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平行線判定與性質口訣

日期:2021-05-07

這是平行線判定與性質口訣,是優秀的數學教案文章,供老師家長們參考學習。

平行線判定與性質口訣

平行線判定與性質口訣第1篇

¤ 最簡根式的條件

最簡根式三條件,

號內不把分母含,

冪指(數)根指(數)要互質,

冪指比根指小一點。

¤ 特殊點的坐標特征

坐標平面點(x,y),橫在前來縱在后;

(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四個象限分前后;

x軸上y為0,x為0在y軸。

¤ 象限角的平分線

象限角的平分線,

坐標特征有特點,

一、三橫縱都相等,

二、四橫縱確相反。

¤ 平行某軸的直線

平行某軸的直線,

點的坐標有講究,

直線平行x軸,縱坐標相等橫不同;

直線平行于y軸,點的橫坐標仍照舊。

¤ 對稱點的坐標

對稱點坐標要記牢,

相反數位置莫混淆,

x軸對稱y相反,

y軸對稱,x前面添負號;

原點對稱最好記,

橫縱坐標變符號。

¤ 自變量的取值范圍

分式分母不為零,

偶次根下負不行;

零次冪底數不為零,

整式、奇次根全能行。

¤ 函數圖象的移動規律

若把一次函數解析式寫成y=k(x+0)+b,二次函數的解析式寫成y=a(x+h)2+k的形式,則可用下面的口訣:

左右平移在括號,

上下平移在末稍,

左正右負須牢記,

上正下負錯不了。

¤ 一次函數的圖象與性質的口訣

一次函數是直線,圖象經過三象限;

正比例函數更簡單,經過原點一直線;

兩個系數k與b,作用之大莫小看,

k是斜率定夾角,b與y軸來相見,

k為正來右上斜,x增減y增減;

k為負來左下展,變化規律正相反;

k的絕對值越大,線離橫軸就越遠。

¤ 二次函數的圖象與性質的口訣

二次函數拋物線,圖象對稱是關鍵;

開口、頂點和交點,它們確定圖象現;

開口、大小由a斷,c與y軸來相見,

b的符號較特別,符號與a相關聯;

頂點位置先找見,y軸作為參考線,

左同右異中為0,牢記心中莫混亂;

頂點坐標最重要,一般 式配方它就現,

橫標即為對稱軸,縱標函數最值見。

若求對稱軸位置,符號反,

一般、頂點、交點式,不同表達能互換。

¤ 反比例函數的圖象與性質的口訣

反比例函數有特點,雙曲線相背離得遠;

k為正,圖在一、三(象)限,

k為負,圖在二、四(象)限;

圖在一、三函數減,兩個分支分別減。

圖在二、四正相反,兩個分支分別增;

線越長越近軸,永遠與軸不沾邊。

¤ 巧記三角函數定義

初中所學的三角函數有正弦、余弦、正切、余切,它們實際是直角三角形的邊的比值,可以把兩個字用/隔開,再用下面的.

一句話記定義:

一位不高明的廚子教徒弟殺魚,說了這么一句話:“正對魚磷(余鄰)直刀切。

”正:正弦或正切,對:對邊即正是對;余:余弦或余弦,鄰:鄰邊即余是鄰;切是直角邊.

¤ 三角函數的增減性

正增余減

¤ 特殊三角函數值記憶

首先記住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3,分子記口訣“123,321,三九二十七”既可。

¤ 平行四邊形的判定

要證平行四邊形,兩個條件才能行,

一證對邊都相等,或證對邊都平行,

一組對邊也可以,必須相等且平行。

對角線,是個寶,互相平分“跑不了”,

對角相等也有用,“兩組對角”才能成。

¤ 梯形問題的輔助線

移動梯形對角線,兩腰之和成一線;

平行移動一條腰,兩腰同在“△”現;

延長兩腰交一點,“△”中有平行線;

作出梯形兩高線,矩形顯示在眼前;

已知腰上一中線,莫忘作出中位線。

¤ 添加輔助線歌

輔助線,怎么添?

