這是小學數學周長的概念，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

小學數學周長的概念第 1 篇

教學內容：人教版實驗教材三年級上冊第41頁。教學目標：1、 通過觀察、操作等活動，使學生理解周長的含義，能測量計算一些平面圖形的周長。2、 發展學生空間觀念的同時，滲透化曲為直、平移的數學思想。3、 在學習的過程中，使學生體會數學與生活的聯系，體驗成功的快樂。教學重難點：對周長含義的理解和計算平面圖形的周長。教具：多媒體課件學具：細線、直尺、皮尺、長方形、三角形、圓形、樓梯形、表格。教學過程：一、創設情境 理解周長(一)感受一周1、2008年是奧運年，小螞蟻和小瓢蟲也在做運動呢!(出示課件)2、仔細觀察，兩只小動物沿樹葉爬行的路線有什么不同?根據學生的回答，教師板書一周。3、請學生摸一摸樹葉的一周，教師強調起點在哪終點也就在那。(二)感受周長的長度1、請學生摸一摸數學書封面的一周、課桌面的一周，告訴學生像數學書封面的一周的長度、課桌面一周長度在數學上有個名字叫做周長。板書(周長)2、比較數學書封面的周長和課桌面的周長有什么不同?今天這節課和老師一起來認識平面圖形的周長。板書：(認識)(三)感受封閉圖形 揭示周長的概念1、圖形王國里今天來了一些好朋友，仔細觀察這些圖形有什么不同?(出示課件)2、通過學生觀察后，師告訴學生什么是封閉圖形和不封閉圖形。3、讓學生描一描自己喜歡的一個封閉圖形一周的長度，活動結束后告訴學生剛才描的封閉圖形一周的長度就是這個圖形的周長。(師板書周長的概念。)4、讓學生齊讀周長的概念。5、師舉例說明：像月牙形一周的長度就是月牙形的周長，三角形一周的長度就是三角形的周長。(四)鞏固周長找一找數學練習本的周長、板凳面的周長在哪?找到后摸一摸。設計意圖：(本環節的設計注意到低年級學生從：“實物操作”到“形象感知”再從“形象感知”到“抽象概念”。學生把周長這一抽象概念與生活緊密聯系起來，加深了對周長的理解。)二、合作探究 計算周長(一)設疑激趣1、出示長方形、圓形、三角形、樓梯形提問“你認識誰?”2、讓學生估一估哪個圖形周長長?3、當學生想法不一時，引導學生想辦法解決問題。(二)小組活動 測量周長1、出示活動要求，學生觀看。2、小組活動，教師巡視并指導。3、匯報交流 教師評價。4、小結：像一些規則的圖形用直尺直接測量出圖形的周長，像一些不規則的圖形可以用細線、皮尺繞圖形的一周然后再測量出圖形的周長。設計意圖：(學習數學最好的的方式就是在“做”中學，學生經歷了由疑問——討論——驗證思維得到了拓展，在操作中學會合作在合作中學會操作，總結出測量周長的方法，圓形周長過程中體現了“化曲為直”的數學思想，樓梯行周長則體現了平移的思想方法，提升了學生的數學思想。)三、運用周長 解決問題1、測測你的眼力讓學生通過觀察說一說為什么相等。(出示課件)2、量一量 填一填小組合作量一量同學的頭圍、腰圍、胸圍。姓 名頭 圍腰 圍胸 圍設計意圖：(學習數學的重要目的就在于用數學知識解決日常生活中的實際問題，練習的設計在培養學生思維能力的同時，使學生體會到生活中處處有數學。)四、全課總結你學會了什么?設計意圖：(讓學生自己總結、自己評價，體驗成功的價值，在提高學習積極性的同時突出了學生的主體地位。)

