這是分式的混合運算學(xué)案，是優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教案文章，供老師家長們參考學(xué)習(xí)。

分式的混合運算學(xué)案第 1 篇

知識總結(jié)歸納：

1. 分式的乘除法法則

ab?cd?acbd

；

ab

?

cd

?

ab

?

dc

?

adbc

當(dāng)分子、分母是多項式時，先進行因式分解再約分。

2. 分式的加減法

（1）通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，且取各分式分母的最簡公分母。 求最簡公分母是通分的關(guān)鍵，它的法則是：

①取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

②凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要??； ③相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數(shù)最高的。 （2）同分母的分式加減法法則：

ac?bc?a?bc

。

（3）異分母的分式加減法法則是先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減。 3. 分式乘方的法則：()?n（n為正整數(shù)）

bb

4. 分式的運算是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在分式方程，求代數(shù)式的值，函數(shù)等方面有重要應(yīng)用。學(xué)習(xí)時應(yīng)注意以下幾個問題：

（1）注意運算順序及解題步驟，把好符號關(guān)；

（2）整式與分式的運算，根據(jù)題目特點，可將整式化為分母為“1”的'分式； （3）運算中及時約分、化簡； （4）注意運算律的正確使用； （5）結(jié)果應(yīng)為最簡分式或整式。 下面我們一起來學(xué)習(xí)分式的四則運算 例1：計算

x?x?2x?x?6

22

a

n

a

n

?

x?x?6x?x?2

2

2

的結(jié)果是（ ）

A.

x?1x?3

B.

x?1x?9

C.

x?1x?9

2

2

D.

x?1x?3

2

2

分析：

(x?2)x(?1)x(?

?(x?3)x(?2)x(?

2x)?(3x)?(

1)x?(2)x?(x1?)(

x3?)(

22

x1)?

x3)?

19

故選C 說明：先將分子、分母分解因式，再約分。

*例2：已知abc?1，求

aab?a?1

?

bbc?b?1

?

cac?c?1

的值。

分析：若先通分，計算就復(fù)雜了，我們可以用abc替換待求式中的“1”，將三個分式化成同分母，運算就簡單了。 解：原式? ?

aab?a?1

aab?a?1

??

ababc?ab?a

ab1?ab?a

nm???

abcabc?abc?ababca?1?abmm?n

?

?1 )的值。

a?ab?1ab?a?1nm?

m

例3：已知：2m?5n?0，求(1?)?(1?

m?n

分析：本題先化簡，然后代入求值?；啎r在每個括號內(nèi)通分，除號改乘號，除式的分子、分母顛倒過來，再約分、整理。最后將條件等式變形，用一個字母的代數(shù)式來表示另一個字母，帶入化簡后的式子求值。這是解決條件求值問題的一般方法。 解：(1?

?

nm?

mm?n

)?(1?

nm?

mm?n

)

m(m?n)?n(m?n)?m

m(m?n)?nm(m?n)

?

m(m?n)?n

?

?

m(m?n)?n(m?n)?m

m(m?n)

?

m?nm?n

5

故原式?2

5

aba?b

13

bcb?c

n?n

?

72

n?

32

n?

73

* 例4：已知a、b、c為實數(shù)，且

的值是多少？

?，?

2

1

4

n?n

，

cac?a

?

15

，那么

abcab?bc?ca

分析：已知條件是一個復(fù)雜的三元二次方程組，不容易求解，可取倒數(shù)，進行簡化。 解：由已知條件得： 所以2( 又因為

1a?1b?1c

1a?1b?3，

1b?1a1c??4，1b?1c1c?1a?5

)?12 即

?1c?1b?1a

?6

abcab?bc?ca

?16

ab?bc?ca

abc

?6 所以

例5：化簡：(

x?1x?2

3

3

?

x?1x?2

2

)?

x?4x?1

2

2

(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)(x?2)(x?2)

解一：原式? ?

(x?2)(x?2)x?1

???

x?3x?2x?4

x?1

24

3

2

?