找出規律是關鍵,題中若有角(平)分線,可向兩邊作垂線;

線段垂直平分線,引向兩端把線連,三角形兩邊中點,連接則成中位線;

三角形中有中線,延長中線翻一番。

¤ 圓的證明歌

圓的證明不算難,常把半徑直徑連;

有弦可作弦心距,它定垂直平分弦;

直徑是圓最大弦,直圓周角立上邊,

它若垂直平分弦,垂徑、射影響耳邊;

還有與圓有關角,勿忘相互有關聯,

圓周、圓心、弦切角,細找關系把線連;

同弧圓周角相等,證題用它最多見,

圓中若有弦切角,夾弧找到就好辦;

圓有內接四邊形,對角互補記心間,

外角等于內對角,四邊形定內接圓;

直角相對或共弦,試試加 個輔助圓;

若是證題打轉轉,四點共圓可解難;

要想證明圓切線,垂直半徑過外端,

直線與圓有共點,證垂直來半徑連,

直線與圓未給點,需證半徑作垂線;

四邊形 有內切圓,對邊和等是條件;

如果遇到圓與圓,弄清位置很關鍵,

兩圓相切作公切,兩圓相交連公弦。

¤ 圓中比例線段

遇等積,改等比,橫找豎找定相似;

不相似,別生氣,等線等比來代替,

遇等比,改等積,引用射影和圓冪,

平行線,轉比例,兩端各自找聯系。

¤ 正多邊形訣竅歌

份相等分割圓,n值必須大于三,

依次連接各分點,內接正n邊形在眼前。

經過分點做切線,切線相交n個點。

n個交點做頂點,外切正n邊形便出現。

正n邊形很美觀,它有內接、外切圓,

內接、外切都唯一,兩圓還是同心圓,

它的圖形軸對稱,n條對稱軸 都過圓心點,

如果n值為偶數,中心對稱很方便。

正n邊形做計算,邊心距、半徑是關鍵,

內切、外接圓半徑,邊心距、半徑分別換,

分成直角三角形2n個整,依此計算便簡單。

¤ 函數學習口決

正比例函數是直線,圖象一定過原點,

k的正負是關鍵,決定直線的象限,

負k經過二四限,x增大y在減,

上下平移k不變,由引得到一次線,

向上加b向下減,圖象經過三個限,

兩點決定一條線,選定系數是關鍵。

反比例函數雙曲線,待定只需一個點,

正k落在一三限,x增大y在減,

圖象上面任意點,矩形面積都不變,

對稱軸是角分線,x、y的順序可交換。

二次函數拋物線,選定需要三個點,

a的正負開口判,c的大小y軸看,

△的符號最簡便,x軸上數交點,

a、b同號軸左邊,拋物線平移a不變,

頂點牽著圖象轉,三種形式可變換,

配方法作用最關鍵。

平行線判定與性質口訣第2篇

  一、最簡根式的條件

  最簡根式三條件,

  號內不把分母含,

  冪指(數)根指(數)要互質,

  冪指比根指小一點。

  二、特殊點的坐標特征

  坐標平面點(x,y),橫在前來縱在后;

  (+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四個象限分前后;

  x軸上y為0,x為0在y軸。

  三、象限角的平分線

  象限角的平分線,

  坐標特征有特點,

  一、三橫縱都相等,

  二、四橫縱確相反。

  四、平行某軸的直線

  平行某軸的直線,

  點的坐標有講究,

  直線平行x軸,縱坐標相等橫不同;

  直線平行于y軸,點的橫坐標仍照舊。

  五、對稱點的坐標

  對稱點坐標要記牢,

  相反數位置莫混淆,

  x軸對稱y相反,

  y軸對稱,x前面添負號;

  原點對稱最好記,

  橫縱坐標變符號。

  六、自變量的取值范圍

  分式分母不為零,

  偶次根下負不行;

  零次冪底數不為零,

  整式、奇次根全能行。

  七、函數圖象的移動規律

  若把一次函數解析式寫成y=k(x+0)+b,二次函數的解析式寫成y=a(x+h)2+k的形式,則可用下面的`口訣

  左右平移在括號,

  上下平移在末稍,

  左正右負須牢記,

  上正下負錯不了。

  八、一次函數的圖象與性質的口訣

  一次函數是直線,圖象經過三象限;

