日期:2021-05-07
這是平行線判定與性質口訣,是優秀的數學教案文章,供老師家長們參考學習。
¤ 最簡根式的條件
最簡根式三條件,
號內不把分母含,
冪指(數)根指(數)要互質,
冪指比根指小一點。
¤ 特殊點的坐標特征
坐標平面點(x,y),橫在前來縱在后;
(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四個象限分前后;
x軸上y為0,x為0在y軸。
¤ 象限角的平分線
象限角的平分線,
坐標特征有特點,
一、三橫縱都相等,
二、四橫縱確相反。
¤ 平行某軸的直線
平行某軸的直線,
點的坐標有講究,
直線平行x軸,縱坐標相等橫不同;
直線平行于y軸,點的橫坐標仍照舊。
¤ 對稱點的坐標
對稱點坐標要記牢,
相反數位置莫混淆,
x軸對稱y相反,
y軸對稱,x前面添負號;
原點對稱最好記,
橫縱坐標變符號。
¤ 自變量的取值范圍
分式分母不為零,
偶次根下負不行;
零次冪底數不為零,
整式、奇次根全能行。
¤ 函數圖象的移動規律
若把一次函數解析式寫成y=k(x+0)+b,二次函數的解析式寫成y=a(x+h)2+k的形式,則可用下面的口訣:
左右平移在括號,
上下平移在末稍,
左正右負須牢記,
上正下負錯不了。
¤ 一次函數的圖象與性質的口訣
一次函數是直線,圖象經過三象限;
正比例函數更簡單,經過原點一直線;
兩個系數k與b,作用之大莫小看,
k是斜率定夾角,b與y軸來相見,
k為正來右上斜,x增減y增減;
k為負來左下展,變化規律正相反;
k的絕對值越大,線離橫軸就越遠。
¤ 二次函數的圖象與性質的口訣
二次函數拋物線,圖象對稱是關鍵;
開口、頂點和交點,它們確定圖象現;
開口、大小由a斷,c與y軸來相見,
b的符號較特別,符號與a相關聯;
頂點位置先找見,y軸作為參考線,
左同右異中為0,牢記心中莫混亂;
頂點坐標最重要,一般 式配方它就現,
橫標即為對稱軸,縱標函數最值見。
若求對稱軸位置,符號反,
一般、頂點、交點式,不同表達能互換。
¤ 反比例函數的圖象與性質的口訣
反比例函數有特點,雙曲線相背離得遠;
k為正,圖在一、三(象)限,
k為負,圖在二、四(象)限;
圖在一、三函數減,兩個分支分別減。
圖在二、四正相反,兩個分支分別增;
線越長越近軸,永遠與軸不沾邊。
¤ 巧記三角函數定義
初中所學的三角函數有正弦、余弦、正切、余切,它們實際是直角三角形的邊的比值,可以把兩個字用/隔開,再用下面的.
一句話記定義:
一位不高明的廚子教徒弟殺魚,說了這么一句話:“正對魚磷(余鄰)直刀切。
”正:正弦或正切,對:對邊即正是對;余:余弦或余弦,鄰:鄰邊即余是鄰;切是直角邊.
¤ 三角函數的增減性
正增余減
¤ 特殊三角函數值記憶
首先記住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3,分子記口訣“123,321,三九二十七”既可。
¤ 平行四邊形的判定
要證平行四邊形,兩個條件才能行,
一證對邊都相等,或證對邊都平行,
一組對邊也可以,必須相等且平行。
對角線,是個寶,互相平分“跑不了”,
對角相等也有用,“兩組對角”才能成。
¤ 梯形問題的輔助線
移動梯形對角線,兩腰之和成一線;
平行移動一條腰,兩腰同在“△”現;
延長兩腰交一點,“△”中有平行線;
作出梯形兩高線,矩形顯示在眼前;
已知腰上一中線,莫忘作出中位線。
¤ 添加輔助線歌
輔助線,怎么添?
