這是應用基本不等式的條件，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

應用基本不等式的條件第 1 篇

　　知識與技能：

　　理解并掌握不等式的三個性質，能運用性質，用不等號連接某些代數式，進行不等式的變形。

　　過程與方法：

　　經歷自主學習，小組交流合作學習，以及課堂上的成果匯報，培養學生自主分析問題，解決問題的能力，養成與他人交流，共同學習，共同進步的學習方法。

　　情感態度與價值觀：在自主分析，交流合作，成果匯報的活動中，感受學習的樂趣，體會與人合作的快樂。

　　教學難點 ：

　　正確運用不等式的性質。

　　教學重點：

　　理解并掌握不等式的性質3。

　　教學過程：

　　一、創設情境 引入新課

　　利用一臺平衡的天平提出問題，引入新課

　　1、給不平衡的天平兩邊同時加入相同質量的砝碼，天平會有什么變化？

　　2、不平衡的天平兩邊同時拿掉相同質量的砝碼，天平會有什么變化？

　　3、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質量同時擴大相同的倍數，天平會平衡嗎？縮小相同的倍數呢？ 通過天平演示，結合自己的觀察和思考，讓學生感受生活中的不等關系。

　　二、合作交流 探究新知

　　1、問題情景：數學老師比 語文老師年齡小。

　　1、10年后誰的年齡大？

　　2、20年之后呢？

　　3、5年之前呢？

　　假設數學，語文兩位老師的年齡分別為a，b ，則a < b

　　a+10 < b+10

　　a+20 < b+20

　　a—5 < b—5

　　2、探索與發現

　　一組： 已知5>3，則5+2 3+2

　　5—2 3—2

　　二組：已知—1<3則— 1+23+2

　　—1—33—3

　　想一想不等號的方向改變嗎？

　　3、歸納：不等式的性質1：

　　不等式兩邊都加（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變

　　如果a＜b，那么a+c

　　如果a＞b，那么a+c >b+c， a—c >b—c。

　　不等號方向不改變！

　　4、大膽猜想

　　不等式兩邊都加（或減去）同一個數，不等號方向不改變

　　不等式兩邊都加（或減去）同一個數，不等號方向不改變

　　不等式兩邊都乘（或除以）同一個數（不為零），

　　不等號的方向呢？

　　5、探索與發現

　　已知4<6，則

　　一組：4×2 < 6×2； 二組： 4×（—2） > 6×（—2）；

　　4÷2<6÷2；4÷（—2）>6÷（—2）。

　　思考不等號方向改變嗎？

　　不等式兩邊都乘（或除以）一個不為零的數，不等號方向改不改變和什么有關？

　　6、不等式的性質2：

　　不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

　　如果a>b， 且c>0，那么ac>bc，

　　如果a0，那么ac < bc，

　　7、不等式的性質3：

　　不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

　　如果a>b， 且c<0，那么ac

　　如果a

　　三、鞏固提高 拓展延伸

　　例1：判斷下列各題的推導是否正確？為什么（學生口答）

　　（1）因為7。5＞5。7，所以—7。5＜—5。7；

　　（2）因為a+8＞4，所以a＞—4；

　　（3）因為4a＞4b，所以a＞b；

　　（4）因為—1＞—2，所以—a—1＞—a—2；

　　（5）因為3＞2，所以3a＞2a．

　　（1）正確，根據不等式基本性質3．

　　（2）正確，根據不等式基本性質1．

　　（3）正確，根據不等式基本性質2．

　　（4）正確，根據不等式基本性質1．

　　（5）不對，應分情況逐一討論．

　　當a＞0時，3a＞2a．（不等式基本性質2）

　　當 a=0時，3a=2a．

　　當a＜0時，3a＜2a．（不等式基本性質3）

　　考考你！ 0>4，哪里錯了？

　　已知m>n，兩邊都乘以4，得4m>4n，

　　兩邊都減去4m，得0>4n—4m，

　　即0>4（n—m），

　　兩邊同時除以（n—m），得0>4。

　　等式與不等式的性質

　　1。不等式的三個性質。

　　2。等式與不等式的性質對比。

　　先前后比較，再定不等號

　　四、總結歸納

　　1、等式性質與不等式性質的不同之處；

　　2、在運用“不等式性質3"時應注意的問題． 學生通過總結，可以幫助自己從整體上把握本節課所學知識培養良好的學習習慣，也為下節課學好解不等式打下基礎。

　　五、布置作業

　　1、必做題：教科書第134頁習題9。1第4、5題

　　2、選做題：教科書第134頁習題9。 1第7題．

應用基本不等式的條件第 2 篇

　　教學目標:

　　通過對具體實例的學習，使學生能夠了解生活中的不等量關系，理解不等式的概念，知道什么是不等式的解，為以后學習不等式的解法奠定基礎.

