這是函數的基本性質有，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

函數的基本性質有第1篇

其性質通常是指函數的定義域、值域、解析式、單調性、奇偶性、周期性、對稱性。函數表示每個輸入值對應唯一輸出值的一種對應關系。函數f中對應輸入值x的輸出值的標準符號為f(x)。

性質

有界性

設函數f（x）在區間X上有定義，如果存在M>0，對于一切屬于區間X上的x，恒有|f（x）|≤M，則稱f（x）在區間X上有界，否則稱f（x）在區間上無界。

單調性

設函數f（x）的定義域為D，區間I包含于D。如果對于區間上任意兩點x1及x2，當x1f（x2），則稱函數f（x）在區間I上是單調遞減的。單調遞增和單調遞減的函數統稱為單調函數。

奇偶性

設為一個實變量實值函數，若有f（-x）=-f（x），則f（x）為奇函數。

幾何上，一個奇函數關于原點對稱，亦即其圖像在繞原點做180度旋轉后不會改變。

奇函數的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。

設f（x）為一實變量實值函數，若有f（x）=f（-x），則f（x）為偶函數。

幾何上，一個偶函數關于y軸對稱，亦即其圖在對y軸映射后不會改變。

偶函數的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。

偶函數不可能是個雙射映射。

連續性

在數學中，連續是函數的一種屬性。直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱為是不連續的函數（或者說具有不連續性）。

函數的基本性質有第2篇

一、函數的單調性

函數的單調性函數的單調性反映了函數圖像的走勢，高考中常考其一下作用：比較大小，解不等式，求最值。

定義：（略）

定理1： 那么

上是增函數；

上是減函數.

定理2：（導數法確定單調區間） 若 ，那么

上是增函數； 上是減函數.

1.函數單調性的判斷(證明)

(1)作差法(定義法) (2)作商法 (3)導數法

2.復合函數的單調性的判定

對于函數 和 ，如果函數 在區間 上具有單調性，當 時 ，且函數 在區間 上也具有單調性，則復合函數 在區間 具有單調性。

3.由單調函數的四則運算所得到的函數的單調性的判斷

對于兩個單調函數 和 ，若它們的定義域分別為 和 ，且 ：

(1)當 和 具有相同的增減性時，

① 的增減性與 相同，

② 、 、 的增減性不能確定；

(2)當 和 具有相異的增減性時，我們假設 為增函數， 為減函數，那么：

① 的增減性不能確定；

② 、 、 為增函數， 為減函數。

4.奇偶函數的單調性

奇函數在其定義域內的對稱區間上的單調性相同，偶函數在其定義域內的對稱區間上的單調性相反。

二、函數的對稱性

函數的對稱性是函數的一個基本性質, 對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中,而且利用對稱性往往能夠更簡捷的使問題得到解決,對稱關系同時還充分體現數學之美。

1.函數 的圖象的對稱性（自身）:

定理1: 函數 的圖象關于直 對稱

特殊的有：

①函數 的圖象關于直線 對稱 。

②函數 的圖象關于 軸對稱（奇函數） 。

③函數 是偶函數 關于 對稱。

定理2：函數 的圖象關于點 對稱

特殊的有：

① 函數 的圖象關于點 對稱 。

② 函數 的圖象關于原點對稱（奇函數） 。

③ 函數 是奇函數 關于點 對稱。

定理3：（性質）

①若函數y=f (x)的圖像有兩條鉛直對稱軸x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)為周期函數且2|a-b|是它的一個周期。

②若函數y=f (x)的圖像有一個對稱中心M(m.n)和一條鉛直對稱軸x=a,那么f(x)為周期函數且4|a-m|為它的一個周期。

③若函數y = f (x) 圖像同時關于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數，且2| a－b|是其一個周期。

④若一個函數的反函數是它本身,那么它的圖像關于直線y=x對稱。

2.兩個函數圖象的對稱性:

①函數 與函數 的圖象關于直線 (即 軸)對稱.

②函數 與函數 的圖象關于直線 對稱.

