這是《因式分解》課題教案，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

　　因式分解是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用.初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法.而在競賽上，又有拆項和添項法，待定系數法，雙十字相乘法，輪換對稱法等.

　　⑴提公因式法

　　①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的～.

　　②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

　　am+bm+cm=m(a+b+c)

　　③具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數;字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數是正的.

　　⑵運用公式法

　　①平方差公式：. a^2-b^2=(a+b)(a-b)

　　②完全平方公式： a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

　　※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

　　③立方和公式：a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).

　　立方差公式：a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2).

　　④完全立方公式： a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

　　⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

　　a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)

　　⑶分組分解法

　　分組分解法：把一個多項式分組后，再進行分解因式的方法.

　　分組分解法必須有明確目的，即分組后，可以直接提公因式或運用公式.

　　⑷拆項、補項法

　　拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項)，使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解;要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形.

　　⑸十字相乘法

　　①x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解

　　這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1;常數項是兩個數的積;一次項系數是常數項的兩個因數的和.因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解： x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)

　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

　　如果能夠分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 時，那么

　　kx^2+mx+n=(ax b)(cx d)

　　a -----/b ac=k bd=n

　　c /-----d ad+bc=m

　　※ 多項式因式分解的一般步驟：

　　①如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式;

　　②如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;

　　③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解;

　　④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.

　　(6)應用因式定理：如果f(a)=0，則f(x)必含有因式(x-a)。如f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，則可確定(x+2)是x^2+5x+6的一個因式。

　　經典例題：

　　1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

　　解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]

　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

　　2.證明：對于任何數x,y，下式的值都不會為33

　　x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

　　解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

　　當y=0時，原式=x^5不等于33;當y不等于0時，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立

　　因式分解的十二種方法

　　把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下：

　　1、 提公因法

　　如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。

　　例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)

　　x -2x -x=x(x -2x-1)

　　2、 應用公式法

　　由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式。

　　例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)

　　解：a +4ab+4b =(a+2b)

　　3、 分組分解法

　　要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，并提出公因式a，把它后兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)

　　例3、分解因式m +5n-mn-5m

　　解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

　　= (m -5m )+(-mn+5n)

　　=m(m-5)-n(m-5)

　　=(m-5)(m-n)

　　4、 十字相乘法

　　對于mx +px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

　　例4、分解因式7x -19x-6

　　分析： 1 -3

　　7 2

　　2-21=-19

　　解：7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

　　5、配方法

　　對于那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。

　　例5、分解因式x +3x-40

　　解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

　　=(x+ ) -( )

　　=(x+ + )(x+ - )

　　=(x+8)(x-5)

　　6、拆、添項法

　　可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。

　　例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

　　=(c+b)(c-a)(a+b)

　　7、 換元法

　　有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然后進行因式分解，最后再轉換回來。

　　例7、分解因式2x -x -6x -x+2

　　解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

　　=x [2(x + )-(x+ )-6

　　令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6

　　= x [2(y -2)-y-6]

　　= x (2y -y-10)

　　=x (y+2)(2y-5)

　　=x (x+ +2)(2x+ -5)

　　= (x +2x+1) (2x -5x+2)

　　=(x+1) (2x-1)(x-2)

　　8、 求根法

　　令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

　　例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

　　解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

　　通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1

　　則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

　　9、 圖象法

　　令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

　　例9、因式分解x +2x -5x-6

　　解：令y= x +2x -5x-6

　　作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3，-1，2

　　則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

　　10、 主元法

　　先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

　　例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

　　分析：此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列

　　解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

　　=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

　　=(b-c)(a-b)(a-c)

　　11、 利用特殊值法

　　將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，并將組合后的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

　　例11、分解因式x +9x +23x+15

　　解：令x=2，則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

　　將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7

　　注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值

　　則x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

　　12、待定系數法

　　首先判斷出分解因式的形式，然后設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

　　例12、分解因式x -x -5x -6x-4

　　分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。

　　解：設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

　　= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

　　所以 解得

　　則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)