  正比例函數更簡單,經過原點一直線;

  兩個系數k與b,作用之大莫小看,

  k是斜率定夾角,b與y軸來相見,

  k為正來右上斜,x增減y增減;

  k為負來左下展,變化規律正相反;

  k的絕對值越大,線離橫軸就越遠。

  九、二次函數的圖象與性質的口訣

  二次函數拋物線,圖象對稱是關鍵;

  開口、頂點和交點,它們確定圖象現;

  開口、大小由a斷,c與y軸來相見,

  b的符號較特別,符號與a相關聯;

  頂點位置先找見,y軸作為參考線,

  左同右異中為0,牢記心中莫混亂;

  頂點坐標最重要,一般 式配方它就現,

  橫標即為對稱軸,縱標函數最值見。

  若求對稱軸位置,符號反,

  一般、頂點、交點式,不同表達能互換。

  十、反比例函數的圖象與性質的口訣

  反比例函數有特點,雙曲線相背離得遠;

  k為正,圖在一、三(象)限,

  k為負,圖在二、四(象)限;

  圖在一、三函數減,兩個分支分別減。

  圖在二、四正相反,兩個分支分別增;

  線越長越近軸,永遠與軸不沾邊。

  十一、巧記三角函數定義

  初中所學的三角函數有正弦、余弦、正切、余切,它們實際是直角三角形的邊的比值,可以把兩個字用/隔開,再用下面的.

  十二、一句話記定義

  一位不高明的廚子教徒弟殺魚,說了這么一句話“正對魚磷(余鄰)直刀切。

  ”正正弦或正切,對對邊即正是對;余余弦或余弦,鄰鄰邊即余是鄰;切是直角邊.

  十三、三角函數的增減性

  正增余減

  十四、特殊三角函數值記憶

  首先記住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3,分子記口訣“123,321,三九二十七”既可。

  十五、平行四邊形的判定

  要證平行四邊形,兩個條件才能行

  ,一證對邊都相等,或證對邊都平行,

  一組對邊也可以,必須相等且平行。

  對角線,是個寶,互相平分“跑不了”,

  對角相等也有用,“兩組對角”才能成。

  十六、梯形問題的輔助線

  移動梯形對角線,兩腰之和成一線;

  平行移動一條腰,兩腰同在“△”現;

  延長兩腰交一點,“△”中有平行線;

  作出梯形兩高線,矩形顯示在眼前;

  已知腰上一中線,莫忘作出中位線。

  十七、添加輔助線歌

  輔助線,怎么添?

  找出規律是關鍵,題中若有角(平)分線,可向兩邊作垂線;

  線段垂直平分線,引向兩端把線連,三角形兩邊中點,連接則成中位線;

  三角形中有中線,延長中線翻一番。

  十八、圓的證明歌

  圓的證明不算難,常把半徑直徑連;

  有弦可作弦心距,它定垂直平分弦;

  直徑是圓最大弦,直圓周角立上邊,

  它若垂直平分弦,垂徑、射影響耳邊;

  還有與圓有關角,勿忘相互有關聯,

  圓周、圓心、弦切角,細找關系把線連;

  同弧圓周角相等,證題用它最多見,

  圓中若有弦切角,夾弧找到就好辦;

  圓有內接四邊形,對角互補記心間,

  外角等于內對角,四邊形定內接圓;

  直角相對或共弦,試試加 個輔助圓;

  若是證題打轉轉,四點共圓可解難;

  要想證明圓切線,垂直半徑過外端,

  直線與圓有共點,證垂直來半徑連,

  直線與圓未給點,需證半徑作垂線;

  四邊形 有內切圓,對邊和等是條件;

  如果遇到圓與圓,弄清位置很關鍵,

  兩圓相切作公切,兩圓相交連公弦。

  十九、圓中比例線段

  遇等積,改等比,橫找豎找定相似;

