這是存在量詞的定義是什么，是優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教案文章，供老師家長(zhǎng)們參考學(xué)習(xí)。

存在量詞的定義是什么第1篇

　　導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：

　　1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且、非”的含義.

　　2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

　　自主梳理

　　1.邏輯聯(lián)結(jié)詞

　　命題中的或，且，非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.“p且q”記作p∧q，“p或q”記作p∨q，“非p”記作綈p.

　　2.命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷

　　p q p∧q p∨q 綈p

　　真 真 真 真 假

　　真 假 假 真 假

　　假 真 假 真 真

　　假 假 假 假 真

　　3.全稱量詞與存在量詞

　　(1)短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“∀”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x).

　　(2)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“∃”表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x).

　　自我檢測(cè)

　　1.命題“∃x∈R，x2-2x+1<0”的否定是(

　　)

　　A.∃x∈R，x2-2x+1≥0 B.∃x∈R，x2-2x+1>0

　　C.∀x∈R，x2-2x+1≥0 D.∀x∈R，x2-2x+1<0

　　答案　C

　　解析　因要否定的命題是特稱命題，而特稱命題的否定為全稱命題.對(duì)x2-2x+1<0的否定為x2-2x+1≥0，故選C.

　　2.若命題p：x∈A∩B，則綈p是(

　　)

　　A.x∈A且x B B.x A或x B

　　C.x A且x B D.x∈A∪B

　　答案　B

　　解析　∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，

　　∴綈p：x A或x B.

　　3.(2011•大連調(diào)研)若p、q是兩個(gè)簡(jiǎn)單命題，且“p∨q”的否定是真命題，則必有(

　　)

　　A.p真q真 B.p假q假

　　C.p真q假 D.p假q真

　　答案　B

　　解析　∵“p∨q”的否定是真命題，

　　∴“p∨q”是假命題，∴p，q都假.

　　4.(2010•湖南)下列命題中的假命題是(

　　)

　　A.∀x∈R,2x-1>0

　　B.∀x∈N*，(x-1)2>0

　　C.∃x∈R，lg x<1

　　D.∃x∈R，tan x=2

　　答案　B

　　解析　對(duì)于B選項(xiàng)x=1時(shí)，(x-1)2=0.

　　5.(2009•遼寧)下列4個(gè)命題：

　　p1：∃x∈(0，+∞)，(12)x<(13)x;

　　p2：∃x∈(0,1)，log12x>log13x;

　　p3：∀x∈(0，+∞)，(12)x>log12x;

　　p4：∀x∈(0，13)，(12)x

　　其中的真命題是(

　　)

　　A.p1，p3 B.p1，p4

　　C.p2，p3 D.p2，p4

　　答案　D

　　解析　取x=12，則log12x=1，log13x=log32<1，

　　p2正確.

　　當(dāng)x∈(0，13)時(shí)，(12)x<1，而log13x>1，p4正確.

　　探究點(diǎn)一　判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假

　　例1 　寫(xiě)出由下列各組命題構(gòu)成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的復(fù)合命題，并判斷真假.

　　(1)p：1是素?cái)?shù);q：1是方程x2+2x-3=0的根;

　　(2)p：平行四邊形的對(duì)角線相等;q：平行四邊形的對(duì)角線互相垂直;

　　(3)p：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)相同;q：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的絕對(duì)值相等.

　　解題導(dǎo)引　正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義是解題的關(guān)鍵，應(yīng)根據(jù)組成各個(gè)復(fù)合命題的語(yǔ)句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)與真假的判斷.其步驟為：①確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式;②判斷其中簡(jiǎn)單命題的真假;③根據(jù)其真值表判斷復(fù)合命題的真假.

　　解　(1)p∨q：1是素?cái)?shù)或是方程x2+2x-3=0的根.真命題.

　　p∧q：1既是素?cái)?shù)又是方程x2+2x-3=0的根.假命題.

　　綈p：1不是素?cái)?shù).真命題.

　　(2)p∨q：平行四邊形的對(duì)角線相等或互相垂直.假命題.

　　p∧q：平行四邊形的對(duì)角相等且互相垂直.假命題.

　　綈p：有些平行四邊形的對(duì)角線不相等.真命題.

　　(3)p∨q：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)相同或絕對(duì)值相等.假命題.

　　p∧q：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)相同且絕對(duì)值相等.假命題.

　　綈p：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)不相同.真命題.

