5,－0.4是不等式x+3＞0的解；-20是不等式2x+3＜x的解.

（四）隨堂練習

1.下列各式中的不等式有個.

(1)8＜9； (2)a+b=0； (3)a2+1＞0； (4)3x-1≤x；

(5)x-y≠1； (6)3-x=0； (7)4-2x； (8)x2+y2＞0.

2.下列各數中是不等式5x-1＞0的解的有個.

-9，0，-2，3，1.5，-2.5，7，12.

3.用“＜”或“＞”填空:

（1）7 3；

（2）7+3 4+3；

（3）7+（-1） 4 +（-1）；

（4）7×3 4×3；

（5）7×（-3） 4×（-3）

（6）7÷（-3） 4 ÷（-3）.

4.火眼金睛,下列說法中，哪些是正確的？哪些是錯誤的？請把錯誤的加以改正.

（1）“2x與1的和是負數”用不等式表示為：2x+1＜0；

（2）“a與b的差是非負數”用不等式表示為：a-b＞0；

（3）“a的2倍與4的差不小于5”用不等式表示為：2a-4＞5；

（4）“x的相反數與3的和是正數”用不等式表示為：3-x＞0.

解:（1），（4）正確；（2）（3）錯誤,改正如下：

（2）因為非負數即≥0,可改為:a-b≥0；（3）因為不小于5即≥5,可改為:2a-4≥5.

此題旨在幫助學生充分辨析“負數”、“非負數”、“不小于”等關鍵詞.

5.生活中不等式的應用隨處可見,請你說出下列標志表示的含義,并用不等式表示:

其中:寬度、高度、重量、速度分別用L、H、G、V表示.

【名師測控】2016春七年級數學下冊 8.1 認識不等式教案 (新版)華東師大版

6.請給x+3＞

5創作一個實

際情景或故事，使它成立.

（五）知識梳理

通過本節課的學習你有什么收獲？取得了哪些經驗教訓?還有哪些問題需要請教？

方法:先放手讓學生獨立歸納,寫出反思總結,在小組交流后，選代表在全班發言,老師根據情況完善如下：

兩個概念：不等式、不等式的解.

三種思想：建模思想、類比思想、分類思想.

四個注意：一要注意“負數”、“非負數”、“不大于”、“不小于”等關鍵性詞語的含義.二要注意仔細審題,正確列出不等式.

三要注意檢驗一個數是否某個不等式的解的方法.

四要注意觀察生活,讓數學更多地服務社會.

柯西不等式教案第 3 篇

　　整體設計

　　教學分析

　　本節課的研究是對初中不等式學習的延續和拓展，也是實數理論的進一步發展.在本節課的學習過程中，將讓學生回憶實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.

　　通過本節課的學習， 讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材，用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.

　　在本節課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數學知識和方法的應用，同時也能激發學生的學習興趣，并由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望.根據本節課的教學內容，應用再現、回憶得出實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.

　　在本節教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數軸這一簡單的數形結合工具，直接用實數與數軸上 點的一一對應關系，從數與形兩方面建立實數的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.

　　三維目標

　　1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數軸回憶實數的基本理論，理解實數的大小關系，理解實數大小與數軸上對應點位置間的關系.

　　2.會用作差法判斷實數與代數式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍.

　　3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發學生的學習興趣，體會數學的奧秘與數學的結構美.

　　重點難點

　　教學重點：比較實數與代數式的大小關系，判斷二次式的大小和范圍.

　　教學難點：準確比較兩個代數式的大小.

　　課時安排

　　1課時

　　教學過程

　　導入新課

　　思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數學研究不等關系的強烈愿望，自然地引入新課.

　　思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數學成績的多少等現實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯想，教師組織不等關系的相關素材，讓學 生用數學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣，在現實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　(1)回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?

　　(2)在現實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?

　　(3)數軸上的任意兩 點與對應的兩實數具有怎樣的關系?

　　(4)任意兩個實數具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?

　　活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系，可用符號“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關系，可用“a>b”“a

　　教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內容.

　　實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.

　　實例2：對于數軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA

　　實例3：若一個數是非負數，則這個數大于或等于零.

　　實例4：兩點之間線段最短.

　　實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

　　實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.

　　實例7：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.

　　教師進一步點撥：能夠發現身 邊的數學當然很好，這說明同學們已經走進了數學這門學科，但作為我們研究數學的人來說，能用數學的眼光、數學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數式連結起來所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

　　教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數，則x≥0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.