找出規律是關鍵,題中若有角(平)分線,可向兩邊作垂線;
線段垂直平分線,引向兩端把線連,三角形兩邊中點,連接則成中位線;
三角形中有中線,延長中線翻一番。
¤ 圓的證明歌
圓的證明不算難,常把半徑直徑連;
有弦可作弦心距,它定垂直平分弦;
直徑是圓最大弦,直圓周角立上邊,
它若垂直平分弦,垂徑、射影響耳邊;
還有與圓有關角,勿忘相互有關聯,
圓周、圓心、弦切角,細找關系把線連;
同弧圓周角相等,證題用它最多見,
圓中若有弦切角,夾弧找到就好辦;
圓有內接四邊形,對角互補記心間,
外角等于內對角,四邊形定內接圓;
直角相對或共弦,試試加 個輔助圓;
若是證題打轉轉,四點共圓可解難;
要想證明圓切線,垂直半徑過外端,
直線與圓有共點,證垂直來半徑連,
直線與圓未給點,需證半徑作垂線;
四邊形 有內切圓,對邊和等是條件;
如果遇到圓與圓,弄清位置很關鍵,
兩圓相切作公切,兩圓相交連公弦。
¤ 圓中比例線段
遇等積,改等比,橫找豎找定相似;
不相似,別生氣,等線等比來代替,
遇等比,改等積,引用射影和圓冪,
平行線,轉比例,兩端各自找聯系。
¤ 正多邊形訣竅歌
份相等分割圓,n值必須大于三,
依次連接各分點,內接正n邊形在眼前。
經過分點做切線,切線相交n個點。
n個交點做頂點,外切正n邊形便出現。
正n邊形很美觀,它有內接、外切圓,
內接、外切都唯一,兩圓還是同心圓,
它的圖形軸對稱,n條對稱軸 都過圓心點,
如果n值為偶數,中心對稱很方便。
正n邊形做計算,邊心距、半徑是關鍵,
內切、外接圓半徑,邊心距、半徑分別換,
分成直角三角形2n個整,依此計算便簡單。
¤ 函數學習口決
正比例函數是直線,圖象一定過原點,
k的正負是關鍵,決定直線的象限,
負k經過二四限,x增大y在減,
上下平移k不變,由引得到一次線,
向上加b向下減,圖象經過三個限,
兩點決定一條線,選定系數是關鍵。
反比例函數雙曲線,待定只需一個點,
正k落在一三限,x增大y在減,
圖象上面任意點,矩形面積都不變,
對稱軸是角分線,x、y的順序可交換。
二次函數拋物線,選定需要三個點,
a的正負開口判,c的大小y軸看,
△的符號最簡便,x軸上數交點,
a、b同號軸左邊,拋物線平移a不變,
頂點牽著圖象轉,三種形式可變換,
配方法作用最關鍵。
一、最簡根式的條件
最簡根式三條件,
號內不把分母含,
冪指(數)根指(數)要互質,
冪指比根指小一點。
二、特殊點的坐標特征
坐標平面點(x,y),橫在前來縱在后;
(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四個象限分前后;
x軸上y為0,x為0在y軸。
三、象限角的平分線
象限角的平分線,
坐標特征有特點,
一、三橫縱都相等,
二、四橫縱確相反。
四、平行某軸的直線
平行某軸的直線,
點的坐標有講究,
直線平行x軸,縱坐標相等橫不同;
直線平行于y軸,點的橫坐標仍照舊。
五、對稱點的坐標
對稱點坐標要記牢,
相反數位置莫混淆,
x軸對稱y相反,
y軸對稱,x前面添負號;
原點對稱最好記,
橫縱坐標變符號。
六、自變量的取值范圍
分式分母不為零,
偶次根下負不行;
零次冪底數不為零,
整式、奇次根全能行。
七、函數圖象的移動規律
若把一次函數解析式寫成y=k(x+0)+b,二次函數的解析式寫成y=a(x+h)2+k的形式,則可用下面的`口訣
左右平移在括號,
上下平移在末稍,
左正右負須牢記,
上正下負錯不了。
八、一次函數的圖象與性質的口訣
一次函數是直線,圖象經過三象限;
正比例函數更簡單,經過原點一直線;
兩個系數k與b,作用之大莫小看,
k是斜率定夾角,b與y軸來相見,
