這是復數的概念備課，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

復數的概念備課第 1 篇

教學目標

(1)掌握復數的有關概念，如虛數、純虛數、復數的實部與虛部、兩復數相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數、共軛虛數的概念。

(2)正確對復數進行分類，掌握數集之間的從屬關系;

(3)理解復數的幾何意義，初步掌握復數集C和復平面內所有的點所成的集合之間的一一對應關系。

(4)培養學生數形結合的數學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力.

教學建議

(一)教材分析

1、知識結構

本節首先介紹了復數的有關概念，然后指出復數相等的充要條件，接著介紹了有關復數的幾何表示，最后指出了有關共軛復數的概念.

2、重點、難點分析

(1)正確復數的實部與虛部

對于復數，實部是，虛部是.注意在說復數時，一定有，否則，不能說實部是，虛部是,復數的實部和虛部都是實數。

說明：對于復數的定義，特別要抓住這一標準形式以及是實數這一概念，這對于解有關復數的問題將有很大的幫助。

(2)正確地對復數進行分類，弄清數集之間的關系

分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統一。根據上述原則，復數集的分類如下：

注意分清復數分類中的界限：

①設，則為實數

②為虛數

③且。

④為純虛數且

(3)不能亂用復數相等的條件解題.用復數相等的條件要注意：

①化為復數的標準形式

②實部、虛部中的字母為實數，即

(4)在講復數集與復平面內所有點所成的集合一一對應時，要注意：

①任何一個復數都可以由一個有序實數對()唯一確定.這就是說，復數的實質是有序實數對.一些書上就是把實數對()叫做復數的.

②復數用復平面內的點Z()表示.復平面內的點Z的坐標是()，而不是()，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是.由于=0+1·，所以用復平面內的點(0，1)表示時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度.這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數單位，或者就是縱軸的單位長度.

③當時，對任何，是純虛數，所以縱軸上的點()()都是表示純虛數.但當時，是實數.所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸.

由此可見，復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區別就是復平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點.

④復數z=a+bi中的z，書寫時小寫，復平面內點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫.要學生注意.

(5)關于共軛復數的概念

設，則，即與的實部相等，虛部互為相反數(不能認為與或是共軛復數).

教師可以提一下當時的特殊情況，即實軸上的點關于實軸本身對稱，例如：5和-5也是互為共軛復數.當時，與互為共軛虛數.可見，共軛虛數是共軛復數的特殊情行.

(6)復數能否比較大小

教材最后指出：“兩個復數，如果不全是實數，就不能比較它們的大小”，要注意：

①根據兩個復數相等地定義，可知在兩式中，只要有一個不成立，那么.兩個復數，如果不全是實數，只有相等與不等關系，而不能比較它們的大小.

②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復數間的一個關系‘<’，都不能使這關系同時滿足實數集中大小關系地四條性質”：

(i)對于任意兩個實數a，b來說，a

(ii)如果a

(iii)如果a

(iv)如果a0，那么ac

(二)教法建議

1.要注意知識的連續性：復數是二維數，其幾何意義是一個點，因而注意與平面解析幾何的聯系.

2.注意數形結合的數形思想：由于復數集與復平面上的點的集合建立了一一對應關系，所以用“形”來解決“數”就成為可能，在本節要注意復數的幾何意義的講解，培養學生數形結合的數學思想.

3.注意分層次的教學：教材中最后對于“兩個復數，如果不全是實數就不能本節它們的大小”沒有證明，如果有學生提出來了，在課堂上不要給全體學生證明，可以在課下給學有余力的學生進行解答.

復數的有關概念

教學目標

1.了解復數的實部，虛部;

2.掌握復數相等的意義;

3.了解并掌握共軛復數，及在復平面內表示復數.

教學重點

復數的概念，復數相等的充要條件.

教學難點

用復平面內的點表示復數M.

教學用具：直尺

課時安排：1課時

教學過程：

一、復習提問：

1.復數的定義。

2.虛數單位。

二、講授新課

1.復數的實部和虛部：

復數中的a與b分別叫做復數的實部和虛部。

2.復數相等

如果兩個復數與的實部與虛部分別相等，就說這兩個復數相等。

即：的充要條件是且。

例如：的充要條件是且。

例1：已知其中，求x與y.

解：根據復數相等的意義，得方程組：

例2：m是什么實數時，復數,

(1)是實數，(2)是虛數，(3)是純虛數.

解：

(1)時，z是實數,

,或.

(2)時，z是虛數,

，且

(3)且時，

z是純虛數.

3.用復平面(高斯平面)內的點表示復數

復平面的定義

建立了直角坐標系表示復數的平面，叫做復平面.

