這是高中數學幾個重要不等式，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

高中數學幾個重要不等式第 1 篇

　　教材分析

　　本節課是在系統的學習了不等關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續的學習奠定基礎。 要進一步了解不等式的性質及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的?；静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應重點研究。

　　教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。 通過本節學習體會數學來源于生活，提高學習數學的樂趣。

　　課程目標分析

　　依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：

　　1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數平均數與幾何平均數的概念，學會構造條件使用基本不等式;培養學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

　　2、過程與方法目標：按照創設情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會數學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣。

　　3、情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤于動手的良好品質。

　　教學重、難點分析

　　重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式 的證明過程及應用。

　　難點：1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);

　　2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

　　教法分析

　　本節課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發誘導、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發，放手讓學生探究思索。以現代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。

　　教學準備

　　多媒體課件、板書

　　教學過程

　　教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。

　　具體過程安排如下：

　　創設情景，提出問題;

　　設計意圖：數學教育必須基于學生的“數學現實”，現實情境問題是數學教學的平臺，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實.基于此，設置如下情境：

　　上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。

　　[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎?

　　本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數量關系，抽象出不等式 。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。

　　二、抽象歸納：

　　一般地，對于任意實數a，b，有 ，當且僅當a=b時，等號成立。

　　[問] 你能給出它的證明嗎?

　　學生在黑板上板書。

　　特別地，當a>0，b>0時，在不等式 中，以 、 分別代替a、b，得到什么?

　　設計依據：類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數思想，為今后學習奠定基礎.

　　答案： 。

　　【歸納總結】

　　如果a，b都是正數，那么 ，當且僅當a=b時，等號成立。

　　我們稱此不等式為基本不等式。 其中 稱為a，b的算術平均數， 稱為a，b的幾何平均數。

　　三、理解升華：

　　1、文字語言敘述：

　　兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

　　2、聯想數列的知識理解基本不等式

　　已知a，b是正數，A是a，b的等差中項，G是a，b的正的等比中項，A與G有無確定的大小關系?

　　兩個正數的等差中項不小于它們正的等比中項。

　　3、符號語言敘述：

　　若 ，則有 ，當且僅當a=b時， 。

　　[問] 怎樣理解“當且僅當”?(學生小組討論，交流看法，師生總結)

　　“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：

高中數學幾個重要不等式第 2 篇

　　教學準備

　　教學目標

　　1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數平均數與幾何平均數的概念，學會構造條件使用基本不等式;培養學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

　　2、過程與方法目標：按照創設情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會數學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣。

　　3、情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤于動手的良好品質。

　　教學重難點

　　1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);

　　2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

　　教學過程

　　一、 創設情景，提出問題;

　　設計意圖：數學教育必須基于學生的“數學現實”，現實情境問題是數學教學的平臺，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實.基于此,設置如下情境:

　　上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。

　　[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎?

　　本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數量關系，抽象出不等式

　　在此基礎上，引導學生認識基本不等式。

　　三、理解升華：

　　1、文字語言敘述：

　　兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

　　2、聯想數列的知識理解基本不等式

　　已知a,b是正數，A是a,b的等差中項，G是a,b的正的等比中項，A與G有無確定的大小關系?

　　兩個正數的等差中項不小于它們正的等比中項。

　　3、符號語言敘述：

　　4、探究基本不等式證明方法：

　　[問] 如何證明基本不等式?

　　(意圖在于引領學生從感性認識基本不等式到理性證明，實現從感性認識到理性認識的升華，前面是從幾何圖形中的面積關系獲得不等式的，下面用代數的思想，利用不等式的性質直接推導這個不等式。)

　　方法一：作差比較或由

　　展開證明。

　　方法二：分析法(完成課本填空)

　　設計依據：課本是學生了解世界的窗口和工具，所以，課本必須成為學生賴以學會學習的文本.在教學中要讓學生學會認真看書、用心思考，養成講講議議、

　　動手動筆、仔細觀察、用心體會的好習慣，真正學會讀“數學書”。

　　點評：證明方法叫做分析法,實際上是尋找結論的充分條件,執果索因的一種思維方法.

