這是高一不等式典型例題，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

高一不等式典型例題第 1 篇

高一數學不等式經典例題與解析

例1 解下列不等式

(1)(x-1)(3-x)<5-2x

(2)x(x+11)≥3(x+1)2

(3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2)

分析 將不等式適當化簡變為ax2+bx+c>0(<0)形式，然后根據“解公式”給出答案(過程請同學們自己完成).

答 (1){x|x<2或x>4}

解關于x的不等式

(x-2)(ax-2)>0.

分析 不等式的解及其結構與a相關，所以必須分類討論.

解 1° 當a=0時，原不等式化為

x-2<0其解集為{x|x<2};

當a=1時，原不等式化為(x-2)2>0，其解集是{x|x≠2};

從而可以寫出不等式的解集為：

a=0時，{x|x<2｝;

a=1時，{x|x≠2};

說明：討論時分類要合理，不添不漏.

高一數學不等式經典例題與解析

例2 若不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|α

分析 由一元二次函數、方程、不等式之間關系，一元二次不等式的解集實質上是用根來構造的，這就使“解集”通過“根”實現了與“系數”之間的聯系.考慮使用韋達定理：

解法一 由解集的特點可知a<0，根據韋達定理知：

∵a<0，∴b>0，c<0.

解法二 ∵cx2+bx+a=0是ax2+bx+a=0的倒數方程.

且ax2+bx+c>0解為α

說明：要在一題多解中鍛煉自己的發散思維.

分析 將一邊化為零后，對參數進行討論.

進一步化為(ax+1-a)(x-1)<0.

(1)當a>0時，不等式化為

(2)a=0時，不等式化為x-1<0，即x<1，所以不等式解集為{x|x<1};

一數學不等式經典例題與解析

例3 絕對值大于2且不大于5的最小整數是

[ ]

A.3 B2

C.-2 D5

分析 列出不等式.

解 根據題意得2<|x|≤5.

從而-5≤x<-2或2

答 選D.

例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集為________.

分析 利用所學知識對不等式實施同解變形.

解 原不等式可化為4<|3x-1|≤7，即4<3x-1≤7或-7

例4 已知集合A={x|2<|6-2x|<5，x∈N}，求A.

分析 轉化為解絕對值不等式.

解 ∵2<|6-2x|<5可化為

2<|2x-6|<5

因為x∈N，所以A={0，1，5}.

說明：注意元素的限制條件.

高一不等式典型例題第 2 篇

高一數學不等式經典例題與解析

例5 實數a，b滿足ab<0，那么

[ ]

A.|a-b|<|a|+|b|

B.|a+b|>|a-b|

C.|a+b|<|a-b|

D.|a-b|<||a|+|b||

分析 根據符號法則及絕對值的意義.

解 ∵a、b異號，

∴ |a+b|<|a-b|.

答 選C.

例6 設不等式|x-a|

[ ]

A.a=1，b=3

B.a=-1，b=3

C.a=-1，b=-3

分析 解不等式后比較區間的端點.

解 由題意知，b>0，原不等式的解集為{x|a-b

答 選D.

說明：本題實際上是利用端點的位置關系構造新不等式組.

高一不等式典型例題第 3 篇

概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結

不等式

一．不等式的性質：

1．同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若a?bc,d?，則a?c?b?d（若a?b,c?d，則a?c?b?d），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若a?b?0,c?d?0，則ac?bd（若a?b?0,0?c?d，則

ac?bd

）；

3．左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若a?b?0，則an?

bn或?

4．若ab?0，a?b，則

1a?1b

；若ab?0，a?b，則

1a

?

1b

。如

（1）對于實數a,b,c中，給出下列命題：

①若a?b,則ac2?bc2； ②若ac2?bc2,則a?b； ③若a?b?0,則a2?ab?b2； ④若a?b?0,則⑤若a?b?0,則

ba?ab

1a?1b

；

； ⑥若a?b?0,則a?b；

a

?

bc?b

⑦若c?a?b?0,則

c?a

； ⑧若a?b,

1a

?

1b

，則a?0,b?0。

其中正確的命題是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是______

（答：1?3x?y?7）； （3）已知a?b?c，且a?b?c?0,則

ca

的取值范圍是______

（答：??2,??）

?