　　變式遷移1　(2011•廈門(mén)月考)已知命題p：∃x∈R，使tan x=1，命題q：x2-3x+2<0的解集是{x|1

　?、倜}“p∧q”是真命題;②命題“p∧綈q”是假命題;③命題“綈p∨q”是真命題;④命題“綈p∨綈q”是假命題，其中正確的是(

　　)

　　A.②③ B.①②④

　　C.①③④ D.①②③④

　　答案　D

　　解析　命題p：∃x∈R，使tan x=1是真命題，命題q：x2-3x+2<0的解集是{x|1

　　∴①命題“p∧q”是真命題;②命題“p∧綈q”是假命題;

　?、勖}“綈p∨q”是真命題;④命題“綈p∨綈q”是假命題.

　　探究點(diǎn)二　全(特)稱命題及真假判斷

　　例2 　判斷下列命題的真假.

　　(1)∀x∈R，都有x2-x+1>12.

　　(2)∃α，β使cos(α-β)=cos α-cos β.

　　(3)∀x，y∈N，都有x-y∈N.

　　(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0+y0=3.

　　解題導(dǎo)引　判定一個(gè)全(特)稱命題的真假的方法：

　　(1)全稱命題是真命題，必須確定對(duì)集合中的每一個(gè)元素都成立，若是假命題，舉反例即可.

　　(2)特稱命題是真命題，只要在限定集合中，至少找到一個(gè)元素使得命題成立.

　　解　(1)真命題，

　　因?yàn)閤2-x+1=(x-12)2+34≥34>12.

　　(2)真命題，如α=π4，β=π2，符合題意.

　　(3)假命題，例如x=1，y=5，但x-y=-4 N.

　　(4)真命題，例如x0=0，y0=3符合題意.

　　變式遷移2　(2011•日照月考)下列四個(gè)命題中，其中為真命題的是(

　　)

　　A.∀x∈R，x2+3<0

　　B.∀x∈N，x2≥1

　　C.∃x∈Z，使x5<1

　　D.∃x∈Q，x2=3

　　答案　C

　　解析　由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2+3≥3，所以命題“∀x∈R，x2+3<0”為假命題;

　　由于0∈N，當(dāng)x=0時(shí)，x2≥1不成立，所以命題“∀x∈N，x2≥1”為假命題;

　　由于-1∈Z，當(dāng)x=-1時(shí)，x5<1，所以命題“∃x∈Z，使x5<1”為真命題;

　　由于使x2=3成立的數(shù)只有±3，而它們都不是有理數(shù)，因此沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3，所以命題“∃x∈Q，x2=3”為假命題.

　　探究點(diǎn)三　全稱命題與特稱命題的否定

　　例3 　寫(xiě)出下列命題的“否定”，并判斷其真假.

　　(1)p：∀x∈R，x2-x+14≥0;

　　(2)q：所有的正方形都是矩形;

　　(3)r：∃x∈R，x2+2x+2≤0;

　　(4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x3+1=0.

　　解題導(dǎo)引　(1)全(特)稱命題的否定與一般命題的否定有著一定的區(qū)別，全(特)稱命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞(或把存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定;而一般命題的否定則是直接否定結(jié)論即可.

　　(2)要判斷“綈p”命題的真假，可以直接判斷，也可以判斷p的真假.因?yàn)閜與綈p的真假相反且一定有一個(gè)為真，一個(gè)為假.

　　解　(1)綈p：∃x∈R，x2-x+14<0，這是假命題，

　　因?yàn)?forall;x∈R，x2-x+14=(x-12)2≥0恒成立，即p真，所以綈p假.

　　(2)綈q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，是假命題.

　　(3)綈r：∀x∈R，x2+2x+2>0，是真命題，這是由于∀x∈R，x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0成立.

　　(4)綈s：∀x∈R，x3+1≠0，是假命題，這是由于x=-1時(shí)，x3+1=0.

　　變式遷移3　(2009•天津)命題“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(

　　)

　　A.不存在x0∈R,2x0>0

　　B.存在x0∈R,2x0≥0

　　C.對(duì)任意的x∈R,2x≤0

　　D.對(duì)任意的x∈R,2x>0

　　答案　D

　　解析　本題考查全稱命題與特稱命題的否定.原命題為特稱命題，其否定應(yīng)為全稱命題，而“≤”的否定是“>”，所以其否定為“對(duì)任意的x∈R,2x>0”.

　　轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

　　例 　(12分)已知命題p：“∀x∈[1,2]，x2-a≥0”，命題q：“∃x0∈R，x20+2ax0+2-a=0”，若命題“p且q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　【答題模板】

　　解　由“p且q”是真命題，

　　則p為真命題，q也為真命題. [3分]

　　若p為真命題，a≤x2恒成立，

　　∵x∈[1,2]，∴a≤1. [6分]

　　若q為真命題，

　　即x2+2ax+2-a=0有實(shí)根，

　　Δ=4a2-4(2-a)≥0，

　　即a≥1或a≤-2， [10分]

　　綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-2或a=1. [12分]

　　【突破思維障礙】

　　含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成命題的(一個(gè)或兩個(gè))命題的真假，求出參數(shù)存在的條件，命題p轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，命題q轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)根問(wèn)題，最后再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題成立的條件.若直接求p成立的條件困難，可轉(zhuǎn)化成求綈p成立的條件，然后取補(bǔ)集.