復數可用點來表示.(如圖)其中x軸叫實軸，y軸除去原點的部分叫虛軸，表示實數的點都在實軸上，表示純虛數的點都在虛軸上。原點只在實軸x上，不在虛軸上.

4.復數的幾何意義：

復數集c和復平面所有的點的集合是一一對應的.

5.共軛復數

(1)當兩個復數實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數。(虛部不為零也叫做互為共軛復數)

(2)復數z的共軛復數用表示.若，則：;

(3)實數a的共軛復數仍是a本身，純虛數的共軛復數是它的相反數.

(4)復平面內表示兩個共軛復數的點z與關于實軸對稱.

三、練習1,2,3,4.

四、小結：

1.在理解復數的有關概念時應注意：

(1)明確什么是復數的實部與虛部;

(2)弄清實數、虛數、純虛數分別對實部與虛部的要求;

(3)弄清復平面與復數的幾何意義;

(4)兩個復數不全是實數就不能比較大小。

2.復

數集與復平面上的點注意事項：

(1)復數中的z，書寫時小寫，復平面內點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫。

(2)復平面內的點Z的坐標是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是i。

(3)表示實數的點都在實軸上，表示純虛數的點都在虛軸上。

(4)復數集C和復平面內所有的點組成的集合一一對應：

五、作業1,2,3,4,

六、板書設計：

§8,2復數的有關概念

1定義：例13定義:4幾何意義:

2定義：例25共軛復數:

復數的概念備課第 2 篇

　　引入：

　　大家都知道，數，是數學中的基本概念，也是我們生活和科學技術時刻離不開的語言和工具。前幾天，老師遇到了這樣一個與數有關的問題，大家看看該怎樣解決呢？

　　問題1：已知 ，求：（1） ；（2） 。

　　對于第二個問，學生可能出現下面幾種方案得出結論，

　　方案一：

　　方案二：

　　方案三：通過 可是

　　方案四：

　　你是怎么處理的，結論是什么？

　　第二個問為什么沒解出來？為什么存在著使 的數，但是卻求不出來，你是怎么想的呢？

　　正如同學們所分析的，數的概念需要進一步發展，實數集需要擴充。這就是本節課要研究的內容——§3.3.1數系的擴充與復數的概念。

　　應該如何進行數的擴充呢？到目前為止，大家已經知道，數系經歷了三次擴充，就讓我們通過回憶，從中尋找數系擴充的方法。

　　請大家以四人為一組合作探討下面的問題。

　　問題2：數在不斷的發展，到目前為止，經歷了三次擴充，

　　（1）回顧數從自然數發展到實數的三次擴充歷程。

　　（2）說明數集N,Z,Q,R的關系

　　（2）分析每一次引入新數，擴大數系的原因。

　　同學們說的非常好，數的這種發展一方面是生產生活的需要，另一方面也是數學本身發展的需要。

　　數與數之間的聯系正是通過一些運算建立起來的，如果沒有運算，數不過是一些孤立的符號，毫無意義，接下來讓我們從運算的角度，進一步討論數的擴充。

　　問題3： 對于加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算來說，在以下四個數集中，

　　(1)任意兩個數運算所得的結果是否仍然屬于這個數集。

　　(2)試著分析，引入負數，分數，無理數對于運算的影響。

　　通過不斷的引入新數，數系逐步擴大到了實數系。 通過這個表格，我們看到，新的數集中，原有的運算律仍然適用，同時引入新數后，使得原來的某種不可以實施的運算變得可行了。

　　問題4：現在我們要進行數系的再一次擴充就是要解決什么問題？ 怎么解決？你能具體說一說嗎？

　　同學們分析的很好，到目前為止，負數開偶次方的問題還沒有解決，我們不妨先來研究負數開平方的問題，從運算的角度來說，也就是要解決方程 在實數系中無解的問題。像大家說的，我們可以仿照前面的做法，引入一種新數，法國數學家笛卡爾給這些數起名叫虛數，即 “虛的數”與“實數”相對應．這是因為最開始研究這種新數是在16世紀，而那個時候人們沒能發現什么事物可以支持這樣的數。

　　如果引入虛數，負數可以開方了，那么 就有意義了。我們希望，引入虛數后，原來在實數集中給出的運算規則仍能適用。例如，在引入虛數后，我們希望能把 表示成 的形式。實際上任何一個負數的平方根都可以表示成一個實數與 的乘積的形式，因此，意大利數學家邦貝利提出可以把 看作虛數單位。