  不相似,別生氣,等線等比來代替,

  遇等比,改等積,引用射影和圓冪,

  平行線,轉比例,兩端各自找聯系。

  二十、正多邊形訣竅歌

  份相等分割圓,n值必須大于三,

  依次連接各分點,內接正n邊形在眼前。

  經過分點做切線,切線相交n個點。

  n個交點做頂點,外切正n邊形便出現。

  正n邊形很美觀,它有內接、外切圓,

  內接、外切都唯一,兩圓還是同心圓,

  它的圖形軸對稱,n條對稱軸 都過圓心點,

  如果n值為偶數,中心對稱很方便。

  正n邊形做計算,邊心距、半徑是關鍵,

  內切、外接圓半徑,邊心距、半徑分別換,

  分成直角三角形2n個整,依此計算便簡單。

  二十一、函數學習口決

  正比例函數是直線,圖象一定過原點,

  k的正負是關鍵,決定直線的象限,

  負k經過二四限,x增大y在減,

  上下平移k不變,由引得到一次線,

  向上加b向下減,圖象經過三個限,

  兩點決定一條線,選定系數是關鍵。

  二十二、反比例函數雙曲線

  待定只需一個點,

  正k落在一三限,x增大y在減,

  圖象上面任意點,矩形面積都不變,

  對稱軸是角分線,x、y的順序可交換。

  二十三、二次函數拋物線

  選定需要三個點,

  a的正負開口判,c的大小y軸看,

  △的符號最簡便,x軸上數交點,

  a、b同號軸左邊,拋物線平移a不變,

  頂點牽著圖象轉,三種形式可變換,

  配方法作用最關鍵。

平行線判定與性質口訣第3篇

【同步教育信息】

一. 本周教學內容:

平行線判定和性質

教學目的:

1. 會認由三線八角所成的同位角,內錯角,同旁內角

2. 掌握平行公理及其推論

3. 掌握并能較靈活應用平行線的判定方法和性質

教學重點和難點:

重點:平行線的概念、平行公理、平行線的判定和平行線的性質。

難點:①平行線的性質與平行線的判定的區分 ②掌握推理論證的格式。

教學中體現出的重要的數學思想:

1. 數形結合的思想:把計算、推理與圖形結合起來,以形輔算,以算輔形的思想。

2. 方程的思想:利用方程(組)求解未知量的思想。

教學中學生應注意培養的主要數學能力:

1. 空間想象能力:從培養自己觀察幾何圖形的位置關系的能力入手,逐步提高自己認圖能力和抽象、概括幾何概念的能力,從而培養自己的空間想象能力。

2. 運算能力:通過幾何計算,在熟練技能的基礎上,培養運算能力。

3. 邏輯推理能力:在初步掌握推理技能的基礎上,逐步培養自己靈活運用各種推理形式的能力。

4. 思維能力:在本章的學習中,要從幾何語言能力的培養入手,在文字語言,符號語言,圖形語言的相互轉化訓練中,逐步規范自己的思維模式,為發展自己的思維能力打下好的基礎。

幾何證明題的基本結構和方法: 常用三種方法:一種方法是從結論入手,思考要使結論成立,需要具備什么條件,這樣逆推直到需要的條件已經具備,有時也用另一種方法思考,即從已知條件入手,思考從已知條件可以順推出什么結論來,這樣順推直至結論成立,最后一種方法也可以順推與逆推相結合,從問題的兩頭向中間靠攏,從而發現問題的入手點。

教學過程:

[知識點總結]

一、三線八角:

直線AB、CD被直線EF所截,如圖所示

1)同位角:1和5這兩個角分別在直線AB、CD的上方,都在直線EF的同一側。還有:2和6、4和8、3和7

2)內錯角:4和6這兩個角都在直線AB、CD之間,并且在EF的兩側。還有3和5

3)同旁內角:4和5這兩個角在直線AB、CD之間,在EF的同一旁。還有3和6

二、平行線的定義、性質和判定

1. 平行線的定義:在同一平面內,不相交的兩條直線叫做平行線

記作:∥

2. 平行公理:

經過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行

公理的推論:(平行的傳遞性)

如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行

*∥,∥

*∥

3. 平行線的判定:如圖所示:

(1)判定方法1:兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行。簡稱:同位角相等,兩直線平行。

AB∥CD

(2)判定方法2:兩條直線被第三條直線所截,如果內錯角相等,那么這兩條直線平行。簡稱:內錯角相等,兩直線平行。

AB∥CD

(3)判定方法3:兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內角互補,那么這兩條直線平行。簡稱:同旁內角互補,兩直線平行。

AB∥CD

4. 平行線的性質(如上圖)

(1)兩條直線被第三條直線所截,同位角相等

AB∥CD

(2)兩條直線被第三條直線所截,內錯角相等

AB∥CD

(3)兩條直線被第三條直線所截,同旁內角互補

*AB∥CD

【典型例題】

例1:找出下圖中互相平行的直線,并說明理由。

答:同位角相等

例2:(1)如下圖,∵∠1=∠2

∴ AC ∥ DE , 內錯角相等,兩直線平行

∵∠2= ∠4

∴ DE ∥ FG ,同位角相等,兩直線平行

∵∠3+∠4=180°

∴ DE∥ FG ,同旁內角互補,兩直線平行

∴AC∥FG, 平行于同一直線的兩直線平行

(2)如下圖,∵DE∥BC

∴∠2= ∠4 , 兩直線平行,內錯角相等

∴∠B+ ∠5 =180°,兩直線平行,同旁內角互補

∵∠B=∠4

∴ AB∥ EF , 同位角相等兩直線平行

∴ ∠B+ ∠3 =180°,兩直線平行,同旁內角互補

例3:已知如圖,AB//CD,∠1=∠3,求證:AC//BD。

分析:因為本題是判定兩條直線平行的,應選用平行線的判定,因為AB//CD,所以可知∠1=∠2,又因為∠1=∠3,可推出∠2=∠3,能判定AB與CD平行。

也可以從求證入手,要求證AC//CD,需要求出∠2=∠3,因為平行線的性質得出∠1=∠2,已知∠1=∠3,利用等量代換即可。

證明:∵AB//CD(已知)

∴∠1=∠2(兩直線平行,內錯角相等)

又∵∠1=∠3(已知)

∴∠2=∠3(等量代換)

∴AC//BD(同位角相等,兩直線平行)。

例4:已知如圖,AB//CD,AC//BD,求證:∠1=∠3。

分析:因為∠1和∠3的位置不能構成同位角或內錯角,也不是同旁內角,因此不可能利用題設中的平行直線關系,經過一次推理得到結論。需要找出一個間接的量就是∠2,由圖形中∠1與∠2是內錯角位置。而∠2與∠3是同位角位置,再通過等角進行轉化。

若從條件入手,平行可以得出很多結論,在其中選出與求證的角有關的結論,找到結論之間的關系,從而得證。

證明:∵AB//CD(已知)

∴∠1=∠2(兩直線平行,內錯角相等)

又∵AC//BD(已知)

∴∠2=∠3(兩直線平行,同位角相等)

∴∠1=∠3(等量代換)

例5:已知如圖∠1=∠2,BD平分∠ABC,求證:AB//CD。

分析:從條件入手分析,利用平分線得到等角,利用等量代換求出∠1=∠3,再根據平行線的判定得出平行關系,或從結論入手也可以。

證明:∵BD平分∠ABC(已知)

∴∠2=∠3(角平分線定義)

∵∠1=∠2(已知)

∴∠1=∠3(等量代換)

∴AB//CD(內錯角相等,兩直線平行)。

例6:已知如圖,AB//CD,∠1=∠2,求證:BD平分∠ABC。

證明:∵AB//CD(已知)

∴∠1=∠3(兩直線平行,內錯角相等)

又∵∠1=∠2(已知)

∴∠2=∠3(等量代換)∴BD平分∠ABC(角平分線定義)

注意:1)要證明角平分線,必須通過證明角相等得出。

2)當條件和結論交換時,注意只能運用已知條件推出未知的結論。

例7:如圖,已知直線a,b,c被直線d所截,若∠1=∠2,∠2+∠3=180°,求證:∠1=∠7。

分析:運用綜合法來分析此題,證明思路是由已知角的關系推證出兩直線平行,然后再由兩直線平行推出其它角的關系。∠1與∠7是直線a和c被d所截得的同位角。只要證明a//c即可。