　　知識與能力:

　　1.通過對具體事例的分析和探索，得到生活中不等量的關系.

　　2.通過理解得到不等式的概念，從而使學生經歷實際問題中數量的分析、抽象過程，體會現實中有各種各樣錯綜復雜的數量關系.

　　3.了解不等式的意義，知道不等式是用來刻畫生活中的數量關系的.

　　4.知道什么是不等式的解.

　　過程與方法:

　　1.引導學生分析具體事例，從對具體事例的分析中得到不等量關系.

　　2.引導并幫助學生列出不等式，分析不等式的成立條件.

　　3.通過分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.

　　4.通過習題鞏固和加深對概念的理解.

　　情感、態度與價值觀:

　　1.通過學生的分析和抽象過程使他們體會現實中錯綜復雜的數量關系，從而培養其抽象思維能力.

　　2.通過分組討論學習，體會在解決具體問題的過程中與他人合作的重要性，培養學生的團體協作精神，使學生獲得合作交流的學習方式.

　　3.通過聯系與發展、對立與統一的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育.

　　4.通過創設問題串，讓學生仔細觀察、對比、歸納、整理，嘗試對有理數進行分類，體驗教學活動充滿著探索性和創造性.

　　教學重、難點及教學突破

　　重點:不等式的概念和不等式的解的概念.

　　難點:對文字表述的數量關系能列出不等式.

　　教學突破:由于學生在以前已經對數量的大小關系和含數字的不等式有所了解，但還沒有接觸過含未知數的不等式，在學生分析問題的時候注意引入現實中大量存在的數量間的不等關系，研究它們的變化規律，使學生知道用不等式解決實際問題的方便之處.在本節的教學中能夠在組織學生討論的過程中適當地滲透變量的知識，讓學生感受其中的函數思想，并引導學生發現不等式的解與方程的解之間的區別.在處理本節難點時指導學生練習有理數和代數式的知識，準確“譯出”不等式.

　　教學過程：

　　一.研究問題：

　　世紀公園的票價是:每人5元,一次購票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊員去世公園進行活動.當領隊王小華準備好了零錢到售票處買了27張票時,愛動腦的李敏同紀學喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學不明白.明明只有27個人,買30張票,豈不浪費嗎?

　　那么,究竟李敏的提議對不對呢?是不是真的浪費呢

　　二.新課探究：

　　分析上面的問題:設有x人要進世紀公園,①若x≥30，應該如何買票?②若x<30,則又該如何買票呢?

　　結論：至少要有多少人進公園時，買30張票才合算?

　　概括：1、不等式的定義：表示不等關系的式子,叫做不等式.不等式用符號>,<,≥,≤.

　　2、不等式的解：能使不等式成立的未知數的值,叫做不等式的解.

　　3、不等式的分類：⑴恒不等式：-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1.

　　⑵條件不等式：x+3>6,a+2>3,y-3>-5.

　　三.基礎訓練.

　　例1、用不等式表示：⑴a是正數;⑵b不是負數;⑶c是非負數;⑷x的平方是非負數;⑸x的一半小于-1;⑹y與4的和不小于3.

　　注：⑴不等式表示代數式之間的不相等關系，與方程表示相等關系相對應;

　　⑵研究不等關系列不等式的重點是抓關鍵詞，弄清不等關系.

　　例2、用不等式表示：⑴a與1的`和是正數;⑵x的2倍與y的3倍的差是非負數;⑶x的2倍與1的和大于—1;⑷a的一半與4的差的絕對值不小于a.

　　例3、當x=2時，不等式x-1<2成立嗎?當x=3呢?當x=4呢?