　　【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】

　　“p且q”為真是全真則真，要區(qū)別“p或q”為真是一真則真，命題q就是方程x2+2ax+2-a=0有實(shí)根，所以Δ≥0.不是找一個(gè)x0使方程成立.

　　1.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義的理解.

　　(1)“或”與日常生活用語(yǔ)中的“或”意義有所不同，日常用語(yǔ)“或”帶有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”含有“同時(shí)兼有”的意思，如x<6或x>9.

　　(2)命題“非p”就是對(duì)命題“p”的否定，即對(duì)命題結(jié)論的否定;否命題是四種命題中的一種，是對(duì)原命題條件和結(jié)論的同時(shí)否定.

　　2.判斷復(fù)合命題的真假，要首先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后根據(jù)真值表判斷.

　　3.全稱命題“∀x∈M，p(x)”的否定是一個(gè)特稱命題“∃x∈M，綈p(x)”，

　　特稱命題“∃x∈M，p(x)”的否定是一個(gè)全稱命題“∀x∈M，綈p(x)”.

　　(滿分：75分)

　　一、選擇題(每小題5分，共25分)

　　1.(2011•宣城模擬)已知命題p：∃x∈R，x2-3x+3≤0，則(

　　)

　　A.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為真命題

　　B.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為假命題

　　C.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為真命題

　　D.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為假命題

　　答案　C

　　解析　命題p是一個(gè)特稱命題，它的否定綈p：對(duì)所有的x∈R，都有x2-3x+3>0為真.故答案為C.命題的否定要否定量詞，即全稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，而且要否定結(jié)論.

　　2.已知命題p：∀x∈R，ax2+2x+3>0，如果命題綈p是真命題，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

　　)

　　A.a<13 B.a≤13

　　C.0

　　答案　B

　　解析　∵命題綈p是真命題，∴命題p是假命題，而當(dāng)命題p是真命題時(shí)，不等式ax2+2x+3>0對(duì)一切x∈R恒成立，這時(shí)應(yīng)有a>0，Δ=4-12a<0，解得a>13.因此當(dāng)命題p是假命題，即命題綈p是真命題時(shí)，

　　實(shí)數(shù)a的范圍是a≤13.

　　3.(2011•龍巖月考)已知條件p：|x+1|>2，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則a的取值范圍是(

　　)

　　A.a≥1 B.a≤1

　　C.a≥-3 D.a≤-3

　　答案　A

　　解析　 綈p是綈q的充分不必要條件的等價(jià)命題為q是p的充分不必要條件，即q⇒p，而p q，條件p化簡(jiǎn)為x>1或x<-3，所以當(dāng)a≥1時(shí)，q⇒p.

　　4.已知命題“∀a，b∈R，如果ab>0，則a>0”，則它的否命題是(

　　)

　　A.∀a，b∈R，如果ab<0，則a<0

　　B.∀a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0

　　C.∃a，b∈R，如果ab<0，則a<0

　　D.∃a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0

　　答案　B

　　解析　∀a，b∈R是大前堤，在否命題中也不變，又因ab>0，a>0的否定分別為ab≤0，a≤0，故選B.

　　5.(2011•寧波調(diào)研)下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是(

　　)

　　A.命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2=1，則x≠1”

　　B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分條件

　　C.命題“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1<0”

　　D.命題“若x=y，則sin x=sin y”的逆否命題為真命題

　　答案　D

　　二、填空題(每小題4分，共12分)

　　6.(2010•安徽)命題“對(duì)∀x∈R，|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________.

　　答案　∃x∈R，|x-2|+|x-4|≤3

　　7.已知命題p：“∀x∈R，∃m∈R使4x-2x+1+m=0”，若命題綈p是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_________.

　　答案　m≤1

　　解析　命題綈p是假命題，即命題p是真命題，也就是關(guān)于x的方程4x-2x+1+m=0有

　　實(shí)數(shù)解，即m=-(4x-2x+1)，令f(x)=-(4x-2x+1)，由于f(x)=-(2x-1)2+1，所以當(dāng)x-Ray

　　時(shí)f(x)≤1，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤1.

　　8.(2010•安徽)命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是

　　______________________.

　　答案　對(duì)任意x∈R，都有x2+2x+5≠0

　　解析　因特稱命題的否定是全稱命題，所以得：對(duì)任意x∈R，都有x2+2x+5≠0.