(x?x)?3(x?1)?(x?1)

x?1

2

4232

x(x?1)(x?1)?3(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)

x?1

(x?1)(x?x?3x?3x?3?x?1)

x?1

3

23

2

2

?x?2x?4x?4

(x?1)(x?x?1)(x?2)(x?2)(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)

解二：原式? ???

x?2x?1x?2x?1

?(x?x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)

2

2

?x?x?x?2x?2x?2?x?3x?2

?x?2x?4x?4

3

2

3222

說明：解法一是一般方法，但遇到的問題是通分后分式加法的結(jié)果中分子是一個四次

多項式，而它的分解需要拆、添項，比較麻煩；解法二則運用了乘法分配律，避免了上述問題。因此，解題時注意審題，仔細觀察善于抓住題目的特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?例1（2000·北京朝陽）計算：1?

n?mm?2n

?

m?n

2

2

2

2

m?4mn?4n

解：

m?2nm?n

m?n?m?2n

m?n

3nm?n

?1???

說明：分式運算時，若分子或分母是多項式，應(yīng)先因式分解。 例2（2001·內(nèi)蒙呼和浩特） 已知：

Mx?y

2

2

?

2xy?yx?y

2

2

2

?

x?yx?y

，則M?_________。

?

2xy?y?x?2xy?y

x?y

2

2

222

?

x

2

2

2

x?y

?

Mx?y

2

2

?M?x2

說明：分式加減運算后，等式左右兩邊的分母相同，則其分子也必然相同，即可求出M。 例1：計算：[

1(a?b)

2

?

1(a?b)

2

]?(

1a?b

?

1a?b

)

解一：原式?

(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)

?4ab(a?b)(a?b)1a?b

?

1a?b

2

2

22

22

?

a?b?a?b(a?b)(a?b)

?

??

(a?b)(a?b)

?2b1

?

1a?b

2a(a?b)(a?b)1a?b

?

1a?b

)

?

2aa?b

2

2

解二：原式?( ?

)(

a?b

)?(

1a?b

?

1a?b

?

a?b?a?b(a?b)(a?b)

?

2aa?b

2

2

說明：在分式的運算過程中，乘法公式和因式分解的使用會簡化解題過程。此題兩種方法的繁簡程度一目了然。 例2：若a?b?3ab，則(1?

12

2

2

2b

3

3

a?b

)?(1?3

2ba?b

)的值等于（ ）

A. B. 0

3

3

C. 1

3

D.

23

解：原式?

a?b?2ba?b

a?b

23

3

33

?

ahttp://https://www.unjs.com/news/55BB64658DC3371E.html?b?2ba?b

2

2

(a?b)(a?ab?b)a?b

?3???322

a?ba?b(a?b)(a?ab?b)a?b?

a?ab?ba?ab?b

2

22

a?b

故選A

?

3ab?ab3ab?ab

?

2ab4ab

?

12

[基本練習(xí)]

1. 已知：a?b?2，ab??5，則 A. ?

25

ab1951

?

ba

的值等于（ ） D. ?

245

B. ?

145

C. ?

2. 已知x2?16x?1?0，求x3? 3. 計算：

1x

2

x

3

的值。

?

1x

2

?3x?2

11112222

?

1x?5x?6

2

?7x?12

?

1x

2

?9x?20

* 4. 若A?

99999999

?1?1

，B?

99999999

22223333

?1?1

，試比較A與B的大小。

1a

1b

1c

*5. 已知：a?b?c?0，abc?8，求證：

???0。

【答案】

1.

?a?b?2，ab??5?

?a?b

22

?(a?b)?2ab?14?

2

ab

?

ba

?

14?5

??

14 故選B 5

2.

1x

3

x?1x

36

1?x?

3

??

(x?1)(x?x?1)

x

3

242

?

16x(x?x?x?16x)

x

3

422

?16[3?

16(x?1)

x

2

]?16[3?

16?16x

x

]?16?259?4144

說明：此題反復(fù)運用了已知條件的變形，最終達到化簡求值的目的。 3. 解：原式?

1(x?1)(x?2)

1x?11x?1

1x?21x?5

?

1(x?2)(x?3)

1x?2

2

?

1(x?3)(x?4)

1

1x?4

?

1(x?4)(x?5)

1

1x?5

???