　　注：⑴檢驗字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右兩邊，如果符合不等號所表示的關系，就成立，否則就不成立.⑵代入法是檢驗不等式的解的重要方法.

　　學生練習：課本P42練習1、2、3.

　　四.能力拓展

　　學校組織學生觀看電影，某電影院票價每張12元，50人以上(含50人)的團體票可享受8折優惠，現有45名學生一起到電影院看電影，為享受8折優惠，必須按50人購團體票.

　　⑴請問他們購買團體票是否比不打折而按45人購票便宜;

　　⑵若學生到該電影院人數不足50人，應至少有多少人買團體票比不打折而按實際人數購票便宜.

　　解：⑴按實際45人購票需付錢_________ 元，如果按50人購買團體票則需付錢50×12×80%=480元，所以購買團體票便宜.

　　⑵設有x人到電影院觀看電影，當x_____時，按實際人數買票______張，需付款_______元，而按團體票購票需付款________元，如果買團體票合算，那么應有不等式________________，

　　由①得，當x=45時，上式成立，讓我們再取一些數據試一試，將結果填入下表：

　　x12x比較480與12x的大小48<12x成立嗎?

　　30

　　40

　　41

　　42

　　由上表可見，至少要__________人時進電影院，購團體票才合算.

　　五.小結:

　　⑴不等式的定義，不等式的解.

　　⑵對實際問題中探索得到的不等式的解，不僅要滿足數學式子，而且要注意實際意義.

　　六.作業:課本P42習題8.1第1、2、3題.

　　補充題：

　　1.用不等式表示：

　　(1)與1的和是正數;(2)的與的的差是非負數;

　　(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差的絕對值不小于.

　　(5)的2倍減去1不小于與3的和;(6)與的平方和是非負數;

　　(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)減去5的差的絕對值不大于

　　2.小李和小張決定把省下的零用錢存起來.這個月小李存了168元，小張存了85元.下個月開始小李每月存16元，小張每月存25元.問幾個月后小張的存款數能超過小李?(試根據題意列出不等式，并參照教科書中問題1的探索，找出所列不等式的解)

　　3.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農用車12輛和6輛，現需要調往A縣10輛，調往B縣8輛，已知從甲倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元，從乙倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元，(1)設從乙倉庫調往A縣農用車輛，用含的代數式表示總運費W元;(2)請你用嘗試的方法，探求總運費不超過900元，共有幾種調運方案?你能否求出總運費最低的調運方案.

應用基本不等式的條件第 3 篇

【教學目標】 1．知識與技能：進一步掌握基本不等式 ；會應用此不等式求某些函數的最值；能夠解決一些簡單的實際問題 2．過程與方法：通過兩個例題的研究，進一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數的最大、最小值。 3．情態與價值：引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德。 【教學重點】 基本不等式 的應用 【教學難點】 利用基本不等式 求最大值、最小值。 【教學過程】 1.課題導入 1．重要不等式： 如果 2．基本不等式：如果a,b是正數，那么 3.我們稱 的算術平均數，稱 的.幾何平均數. 成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數，而后者要求a,b都是正數。 2.講授新課 例1 (1)已知m>0,求證 。 [思維切入]因為m>0,所以可把 和 分別看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。 [證明]因為 m>0,，由基本不等式得 當且僅當 =，即m=2時，取等號。 規律技巧總結 注意：m>0這一前提條件和 =144為定值的前提條件。 (2) 求證: . [思維切入] 由于不等式左邊含有字母a,右邊無字母,直接使用基本不等式,無法約掉字母a,而左邊 .這樣變形后,在用基本不等式即可得證. [證明] 當且僅當 =a-3即a=5時,等號成立. 規律技巧總結 通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式. 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，即建立函數關系式，然后求函數的最值，其中用到了均值不等式定理。 解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據題意，得 當 因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元 評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數學語言的應用即函數解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件。 歸納：用均值不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行： (1)先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數； (2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題； (3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值； (4)正確寫出答案. 3.隨堂練習 1.已知x≠0，當x取什么值時，x2＋ 的值最小?最小值是多少? 2．課本第101頁的練習4,習題3. 4.課時小結 本節課我們用兩個正數的算術平均數與幾何平均數的關系順利解決了函數的一些最值問題。在用均值不等式求函數的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應注意考查下列三個條件：(1)函數的解析式中，各項均為正數；(2)函數的解析式中，含變數的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函數的解析式中，含變數的各項均相等，取得最值 即用均值不等式求某些函數的最值時，應具備三個條件：一正二定三相等。 5.作業設計 課本第101頁習題[A]組的第2、4題

應用基本不等式的條件第 4 篇

　　一、內容和內容解析

　　1.內容

　　梳理等式性質及其蘊含的思想方法；不等式的基本性質及其研究方法；不等式的其他性質.