　　三、解答題(共38分)

　　9.(12分)分別指出由下列命題構(gòu)成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命題的真假.

　　(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3};

　　(2)p：1是奇數(shù)，q：1是質(zhì)數(shù);

　　(3)p：0∈∅，q：{x|x2-3x-5<0}⊆R;

　　(4)p：5≤5，q：27不是質(zhì)數(shù).

　　解　(1)∵p是假命題，q是真命題，

　　∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，

　　綈p為真命題.(3分)

　　(2)∵1是奇數(shù)，

　　∴p是真命題.

　　又∵1不是質(zhì)數(shù)，

　　∴q是假命題.

　　因此p∨q為真命題，p∧q為假命題，綈p為假命題.(6分)

　　(3)∵0 ∅，∴p為假命題.

　　又∵x2-3x-5<0⇒3-292

　　∴{x|x2-3x-5<0}={x|3-292

　　∴q為真命題.

　　∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，綈p為真命題.(9分)

　　(4)顯然p：5≤5為真命題，q：27不是質(zhì)數(shù)為真命題，

　　∴p∨q為真命題，p∧q為真命題，綈p為假命題.

　　(12分)

　　10.(12分)(2011•錦州月考)命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立，q：函數(shù)f(x)=(3-2a)x是增函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　解　設(shè)g(x)=x2+2ax+4，

　　由于關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立，所以函數(shù)g(x)的圖象開(kāi)口向上且與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，

　　故Δ=4a2-16<0，∴-2

　　又∵函數(shù)f(x)=(3-2a)x是增函數(shù)，

　　∴3-2a>1，∴a<1.(6分)

　　又由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假.

　　(1)若p真q假，則-2

　　∴1≤a<2;(8分)

　　(2)若p假q真，

　　則a≤-2，或a≥2，a<1，∴a≤-2.(10分)

　　綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為

　　1≤a<2，或a≤-2.(12分)

　　11.(14分)已知p：x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根，q：4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根.若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍.

　　解　p：x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根⇔Δ1=m2-4>0-m<0⇔m>2.(3分)

　　q：4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根.

　　⇔Δ2=16(m-2)2-16<0⇔1

　　因?yàn)閜或q為真，p且q為假，所以p與q的真值相反.

　?、佼?dāng)p真且q假時(shí)，有m>2m≤1或m≥3

　　⇒m≥3;(10分)

　　②當(dāng)p假且q真時(shí)，有m≤21

　　綜上可知，m的取值范圍為{m|1

存在量詞的定義是什么第2篇

《全稱量詞與存在量詞》練習(xí)題及答案

　　一、選擇題(每小題3分,共18分)

　　1.(2014•煙臺(tái)高二檢測(cè))對(duì)下列命題的否定說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

　　)

　　A.p:能被2整除的數(shù)是偶數(shù); p:存在一個(gè)能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)

　　B.p:有些矩形是正方形; p:所有的矩形都不是正方形

　　C.p:有的三角形為正三角形; p:所有的三角形不都是正三角形

　　D.p:∃x0∈R, +x0+2≤0; p:∀x∈R,x2+x+2>0

　　【解析】選C.“有的三角形為正三角形”為特稱命題,其否定為全稱命題:所有的三角形都不是正三角形,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

　　2.關(guān)于命題p:“∀x∈R,x2+1≠0”的敘述正確的是(

　　)

　　A. p:∃x0∈R, +1≠0

　　B. p:∀x∈R,x2+1=0

　　C.p是真命題, p是假命題

　　D.p是假命題, p是真命題

　　【解析】選C.命題p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x 0∈R, +1=0”.所以p是真命題, p是假命題.

　　3.(2014•廣州高二檢測(cè))命題“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是(

　　)

　　A.∃x0>0,使得 -x0≤0

　　B.∃x0>0,使得 -x0>0

　　C.∀x>0,都有x2-x>0

　　D.∀x≤0,都有x2-x>0

　　【解析】選B.由含有一個(gè)量詞的命題的否定易知選B.

　　【變式訓(xùn)練】已知命題p:∃x0∈R, +1<0,則 p是(

　　)

　　A.∃x0∈R, +1≥0 B.∀x∈R,x2+1≥0

　　C.∃x0∈R, +1≠0 D.∀x∈R,x2+1<0

　　【解析】選B.命題p是一個(gè)特稱命題,其否定為全稱命題, p:∀x∈R,x2+1≥0.

　　4.已知命題p:“對(duì)∀x∈R,∃m∈R,使4x+2x•m+1=0”.若命題 p是假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

　　)

　　A.-2≤m≤2 B.m≥2

　　C.m≤-2 D.m≤-2或m≥2

　　【解題指南】根據(jù)p與 p的真假性相反知p是真命題,然后求m的取值范圍即可.