??

?4

1x?3

?

?

x?3

??

x?4

?

x?6x?5

說明：本題逆用了分式加減法則對分式進行拆分，簡化計算。 4. 解：設(shè)a?9999

1111

，則A?

2

a?1a?1

42

，B?

a?1a?1

43

2

?A?B?

a?1a?1

2

?

a?1a?1

23

?

a?a?a?1?a?2a?1

(a?1)(a?1)

2

3

32

?

a(a?1)

2

3

(a?1)(a?1)

?0 ?A?B

5. 證明：?a?b?c?0

?(a?b?c)2?0，即a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac?0

又?

a?b?c?

abc

??

16(a

2

?b?c) ?abc?8

22

?a、b、c均不為零

?a?b?c?0

2

2

2

?

1a

?

1b

?

1c

?0

分式的混合運算學(xué)案第 2 篇

乘除：

一、選擇題

1. 下列運算正確的是（ ） a +x a x 6x +y -x +y 3= =0 C.=-1 D.A. 2=x B.b +x b x +y x -y x

2. 下列分式運算，結(jié)果正確的是（ ） 3?3x ?3x 3a c ad m 4n 4m 4a 2?2a ?A. 5?3=; B.?= C . ; D. ?=2 4y ??=4y 3 2b d bc n n m a -b a -b ????

3. 已知a-b ≠0, 且2a-3b=0，則代數(shù)式

A.-12 B.0 C.4 D.4或-12 22a -b 的值是（ ） a -b

x 2x 2-3xy +2y 2

4. 已知=，則的值是（ ） 22y 72x -3xy +7y

A. 284207 B. C. D. [1**********]3

5. 化簡x ÷x 1?等于（ ） y x

y x D. x y A.1 B.xy C.

6. 如果y=x , 那么用y 的代數(shù)式表示x 為（ ） x -1

A. x =-y y y y B. x =- C. x = D. x = y +1y -1y +1y -1

x x 27. 若將分式2化簡得，則x 應(yīng)滿足的條件是（ ） x +1x +x

A. x>0 B. x

二、解答題 2b -4a 2x 2+x 2x +2y 10ab 2

⋅÷x ； 8. ； 9.化簡； 10.化簡2⋅2222a 4bc x +2x +15a b x -y

m 2+4m +4m 2+2m 11. 若m 等于它的倒數(shù)，求分式m 2-4÷m -2的值；

12. 若分式x +1x +

x +2÷3

x +4有意義，求x 的取值范圍；

54

13. 計算-? m ?

?n ??⋅? ?-n 2?

m ??÷(-m n 4)；

?

14. 計算4a 2b 2-8ab 2

2x -y

15m 3÷35m 2; 15.計算（xy-x ）÷xy .

加減：

1. 已知x ≠0, 則1

x +1

2x +1

3x 等于（ ） A. 12x B.1511

6x C.6x D.6x

2. 化簡2y -3z 2z -3x 9x

2yz +3zx +-4y

6xy 可得到（ ）

A. 零 B.零次多項式 C.一次多項式 D.不為零的分式

, , 3ax -3bx 5x

53A.5abx B.15abx C.15abx D.15abx

4. 在分式①2ab 3a +23x -2ab ; ；③④中分母相同的分式是（ ）; ②2a -b a -b 2(a +b )(a -b ) x -y

A. ①③④ B.②③ C.②④ D.①③

5. 下列算式中正確的是（ ） A. b c b +c b c b +d b c b +d b c bc +ad +=; B.+=; C.+=; D.+= a a 2a a d ac a d a +c a d ac

6.x 克鹽溶解在a 克水中，取這種鹽水m 克，其中含鹽（ ） mx am am mx 克 B.克 C.克 D.克 a x +a x +a x

a +2b b 2a +-= ; 7. a -b b -a a -b

-a +ab -b =-1+ ; 8. a +b

119. 若ab=2,a+b=-1,則+ 的值為a b

235-= ; 10. 計算2+4b 6ab 3a A.

11. 化簡分式 x -y +?

?4xy ??4xy ?? ?的結(jié)果是 ; ⋅x +y -? ?x -y ??x =y ?