　　2.內容解析

　　等式性質可分為相等關系自身特性和運算中的不變性兩類.從自身特性看，包括“對稱性”和“傳遞性”.“對稱性”即兩個相等的實數放在等號兩邊的兩種不同的表現形式；“傳遞性”是實數相等的內在關系，兩者均是實數序的特征.從運算角度看，有基本層面的“加法”“乘法”運算中的不變性，即等式兩邊同加或同乘同一個實數，等式保持不變；也有其派生出來的在“乘方”“開方”等運算中的不變性.

　　不等式與等式的性質蘊含了同樣的數學思想方法，也包含不等關系自身的特性和運算中的不變性兩類.不等關系自身的特性有“自反性”和“傳遞性”兩種.“自反性”是不相等的兩個實數大小關系的兩種不同表達形式，是實數序特性的體現.“傳遞性”是三個不相等的實數之間大小關系的內在聯系，也是實數序特性的體現. 運算中的不變性、規律性是指對不等號兩邊的實數同時進行“加法”“乘法”等運算，得出新的不等關系.由于“正數乘正數大于0”“負數乘正數小于0”，所以不等式對于乘法運算失去了“保號性”，這也是不等式性質與等式的性質的差異.實際上，在代數問題中，運算中的不變性、規律性就是性質，它是發現代數性質的“引路人”，在代數領域中具有基礎地位.

　　利用不等式的基本性質可推導出不等式的一些其他性質，即以基本性質為理論依據，以運算中的不變性和規律性為研究方向，通過“猜想—證明—修正—再證明—得出性質”的方法探究出其他的性質.

　　結合以上分析，確定本節課的教學重點：兩個實數大小關系的基本事實及其簡單應用；梳理出等式基本性質中蘊含的思想方法；在等式基本性質蘊含的數學思想方法引導下，類比等式基本性質，探究不等式的基本性質.

　　二、目標和目標解析

　　1.目標

　　（1）梳理等式基本性質中蘊含的數學思想方法，即實數序關系的特性和運算中的不變性.

　　（2）運用等式基本性質中蘊含的思想方法，類比等式的基本性質研究不等式的基本性質，掌握不等式的基本性質；體會“運算中的不變性”在研究不等式的基本性質中的“引路人”的作用，發展學生邏輯推理素養.

　　（3）運用不等式的基本性質發現并證明一些常用的不等式性質；運用不等式的性質證明一些簡單的命題，發展學生邏輯推理素養.

　　2.目標解析

　　達成上述目標的標志是：

　　（1）學生能夠梳理出等式的基本性質，并探究總結出等式的基本性質包含兩個方面，其一是實數序關系的特性，即等式自身的特性，包括“對稱性”和“傳遞性”；其二是在加法、乘法運算中的不變性.

　　（2）學生能夠運用類比的方法，從“實數序關系的特性（等式自身的特性）”和“運算中的不變性”兩個方面，猜想并證明不等式的基本性質，并能夠對比不等式與等式的基本性質說出其共性與差異.

　　（3）學生能從運算的角度出發，猜測并進行證明不等式的一些常用性質（性質5，6，7）；并能說出為什么性質1—4稱為“基本性質”.

　　（4）學生能夠分析簡單不等式的證明思路，利用不等式的性質證明簡單的不等關系.

　　三、教學問題診斷分析

　　不等式性質的探究是以兩個實數大小關系的基本事實為依據，以梳理等式性質中所蘊含的思想方法為前提，以類比等式的基本性質為方法展開的.學生雖然在初中階段接觸過一些內容，然而是運用由特殊到一般的歸納方法得到的，沒能從根源上探索其成立的道理.高中階段的等式與不等式的學習強調邏輯推理和數學的理性思維，因此學生會有以下幾個方面的困難.