　　5、探究基本不等式的幾何意義：

　　借助初中階段學生熟知的幾何圖形，引導學生

　　幾何解釋實質可認為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦(直徑是最長的弦);或者認為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。

　　四、探究歸納

　　下列命題中正確的是

　　結論：

　　若兩正數的乘積為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的和有最小值;

　　若兩正數的和為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的乘積有最大值。

　　簡記為：“一正、二定、三相等”。

　　五、領悟練習：

　　公式應用之二：(最優化問題)

　　設計意圖：新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題,不僅極大地增強學生的興趣，拓寬學生的視野，更重要的是調動學生探究鉆研的興趣，引導學生加強對生活的關注，讓學生體會：數學就在我們身邊的生活中

　　(1) 在學農期間，生態園中有一塊面積為100m2的矩形茶地，為了保護茶葉的健康生長，學校決定用籬笆圍起來，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少?

　　(2)現在學校倉庫有一段長為36m的籬笆，要圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少?

　　六、反思總結，整合新知：

　　通過本節課的學習你有什么收獲?取得了哪些經驗教訓?還有哪些問題需要

　　請教?

　　設計意圖：通過反思、歸納，培養概括能力;幫助學生總結經驗教訓，鞏固知識技能，提高認知水平.

　　老師根據情況完善如下：

　　兩種思想：數形結合思想、歸納類比思想。

　　三個注意：基本不等式求函數的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”

高中數學幾個重要不等式第 3 篇

　　一、教材分析

　　1、本節教材的地位和作用

　　“基本不等式” 是必修5的重點內容，在課本封面上就體現出來了(展示課本和參考書封面)。它是在學完“不等式的性質”、“不等式的解法”及“線性規劃”的基礎上對不等式的進一步研究.在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應用。求最值又是高考的熱點。同時本節知識又滲透了數形結合、化歸等重要數學思想，有利于培養學生良好的思維品質。

　　2、 教學目標

　　(1)知識目標：探索基本不等式的證明過程;會用基本不等式解決最值問題。

　　(2)能力目標：培養學生觀察、試驗、歸納、判斷、猜想等思維能力。?

　　(3)情感目標：培養學生嚴謹求實的科學態度，體會數與形的和諧統一，領略數學的應用價值，激發學生的學習興趣和勇于探索的精神。

　　3、教學重點、難點

　　根據課程標準制定如下的教學重點、難點

　　重點： 應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索基本不等式。

　　難點：基本不等式的內涵及幾何意義的挖掘，用基本不等式求最值。

　　二、教法說明

　　本節課借助幾何畫板，使用多媒體輔助進行直觀演示.采用啟發式教學法創設問題情景，激發學生開始嘗試活動.運用生活中的實際例子，讓學生享受解決實際問題的樂趣. 課堂上主要采取對比分析;讓學生邊議、邊評;組織學生學、思、練。通過師生和諧對話，使情感共鳴，讓學生的潛能、創造性最大限度發揮，使認知效益最大。讓學生愛學、樂學、會學、學會。

　　三、學法指導

　　為更好的貫徹課改精神，合理的對學生進行素質教育，在教學中，始終以學生主體，教師為主導.因此我在教學中讓學生從不同角度去觀察、分析，指導學生解決問題，感受知識的形成過程，培養學生數形結合的意識和能力，讓學生學會學習。

　　四、教學設計

　　◆運用2002年國際數學家大會會標引入

　　◆運用分析法證明基本不等式

　　◆不等式的幾何解釋

　　◆基本不等式的應用

　　1、運用2002年國際數學家大會會標引入

　　如圖，這是在北京召開的第24屆國際數學家大會會標.會標根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。(展示風車)

　　正方形ABCD中，AE⊥BE，BF⊥CF，CG⊥DG，DH⊥AH，設AE=a，BE=b，則正方形的面積為S=__，Rt△ABE，Rt△BCF，Rt△CDG，Rt△ADH是全等三角形，它們的面積之和是S’=_

　　從圖形中易得，s≥s’，即

　　問題1：它們有相等的情況嗎?何時相等?