　　負數、分數和無理數引入時，都相應的帶來了一種新的記號，那么對于虛數，用一種什么樣的記號來表示呢？

　　現在我們規定：（1） ；（2） 。

　　使用 來表示 這個數，是偉大的數學家歐拉在1777年，雙目失明以后憑借著超乎尋常的意志和毅力，仍然不放棄對科學問題的思索與追求的結果，從而讓虛數有了一個特征性的記號。從此，也就不在使用 表示虛數單位了，而是 了。那么 ，這種表示方法既簡潔又有特點。

　　問題5：不僅僅 是虛數吧，你還能說出其他形式的虛數嗎？那么通過運算，虛數可以用 表示成什么形式呢？（討論）

　　一．復數的定義

　　虛數與實數構成了一個新的數集，我們把這個新的數集叫做復數集，記作 。這樣我們就完成了數系的又一次擴充。我們把新的數系稱作復數系。

　　該怎樣用描述法表示集合 呢？

　　形如 的數，我們把它們叫做復數，其中 叫做復數的實部， 叫做復數的虛部。

　　一個復數是由兩部分組成的，如果兩個復數的實部和虛部分別相等,我們就說這兩個復數相等，反之亦然，即

　　問題6：實數與虛數組成了復數，那么 這種形式，什么時候表示實數，什么時候表示虛數呢？

　　二．例題

　　例題1.判斷下列各數哪些是實數、虛數、純虛數，并指出它們各自的實部和虛部。

　　例題2．當 取何實數時，復數 是：

　　（1）實數 （2） 虛數 （3）純虛數 （4）零

　　結論：

　　三．虛數引入的必要性

　　通過前面的研究，大家對虛數已經有了初步的認識，然而歷史上引入虛數，可不是件容易的事，是許多數學家200多年的努力，才奠定了虛數在數學領域的地位。開始很多人都不承認虛數，就連科學家牛頓也不認為虛數有多少意義，他認為虛數的引入只是為了使不可解的問題，顯得像是可以解的樣子。

　　他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：「 把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此，將分成的兩部分應是 5+事實并非如此，我們最開始研究的問題1，就是16世紀，意大利數學家卡爾達諾研究的一個著名問題：“將10分成兩部分，使他們的乘積等于40” 的變形。這個問題就說明了虛數的存在性。

　　數十年后另一個意大利數學家邦貝力（R. Bombelli，1526-1573）發現，方程 有三個實數根4， 。邦貝力在利用三次方程求根公式求解時，卻發現實數4竟然是用 來表示的。

　　這個問題進一步說明了虛數不是虛無飄渺的，而是客觀存在的。

　　四．復數的實際應用

　　在十六世紀，很多數學家不認可虛數，只不過因為那時人們對數的認識還不是很深刻，負數和無理數才剛剛接受，讓他們接受負數可以開方就更難了。而且那時也無法在現實世界中找到任何可以支持虛數的事物。

　　不過經過許多數學家的深入研究與探索，現在復數理論越來越完善，它的重要性也越來越明顯。在處理很多數學問題，如代數、分析、幾何與數論等問題中，皆可看到復數的蹤跡。

　　一些碎形就是基于復數理論基礎上的。

　　這個圖就是碎形——曼德勃羅集合，這是他的局部放大圖。

　　復數更多的應用是作為一種數學工具，服務于各個領域。比如復數為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，為建立巨大水電站（如三峽水電站）提供了重要的理論依據。

　　復數還廣泛的應用于物理學的各個分支， 比如在交流電，工程力學中的計算，計算量子力學中的震蕩波產生的影響，等等。

　　五．師生小結

　　那么，通過這堂課的學習你有哪些收獲？

　　今天我們的學習僅僅是打開了研究復數的大門，對復數的認識還是膚淺的，在今后的學習中，大家再慢慢體會復數的作用。

　　板書：

　　§3.1.1數系的擴充與復數的概念

　　一． 虛數

　　1． 虛數單位

　　2． 虛數的表示形式

　　二． 復數

　　1． 概念：形如 的數， 叫做復數的實部， 叫做復數的虛部。

　　2． 性質：

復數的概念備課第 3 篇

　　教學準備

　　教學目標

　　知識與技能

　　1、了解數系擴充的過程及引入復數的需要

　　2、掌握復數的有關概念和代數符號形式、復數的分類方法及復數相等的充要條件

　　過程與方法

　　1、通過數系擴充的介紹，讓學生體會數系擴充的一般規律

　　2、通過具體到抽象的過程，讓學生形成復數的一般形式

　　情感態度與價值觀

　　1、體會數系的擴充過程中蘊含的創新精神與實踐精神，感受人類理性思維的作用

　　2、體會類比、分類討論、等價轉化的數學思想方法

　　教學重難點

　　重點：引入復數的必要性與復數的相關概念、復數的分類，復數相等的充要條件

　　難點：虛數單位i的引進和復數的概念

　　教學過程

　　(一)問題引入

　　事實上在實數范圍內x和y確實不存在?為什么會這樣呢?假設x和y是存在的，那么就肯定是一些不是實數的數，那么，這些數是什么呢?我們能不能解決這個問題呢?這就是我們今天要學習的內容《數系的擴充和復數的引入》