　　1. 學生對梳理等式基本性質包括相等關系自身的特性和運算中的不變性兩個方面存在困難.等式的五個基本性質是學生熟知的，但對性質中所蘊含的思想方法缺乏上位的思考，尤其是體會相等關系自身的特性較為困難.教學中采用讓學生對性質的特點進行歸類的方法，總結每類性質的特點，引導學生從實數序關系的特性角度體會相等關系自身的特性.

　　2. 學生類比等式基本性質及其蘊含的思想方法猜想并證明不等式的基本性質存在困難.由于初中時學生學習過不等式的基本性質3和性質4，而性質1和性質2學生認為是顯然成立的，學生思維達不到從邏輯推理角度證明性質.教學中在強調邏輯推理的重要性的同時，還要強調兩個實數比較大小的基本事實和實數的一些其他事實是證明的依據.

　　3. 學生缺少從代數角度證明不等式的經驗，運用兩個實數大小關系的基本事實和不等式的性質證明一些簡單命題存在一定的困難.教學中，要幫助學生運用“分析法”進行分析，適當采用問題串的形式引導學生生成證明思路，引導學生領會“發展條件、轉化結論、尋求聯系”的證明較復雜命題的一般思路.

　　本節課的教學難點為：梳理出等式基本性質中蘊含的思想方法；類比等式的基本性質及其蘊含的思想方法，猜想證明不等式的基本性質.

　　四、教學過程設計

　　（一）確定研究內容，明確研究方法

　　導入語：同學們，通過上節課的學習，我們知道現實世界的大小關系包括相等關系和不等關系兩類，數學中用“等式”和“不等式”表達這兩類關系.上節課我們提到解不等式要用不等式的性質，不等式到底都有哪些性質呢？今天我們一起學習不等式性質.既然不等式和等式一樣，都是對大小關系的刻畫，我們就可以從等式的性質及其蘊含的思想方法中獲得啟發，來研究不等式的性質. 好！我們一起走進“等式性質與不等式性質”.

　　設計意圖：此環節以單元教學理念為指導，著眼于學生的最近發展區，喚醒學生與所研究內容相關的認知。開門見山，直接引入課題，學生能夠明確學習目標，帶著目標開展學習活動.

　　（二）復習等式性質，梳理思想方法

　　問題1：請你回憶一下等式都有哪些性質？

　　預設方案：

　　預案一 性質3，4，5學生比較熟悉，能相互補充說出，但說不出性質1，2.

　　追問1：這三條性質有什么共性？可以看作是運用了什么相同的方法“得到的”？

　　師生活動：教師板書這三條性質.

　　學生在教師引導下歸納這3條性質是從運算角度提出的，即等式兩邊加、減，乘，除同一個數，等式仍然成立.教師指出，這三條性質反映了相等關系在運算中保持不變性的特點.教師進一步指出，性質3中減法可以看成加法，即兩邊同加 ，性質5中的除法可以看成乘法，即兩邊同乘1/c ，高中數學加減乘除的運算更趨于一般性，所以可以將其合并.由于數學的基本運算有加法和乘法，所以這些性質可稱為等式的基本性質.數學基本運算可派生出像乘方、開方等運算的結論，就是一些常用的性質.

　　追問2：等式是否還有其他性質？

　　師生活動：教師點出還有些等式的性質，我們在無意識地使用，之所以大家說不出來，因為它們太顯然了，是相等關系本身蘊含的性質.比如說，一個相等關系，即兩個相等的實數，無論哪個寫在等號左邊或右邊，等式均成立，即“如果a=b，則b=a”，此性質與a,b的順序無關，它反映了等式自身的特性.

　　追問3：從等式自身性質的角度是否還有其他性質？

　　師生活動：在教師指導下，學生說出性質2，教師板書.教師點出此性質也反映了等式自身的特性.

　　預案二 學生相互補充能說出性質1，2，3，4，5，其中性質3，4，5是學生比較熟悉的，但對性質1，2只有少數學生能回答出來.

　　追問：為什么大多數人答不出性質1，2？

　　師生活動：（這個追問實際上也對學生起到了思想方法上的提示作用）教師點出“等式的這兩條性質，我們無意識地在使用，但說不出來，因為它們太顯然了，是相等關系本身蘊含的”；接著梳理性質3，4，5蘊含的思想方法（如預案一）.