　　問題2：當 a，b為任意實數時，上式還成立嗎?(學生積極思考，通過幾何畫板幫助學生理解)

　　一般地，對于任意實數a、b，我們有

　　當且僅當(重點強調)a=b時，等號成立(合情推理)

　　問題3：你能給出它的證明嗎?(讓學生獨立證明)

　　設計意圖

　　(1)運用2002年國際數學家大會會標引入，能讓學生進一步體會中國數學的歷史悠久，感受數學與生活的聯系。

　　(2)運用此圖標能較容易的觀察出面積之間的關系，引入基本不等式很直觀。

　　(3)三個思考題為學生創造情景，逐層深入，強化理解.

　　2、運用分析法證明基本不等式

　　如果 a>0，b>0 ，

　　用 和 分別代替a，b?？梢缘玫?/p>

　　也可寫成

　　(強調基本不等式成立的前提條件“正”)(演繹推理)

　　問題4：你能用不等式的性質直接推導嗎?

　　要證 = 1 GB3 ①

　　只要證 = 2 GB3 ②

　　要證② ，只要證 = 3 GB3 ③

　　要證 = 3 GB3 ③ ，只要證 = 4 GB3 ④

　　顯然， ④是成立的.當且僅當a=b時， 不等式中的等號成立.

　　(強調基本不等式取等的條件“等”)

　　設計意圖

　　(1)證明過程課本上是以填空形式出現的，學生能夠獨立完成，這也能進一步培養學生的自學能力，符合課改精神;

　　(2)證明過程印證了不等式的正確性，并能加深學生對基本不等式的理解;

　　(3)此種證明方法是“分析法”，在選修教材的《推理與證明》一章中會重點講解，此處有必要讓學生初步了解。

　　3、不等式的幾何解釋

　　如圖，AB是圓的直徑，C是AB上任一點，AC=a，CB=b，過點C作垂直于AB的弦DE，連AD，BD，則CD= ，半徑為

　　問題5： 你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? (學生積極思考，通過幾何畫板幫助學生理解)

　　設計意圖

　　幾何直觀能啟迪思路，幫助理解，因此，借助幾何直觀學習和理解數學，是數學學習中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。

　　4、基本不等式的應用

　　例1.證明

　　(學生自己證明)

　　設計意圖

　　(1)這道例題很簡單，多數學生都會仿照課本上的分析思路重新證明，能夠練習“分析法”證明不等式的過程;

　　(2)學生能夠加深對基本不等式的理解，a和b不僅僅是一個字母，而是一個符號，它們可以是a、b，也可以是x、y，也可以是一個多項式;

　　(3)此例不是課本例題，比課本例題簡單，這樣，循序漸進， 有利于學生理解不等式的內涵。

　　例2：(1)把36寫成兩個正數的積，當兩個正數取什么值時，它們的和最小?

　　(2)把18寫成兩個正數的和，當兩個正數取什么值時，它們的積最大?

　　(讓學生分組合作、探究完成)

高中數學幾個重要不等式第 4 篇

　　課標要求

　　知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等;

　　過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式;

　　情感目標：通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣; 識記 理解 應用 綜合 知識點一：

　　基本不等式及其推導

　　過程 ∨ 知識點二：

　　基本不等式的應用 ∨ 目標設計 1.通過從不同角度探索不等式 的證明過程，使學生理解基本不等式及其等號成立的條件;

　　2.掌握基本不等式解決最值問題，并理解運用基本不等式 的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最值中的作用。 教學情境一：

　　如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，

　　會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，

　　顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。

　　問題1：你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎?

　　分析：將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a，b那么正方形的邊長為 。

　　教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系。

　　我們考慮4個直角三角形的面積的和是 ，正方形的面積為 。

　　由圖可知 ，即 .

　　當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有 。

　　新知：若 ，則

　　教學情境二：

　　先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，

　　再用這兩個三角形拼接構造出一個矩形

　　(兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊).

　　假設兩個正方形的面積分別為 和 ( )

　　問題2：考察左圖中兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發現一個不等式嗎?

　　新知：若 ，則

　　問題3：你能用代數的方法給出它們的證明嗎?

　　證明：因為 ，即 (當 時取等號)

　　(在該過程中，可發現 的取值可以是全體實數)

　　證明：(分析法)：由于 ，于是要證明 ，

　　只要證明 ，

　　即證 ，即 ，

　　所以 ，(當 時取等號)

　　【板書】兩個重要不等式

　　若 ，則 (當且僅當 時，等號成立)

　　若 ，則 (當且僅當 時，等號成立)