2?

?

1?

二．不等式大小比較的常用方法：

1．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果； 2．作商（常用于分數指數冪的代數式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函數的單調性； 7．尋找中間量或放縮法 ；

8．圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）設a?0且a?1,t?0，比較logat和log

21

t?1

a

2

的大小

（答：當a?1時，

12

logat?loga

t?12

12

logat?loga

t?12

（t?1時取等號）；當0?a?1時，

（t?1時取等號））；

1a?2

（2）設a?2，p?a?，q?2?a

2

?4a?2

，試比較p,q的大小

（答：p?q）；

（3）比較1+logx3與2logx2(x?0且x?1)的大小 （答：當0?x?1或x?

2logx2；當x?

43

43

時，1+logx3＞2logx2；當1?x?

43

時，1+logx3＜

時，1+logx3＝2logx2）

三．利用重要不等式求函數最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積

最大，積定和最小”這17字方針。如 （1）下列命題中正確的是 A、y?x?

2

1x

的最小值是2 的最小值是2

4x4x

(x?

0)的最大值是2?(x?

0)的最小值是2? B

、y?

x?3 C、y?2?3x? D、y?2?3x?

（答：C）；

（2）若x?2y?1，則2x?4y的最小值是______

（答：）；

（3）正數x,y滿足x?2y?1，則

1x?1y

的最小值為______

（答：3?）；

4.常用不等式有：（1

??

2

?

?ab

(根據目標不等式左右

的運算結構選用) ；（2）a、b、c?R，a2?b2?c2?ab?bc?ca（當且僅當a?b?c時，取等號）；（3）若a?b?0,m?0，則

b

a

如果正數a、b滿足ab?a?b?3，則ab

?b?ma?m

（糖水的濃度問題）。如

的取值范圍是_________

（答：?9,???）

五．證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：

作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結論。).

常用的放縮技巧有：?

n1

1n?1

?

1n(n?1)

?1n

2

?

1n(n?1)

?

1n?1

?

1n

?

?

?

?如（1）已知a?b?c，求證：a2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2 ； (2) 已知a,b,c?R，求證：a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)； （3）已知a,b,x,y?R?，且(4)若

a?l2

b?

1a?1b,x?y

，求證：

xx?a

?

yy?b

；

a、b、c

?b?2

c?

是不全相等的正數，求證：

lg

lg

ca

l?ga?b?lgc； 2

（5）已知a,b,c?R，求證：a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)； (6)若n?

N*(n?

1)?(7)已知|a|?|b|，求證：（8）求證：1?

12

2

n；

|a|?|b||a?b|

1n

2

?

|a|?|b||a?b|

；

?

13

2

????2

。

六．簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次

因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數為正；（2）將每一個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據曲線顯現f(x)的符號變化規律，寫出不等式的解集。如

（1）解不等式(x?1)(x?2)2?0。

（答：{x|x?1或x??2}）；

（2）

不等式(x??0的解集是____

（答：{x|x?3或x??1}）；

（3）設函數f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)?0的解集為{x|1?x?2}，g(x)?0的解集為?，則不等式f(x)?g(x)?0的解集為______

（答：(??,1)?[2,??)）； （4）要使滿足關于x的不等式2x2?9x?a?0（解集非空）的每一個x的值

至少滿足不等式x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一個，則實數a的取值范圍是______.

（答：[7,

818)

）

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通

分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。如

（1）解不等式

5?xx?2x?3

2

??1

（答：(?1,1)?(2,3)）；

（2）關于x的不等式ax?b?0的解集為(1,??)，則關于x的不等式

ax?bx?2

?0的解集為____________

（答：(??,?1)?(2,??)）.

八．絕對值不等式的解法：

1．分段討論法（最后結果應取各段的并集）：如解不等式|2?（2）利用絕對值的定義；

（3）數形結合；如解不等式|x|?|x?1|?3

（答：(??,?1)?(2,??)）

（4）兩邊平方：如

若不等式|3x?2|?|2x?a|對x?R恒成立，則實數a的取值范圍為______。

（答：{）

34

34

2

（答：x?R）； x|?2?|x?