　　【解析】選C.因?yàn)?p是假命題,所以p是真命題.X kB1.cOM

　　所以m=- ≤-2.

　　5.已知命題p:∀x∈R,2x2+2x+ <0;命題q:∃x0∈R,sinx0-cosx0= ,則下列判斷正確的是(

　　)

　　A.p是真命題 B.q是假命題

　　C. p是假命題 D. q是假命題

　　【解析】選D.因?yàn)?x2+2x+ = (2x+1)2≥0,所以p是假命題.又因?yàn)閟inx-cosx= sin ,所以 ∃x0= ,使sinx0-cosx0= ,故q是真命題,故選D.

　　6.(2013•衡水高二檢測(cè))已知p:存在x0∈R,m +1≤0;q:對(duì)任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q為假,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

　　)

　　A.m≤-2 B.m≥2

　　C.m≥2或m≤-2 D.-2≤m≤2

　　【解題指南】先判斷命題p,q的真假,轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)量詞的命題的否定求參數(shù)的取值范圍,再求交集.

　　【解析】選B.由p或q為假,得p,q都是假命題,從而 p, q都是真命題.

　　p:對(duì)任意x∈R,mx2+1>0成立,得m≥0;

　　q:存在x0∈R, +mx0+1≤0成立,得Δ=m2-4≥0,

　　解得m≥2或m≤-2.

　　綜上所述,m≥2為所求.

　　二、填空題(每小題4分,共12分)

　　7.(2014•深圳高二檢測(cè))命題“同位角相等”的否定為

　　

　　

　　

　　,否命題為　________________________.

　　【解析】全稱命題的否定是特稱命題,“若p,則q”的否命題是“若 p,則 q”.故否定為:有的同位角不相等.否命題為:若兩個(gè)角不是同位角,則它們不相等.

　　答案:有的同位角不相等　若兩個(gè)角不是同位角,則它們不相等

　　【誤區(qū)警示】解答本題易混淆命題的否定與否命題的概念,命題的否定只否定結(jié)論,而否命題既否定條件又否定結(jié)論.

　　8.(2014•長(zhǎng)春高二檢測(cè))設(shè)命題p:∀x∈R,x2+ax+2<0,若 p為真,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　___________________.

　　【解析】因?yàn)?p為真,又 p:∃x0∈R, +ax0+2≥0,而函數(shù)f(x)=x2+ax+2開(kāi)口向上,所以a∈R.

　　答案:a∈R

　　9.命題“∃x0,y0<0, + ≥2x0y0”的否定為 　______ ________________.

　　【解析】命題是特稱命題,其 否定是全稱命題,否定為:∀x,y<0,x2+y2<2xy.

　　答案:∀x,y<0,x2+y2<2xy

　　三、解答題(每小題10分,共20分)

　　10.(2014•日照高二檢測(cè))已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

　　【解析】2x>m(x2+1)可化為mx2-2x+m<0.

　　若p:∀x∈R,2x>m(x2+1)為真,

　　則mx2-2x+m<0對(duì)任意的x∈R恒成立.

　　當(dāng)m=0時(shí),不等式可化為-2x<0,顯然不恒成立;

　　當(dāng)m≠0時(shí),有m<0,Δ=4-4m2<0,

　　所以m<-1.[來(lái)

　　若q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0為真,

　　則方程 +2x0-m-1=0有實(shí)根,

　　所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.

　　又p∧q為真,故p,q均為真命題.

　　所以m<-1且m≥-2,

　　所以-2≤m<-1.

　　11.寫(xiě)出下列命題的否定,判斷其真假并給出證明.

　　命題:已知a=(1,2),存在b=(x,1)使a+2b與2a-b平行.

　　【解題指南】先寫(xiě)出否 定,再判真假,最后給出證明.

　　【解析】命題的否定:已知a=(1,2),則對(duì)任意的b=(x,1),a+2b與2a-b都不平行,是一個(gè)假命題.

　　證明如下:假設(shè)存在b=(x,1)使a+2b與2a-b平行,則a +2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).

　　2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).

　　因?yàn)閍+2b與2a-b平行,

　　所以存在λ∈R,使得a+2b=λ(2a-b).

　　即(2x+1,4)=λ(2-x,3).

　　所以 ⇔2x+1= (2-x).

　　解得x= .

　　這就是說(shuō)存在b= 使a+2b與2a-b平行,故已知命題為真命題,其否定為假命題.