　　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　　|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數與減數的位置也可以.

　　實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

　　對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結論.

　　討論結果：

　　(1)(2)略;(3)數軸上任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數大.

　　(4)對于任意兩個實數a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a

　　應用示例

　　例1(教材本節例1和例2)

　　活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數式的大小比較的基本方法：作差，配方法.

　　點評：本節兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數式變形時經常使用的方法，應讓學生熟練掌握.

　　變式訓練

　　1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關系是(

　　)

　　A.f(x)>g(x)

　　

　　

　　 B.f(x)=g(x)

　　C.f(x)

　　答案：A

　　解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

　　2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.

　　解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

　　∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

　　例2比較下列各組數的大小(a≠b).

　　(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);

　　(2)a4-b4與4a3(a-b).

　　活動：比較兩個實數的大小，常根據實數的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點.

　　解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=(a+b)2-4ab2(a+b)=(a-b)22(a+b).

　　∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴(a-b)22(a+b)>0，即a+b2>21a+1b.

　　(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

　　=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

　　=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

　　∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，

　　又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

　　∴a4-b4<4a3(a-b).

　　點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變為“積”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.

　　變式訓練

　　已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小.

　　活動：要比較任意兩個數或式的大小關系，只需確定它們的差與0的大小關系.

　　解：xy-1=x-yy.

　　∵x>y，∴x-y>0.

　　當y<0時，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;

　　當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

　　點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論.

　　例3建筑設計規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積， 住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由.

　　活動：解題關鍵首先是把文 字語言轉換成數學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.

　　解：設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據問題的要求a

　　由于a+mb+m-ab=m(b-a)b(b+m)>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，

　　因此a+mb+m>ab≥10%.

　　所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.

　　點評：一般地，設a、b為正實數，且a0，則a+mb+m>ab.

　　變式訓練

　　已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數列，公比q≠1，則(

　　)

　　A.a1+a8>a4+a5

　　

　　

　　　 B.a1+a8

　　C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

　　答案：A

　　解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

　　=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

　　∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.

　　又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

　　知能訓練

　　1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數為(

　　)

　　A.3 B.2 C.1 D.0

　　2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.

　　答案：

　　1.C　解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，

　?、踴2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

　　∴只有①恒成立.

　　2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，

　　所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

　　課堂小結

　　1.教師與學生共同完成本節課的小結，從實數的基本性質的回顧，到兩個實數大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯系舊知，將本節課所學納入已有的知識體系中.

　　2.教師畫龍點睛，點撥利用實數的基本性質對兩個實數大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節末的思考與討論在課后作進一步的探究.

　　作業

　　習題3—1A組3;習題3—1B組2.

　　設計感想

　　1.本節設計關注了教學方法 的優化.經驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學規律的教學 過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.

　　2.本節設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣，可以說與其他所有內容都有交匯，歷 來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產生負面影響.

　　3.本節設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數學教師直面的重要課題，也是中學數學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.

　　備課資料

　　備用習題

　　1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.

　　2.試判斷下列各對整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

　　3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .

　　4.若x

　　5.設a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小.

　　參考答案：

　　1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

　　=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

　　=1>0，

　　∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

　　2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

　　=m2-2m+5+2m-5

　　=m2.

　　∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

　　∴m2-2m+5≥-2m+5.

　　(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

　　=a2-4a+3+4a-1

　　=a2+2.

　　∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.

　　∴a2-4a+3>-4a+1.

　　3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2

　　=1+x+x24-(x+1)

　　=x24，

　　又∵x>0，∴x24>0.

　　∴(1+x2)2>(1+x)2.

　　由x>0，得1+x2>1+x.

　　4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

　　=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

　　=-2xy(x-y).

　　∵x0，x-y<0.

　　∴-2xy(x-y)>0.

　　∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

　　5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，

　　當a>b>0時，ab>1，a-b>0，

　　則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.

　　當b>a>0時，0

　　則(ab)a-b>1.

　　于是aabb>abb a.

　　綜上所述，對于不 相等的正數a、b，都有aabb>abba.

柯西不等式教案第 4 篇

　　教學準備

　　教學目標

　　熟練掌握不等式的證明問題

　　教學重難點

　　熟練掌握不等式的證明問題

　　教學過程

　　不等式的證明二

　　【基礎訓練】

　　1.若，，則下列不等始終正確的是( )

　　2.設a，b為實數，且，則的最小值是( )

　　4.求證：對任何式數x，y，z，下述三個不等式不可能同時成立