這是復數的三角表示教學設計，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

復數的三角表示教學設計第 1 篇

第一部分內容：內容標準

1.通過復數的幾何意義，了解復數的三角表示．

2.了解復數的輻角及輻角的主值的含義．

3.了解復數的代數表示與三角表示之間的關系.

... ... ...

復數的三角表示PPT，第二部分內容：課前 • 自主探究

[教材提煉]

知識點　復數的三角表示式

預習教材，思考問題

(1)如圖，角θ的終邊上一點P(x，y)，設P到原點O的距離|OP|＝r，那么怎樣用角θ和r表示x，y?

(2)我們知道，復數可以用a＋bi(a，b∈R)的形式來表示，復數a＋bi與復平面內的點Z(a，b)一一對應，與平面向量OZ→＝(a，b)也是一一對應的，如圖，你能用向量OZ→的模r和以x軸的非負半軸為始邊，以向量OZ→所在射線(射線OZ)為終邊的角θ來表示復數z嗎？

知識梳理　(1)復數的輻角：以x軸的非負半軸為始邊，____________為終邊的角，叫做復數z＝a＋bi的輻角．我們規定在______范圍內的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作arg z ，即______ .

(2)復數的三角形式：一般地，任何一個復數z＝a＋bi都可以表示成______的形式．其中，r是復數的______；θ是復數z＝a＋bi的輻角．______ 叫做復數z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．為了與三角形式區分開來，______ 叫做復數的代數表示式，簡稱代數形式．

(3)兩個用三角形式表示的復數相等的充要條件：兩個非零復數相等當且僅當它們的______與______分別相等．

[自主檢測]

1．復數1＋3i化成三角形式，正確的是(

　　)

A．2(cos 2π3＋isin 2π3)

B．2(cos π3＋isin π3)

C．2(cos 5π3＋isin 5π3)

D．2(cos 11π6＋isin 11π6)

2．復數z＝－sin 100°＋icos 100°的輻角主值是(

　　)

A．80°

　　B．100°

C．190° D．260°

... ... ...

復數的三角表示PPT，第三部分內容：課堂 • 互動探究

探究一　復數的三角形式

[例1]　下列復數是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．

(1) z1＝ cos 60°＋isin 30° ；

(2) z2＝2(cos π5－isin π5)；

(3) z3＝－sin θ＋icos θ .

(2)由“加號連”知，不是三角形式．復平面上的點Z2(2cos π5，－2sin π5)在第四象限，不需要改變三角函數名稱，可用誘導公式“2π－π5”或“－π5”變換到第四象限．

所以z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[cos(－π5)＋isin (－π5)]或z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[(cos(2π－π5)＋isin (2π－π5)]＝2(cos 9π5＋isin9π5)，考慮到復數輻角的不唯一性，復數的三角形式也不唯一．

(3)由“余弦前”知，不是三角形式．復平面上的點Z3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ為銳角)，需要改變三角函數名稱，可用誘導公式“π2＋θ”將θ變換到第二象限．

所以z3＝ －sin θ＋icos θ＝cos (π2＋θ)＋isin (π2＋θ) .

方法提升

復數三角形式的判斷依據和變形步驟

(1)判斷依據：三角形式的結構特征：模非負，角相同，余弦前，加號連．

(2)變形步驟：首先確定復數z對應點所在象限(此處可假定θ為銳角)，其次判斷是否要變換三角函數名稱，最后確定輻角．此步驟可簡稱為“定點→定名→定角”.

探究二　復數的代數形式表示成三角形式

[例2]　畫出下列復數對應的向量，指出它們的模和輻角的主值，并把這些復數表示成三角形式：

(1)3i；(2)－10；(3)2－2i ；(4) －1＋3i.

(2)復數－10對應的向量如圖所示，

則模r＝10，對應的點在x軸的負半軸上，所以arg(－10)＝π.所以－10＝10(cos π＋isin π)．

方法提升

復數的代數形式化三角形式的步驟

(1)先求復數的模；

(2)決定輻角所在的象限；

(3)根據象限求出輻角(常取它的主值)；

(4)寫出復數的三角形式．

探究三　把復數表示成代數形式

[例3]　分別指出下列復數的模和一個輻角，并把這些復數表示成代數形式：

(1)10(cos π3＋isinπ3)；

(2)14(cos 5π6＋isin5π6)；

(3)2(cos 45°－isin 45°)．

方法提升

1．類似三角形式的復數求模和輻角時，注意三角形式的結構特征：模非負，角相同，余弦前，加號連．

2．由三角形式表示成代數形式，直接求出角的三角函數值，化簡即可．

... ... ...