特殊地: 與函數 的圖象關于直線 對稱

③函數 的圖象關于直線 對稱的解析式為

④函數 的圖象關于點 對稱的解析式為

⑤函數y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。

函數y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關于直線x－y = a成軸對稱。

函數y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱。

3．奇偶函數性質

對于兩個具有奇偶性的函數 和 ，若它們的定義域分別為 和 ，且 ：

（1）滿足定義式子 （偶） （奇）

（2）在原點有定義的奇函數有

(3)當 和 具有相同的奇偶性時，假設為奇函數，那么：

①函數 、 也為奇函數；

簡單地說：

奇函數±奇函數=奇函數，

偶函數±偶函數=偶函數，

奇函數×奇函數=偶函數，

偶函數×偶函數=偶函數，

奇函數×偶函數=奇函數.

② 、 為偶函數；

③兩個偶函數之和、差、積、商為偶函數

(4)當 和 具有相異的奇偶性時，那么：

① 、 的奇偶性不能確定；

② 、 、 為奇函數。

（6）任意函數 均可表示成一個奇函數 與一個偶函數 的和。

（7）一般的奇函數都具有反函數，且依然是奇函數，偶函數沒有反函數

（8）圖形的對稱性 關于 軸對稱的函數（偶函數）關于原點 對稱的函數（奇函數）

（9）若 是偶函數，則必有

若 是奇函數，則必有

（10）若 為偶函數，則必有

若 是奇函數，則必有

（11）常見的奇偶函數

三、函數的周期性

函數的周期性反映了函數的重復性，在試題中它的主要用途是將大值化小，負值化正，求值。

1.周期性的定義

對于函數 ，如果存在一個非零常數 ，使得當 取定義域內的每一個值時，都有 都成立，那么就把函數 叫做周期函數，非零常數 叫做這個函數的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數，就把這個最小的正數叫做最小正周期。如果非零常數 是函數 的周期，那么 、 （ ）也是函數 的周期。

2. 函數的周期性的主要結論：

結論1：如果 （ ），那么 是周期函數，其中一個周期

結論2：如果 （ ），那么 是周期函數，其中一個周期

結論3：如果定義在 上的函數 有兩條對稱軸 、 對稱，那么 是周期函數，其中一個周期

結論4：如果偶函數 的圖像關于直線 （ ）對稱，那么 是周期函數，其中一個周期

結論5：如果奇函數 的圖像關于直線 （ ）對稱，那么 是周期函數，其中一個周期

結論6：如果函數同時關于兩點 、 （ ）成中心對稱，那么 是周期函數，其中一個周期

結論7：如果奇函數 關于點 （ ）成中心對稱，那么 是周期函數，其中一個周期

結論8：如果函數 的圖像關于點 （ ）成中心對稱，且關于直線 （ ）成軸對稱，那么 是周期函數，其中一個周期

結論9：如果 或 ，那么 是周期函數，其中一個周期

結論10：如果 或 ，那么 是周期函數，其中一個周期

結論11：如果 ，那么 是周期函數，其中一個周期

例1：定義在R上的非常數函數滿足：f (10+x)為偶函數，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ） （第十二屆希望杯高二 第二試題）

(A)是偶函數，也是周期函數 (B)是偶函數，但不是周期函數

(C)是奇函數，也是周期函數 (D)是奇函數，但不是周期函數

解：∵f (10+x)為偶函數，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。

故選(A)

例6.求證:若 為奇函數，則方程 =0若有根一定為奇數個。

證: 為奇函數 - =

2 =0 即 =0是方程 =0的根

若 是 =0的根，即 =0 由奇數定義得 =0

也是方程的根

即方程的根除 =0外成對出現。

方程根為奇數個。

例2：設定義域為R的函數y = f (x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

（A） 1999； （B）2000； （C）2001；（D）2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，

∴y = g-1(x－2) 反函數是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函數是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,應選（C）

例3.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時，

f (x) = － x，則f (8.6 ) = _________ （第八屆希望杯高二 第一試題）

解：∵f(x)是定義在R上的偶函數∴x = 0是y = f(x)對稱軸；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