1|

九．含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數增減性為基礎，分

類討論是關鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是?”。注意：按參數討論，最后應按參數取值分別說明其解集；但若按未知數討論，最后應求并集. 如

（1）若loga

23

?1，則a的取值范圍是__________

23

（答：a?1或0?a?（2）解不等式

ax

2

）；

ax?1

?x(a?R)

1a

a?0時，a?0時，{x|x?（答：{x|x?0}；a?0時，{x|或x?0}；

1a

?x?0}

或x?0}）

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；（2）

不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關于x的不等式ax?b?0 的解集為(??,1)，則不等式

x?2ax?b

?0

的解集為

__________（答：（－1,2））

十一．含絕對值不等式的性質：

a、b同號或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； a、b異號或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.

如設f(x)?x2?x?13，實數a滿足|x?a|?1，求證：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1) 十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規處理方

式？（常應用函數方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特征，利用數形結合法） 1).恒成立問題

若不等式f?x??A在區間D上恒成立,則等價于在區間D上f?x?min?A

若不等式f?x??B在區間D上恒成立,則等價于在區間D上f?x?max?B 如（1）設實數x,y滿足x2?(y?1)2?1，當x?y?c?0時，c的取值范圍是______

1,???）（答：；

（2）不等式x?4

?x?3?a

對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍_____

（答：a?1）； （3）若不等式2x?1?m(x2?1)對滿足m?2的所有m都成立，則x的取值范圍_____

（答：（

（4）若不等式(?1)a?2?

n

7?12

,

3?12

））；

(?1)n

n?1

對于任意正整數n恒成立，則實數a的取

32

值范圍是_____

（答：[?2,)）；

（5）若不等式x2?2mx?2m?1?0對0?x?1的所有實數x都成立，求m的

取值范圍.

（答：m??

12

）

2). 能成立問題

若在區間D上存在實數x使不等式f?x??A成立,則等價于在區間D上

f?x?max?A；

若在區間D上存在實數x使不等式f?x??B成立,則等價于在區間D上的

f

?x?min?

B.如

x?4?x?3?a

已知不等式范圍____

在實數集R上的解集不是空集，求實數a的取值

（答：a?1）

3). 恰成立問題

若不等式f?x??A在區間D上恰成立, 則等價于不等式f?x??A的解集為D；

若不等式f?x??B在區間D上恰成立, 則等價于不等式f?x??B的解集為D.

高一不等式典型例題第 4 篇

一．基本不等式

a2?b2

1.（1）若a,b?R，則a?b?2ab (2)若a,b?R，則ab?（當且僅當a?b時取“=”）

2

a?b**

2. (1)若a,b?R，則” ?ab (2)若a,b?R，則a?b?2ab（當且僅當a?b時取“=）

2

2

2

a?b?

(3)若a,b?R，則ab??” ?? (當且僅當a?b時取“=）

2??

*

2

3.若x?0，則x?

11

”;若x?0，則x???2 (當且僅當x??1時取“=）” ?2 (當且僅當x?1時取“=）

xx

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2 (當且僅當a?b時取“=）” xxx3.若ab?0，則a?b?2 (當且僅當a?b時取“=）” ba若ab?0，則

ababab

” ??2即??2或??-2 (當且僅當a?b時取“=）

bababa

a?b2a2?b2

4.若a,b?R，則(（當且僅當a?b時取“=）” )?

22

注：（1）當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的

積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”． （2）求最值的條件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用． 應用一：求最值 例1：求下列函數的值域

1

1 （2）y＝x＋

（1）y＝3x 2＋

2x 2x

解：（1）y＝3x 2＋

≥2x 2

1

3x 2·

2x 2

1

6 ∴值域為6 ，+∞）

（2）當x＞0時，y＝x＋≥x

1

1

x· ＝2； x

1

x =－2 x

11

當x＜0時， y＝x= －（－ x－ ）≤－2

xx∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）

解題技巧： 技巧一：湊項 例1：已知x?

5

，求函數y?4x?2?1的最大值。 44x?5

1

解：因4x?5?0，所以首先要“調整”符號，又(4x?2)不是常數，所以對4x?2要進行拆、湊項，

4x?5

511???x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?1

44x?55?4x??

當且僅當5?4x?