復數的三角表示PPT，第四部分內容：課后 • 素養培優

復數的三角形式

邏輯推理、數學運算

在求復數的三角形式時，需要進行復雜的三角恒等變換，在變換時一定要根據復數三角形式的結構特征：模非負，角相同，余弦前，加號連，確定判斷的依據和變形的方向．只要角的范圍在[0,2π]即可．

[素養提升]　1.在表示復數的三角形式時，要嚴格套用復數三角形式的四個結構特征：模非負，角相同，余弦前，加號連．

2．注意復數輻角的主值范圍[0,2π).

復數的三角表示教學設計第 2 篇

python中復數的表示形式？

Python中可以使用complex(real，imag)或者是帶有后綴j的浮點數來指定，如a=complex(2, 4) a為2+4j，或者b = 3-5j。

將復數z=√3-i表示三角形式？

3-3i的膜是根號下3的平方加-3的平方等于3√2，輔角為-3除以3等于-1，因為(3，-3)是第四象限角，-1是-45°，sin第四象限為負，cos第四象限為正，所以三角形式為3√2[cos45°+isin(-45°)]

復數的極坐標形式怎么表示？

復數的極坐標是將實數部分與虛數部分分開表示,形式如下： y=a+bi y是復數；a是y的實數部分；b是y的虛數部分；i表示虛數。

復數的三角表示？

答：復數的三角表示為：z=r(cosa+isina)

復數三角形式？

i是虛數單位。 虛數單位 i²=-1，并且 i 可以與實數在一起按照同樣的運算律進行四則運算，i 叫做虛數單位。虛數單位i的冪具有周期性，虛數單位用I表示，是歐拉在1748年在其《無窮小分析理論》中提出，但沒有受到重視。1801年經高斯系統使用后，才被普遍采用。 虛數單位“i”首先為瑞士數學家歐拉所創用，到德國數學家高斯提倡才普遍使用。高斯第一個引進術語“復數”并記作a+bi。“虛數”一詞首先由笛卡兒提出。早在1800年就有人用(a，b)點來表示a+bi，他們可能是柯蒂斯、棣莫佛、歐拉以及范德蒙。把a+bi用向量表示的最早的是挪威人卡斯巴·魏塞爾，并且由他第一個給出復數的向量運算法則。“i”這

名詞復數形式的特殊表示法

一般在名詞詞尾加s；以s,sh, ch及x結尾的名詞加es構成其復數形式； 以o結尾的詞，在詞后加es，但photo,radio除外。

動物單詞的復數形式表示什么？

復數形式表示數量。 例如 tiger 單數表示一只老虎，復數 tigers 表示有兩只及兩只以上的老虎。

動物單詞的復數形式表示什么？

復數形式表示數量。 例如 tiger 單數表示一只老虎，復數 tigers 表示有兩只及兩只以上的老虎。

為什么要引入復數的三角形式，這種表示方式有什么優點？

復數的代數形式與三角形式，在復平面都可以像直角坐標系，表示出位置與圖形。 二，對于加減乘除運算法則的運用，代數形式比較方便。 三，對于乘方開方不如三角形式。 在中等教育知道這些也就可以了。 ——這些在教科書都有。 （理科高校學習一些復變函數論，那是另一回事了。）

German.wife.sunday用復數形式怎么表示？

Germans wives Sundays

復數的三角表示為什么帶星號？

原來高中課本里面有的，但為了降低難度和教學改革的原因，高考不考這部分內容了，就以星號標出來。

三角函數的復數形式？

x(t)=Ae^j(Ωt+Ф)

復數的三角形式怎么來的？

復數的三角形式來源于三角函數的定義。復數的一般形式是x +y i 。三角函數的定義是sin a =y /r, cos a =x /r. 所以，x =r cos a, y =r sina. 因此，x +y i =r cos a +r sin a.