　　(30分鐘　50分)

　　一、選擇題(每小題4分,共16分)

　　1.(2012•湖北高考)命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方是有理數(shù)”的否定是(

　　)

　　A.任意一個(gè)有理數(shù),它的平方是有理數(shù)

　　B.任意一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方不是有理數(shù)

　　C.存在一個(gè)有理數(shù),它的平方是有理數(shù)

　　D.存在一個(gè)無(wú) 理數(shù),它的平方不是有理數(shù)

　　【解析】選B.特稱命題的否定是全稱命題,將存在量詞改為全稱量詞,然后再否定結(jié)論即可.

　　2.已知命題p:∀n∈N,2n >1000,則 p為(

　　)

　　A.∀n∈N,2n≤1000 B.∀n∈N,2n<1000

　　C.∃n0∈N, ≤1000 D.∃n0∈N, <1000

　　【解析】選C.全稱命題的否定是特稱命題,故 p:∃n0∈N, ≤1000.

　　【舉一反三】若本題中的命題p換為“∃n0∈N, >1000”,其他條件不變,結(jié)論又如何呢?

　　【解析】選A.將存在量詞“∃”改為全稱量詞“∀”, 然后否定結(jié)論即可, p:

　　∀n∈N,2n≤1000.

　　3.(2014•大連高二檢測(cè))命題p:x=2且y=3,則 p為(

　　)

　　A.x≠2或y≠3 B.x≠2且y≠3

　　C.x=2或y≠3 D.x≠2或y= 3

　　【解題指南】“且”的否定為“或”,然后否定結(jié)論即可.

　　【解析】選A.將“且”改為“或”,將x=2與y=3都否定即為原命題的否定, p為:x≠2或y≠3.

　　4.下列關(guān)于命題p:“∃x0∈R, =sinx0”的敘述正確的是(

　　)

　　A. p:∃x0∈R, ≠sinx0

　　B. p:∀x∈R, =sinx

　　C.p是真命題, p是假命題

　　D.p是假命題, p是真命題

　　【解析】選C.命題p:“∃x0∈R, =sinx0”的否定是 p:∀x∈R, ≠sinx.

　　當(dāng)x=0時(shí), =sinx,所以p是真命題, p是假命題.

　　二、填空題(每小題5分,共10分)

　　5.命題“對(duì)任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是

　　

　　　.

　　【解析】根據(jù)全稱命題的否定形式寫(xiě).

　　答案:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3

　　6.(2014•蘭州高二檢測(cè))已知命題p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命題q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”,若命題“p且q”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　_______.

　　【解析】命題p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”為真,則a≤x2,x∈[1,2]恒成立,所以a≤1;

　　命題q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”為真,則“4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0”,解得a≤-2或a≥1.

　　若命題“p且q”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤-2或a=1}.

　　答案:{a|a≤-2或a=1}

　　【變式訓(xùn)練】已知命題p:∃x0∈R, +2ax0+a=0.若命題p是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

　　

　　.

　　【解析】方法一:若命題p:∃x0∈R, +2ax0+a=0是真命題,則Δ=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0.

　　因?yàn)槊}p是假命題,所以a(a-1)<0,解得0

　　方 法二:依題意,命題 p:∀x∈R,x2+2ax+a≠0是真命題,則Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0

　　答案:(0,1)

　　三、解答題(每小題12分,共24分)

　　7.寫(xiě)出下列命題的否定,并判斷其真假.

　　(1)p:不論m取何實(shí)數(shù),方程x2+x-m=0必有實(shí)數(shù)根.

　　(2)q:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2+x+1≤0.

　　(3)r:等圓的面積相等,周長(zhǎng)相等.

　　(4)s:對(duì)任意角α,都有sin2α+cos2α=1.

　　【解析】(1)這一命題可以表述為p:“對(duì)所有的實(shí)數(shù)m,方程x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根”,其否定形式是 p:“存在實(shí)數(shù)m0,使得x2+x-m0=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根”.

　　注意到當(dāng)Δ=1+4m0<0時(shí),即m0<- 時(shí),一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,所以 p是真命題.

　　(2)這一命題的否定形式是 q :“對(duì)所有實(shí)數(shù)x,都有x2+x+1>0”;利用配方法可以證得 q是一個(gè)真命題.

　　(3)這一命題的否定形式是 r:“存在一對(duì)等圓,其面積不相等或周長(zhǎng)不相等”,由平面幾何知識(shí)知 r是一個(gè)假命題.

　　(4)這一命題的否定形式是 s:“存在α0∈R,有sin2α0+cos2α0≠1”.由于命題s是真命題,所以 s是假命題.

　　8.(2014•汕頭高二檢測(cè))設(shè)p:“∃x0∈R, -ax0+1=0”,q:“函數(shù)y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)上的值域?yàn)閇1,+∞)”,若“p∨q”是假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　【解析】由 -ax0+1=0有實(shí)根,

　　得 Δ=a2-4≥0⇒a≥2或a≤-2.