　　預案三 學生相互補充說出性質1，2，3，4，5（如果學生不預習、也不允許學生在課堂上看教科書，這種情況幾乎不會發生）.

　　學生回憶、交流并相互補充，口答等式性質，教師板書5條性質.

　　追問：觀察等式的5條基本性質，哪些性質具有共性？是什么共性？哪些基本性質可以看作是運用了相同的方法（發現的視角相同）得到的？具體的角度是什么？

　　師生活動：學生發現性質3，4，5具有共性，它們都是在等式的兩邊進行了運算，然后發現性質1，2蘊含的共性.

　　問題2：你能歸納一下等式基本性質蘊含了哪些思想方法嗎？

　　師生活動：學生總結，發現等式的基本性質的方法有“相等關系自身的特性”和“相等關系對運算保持不變”兩種.教師強調這兩個方面是研究等式基本性質中體現的思想方法.

　　設計意圖：通過問題1和問題2，學生回憶、分析等式的基本性質，通過對性質分類、歸納和深入分析，梳理等式的基本性質中蘊含的思想方法，突破本課時的教學難點，為研究不等式的基本性質做好鋪墊.

　　（三）探究不等式的性質，體會類比探究方法

　　問題3：初中我們通過由特殊到一般的方法，歸納過一些不等式的性質.現在，你打算如何研究不等式的性質？

　　預設方案：學生領悟到研究不等式的性質可類比發現等式性質及其蘊含的思想方法.

　　追問：從什么視角來研究不等式的性質？

　　師生活動：學生表述，從不等式的“自身”和“運算”兩個視角研究不等式的基本性質.

　　設計意圖：由學生自主發現研究問題的方法，提高學生對等式性質中蘊含的思想方法的理解和對類比學習方法的認識.

　　問題4：類比等式的基本性質蘊含的“自身特性”的思想方法，你能猜想并證明不等式的基本性質嗎？

　　師生活動：教師組織學生先獨立思考再討論.教師參與小組討論之中，適當指導.

　　預設方案：學生猜想不等式自身特性有“如果 ，那么 ”.但學生會認為這是顯然成立的事實，不能從邏輯推理角度進行證明.

　　追問1：你打算怎么進行證明？

　　師生活動：

　　學生證明預設兩種方案：

　　方案一：學生運用數軸說明a,b的大小關系. 教師評價此方法是從幾何角度分析代數性質的，其直觀性較強，能幫助我們感受到此性質反映了“不等式自身的特性”.同時教師指出數學結論要從邏輯推理角度進行嚴格的證明.教師繼續提問，能否進行證明？（見方案二）

　　方案二：教師視情況引導，目前只能用兩個實數大小關系的基本事實，別無他法.學生分析，若要得出b

　　追問2：此性質與等式性質1有何異同？

　　師生活動：學生發現由于不等號是有方向的，實數位置對調后，符號也要對調.

　　設計意圖：讓學生自主進行類比研究，體會性質1反映的是不等關系自身的特性.學生在利用兩個實數大小關系的基本事實證明的過程中，感受到數學問題的證明均有章可循，有理有據.

　　追問3：你還有什么結論？通過性質1的證明中的啟示，能否修證你的證明過程？

　　預設方案：學生猜想不等式自身特性有“如果a>b, b>c，那么a>c”.學生的證明預設兩種方案.

　　預案一：學生利用實數的幾何意義，即在數軸上找到三個數，分析其大小關系（學生受到性質1證明過程的啟發，一般不會采用此方法）；

　　預案二：學生分析證明思路，若要證明a>c，只需證a-c>0.學生容易想到與a-b>0，b-c>0建立聯系.考慮到a-c=（a-b）+（b-c），只需判斷此代數式的符號.

　　追問：如何證明（a-b）+（b-c）大于0？

　　師生活動：學生聯想實數的基本事實，“正數加正數是正數”問題得證.教師指出，實數的一些基本事實在證明中的有著重要的作用，讓學生體會代數證明的邏輯性和嚴謹性.

　　設計意圖：此性質的探究過程，一方面使學生經歷類比的探究過程，另一方面使學生體會數學證明的邏輯性和嚴謹性，感受到“猜想要有證明，證明要有依據”.