復數的三角函數的形式怎么轉換成指數形式？

a+bi=pe^iθp= √(a^2+b^2)tanθ=b/a這里tanθ=-0.4/0.8=-0.5p=√(0.8^2+0.4^2)=0.4√5

復數—1—3i的三角表示式為？

z=-1-3iz的模是r=√[(-1)²+(-3)²]=√10因為z在第三象限，所以輻角是θ=arctan(-3/(-1))+π=π+arctan3∴三角形式為z=r(cosθ+isinθ)=√10[cos(π+arctan3)+isin(π+arctan3)] 即z=√10[-cos(arctan3)-isin(arctan3)]

英語里面腳的復數形式怎么表示？

feet英 [fi?t] 美 [fit] n. 腳（foot的復數形式）；尺；韻腳

復數-1的三角形式是？

在數學上，兩個向量的夾角(角度)是用內積來定義的，如果記向量a,b的夾角為α,則定義cosα=(a,b)/|a||b|,無論是實空間還是復空間，向量的內積一定是實數，向量的模一定是實數，從而定義出來的夾角一定是一個實數。從這個角度講，幾何空間不存在復數角度。 然而我們可以定義復數角度的各種三角函數，由歐拉公式e^(iz)=cosz+sinz,從而可以利用復指函數定義復數的正弦，余弦，正切，余切等，這樣定義出來的三角函數性質與通常的三角函數大致是一樣的，有同樣的三角恒等式。

oronge復數形式，pear復數形式？

pear的復數形式是 pears，詳細信息如下： pear英 [pe?(r)] 美 [per] n.梨樹;梨（樹） 例句： This pear tastes a bit sour. 這梨帶點酸味。 Here's a pear for you. Catch! 給你一個梨，接著！

什么是相角？還有復數的極坐標形式怎么表示？

復數的極坐標是將實數部分與虛數部分分開表示，形式如下： y=a+bi y是復數，a是y的實數部分，b是y的虛數部分，i表示虛數。

什么是相角?還有復數的極坐標形式怎么表示？

復數的極坐標是將實數部分與虛數部分分開表示，形式如下： y=a+bi y是復數，a是y的實數部分，b是y的虛數部分，i表示虛數。

復數的三角表示教學設計第 3 篇

教學設計

教材分析

復數的三角形式乘、除運算的三角表示是對其代數形式乘除運算數形結合的產物，其幾何意義充分揭示了其平面圖形的變化規律.本節教材內容主要就復數的三角形式乘、除運算及其幾何意義進行基本闡述.

教學目標與核心素養

課程目標：

1.掌握會進行復數三角形式的乘除運算；

2.了解復數的三角形式乘、除運算的三角表示的幾何意義.

數學學科素養

1.數學運算：復數的三角形式乘、除運算;

2.直觀想象：復數的三角形式乘、除運算的幾何意義;

3.數學建模：結合復數的三角形式乘、除運算的幾何意義和平面圖形，數形結合，綜合應用，培養學生對數學的學習興趣.

教學重難點

重點：復數三角形式的乘除運算．

難點：復數三角形式的乘除運算的幾何意義的理解.

課前準備

教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練.

復數的三角表示教學設計第 4 篇

　(二)用三角法解幾何問題

　　用三角法解幾何問題，常將線段和角的關系轉化為三角函數關系，通過三角恒等變換、解三角方程或證明三角不等式來完成幾何問題的解答．

　　例3 在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中點，過直角頂點C作CD⊥BM于D，CD延長線交AB于E(如圖3)．求證：∠AME=∠CMB．

　　思路分析 這類問題，用幾何法會困難重重，而轉化為用三角法則柳暗花明．

　　

　　設∠AME=α，∠CMB=β，則∠AEM=135°-α，∠ACE=90°-β，∠AEC=45°＋β．在△AME和△ACE中，由正弦定理，得

　　

　　

　　?、?divide;①且由AC＝2AM，得

　　

　　

　　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　

　　又α、β∈(0°，90°)，所以α＝β，即∠AME=∠CMB．

　　例4(蝴蝶定理)過⊙O的一條弦AB的中點C任作兩條弦DE和GF，連結DG和EF分別交AB于M、N(如圖13－4)．求證：CM=CN．

　　思路分析 設AB=2a，AC=CB=a，CM=x，CN=y，各角假設如圖4所示．

　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　　由相交弦定理有AM·MB=GM·MD，即(a-x)(a＋x)

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　所以x=y，即CM=CN．

　　在上一講中我們用對稱變換證過蝴蝶定理，方法很輕盈．此處的三角法給我們又一種靈巧感

　(三)用解析法解幾何問題

　　解析法是笛卡兒推崇的數學思想方法，它的優勢主要在解題的規范化，其解題步驟主要是：通過建立坐標系，設定所給圖形上有關點的坐標和曲線的方程后，便可將幾何問題轉化為代數問題；然后運用代數知識求解，再賦予幾何意義，從而獲得對幾何問題的解答．