　　因此命題p為真命題的范圍是a≥2或a≤-2.

　　由函數(shù)y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)的值域?yàn)閇1,+∞),得a≥0.

　　因此命題q為真命題的范圍是a≥0.

　　根據(jù)p∨q為假命題知:p,q均是假命題,p為假命題對(duì)應(yīng)的范圍是-2

　　這樣得到二者均為假命題的范圍就是 ⇒-2

存在量詞的定義是什么第3篇

教學(xué)目標(biāo)：利用日常生活中的例子和數(shù)學(xué)的命題介紹對(duì)量詞命題的否定，使學(xué)生進(jìn)一步理解全稱量詞、存在量詞的作用.

教學(xué)重點(diǎn)：全稱量詞與存在量詞命題間的轉(zhuǎn)化;

教學(xué)難點(diǎn)：隱蔽性否定命題的確定;

課 型：新授課

教學(xué)手段：多媒體

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情境

數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個(gè)”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個(gè)”、“至少有一個(gè)”等的詞語(yǔ)，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞(用符號(hào)分別記為“ ”與“ ”來(lái)表示);由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯關(guān)系中， 都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結(jié)所在。

二、活動(dòng)嘗試

問(wèn)題1：指出下列命題的形式，寫(xiě)出下列命題的否定。

(1)所有的矩形都是平行四邊形;

(2)每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù);

(3)"xÎR，x2-2x 1≥0

分析：(1)" ，否定：存在一個(gè)矩形不是平行四邊形;

(2) ，否定：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù);

(3) ，否定：$xÎR，x2-2x 1<0;

這些命題和它們的否定在形式上有什么變化?

結(jié)論：從命題形式上看，這三個(gè)全稱命題的否定都變成了存在性命題.

三、師生探究$

問(wèn)題2：寫(xiě)出命題的否定

(1)p：$ x∈R，x2 2x 2≤0;

(2)p：有的三角形是等邊三角形;

(3)p：有些函數(shù)沒(méi)有反函數(shù);

(4)p：存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直且平分;

分析：(1)" xÎR，x2 2x 2>0;

(2)任何三角形都不是等邊三角形;

(3)任何函數(shù)都有反函數(shù);

(4)對(duì)于所有的四邊形，它的對(duì)角線不可能互相垂直或平分;

從集合的運(yùn)算觀點(diǎn)剖析： ,

四、數(shù)學(xué)理論

1.全稱命題、存在性命題的否定

一般地，全稱命題P：" xÎM,有P(x)成立;其否定命題┓P為：$x∈M,使P(x)不成立。存在性命題P：$xÎM，使P(x)成立;其否定命題┓P為：" xÎM,有P(x)不成立。

用符號(hào)語(yǔ)言表示：

P:"ÎM, p(x)否定為Ø P: $ÎM, Ø P(x)

P:$ÎM, p(x)否定為Ø P: "ÎM, Ø P(x)

在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進(jìn)行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.關(guān)鍵量詞的否定

詞語(yǔ) 是 一定是 都是 大于 小于 且

詞語(yǔ)的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或

詞語(yǔ) 必有一個(gè) 至少有n個(gè) 至多有一個(gè) 所有x成立 所有x不成立

詞語(yǔ)的否定 一個(gè)也沒(méi)有 至多有n-1個(gè) 至少有兩個(gè) 存在一個(gè)x不成立 存在有一個(gè)成立

五、鞏固運(yùn)用

例1 寫(xiě)出下列全稱命題的否定：

(1)p：所有人都晨練;

(2)p："xÎR，x2 x 1>0;

(3)p：平行四邊形的對(duì)邊相等;

(4)p：$ x∈R，x2-x 1=0;

分析：(1)Ø P：有的人不晨練;(2)$ x∈R，x2 x 1≤0;(3)存在平行四邊形，它的的對(duì)邊不相等;(4)"xÎR，x2-x 1≠0;

例2 寫(xiě)出下列命題的否定。

(1) 所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。

(2) 任何實(shí)數(shù)x都是方程5x-12=0的根。

(3) 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)y，使x y>0.