1

，即x?1時，上式等號成立，故當x?1時，ymax?1。 5?4x

評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。 技巧二：湊系數 例1. 當解析：由

時，求y?x(8?2x)的最大值。 知，

，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子

積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x

(8?2x)湊上一個系數即可。

當

，即x＝2時取等號 當x＝2時，y?x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。 變式：設0?x?

3

，求函數y?4x(3?2x)的最大值。 2

2

32x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???

222??

當且僅當2x?3?2x,即x?

3?3?

??0,?時等號成立。 4?2?

技巧三： 分離

x2?7x?10

(x??1)的值域。 例3. 求y?

x?1

解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（

x＋1）的項，再將其分離。

當,即

時

,y?5?9（當且僅當x＝1時取“＝”號）。 技巧四：換元

解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

(t?1)2(來自: 小龍 文檔 網:高中數學不等式相關)?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5

ttt

當,即t=時

,y?5?9（當t=2即x＝1時取“＝”號）。

評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。

g(x)

a

技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數f(x)?x?的單調性。

x

值。即化為y?mg(x)?例：求函數y?

2的值域。

?t(t?

2)，則y?

2?1

?t?(t?2)

t因t?0,t??1，但t?解得t??1不在區間?2,???，故等號不成立，考慮單調性。 因為y?t?在區間?1,???單調遞增，所以在其子區間?2,???為單調遞增函數，故y?所以，所求函數的值域為?,???。

練習．求下列函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值.

1

t1t

1t5。 2

?5?2??

11x2?3x?1

,x?(0,?) ,x?3 (3)y?2sinx?,(x?0) （2）y?2x?（1）y?

sinxxx?3

2．已知0?x?

1，求函數y?條件求最值

1.若實數滿足a?b?2，則3?3的最小值是 .

分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3?3定值，因此考慮利用均值定理求最小值，

abab

解： 3和3都是正數，3?3≥23?3?23

a

b

a

b

a

b

a?b

的最大值.；3．0?x?

2，求函數y?.

3

ab

ab

?6

a

b

當3?3時等號成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即當a?b?1時，3?3的最小值是6．

11

變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。 2：已知x?0,y?0，且

19

??1，求x?y的最小值。 xy

19?19???1，?x?y?????

x?y???12 故 ?x?y?min?12 。

xyxy??

錯解：?x?0,y?0，且．．

錯因：解法中兩次連用基本不等式，在x?y?等號成立條件是x?

y，在1?9?x

y

條件是

19

?即y?9x,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，列出xy

等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。

?19?y9x19

正解：?x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

19y9x

?當且僅當時，上式等號成立，又??1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16 。

xyxy

變式： （1）若x,y?R且2x?

?

y?1，求1?1的最小值

x

y

?

(2)已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?

xy

y的最小值

技巧七、已知x，y為正實數，且x 2＋

y 2

2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.

分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab≤

1

221＋y 中y前面的系數為 ， x

212

a 2＋b 2

2

。

1＋y 22· 2

12

同時還應化簡1＋y 2 ＝x 2 x·＋

y 2

2

下面將x ＋

y 2

2

分別看成兩個因式：

1y 2

＋ )2222

＝

y 21

x 2＋

22

2

x·

1

＋ ≤22

y 2

x 2＋(

＝即x

4

3

1＋y 2 ＝2 ·x

12

＋

y 2

2

≤

34

2

1

技巧八：已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函數y＝

ab

的最小值.

分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a＝ ，ab＝ ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋ ）＋34∵t≥2

16

t· ＝8

tttt

∴ ab≤18 ∴ y≥

當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。 18

2 ab∴ 30－ab≥2

2 ab

1

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥令u＝ab則u2＋22 u－30≤0， －2 ≤u≤2

181

ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥

點評：①本題考查不等式

a?b

（a,b?R?）的應用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等?ab

2

?

（a,b?R）式ab?a?2b?30出發求得ab的范圍，關鍵是尋找到a?b與ab之間的關系，由此想到不等

式

a?b

（a,b?R?），這樣將已知條件轉換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍. ?ab

2

變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。 技巧九、取平方

5、已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函數W3x 2y 的最值.

解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，

a＋b

2

≤

a 2＋b 2

2

，本題很簡單