　　例5 在△ABC中，已知AD是BC邊上的高，P是AD上任一點，BP、CP延長線交AC、AB于E、F．求證：∠ADE=∠ADF．

　　思路分析 此題如用幾何法須較高技巧，我們試用解析法來證明．

　　建立直角坐標系如圖5，則只須證明DE、DF的斜率互為相反數就可以了．

　　設A、B、C、P四點坐標分別為(0，a)、(b，0)、(c，0)、(0，p)，由截距式可求出AB、CP、AC、BP的直線方程為

　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　

　　　所以∠ADE=∠ADF．

　　例6 巳知正方形ABCD，BD∥EC，以D為圓心，BD為半徑畫弧，交EC于E，連結ED交BC于F．求證：BF=BE．

　　思路分析 如圖6所示，建立直角坐標系．

　　設正方形的邊長為1，正方形四個頂點的坐標為A(0，1)、B(1，1)、C(1，0)、D(0，0)，又設E(x1，y1)、F(x2，y2)．

　　

　

　　

　　

　　又因為CE∥BD，所以直線CE的斜率等于直線BD的斜率，即

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　即得｜BE｜=｜BF｜．

　　由上述例子可見，解析法證幾何題，思路明確，有規可循，而且可以減少或避免添加輔助線，可以減少“尋求隱含條件”的困難．使用時要注意的是坐標系的選取要適當，這樣可簡化計算．

(四)用復數法解幾何問題

　　用復數法解答幾何問題，基本思路是從問題的特點出發，建立復平面，選取相應的復數表示形式，根據題設條件，將幾何問題轉化為復數問題，通過復數的計算與推理，完成對問題的解答．

　　例7如圖7，△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，現固定△ABC，而將△ADE繞A點在平面上旋轉．試證不論△ADE旋轉到什么位置，線段EC上必存在一點M，使△BMD為等腰直角三角形．

　　

　　

　　

　　

　　　數法證明．

　　不妨設等腰直角三角形ADE繞A旋轉到如圖8位置．因為AB≠AD，故B、D總不會重合．以B、D連線為實軸，BD的垂直平分線為虛軸，建立復平面．設B、D所表示的復數分別為zB=-1，zD=1．

　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　上，且｜OB｜=｜OD｜=｜OM｜=1．故△BMD為等腰直角三角形．

　　例8 在半圓O中，定點A在直徑EF的延長線上，B點在半圓周上運動，以AB為一邊向外作正三角形ABC．問B在何處時，O、C兩點距離最遠？求這最遠距離．

　　思路分析 建立復平面如圖9，設圓半徑為r，∠AOB=θ，

　　

　　　

　

　　

　　　復數是zC=cr(cosθ+isinθ)＋［(a-rcosθ)-irsinθ］(cos60°

　　

　　　

　　

　　-2arcos(θ＋60°)．故當cos(θ＋60°)=-1時，即θ=120°時， ｜OC｜max=a＋r．

　(五)用向量法解幾何問題

　　向量代數是現代數學最活躍的分支之一，向量能深刻描述現實世界的空間形式，是溝通數與形內在聯系的有力工具，利用向量的運算證明幾何問題，方法很新穎．

　　例9 已知G是△ABC的重心，O是任意一點．求證：

AB2＋BC2＋CA2+9OG2=3(OA2+OB2＋OC2)．

　　

　　

　　　思路分析 這道題用幾何法證明較困難，用向量法卻能得心應手．

　　

　　

　　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　　

　　例12 設四邊形A1A2A3A4為圓O的內接四邊形，M1、M2、M3、M4依次為△A2A3A4、△A3A4A1、△A4A1A2、△A1A2A3的垂心．求證：M1、M2、M3、M4四點共圓，并定出圓心的位置．

　　思路分析 作直徑A1B，連結A2B、A4B，則向量OA1=-OB，A4B⊥A4A1，又M3為△A4A1A2的垂心，A2M3⊥A1A4，所以A4B∥A2M3．同理得A2B∥A4M3．則四邊形BA4M3A2為平行四邊形(如圖11所示)．

　　　

　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　　

　　(i=1，2，3，4)．

　　

　　

　　

　　　這表明Mi到點G的距離為定長r，故M1、M2、M3、M4四點共圓，再由多邊形法則可作出圓心G．