例4. 設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)= －f(x),當0≤x≤1時，

f (x) = x，則f (7.5 ) = （ ）

(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5

解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函數，∴點（0，0）是其對稱中心；

又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故選(B)

函數的基本性質有第3篇

一、 反函數的性質和應用

（1）定義域值域相反 （2）圖象關于 對稱 （3）具有相同的單調性、奇偶性

（4）單調函數一定具有反函數，具有反函數的函數不一定單調，偶函數和周期函數一定不具有反函數 （5）原函數過 則反函數過 反之亦然

（6） ， ，但 僅當 才成立

（二）奇偶函數性質

（1）滿足定義式子（2）在原點有定義的奇函數有 （3）兩個偶函數之和、差、積、商為偶函數；（4）兩個奇函數之和、差為奇函數；積（商）為偶函數；（5）一個奇函數和偶函數之積、商為奇函數．（6）任意函數 均可表示成一個奇函數 與一個偶函數 的和（7）一般的奇函數都具有反函數，且依然是奇函數，偶函數沒有反函數（8）圖形的對稱性

（三） 周期性：定義、判斷

常見具有周期性的函數 或

（四） 對稱性：判斷、性質

（1）一個函數的對稱性：

1、函數 關于 對稱 或 或 顯然： 特殊的有偶函數關于y（即x=0）軸對稱，則有關系式 ；一般的有 ，函數 關于直線 對稱

2、函數 關于點 對稱

或 顯然特殊的有奇函數關于（0，0）對稱，奇函數有關系式

一般的有 ，函數 關于點 對稱

3、函數自身不可能關于 對稱，曲線則可能

（2）兩個函數的對稱性：

1、 與 關于X軸對稱。

2、 與 關于Y軸對稱。

3、 與 關于直線 對稱。

4、 與 關于直線 對稱。

5、 關于點(a,b)對稱。

6、 與 關于直線 對稱。

7、 關于直線 對稱

（四）三性的綜合應用

（08湖北卷6）已知 在R上是奇函數，且 A

A.-2 B.2 C.-98 D.98

（08四川卷）函數 滿足 ，若 ，則 ( C )

（Ａ）

　　 （Ｂ）

　　 （Ｃ）

　　 （Ｄ）

（2010安徽理數）若f(x)是R上周期為5的奇函數，且滿足f(1)=1，f(2)=2則 的值為（ ）A、 B、1 C、 D、2

（09江西卷）已知函數 是 上的偶函數，若對于 ，都有 ，且當 時， ，則 的值為 ( C )

A．

　　　 B．

　　 　C．

　　　 　D．

(09東興十月)定義在R上的函數 的圖象關于點 對稱，且滿足 ， ， ，則 _______

2009廣東三校一模）定義在 上的函數 是奇函數又是以 為周期的周期函數,則

等于 ( B )

A.-1 B.0 C.1 D.4

（2009全國卷Ⅰ理）函數 的定義域為R，若 與 都是奇函數， 則 ( D ) A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2

若函數y=f (x)的圖像有一個對稱中心M(m.n)和一條鉛直對稱軸x=a,那么f(x)為周期函數且4|a-m|為它的一個周期。

∵函數y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函數y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函數，且4| a－b|是其一個周期。

例2. 是定義在R上滿足 的函數且滿足 若 時 則 時＿＿

,

-6

-3

O

3

6

1

Y

X

解：如圖 函數在

知識點及方法

對稱性、函數的奇偶性；二次函數的對稱性；對稱性與函數的解析式；化歸思想

二次函數的對稱性

1． 已知 是二次函數，圖象開口向上, , 比較 大小。

2． 若二次函數 的圖象開口向下，且f(x)=f(4-x),比較 的大小。

3． 二次函數 滿足 ,求 的頂點的坐標。

4． 已知 ,且 .（1）寫出 的關系式 （2）指出 的單調區間。

函數的對稱性求解析式

1． 已知 是偶函數，當 時， ,求 的解析式.

2． 已知函數的 圖象與函數 的圖象關于原點成中心對稱, 求 的解析式。

3． 設函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，若當x￡1時，y=x2＋1，求當x>1時, ,f(x)的解析式.