k為正來右上斜,x增減y增減;
k為負來左下展,變化規律正相反;
k的絕對值越大,線離橫軸就越遠。
九、二次函數的圖象與性質的口訣
二次函數拋物線,圖象對稱是關鍵;
開口、頂點和交點,它們確定圖象現;
開口、大小由a斷,c與y軸來相見,
b的符號較特別,符號與a相關聯;
頂點位置先找見,y軸作為參考線,
左同右異中為0,牢記心中莫混亂;
頂點坐標最重要,一般 式配方它就現,
橫標即為對稱軸,縱標函數最值見。
若求對稱軸位置,符號反,
一般、頂點、交點式,不同表達能互換。
十、反比例函數的圖象與性質的口訣
反比例函數有特點,雙曲線相背離得遠;
k為正,圖在一、三(象)限,
k為負,圖在二、四(象)限;
圖在一、三函數減,兩個分支分別減。
圖在二、四正相反,兩個分支分別增;
線越長越近軸,永遠與軸不沾邊。
十一、巧記三角函數定義
初中所學的三角函數有正弦、余弦、正切、余切,它們實際是直角三角形的邊的比值,可以把兩個字用/隔開,再用下面的.
十二、一句話記定義
一位不高明的廚子教徒弟殺魚,說了這么一句話“正對魚磷(余鄰)直刀切。
”正正弦或正切,對對邊即正是對;余余弦或余弦,鄰鄰邊即余是鄰;切是直角邊.
十三、三角函數的增減性
正增余減
十四、特殊三角函數值記憶
首先記住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3,分子記口訣“123,321,三九二十七”既可。
十五、平行四邊形的判定
要證平行四邊形,兩個條件才能行
,一證對邊都相等,或證對邊都平行,
一組對邊也可以,必須相等且平行。
對角線,是個寶,互相平分“跑不了”,
對角相等也有用,“兩組對角”才能成。
十六、梯形問題的輔助線
移動梯形對角線,兩腰之和成一線;
平行移動一條腰,兩腰同在“△”現;
延長兩腰交一點,“△”中有平行線;
作出梯形兩高線,矩形顯示在眼前;
已知腰上一中線,莫忘作出中位線。
十七、添加輔助線歌
輔助線,怎么添?
找出規律是關鍵,題中若有角(平)分線,可向兩邊作垂線;
線段垂直平分線,引向兩端把線連,三角形兩邊中點,連接則成中位線;
三角形中有中線,延長中線翻一番。
十八、圓的證明歌
圓的證明不算難,常把半徑直徑連;
有弦可作弦心距,它定垂直平分弦;
直徑是圓最大弦,直圓周角立上邊,
它若垂直平分弦,垂徑、射影響耳邊;
還有與圓有關角,勿忘相互有關聯,
圓周、圓心、弦切角,細找關系把線連;
同弧圓周角相等,證題用它最多見,
圓中若有弦切角,夾弧找到就好辦;
圓有內接四邊形,對角互補記心間,
外角等于內對角,四邊形定內接圓;
直角相對或共弦,試試加 個輔助圓;
若是證題打轉轉,四點共圓可解難;
要想證明圓切線,垂直半徑過外端,
直線與圓有共點,證垂直來半徑連,
直線與圓未給點,需證半徑作垂線;
四邊形 有內切圓,對邊和等是條件;
如果遇到圓與圓,弄清位置很關鍵,
兩圓相切作公切,兩圓相交連公弦。
十九、圓中比例線段
遇等積,改等比,橫找豎找定相似;
不相似,別生氣,等線等比來代替,
遇等比,改等積,引用射影和圓冪,
平行線,轉比例,兩端各自找聯系。
二十、正多邊形訣竅歌
份相等分割圓,n值必須大于三,
依次連接各分點,內接正n邊形在眼前。
經過分點做切線,切線相交n個點。
n個交點做頂點,外切正n邊形便出現。
正n邊形很美觀,它有內接、外切圓,
內接、外切都唯一,兩圓還是同心圓,
它的圖形軸對稱,n條對稱軸 都過圓心點,
如果n值為偶數,中心對稱很方便。
正n邊形做計算,邊心距、半徑是關鍵,
內切、外接圓半徑,邊心距、半徑分別換,
分成直角三角形2n個整,依此計算便簡單。
二十一、函數學習口決
正比例函數是直線,圖象一定過原點,