(4) 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。

解：(1)的否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。

(2)的否定：存在實(shí)數(shù)x不是方程5x-12=0的根。

(3)的否定：存在實(shí)數(shù)x,對(duì)所有實(shí)數(shù)y，有x y≤0。

(4)的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。

解題中會(huì)遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡(jiǎn)化形式，如“若x>3，則x2>9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡(jiǎn)單命題處理;這種情形下時(shí)應(yīng)先將命題寫(xiě)成完整形式，再依據(jù)法則來(lái)寫(xiě)出其否定形式。

例3 寫(xiě)出下列命題的否定。

(1) 若x2>4 則x>2.。

(2) 若m≥0,則x2 x-m=0有實(shí)數(shù)根。

(3) 可以被5整除的整數(shù)，末位是0。

(4) 被8整除的數(shù)能被4整除。

(5) 若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等。

解(1)否定：存在實(shí)數(shù) ，雖然滿足 >4，但 ≤2?；蛘哒f(shuō)：存在小于或等于2的數(shù) ，滿足 >4。(完整表達(dá)為對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, 若x2>4 則x>2)

(2)否定：雖然實(shí)數(shù)m≥0,但存在一個(gè) ，使 -m=0無(wú)實(shí)數(shù)根。(原意表達(dá)：對(duì)任意實(shí)數(shù)m,若m≥0,則x2 x-m=0有實(shí)數(shù)根。)

(3)否定：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。

(4)否定：存在一個(gè)數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)

(5)否定：存在一個(gè)四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。(原意表達(dá)為無(wú)論哪個(gè)四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。)

例4 寫(xiě)出下列命題的非命題與否命題，并判斷其真假性。

(1)p：若x>y,則5x>5y;

(2)p：若x2 x﹤2,則x2-x﹤2;

(3)p：正方形的四條邊相等;

(4)p：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2 ax b≤0有非空實(shí)解集，則a2-4b≥0。

解：(1)Ø P：若 x>y，則5x≤5y; 假命題

否命題：若x≤y，則5x≤5y;真命題

(2)Ø P：若x2 x﹤2，則x2-x≥2;真命題

否命題：若x2 x≥2，則x2-x≥2);假命題。

(3)Ø P：存在一個(gè)四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等;假命題。

否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。

(4)Ø P：存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，雖然滿足x2 ax b≤0有非空實(shí)解集，但使a2-4b﹤0。假命題。

否命題：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2 ax b≤0沒(méi)有非空實(shí)解集，則a2-4b﹤0。真命題。

評(píng)注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：

1.任何命題均有否定，無(wú)論是真命題還是假命題;而否命題僅針對(duì)命題“若P則q”提出來(lái)的。2.命題的否定(非)是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真;而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。

3. 原命題“若P則q” 的形式，它的非命題“若p，則Øq”;而它的否命題為 “若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結(jié)論。

六、回顧反思

在教學(xué)中，務(wù)必理清各類型命題形式結(jié)構(gòu)、性質(zhì)關(guān)系，才能真正準(zhǔn)確地完整地表達(dá)出命題的否定，才能避犯邏輯性錯(cuò)誤，才能更好把邏輯知識(shí)負(fù)載于其它知識(shí)之上，達(dá)到培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

七、課后練習(xí)

1.命題p：存在實(shí)數(shù)m，使方程x2 mx 1=0有實(shí)數(shù)根，則“非p”形式的命題是( )

A.存在實(shí)數(shù)m，使得方程x2 mx 1=0無(wú)實(shí)根;

B.不存在實(shí)數(shù)m，使得方程x2 mx 1=0有實(shí)根;

C.對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，使得方程x2 mx 1=0有實(shí)根;

D.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得方程x2 mx 1=0有實(shí)根;

2.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)? )

A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤

3.命題“"xÎR，x2-x 3>0”的否定是

4.“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的

否定形式是

否命題是

5.寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷其真假：

(1)p："m∈R，方程x2 x-m=0必有實(shí)根;

(2)q：$ÎR，使得x2 x 1≤0;

6.寫(xiě)出下列命題的“非P”命題，并判斷其真假：

(1)若m>1，則方程x2-2x m=0有實(shí)數(shù)根.

(2)平方和為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)都為0.

(3)若 是銳角三角形， 則 的任何一個(gè)內(nèi)角是銳角.

(4)若abc=0，則a,b,c中至少有一為0.

(5)若(x-1)(x-2)=0 ，則x≠1,x≠2.

八、參考答案：

1. B

2.C

3.$ xÎR，x2-x 3≤0

4.否定形式：末位數(shù)是0或5的整數(shù)，不能被5整除

否命題：末位數(shù)不是0且不是5的整數(shù)，不能被5整除

5.(1)Øp：$m∈R，方程x2 x-m=0無(wú)實(shí)根;真命題。

(2)Øq："ÎR，使得x2 x 1>0;真命題。

6. ⑴ 若m>1，則方程x2-2x m=0無(wú)實(shí)數(shù)根，(真);

⑵平方和為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)不都為0(假);

⑶若 是銳角三角形， 則 的任何一個(gè)內(nèi)角不都是銳角(假);

⑷若abc=0，則a,b,c中沒(méi)有一個(gè)為0(假);

⑸若(x-1)(x-2)=0，則 或 ，(真).