4． 設 , 求 關于直線 對稱的曲線的解析式.

5． 已知函數 是偶函數，且x∈(0,+∞)時有f(x)= , 求當x∈(－∞,－2)時, 求 的解析式.

6． 已知函數 是偶函數，當 時， 又 的圖象關于直線 對稱，求 在 的解析式.

7． 已知函數 ）是奇函數，則下列坐標表示的點一定在函數 圖象上A． B． C． D．

8． 已知 是定義在R上的奇函數，當 時， ，那么不等式 的解集是（ ）

9． 設定義域為R的函數 滿足以下條件； ⑴ 對任意 ； ⑵ 對任意 ，當 時，有 則以下不等式不一定成立的是（ ） A． B．

C． D．

5、 已知定義在 上的函數 的圖象關于點 對稱，且 ， ， ，則 的值為（ ）

A． B． C．0 D．1

7、已知函數 ，給出下列命題，

⑴ 不可能為偶函數； ⑵ 當 時， 的圖象必關于直線 對稱； ⑶ 若 0，則 在區間 上是增函數； ⑷ 有最小值 ，其中正確命題的序號是______（將你認為正確的命題的序號都填上）．

9．已知函數f(x)=x+x3+x5，xl，x2，x3∈R，且xI+x2＜0，x1+x3<0，x2+x3<0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值(B )

A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不確定

10．函數 在區間 上有最小值，則函數 在區間 上一定 （ D）

A．有最小值 B．有最大值 C．是減函數 D．是增函數

12．函數 ，若f（0）=3，且f（2 x）=f（x），則有（B　）

A. 　 B.

C. 　 D. 與 的大小不確定

14．函數 的單調遞增區間為 ，那么實數a的取值范圍是 （ A）

A． B． C． D．

熱點1 （圖象與性質）．函數 的圖象是兩條直線的一部分（如圖所示），其定義域為[-1，0）∪（0，1]，則不等式 － ＞-1的解集是

A． B.

C. D.

５．函數 的定義域為D： 且滿足對于任意 ，有

（１）求 的值；

（２）判斷 的奇偶性并證明；

（３）如果 上是增函數，求x的取值范圍.

７．對于函數 ，若存在 ，使 成立，則稱 為 的“滯點”.已知函數 = .

(１)試問 有無“滯點”？若有，求之，否則說明理由；

８．已知 是定義在[－1，1]上的奇函數，且 ，若 ， 恒成立.

（1）判斷 在[－1，1]上是增函數還是減函數，并證明你的結論；

（2）解不等式 ；

（3）若 對所有 恒成立，求實數m的取值范圍.

21．設函數 定義在R上，對于任意實數 、 恒有 當 時，

①求證：

②求證： 在R上遞減；

③設集合

若 求 的取值范圍．

23.已知函數 的定義域為R，對任意實數m、n都有 ，且 ，當 時， .（1）求 ；（2）求和 ；（3）判斷函數 的單調性并證明。

22．設函數 的定義域為 且對任意的正實數 有 ，已知 且當 時 .

⑴求 的值；⑵試判斷 在 上的單調性并證明；

（17）已知函數

（1）判斷函數的單調性,并用定義證明;

　　　（2）求函數的最大值和最小值.

（19）（本小題滿分12分）設函數f(x)對任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0時，f(x)＜0.（1）證明：f(x)為奇函數；

　　

　　　（2）證明：f(x)在R上為減函數.

13.對于函數f(x)和g(x)，在公共的定義域內，規定f(x)*g(x)＝min{f(x),g(x)}，若f(x)＝3－x，g(x)＝ ，則f(x)*g(x)的最大值是＿＿＿＿。

變式：對于函數f(x)與g(x)，規定當f(x)≤g(x)時，f(x)·g(x)＝f(x)；當f(x)＞g(x)時，f(x)·g(x)＝g(x)。如果f(x)＝ ，g(x)＝3－x，則f(x)·g(x)的最大值為＿＿＿＿。