法(1)證明:∵d是直線(已知)

∴∠1+∠4=180°(平角定義)

∵∠2+∠3=180°,∠1=∠2(已知)

∴∠3=∠4(等角的補角相等)

∴a//c(同位角相等,兩直線平行)

∴∠1=∠7(兩直線平行,同位角相等)

法(2)證明:∵∠2+∠3=180°,∠1=∠2(已知)

∴∠1+∠3=180°(等量代換)

∵∠5=∠1,∠6=∠3(對頂角相等)∴∠5+∠6=180°(等量代換)

∴a//c (同旁內角互補,兩直線平行)∴∠1=∠7(兩直線平行,同位角相等)。

【模擬試題】(答題時間:30分鐘)

1. 判斷題:(每小題3分,共24分)

(1)兩條直線被第三條直線所截,同位角相等 ( )

(2)如果直線∥,那么∥ ( )

(3)兩條直線平行,同旁內角相等; ( )

(4)鄰補角的角平分線所在的兩條直線互相垂直 ( )

2. 選擇題:

(1)如圖,如果AD∥BC,則有

①∠A+∠B=180° ②∠B+∠C=180° ③∠C+∠D=180°

上述結論中正確的是( )

A. 只有① B. 只有② C. 只有③ D. 只有①和③

(2)如圖,如果AB∥CD,CD∥EF,那么∠BCE等于( )

A. ∠1+∠2 B. ∠2-∠1

C. 180°-∠2 +∠1 D. 180°-∠1+∠2

(3)如果直線∥,∥,那么∥。這個推理的依據是( )

A. 等量代換 B. 平行公理

C. 兩直線平行,同位角相等

D. 平行于同一直線的兩條直線平行

3. 填空:(每空1分,共16分)

(1)如圖,∠3與∠B是直線AB、______被直線______所截而成的______角;∠1與∠A是直線AB、______被直線______所截而成的______角;∠2與∠A是直線AB、______被直線______所截而成的______角。

(2)已知:如圖,AB∥CD,EF分別交AB、CD于E、F,EG平分∠AEF,FH平分∠EFD。

求證:EG∥FH

證明:∵ AB∥CD(已知)

∴ ∠AEF=∠EFD (______)

∵ EG平分∠AEF,FH平分∠EFD(______),

∴∠______=∠AEF,

∠______=∠EFD(角平分線定義)

∴∠______=∠______

∴ EG∥FH(______)

4. 已知:如圖,∠1=35°,AB⊥CD,垂足為O,EF經過點O。求∠2、∠3、∠4的度數。(10)

5. 已知:如圖,直線EF與AB、CD分別相交于點G、H,∠1=∠3。求證:AB∥CD。(10分)

6. 已知:如圖,AB∥CD,BE∥CF。求證:∠1=∠4。(10分)

7. 已知:如圖,BE∥DF,∠B=∠D。求證:AD∥BC。(10分)

【試題答案】

1. (1)×(2)×(3)×(4)√

2. (1)D(2)C(3)D

3. (1)CE,BD,同位;BD,AC,同旁內;CE,AC,內錯

(2)兩直線平行,內錯角相等;已知;GEF;EFH;GEF;EFH;內錯角相等,兩直線平行

4. ∠2=145° ∠3=35° ∠4=55°

5. 證明:∵∠1=∠GHD,∠3=∠AGH(對頂角相等),

∠1=∠3(已知),

∴∠AGH=∠GHD

∴AB∥CD(內錯角相等,兩直線平行)

6. 證明:∵AB∥CD(已知),

∴∠ABC=∠BCD(兩條直線平行,內錯角相等)

∵BE∥CF(已知)

∴∠2=∠3(兩條直線平行,內錯角相等),

∵∠ABC=∠1+∠2,∠BCD=∠3+∠4,

∴∠1=∠4

7. 證明:∵BE∥DF(已知)

∴∠D=∠EAD(兩條直線平行,內錯角相等),

∵∠B=∠D(已知),

∴∠B=∠EAD

∴AD∥BC(同位角相等,兩直線平行)

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