12. 計算：

122x 2+9x x 2-9-+2（1）2; （2）2; m -3m -9x +3x x +6x +9

a ?a 2-2a 1?12??2??13. 化簡 a -; 14.化簡求值：⋅ -2?÷ 1-?, 其中x=-3.5. ?÷2a +1?a -4a +2?x x ??x ??

÷2-2x -1x +2x +1x -1

分式的混合運算學(xué)案第 3 篇

分式的加減乘除混合運算：

分式的混合運算應(yīng)先乘方，再乘除，最后算加減，有括號的先算括號內(nèi)的。也可以把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再運用乘法運算。

分式的化簡：借助分式的基本性質(zhì)，應(yīng)用換元法、整體代入法等，通過約分和通分來達到簡化分式的目的。

◎ 分式的加減乘除混合運算及分式的化簡的知識擴展

1、分式的加減乘除混合運算：

分式的混合運算應(yīng)先乘方，再乘除，最后算加減，有括號的先算括號內(nèi)的。也可以把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再運用乘法運算。

2、分式的化簡：借助分式的基本性質(zhì)，應(yīng)用換元法、整體代入法等，通過約分和通分來達到簡化分式的目的。

◎ 分式的加減乘除混合運算及分式的化簡的特性

分式的混合運算：

在解答分式的乘除法混合運算時，注意兩點，就可以了：

注意運算的順序：按照從左到右的順序依次計算；

注意分式乘除法法則的靈活應(yīng)用。

◎ 分式的加減乘除混合運算及分式的化簡的教學(xué)目標(biāo)

1、.熟悉分式混合運算的運算順序，熟練地進行分式的混合運算。

2、通過分式混合運算的學(xué)習(xí)，進一步提高學(xué)生的分析能力、運算能力和綜合運用知識的能力。

3、通過在學(xué)習(xí)中循序漸進、由易到難逐步提高過程，增強學(xué)生建立堅韌不拔，知難而進，戰(zhàn)勝困難的自信心。

分式的混合運算學(xué)案第 4 篇

例1、已知a^2-4a+4與丨b-3丨互為相反數(shù)，求式子（a/b-b/a）÷（a+b）的值。

分析：互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為0，很明顯式子a^2-4a+4=（a-2）2是完全平方數(shù)，由非負性可解得a，b的值；而所求的式子可通過分式運算進行化簡后代入a，b的值即可求出。