　　(二)回顧數系的擴充歷程

　　師：其實對于這種“數不夠用”的情況，我們并不陌生。大家記得嗎?從小學到現在，我們一直在經歷著數的不斷擴充。現在就讓我們來回顧一下，看看我們以前是怎么解決“數不夠用”的問題的。

　　(三)類比，引入新數，將實數集擴充

　　1、類比數系的擴充規律，引導學生找出解決“實數不夠用”這個問題的辦法

　　生：引入新數，使得平方為負數

　　師：我們希望引入的數的平方為負數，但是負數有無窮多個，我們不肯能一下子引入那么多，只要引入平方為多少就行呢?

　　2、歷史重現：

　　3、探究復數的一般形式：

　　(四)新的數集——復數集

　　1.復數的定義(略)

　　2.復數的應用：復數在數學、力學、電學及其他學科中都有廣泛的應用，復數與向量、平面解析幾何、三角函數等都有密切的聯系，是進一步學習數學的基礎。

　　(五)復數的分類

　　(六)復數相等的充要條件

　　復數相等的充要條件可以把復數相等的問題轉化為求方程組的解的問題，是一種轉化的思想。

　　課后小結

　　1、由于實際的需要，我們總結數的三次擴充過程的規律，運用類比的方法，我們引進了新的數i，并將實數集擴充到了復數集，認識到了復數的代數形式，并討論了復數的分類及復數相等的充要條件，并且利用相等的條件把復數問題轉化為方程組的解的問題

　　2、那么，復數究竟是什么東西呢?能不能像實數一樣在現實中找到它的影子呢?別急，我們的探索腳步并不會停止下去，這是我們下次將要探索的內容。

　　課后習題

　　1、習題3.1 A組第1、2題

　　2、課后探究復數能不能比較大小，為什么?(可查資料)

復數的概念備課第 4 篇

　　目標：

　　（1）使學生初步理解集合的概念，知道常用數集的概念及其記法

　　（2）使學生初步了解“屬于”關系的意義

　　（3）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義

　　重點：集合的基本概念

　　教學過程：

　　1．引入

　　（1）章頭導言

　　（2）集合論與集合論的創始者-----康托爾（有關介紹可引用附錄中的內容）

　　2．講授新課

　　閱讀教材，并思考下列問題：

　　（1）有那些概念？

　　（2）有那些符號？

　　（3）集合中元素的特性是什么？

　　（4）如何給集合分類?

　　（一）有關概念:

　　1、集合的概念

　　（1）對象：我們可以感覺到的客觀存在以及我們思想中的事物或抽象符號，都可以稱作對象.

　　（2）集合：把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合.

　　（3）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素.

　　集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、……

　　2、元素與集合的關系

　　（1）屬于： 如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A

　　（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作

　　要注意“∈”的方向，不能把a∈A顛倒過來寫.

　　3、集合中元素的特性

　　（1）確定性：給定一個集合，任何對象是不是這個集合的元素是確定的了.

　　（2）互異性：集合中的元素一定是不同的.

　　（3）無序性：集合中的元素沒有固定的順序.

　　4、集合分類

　　根據集合所含元素個屬不同，可把集合分為如下幾類：

　　（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф

　　（2）含有有限個元素的集合叫做有限集

　　（3）含有無窮個元素的集合叫做無限集

　　注：應區分符號的`含義

　　5、常用數集及其表示方法

　　（1）非負整數集（自然數集）：全體非負整數的集合.記 作N

　　（2）正整數集：非負整數集內排除0的集.記作N* 或N+

　　（3）整數集：全體整數的集合.記作Z

　　（4）有理數集：全體有理數的集合.記作Q

　　（5）實數集：全體實數的集合.記作R

　　注：（1）自然數集包括數0.

　　（2）非負整數集內排除0的集.記作N*或N+，Q、Z、R等其它數集內排除0的集，也這樣表示，例如，整數集內排除0的集，表示成Z*

　　課堂練習：教材第5頁練習A、B

　　小結：本節課 我們了解集合論的發展，學習了集合的概念及有關性質

　　課后作業：第十頁習題1-1B第3題