　　問題5：類比等式性質中蘊含的“運算中的不變性”的思想方法，你能猜想并證明不等式的基本性質嗎？

　　師生活動：教師組織學生先獨立思考再討論.教師參與小組討論之中，適當指導.

　　預設方案：學生猜想“不等式在加法運算中‘保號性’”，即 “如果a>b，那么a+c>b+c”.在前兩個性質證明的基礎上，學生能夠分析要證a+c>b+c，只需證（a+c）-（b+c）與 的大小關系，也就是a-b與0的大小關系.得出如下證明：由a>b，得a-b>0，所以（a+c）-（b+c）>0, 即a+c>b+c.

　　追問：用文字語言怎樣表達此性質？兩個實數大小關系還可以形象地在數軸上表達出來，你能從幾何意義的角度對這個性質進行解釋嗎？

　　師生活動：1.學生用文字語言表達，即不等式的兩邊都加同一個實數，所得不等式與原不等式同向.教師點明文字語言表達具有“直白”的特點，有助于理解其本質，即反映了不等式在加法運算中的“保號性”.教師指出“減法”與“加法”在運算中是一致的，加法是基本運算，進而此性質為基本性質.

　　

　　2.通過教師課件展示a+c,b+c的變化，學生體會此性質的幾何意義，并注意到可用運動方向表達實數c的正負.教師強調，幾何語言的表達具有“直觀”的特點，建議學生經常從幾何視角發現或解釋一些代數問題，能實現更直觀地認識問題，更深刻地理解問題.

　　

　　

　　設計意圖：對同一個概念進行多元聯系表示，有利于揭示概念的本質.不等式是用不等號連接起來的式子，有的不等式的內涵是比較抽象的，為了幫助學生理解和掌握不等式的本質，用文字語言、圖形語言等多種形式來表達重點的不等式的性質，有助于對問題的深入理解。

　　追問：是否還有其他結論？

　　預設方案：學生猜想“不等式在乘法運算中的規律性”，即不等式兩邊同乘同一個實數的結論，并用數學語言表達.

　　師生活動：學生猜想“如果a>b,c>0，那么ac>bc”，“如果a>b,c<0，那么ac

　　追問：不等式的兩邊同乘一個數，為何要分類討論？

　　師生活動：教師引導學生分析，此結論在于比較ac與bc的大小，由兩個實數大小關系的基本事實，即判斷ac-bc與 的大小關系，這顯然與條件中的a-b有關，自然能考慮通過ac-bc=（a-b）c，從而判斷此式的正負。由于a-b>0，（a-b）c的正負由c的正負決定，從而需要分析討論，這樣學生也自然有了證明的思路.

　　追問1：用文字語言怎樣表述此性質？

　　師生活動：學生表述，“不等式兩邊同乘一個正數，所得不等式與原不等式同向；不等式兩邊同乘一個負數，所得不等式與原不等式反向”.教師強調文字語言具有較為“直白”的特點，讓學生感受此性質反映了“不等式在乘法運算中的規律性”. 教師還要再次強調可以把“乘法”“除法”合并為“乘法”，高中數學對運算的認識更趨于一般性，乘法是基本運算，此性質仍為基本性質.

　　設計意圖：此性質對學生來說比較熟悉，此環節能使學生鞏固類比的學習方法，體會此性質反映的是不等式在乘法運算中的不變性、規律性.

　　問題6：加法乘法是數學的基本運算，因此上述四條性質是不等式的基本性質.不等式與等式基本性質的共性與差異有哪些？

　　師生活動：學生總結出兩者都具有“自身特性”和“運算中的不變性、 規律性”。由于不等號具有方向性，“自反性”和“兩邊同乘負數時，不等號變號”是不等式表現出的特性.

　　設計意圖：總結等式基本性質與不等式基本性質的差異，并能從本質上理解不等號變號的原因.