k的正負是關鍵,決定直線的象限,
負k經過二四限,x增大y在減,
上下平移k不變,由引得到一次線,
向上加b向下減,圖象經過三個限,
兩點決定一條線,選定系數是關鍵。
二十二、反比例函數雙曲線
待定只需一個點,
正k落在一三限,x增大y在減,
圖象上面任意點,矩形面積都不變,
對稱軸是角分線,x、y的順序可交換。
二十三、二次函數拋物線
選定需要三個點,
a的正負開口判,c的大小y軸看,
△的符號最簡便,x軸上數交點,
a、b同號軸左邊,拋物線平移a不變,
頂點牽著圖象轉,三種形式可變換,
配方法作用最關鍵。
【同步教育信息】
一. 本周教學內容:
平行線判定和性質
教學目的:
1. 會認由三線八角所成的同位角,內錯角,同旁內角
2. 掌握平行公理及其推論
3. 掌握并能較靈活應用平行線的判定方法和性質
教學重點和難點:
重點:平行線的概念、平行公理、平行線的判定和平行線的性質。
難點:①平行線的性質與平行線的判定的區分 ②掌握推理論證的格式。
教學中體現出的重要的數學思想:
1. 數形結合的思想:把計算、推理與圖形結合起來,以形輔算,以算輔形的思想。
2. 方程的思想:利用方程(組)求解未知量的思想。
教學中學生應注意培養的主要數學能力:
1. 空間想象能力:從培養自己觀察幾何圖形的位置關系的能力入手,逐步提高自己認圖能力和抽象、概括幾何概念的能力,從而培養自己的空間想象能力。
2. 運算能力:通過幾何計算,在熟練技能的基礎上,培養運算能力。
3. 邏輯推理能力:在初步掌握推理技能的基礎上,逐步培養自己靈活運用各種推理形式的能力。
4. 思維能力:在本章的學習中,要從幾何語言能力的培養入手,在文字語言,符號語言,圖形語言的相互轉化訓練中,逐步規范自己的思維模式,為發展自己的思維能力打下好的基礎。
幾何證明題的基本結構和方法: 常用三種方法:一種方法是從結論入手,思考要使結論成立,需要具備什么條件,這樣逆推直到需要的條件已經具備,有時也用另一種方法思考,即從已知條件入手,思考從已知條件可以順推出什么結論來,這樣順推直至結論成立,最后一種方法也可以順推與逆推相結合,從問題的兩頭向中間靠攏,從而發現問題的入手點。
教學過程:
[知識點總結]
一、三線八角:
直線AB、CD被直線EF所截,如圖所示
1)同位角:1和5這兩個角分別在直線AB、CD的上方,都在直線EF的同一側。還有:2和6、4和8、3和7
2)內錯角:4和6這兩個角都在直線AB、CD之間,并且在EF的兩側。還有3和5
3)同旁內角:4和5這兩個角在直線AB、CD之間,在EF的同一旁。還有3和6
二、平行線的定義、性質和判定
1. 平行線的定義:在同一平面內,不相交的兩條直線叫做平行線
記作:∥
2. 平行公理:
經過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行
公理的推論:(平行的傳遞性)
如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行
*∥,∥
*∥
3. 平行線的判定:如圖所示:
(1)判定方法1:兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行。簡稱:同位角相等,兩直線平行。
AB∥CD
(2)判定方法2:兩條直線被第三條直線所截,如果內錯角相等,那么這兩條直線平行。簡稱:內錯角相等,兩直線平行。
AB∥CD
(3)判定方法3:兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內角互補,那么這兩條直線平行。簡稱:同旁內角互補,兩直線平行。
AB∥CD