解：由題意得

a^2-4a+4+丨b-3丨=0，即（a-2）^2+|b-3|=0，

解得a=2，b=3。

原式=（a/b-b/a）÷（a+b）

=（a^2-b^2）/ab÷（a+b）

=（a-b）/ab

=（2-3）/2×3

=-1/6。

例2、已知√（a-1）+（ab-2）^2=0，求代數(shù)式1/ab+1/（a+1）（b+1）+…+1/（a+2019）（b+2019）的值。

分析：由非負性可求得a=1，b=2，代入所求的式子有1/1×2十1/2×3十…十1/2020×2021，利用裂項公式即可求出。

解：由非負性可得a=1，b=2。

原式=1/1×2十1/2×3十…十1/2020×2021

=1-1/2十1/2一1/3十…十1/2020一1/2021

=1一1/2021

=2020/2021

例3、要使分式（a+3）/（a-3）÷（a+2）/（a-4）有意義，求a應(yīng)滿足的條件。

分析：要使分式有意義，則分式的分母不能為0，即構(gòu)成該分式的每一小組成部分的分式的分母均不能等于0。

所以a-3≠0，a-4≠0，（a+2）/（a-4）≠0，

當(dāng)a≠3且a≠4且a≠-2時，該分式有意義。

例4、已知a+b+c=0，求式子a（1/b+1/c）+b（1/a+1/c）+c（1/a+1/b）的值。

解：原式=a/b十a(chǎn)/c十b/a十b/c十c/a十c/b

=（a/b十c/b）+（a/c十b/c）+（b/a十c/a）

=（a+c）/b十（a+b）/c十（b十c）/a；

∵a+b+c=0，

∴原式=-b/b十（-c/c）十（-a/a）

=-1-1-1

=-3。

例5、已知（b+c-a）/（a+b+c）=（c+a-b）/（b+c-a）=（a+b-c）/（c+a-b）=m，求：

m+m^2+m^3的值。

解：m^2=（b+c-a）/（a+b+c）×（c+a-b）/（b+c-a）=（c+a-b）/（a+b+c）；

m^3=m^2×（a+b-c）/（c+a-b）

=（c+a-b）/（a+b+c）×（a+b-c）/（c+a-b）

=（a+b-c）/（a+b+c）；

∴m+m^2+m^3

=（b+c-a）/（a+b+c）十（c+a-b）/（a+b+c）十（a+b-c）/（a+b+c）

=（b+c-a+c+a-b+a+b-c）/（a+b+c）

=（a+b+c）/（a+b+c）

=1。

例6、已知abc=1，求關(guān)于X的方程：

X/（1+a+ab）+X/（1+b+bc）+X/（1+c+ca）=2020的解。

解：∵abc=1，

∴1/（1+a+ab）

=1/（abc+a+ab）

=1/a（1+b+bc）

=bc/（1+b+bc）；

1/（1+c+ca）

=1/（abc+c+ca）

=1/c（1+a+ab）

=1/ac（1+b+bc）

=b/（1+b+bc）；

∴1/（1+a+ab）+1/（1+b+bc）+1/（1+c+ca）

=bc/（1+b+bc）十1/（1+b+bc）十b/（1+b+bc）

=（bc+1+b）/（1+b+bc）

=1。

∴原方程的解X=2020。

例7、已知a+1/b=b+1/c=c+1/a，a≠b≠c，

求：a^2b^2c^2的值。

解：∵a+1/b=b+1/c，

∴a-b=1/c-1/b=（b-c）/bc，

∴bc=（b-c）/（a-b）；

同理可得：

ac=（c-a）/（b-c），ab=（a-b）/（c-a）；

∴a^2b^2c^2

=bcacab

=（b-c）/（a-b）×（c-a）/（b-c）×（a-b）/（c-a）=1。

例8、已知3a-4b-c=0，2a+b-8c=0，求代數(shù)式：（a^2+b^2+c^2）/（ab+bc+2ac）的值。

分析：已知條件三個未知數(shù)兩個方程，所以我們無法直接求出a，b，c的值，但我們可以用其中的一個字母來表示其余的兩個字母。

3a-4b-c=0①，2a+b-8c=0②，

②×4+①得11a-33c=0，所以a=3c，b=2c。

原=（9c^2+4c^2+c^2）/（6c^2+2c^2+6c^2）

=1。

[拓展訓(xùn)練題]

1、已知分式（X-a）÷（1/X一a）有意義，那么X應(yīng)滿足什么樣的條件？

2、已知實數(shù)a，b滿足丨2a-b+1丨+√（3a-2b+4）=0，求代數(shù)式1-（a-b）/（a-2b）÷（a^2-b^2）/（a^2-4ab+4b^2）的值。

3、已知1/a一1/b=1，求代數(shù)式：

（a+ab-b）/（a-2ab-b）的值。

4、化簡求值：已知a^2-1=0，求下面代數(shù)式：

（a-1）/a÷[a-（2a-1）/a]的值。

5、已知abc≠0，且a+b+c=0，求代數(shù)式：

a^2/bc十b^2/ac十c^2/ab的值。

6、若a+3b=0，求代數(shù)式：

[1-b/（a+2b）]÷（a^2+2ab+b^2）/（a^2-4b^2）的值。

7、已知a≠b≠c，且a，b，c滿足：

（a+b）/（a-b）=（b+c）/2（b-c）=（c+a）/3（c-a），求代數(shù)式8a+9b+5c的值。

8、已知abcd=1，求代數(shù)式：

1/（1+a+ab+abc）十1/（1+b+bc+bcd）十1/（1+c+cd+cda）十1/（1+d+da+dab）的值。

[參考答案]

1、X≠0且X≠1/a；

2、15/7；

3、0；

4、-1/2；

5、3；

6、5/8；

7、0；

8、1。