　　問題7：利用不等式的基本性質，你還可以猜想并證明不等式的其他性質嗎？

　　追問：在基本性質3中，不等式的兩邊同加同一個實數。如果兩邊同加不同的實數，即不等式的兩邊分別加上不相等的兩個數，能得到什么不等關系？

　　預設方案：學生猜想“大數加大數，大于小數加小數”，即“如果a>b,c>d，那么a+c>b+d”.證明方法有兩種：

　　方法一：學生分析證明方法，若要證a+c>b+d，只需證（a+c）-（b+d）>0，與已知聯系，也就是證明（a+c）-（b+d）>0。由已知a-b>0,c-d>0，由“正數加正數是正數”這一基本事實，猜想得證.

　　教師評價，此證明是基于兩個實數大小關系的基本事實和實數的一些基本事實證明的，這是證明不等式的根本大法，在證明不等關系時占據“一席之地”.

　　追問：此方法是利用不等式的基本性質“發現”的。能否利用不等式的基本性質，證明你發現的這個新性質？學生探索證法二（如下）.

　　方法二：學生從性質3中得到啟發，要證a+c>b+d，需要構造與a+c和b+d相關的不等式，聯想不等式基本性質，可有以下證明.

　　由性質3，得a+c>b+c，c+b>d+b；由性質2，得a+c>b+d.

　　教師評價，此方法是基于不等式的基本性質的應用，邏輯性很強.指出此性質為性質5.

　　設計意圖：數學結論之間相互關聯，挖掘結論間的關系，能使學生整體把握知識，形成整體認知.此性質的證明為綜合運用不等式的基本性質證明不等關系提供了范例.

　　追問：在基本性質4中，不等式的兩邊同乘同一個實數。如果同乘不同的實數，你有何結論？

　　預設方案：學生猜想“大數乘大數，大于小數乘小數”，即“如果a>b,c>d，那么ac>bd”.

　　追問：在不等式的基本性質中，乘法運算不具備“保號性”，主要原因是負數的影響。你認為上述猜想是否正確？如何修正？

　　師生活動：學生回答，不等式基本性質4中強調，兩邊同乘負數不等號要變方向，所以此問題中，乘法不一定具備“保號性”.同時，學生與性質4進行對比，發現對于正數乘法是具有“保號性”的.教師評價，這是縮小范圍修正錯誤的方法，由學生課后進行證明.教師指出此性質為不等式性質6.

　　追問2：如果性質6中a=c,b=d，你有何新的結論？

　　師生活動：學生可以得出“如果a>b>0，那么a2>b2”，并能推廣到“如果a>b>0，那么an>bn（n∈N*, n≥2）”.教師指出這是不等式的性質7，它是性質6的特例.教師指出以“不等式在運算中的不變性、規律性”為研究抓手，我們還能推導出很多不等關系，鼓勵同學們多發現、提出和證明一些結論.

　　設計意圖：1.讓學生經歷“猜想—證明—修正—再證明—得出性質—理解”的研究數學問題的過程，加深學生對類比學習的理解；

　　2.讓學生充分認識到“運算中的不變性、規律性”在研究不等式性質中的“引路人”作用，加深學生對“代數性質”的認識，從而發展“四基”，提高“四能”.

　　（四）不等式性質的簡單應用

　　

　　過渡語：上節課所學的兩個實數大小的基本事實與本節課所得到的7條不等式的性質是我們今后解決不等式問題的基本依據，下面我們就來看看如何借助它們來解決不等式的簡單問題.

　　

　　

　　設計意圖：本題利用不等式基本性質，體現“分析法”的證明思路和“綜合法”的表達方式，提高學生分析解決問題的能力，提升學生的數學應用意識.

　　（五）課堂小結，布置作業

　　問題8：本節課我們重點學習了不等式的基本性質和不等式的常用性質，你是怎樣研究不等式的基本性質的？

　　預設方案：學生能回答，先梳理等式的基本性質及蘊含的思想方法，從不等式的自身性質和運算的角度猜想并證明不等式的基本性質，由不等式的基本性質推理不等式的一些常用性質.

　　追問：類比探究都要經歷什么過程？

　　師生活動：學生總結，教師幫助整理：經歷“前備經驗—歸納特點—類比猜想—推理證明（修正）—理解表達—探究個性—應用反思”的過程.

　　

　　設計意圖：從知識和思想方法的角度進行課堂小結，有助于學生在學會知識的同時，又學會思想方法，這樣可將知識與思想方法共同納入到認知結構中.

　　作業：習題2.1第6，7，8，10，11題