4. 平行線的性質(如上圖)
(1)兩條直線被第三條直線所截,同位角相等
AB∥CD
(2)兩條直線被第三條直線所截,內錯角相等
AB∥CD
(3)兩條直線被第三條直線所截,同旁內角互補
*AB∥CD
【典型例題】
例1:找出下圖中互相平行的直線,并說明理由。
答:同位角相等
例2:(1)如下圖,∵∠1=∠2
∴ AC ∥ DE , 內錯角相等,兩直線平行
∵∠2= ∠4
∴ DE ∥ FG ,同位角相等,兩直線平行
∵∠3+∠4=180°
∴ DE∥ FG ,同旁內角互補,兩直線平行
∴AC∥FG, 平行于同一直線的兩直線平行
(2)如下圖,∵DE∥BC
∴∠2= ∠4 , 兩直線平行,內錯角相等
∴∠B+ ∠5 =180°,兩直線平行,同旁內角互補
∵∠B=∠4
∴ AB∥ EF , 同位角相等兩直線平行
∴ ∠B+ ∠3 =180°,兩直線平行,同旁內角互補
例3:已知如圖,AB//CD,∠1=∠3,求證:AC//BD。
分析:因為本題是判定兩條直線平行的,應選用平行線的判定,因為AB//CD,所以可知∠1=∠2,又因為∠1=∠3,可推出∠2=∠3,能判定AB與CD平行。
也可以從求證入手,要求證AC//CD,需要求出∠2=∠3,因為平行線的性質得出∠1=∠2,已知∠1=∠3,利用等量代換即可。
證明:∵AB//CD(已知)
∴∠1=∠2(兩直線平行,內錯角相等)
又∵∠1=∠3(已知)
∴∠2=∠3(等量代換)
∴AC//BD(同位角相等,兩直線平行)。
例4:已知如圖,AB//CD,AC//BD,求證:∠1=∠3。
分析:因為∠1和∠3的位置不能構成同位角或內錯角,也不是同旁內角,因此不可能利用題設中的平行直線關系,經過一次推理得到結論。需要找出一個間接的量就是∠2,由圖形中∠1與∠2是內錯角位置。而∠2與∠3是同位角位置,再通過等角進行轉化。
若從條件入手,平行可以得出很多結論,在其中選出與求證的角有關的結論,找到結論之間的關系,從而得證。
證明:∵AB//CD(已知)
∴∠1=∠2(兩直線平行,內錯角相等)
又∵AC//BD(已知)
∴∠2=∠3(兩直線平行,同位角相等)
∴∠1=∠3(等量代換)
例5:已知如圖∠1=∠2,BD平分∠ABC,求證:AB//CD。
分析:從條件入手分析,利用平分線得到等角,利用等量代換求出∠1=∠3,再根據平行線的判定得出平行關系,或從結論入手也可以。
證明:∵BD平分∠ABC(已知)
∴∠2=∠3(角平分線定義)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠3(等量代換)
∴AB//CD(內錯角相等,兩直線平行)。
例6:已知如圖,AB//CD,∠1=∠2,求證:BD平分∠ABC。
證明:∵AB//CD(已知)
∴∠1=∠3(兩直線平行,內錯角相等)
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠2=∠3(等量代換)∴BD平分∠ABC(角平分線定義)
注意:1)要證明角平分線,必須通過證明角相等得出。
2)當條件和結論交換時,注意只能運用已知條件推出未知的結論。
例7:如圖,已知直線a,b,c被直線d所截,若∠1=∠2,∠2+∠3=180°,求證:∠1=∠7。
分析:運用綜合法來分析此題,證明思路是由已知角的關系推證出兩直線平行,然后再由兩直線平行推出其它角的關系。∠1與∠7是直線a和c被d所截得的同位角。只要證明a//c即可。
法(1)證明:∵d是直線(已知)
∴∠1+∠4=180°(平角定義)
∵∠2+∠3=180°,∠1=∠2(已知)
∴∠3=∠4(等角的補角相等)
∴a//c(同位角相等,兩直線平行)
∴∠1=∠7(兩直線平行,同位角相等)
法(2)證明:∵∠2+∠3=180°,∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠3=180°(等量代換)
∵∠5=∠1,∠6=∠3(對頂角相等)∴∠5+∠6=180°(等量代換)
∴a//c (同旁內角互補,兩直線平行)∴∠1=∠7(兩直線平行,同位角相等)。
【模擬試題】(答題時間:30分鐘)
1. 判斷題:(每小題3分,共24分)
(1)兩條直線被第三條直線所截,同位角相等 ( )
(2)如果直線∥,那么∥ ( )
(3)兩條直線平行,同旁內角相等; ( )
(4)鄰補角的角平分線所在的兩條直線互相垂直 ( )
2. 選擇題:
(1)如圖,如果AD∥BC,則有
①∠A+∠B=180° ②∠B+∠C=180° ③∠C+∠D=180°
上述結論中正確的是( )
A. 只有① B. 只有② C. 只有③ D. 只有①和③
(2)如圖,如果AB∥CD,CD∥EF,那么∠BCE等于( )
A. ∠1+∠2 B. ∠2-∠1
C. 180°-∠2 +∠1 D. 180°-∠1+∠2
(3)如果直線∥,∥,那么∥。這個推理的依據是( )
A. 等量代換 B. 平行公理
C. 兩直線平行,同位角相等
D. 平行于同一直線的兩條直線平行
3. 填空:(每空1分,共16分)
(1)如圖,∠3與∠B是直線AB、______被直線______所截而成的______角;∠1與∠A是直線AB、______被直線______所截而成的______角;∠2與∠A是直線AB、______被直線______所截而成的______角。
(2)已知:如圖,AB∥CD,EF分別交AB、CD于E、F,EG平分∠AEF,FH平分∠EFD。
求證:EG∥FH
證明:∵ AB∥CD(已知)
∴ ∠AEF=∠EFD (______)
∵ EG平分∠AEF,FH平分∠EFD(______),
∴∠______=∠AEF,
∠______=∠EFD(角平分線定義)
∴∠______=∠______
∴ EG∥FH(______)
4. 已知:如圖,∠1=35°,AB⊥CD,垂足為O,EF經過點O。求∠2、∠3、∠4的度數。(10)
5. 已知:如圖,直線EF與AB、CD分別相交于點G、H,∠1=∠3。求證:AB∥CD。(10分)
6. 已知:如圖,AB∥CD,BE∥CF。求證:∠1=∠4。(10分)
7. 已知:如圖,BE∥DF,∠B=∠D。求證:AD∥BC。(10分)
【試題答案】
1. (1)×(2)×(3)×(4)√
2. (1)D(2)C(3)D
3. (1)CE,BD,同位;BD,AC,同旁內;CE,AC,內錯
(2)兩直線平行,內錯角相等;已知;GEF;EFH;GEF;EFH;內錯角相等,兩直線平行
4. ∠2=145° ∠3=35° ∠4=55°
5. 證明:∵∠1=∠GHD,∠3=∠AGH(對頂角相等),
∠1=∠3(已知),
∴∠AGH=∠GHD
∴AB∥CD(內錯角相等,兩直線平行)
6. 證明:∵AB∥CD(已知),
∴∠ABC=∠BCD(兩條直線平行,內錯角相等)
∵BE∥CF(已知)
∴∠2=∠3(兩條直線平行,內錯角相等),
∵∠ABC=∠1+∠2,∠BCD=∠3+∠4,
∴∠1=∠4
7. 證明:∵BE∥DF(已知)
∴∠D=∠EAD(兩條直線平行,內錯角相等),
∵∠B=∠D(已知),
∴∠B=∠EAD
∴AD∥BC(同位角相等,兩直線平行)
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