小學數學周長的概念第 2 篇

教學目標：1.結合具體事物或圖形，通過觀察、操作等活動，認識周長。能測量并計算出規則圖形的周長。2.在解決問題的過程中提高解決問題的能力。3.通過演示操作，激發學生的學習興趣，培養學生觀察和思考的習慣。教學重點：知道周長的含義。能計算圖形的周長。教學難點：知道周長的含義。教學關鍵：通過說一說、摸一摸、畫一畫、猜一猜、量一量等活動獲得豐富的感性認知，并在體驗、交流中升華為理性認知。教具準備：各種圖形，直尺、繩子、表格等。教學過程：一、情境導入《螞蟻公主》動畫片段1.同學們，你們喜歡看動畫嗎?今天老師給大家帶來了一段精彩的動畫。你們想看嗎? 小螞蟻上課打瞌睡，老師讓它去做做運動。大家仔細來看，這只小螞蟻是怎樣運動的?(課件出示)。你能說說小螞蟻是怎樣做的嗎?(學生交流)根據學生的交流，進行板書：一周邊線小螞蟻爬過的路程就是沿著樹葉的一周邊線。2.小螞蟻看到美麗的樹葉非常高興，同學們想不想把樹葉的輪廓描下來?學生描出P44中“描一描”兩片樹葉。誰愿意給大家演示一下是怎么描的?(實物投影演示)說說是從哪開始的'，又到哪里結束?3.樹葉一周邊線你能找到，那么游泳池池口一周邊線你能找到嗎?出示另一幅圖(游泳池)學生指出游泳池池口一周邊線。4.小結：游泳池池口一周邊線的長就是游泳池口的周長。誰能像老師這樣，說說什么就是游泳池池口的周長呢?(指生說)今天這節課，我們就一起來認識周長(板書課題：認識周長)5.那你能說說什么是樹葉的周長呢?出示P44中“描一描”兩片樹葉。學生看圖交流什么是樹葉的周長。二、實踐操作1.找一找同學們知道了什么是圖形的周長，那么你能指出圖形的周長嗎?出示松樹和五角星的圖形，學生指出圖形的周長。引導學生說清從哪開始，到哪結束的。2.摸一摸平面圖形的周長你能指出來，那么我們身邊物體表面的周長你也能找一找嗎?摸一摸(1)數學書封面的周長。(2)課桌面的周長。3.描一描同學們真了不起，既能找到平面圖形的周長，又能找到什么物體表面的周長，那么你能描出老師所出示的圖形的周長嗎?描出45-1中圖形的周長。全班交流。強調汽車圖形的周長。(邊線指的是圖形最外圍的一圈。)4.判一判出示四個圖形，學生判斷是不是圖形的周長，并說明理由。5.算一算小組合作，量一量圖形的周長，并完成表格。在小組活動之前，先看清楚要求(課件出示要求)請你從中選擇你喜歡的圖形量一量，算一算它的周長。師：誰來匯報一下自己是怎么算的，提問：你是怎么算長方形的周長的? (長方形形的周長就是把它四條邊加起來的和)提問：你是怎樣測量樹葉的周長的? 方法：用繩子圍著曲線圍成的圖形繞一圈，再把它拉直測量。提問：你是怎樣測量圓形的周長的?小結：由曲線圍成的圖形的周長我們可以想辦法把它們一周的邊線化曲為直測量出它的周長三、鞏固應用1.用四個邊長1厘米的正方形拼成下面的圖形。哪個圖形的周長最短?四、小結同學們，通過這節課的學習你有哪些收獲呢?

小學數學周長的概念第 3 篇

1、什么是圖形的周長？

圍成一個圖形所有邊長的總和就是這個圖形的周長。

2、什么是面積？

物體的表面或圍成的平面圖形的大小叫做他們的面積。

3、加法各部分的關系：

一個加數=和-另一個加數

4、減法各部分的關系：

減數=被減數-差 被減數=減數+差

5、乘法各部分之間的關系：

一個因數=積÷另一個因數

6、除法各部分之間的關系：

除數=被除數÷商 被除數=商×除數

7、角

（1）什么是角？

從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角。

（2）什么是角的頂點？

圍成角的端點叫頂點。

（3）什么是角的邊？

圍成角的射線叫角的邊。

（4）什么是直角？

度數為90°的角是直角。

（5）什么是平角？

角的兩條邊成一條直線，這樣的角叫平角。

（6）什么是銳角？

小于90°的角是銳角。

（7）什么是鈍角？

大于90°而小于180°的角是鈍角。

（8）什么是周角？

一條射線繞它的端點旋轉一周所成的角叫周角，一個周角等于360°.

8、垂直問題

（1）什么是互相垂直？什么是垂線？什么是垂足？

兩條直線相交成直角時，這兩條線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。

（2）什么是點到直線的距離？

從直線外一點向一條直線引垂線，點和垂足之間的距離叫做這點到直線的距離。

9、三角形

（1）什么是三角形？

有三條線段圍成的圖形叫三角形。

（2）什么是三角形的邊？

圍成三角形的每條線段叫三角形的邊。

（3）什么是三角形的頂點？

每兩條線段的交點叫三角形的頂點。

（4）什么是銳角三角形？

三個角都是銳角的三角形叫銳角三角形。

（5）什么是直角三角形？

有一個角是直角的三角形叫直角三角形。

（6）什么是鈍角三角形？

有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。

（7）什么是等腰三角形？

兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。

（8）什么是等腰三角形的腰？

有等腰三角形里，相等的兩個邊叫做等腰三角形的腰。

（9）什么是等腰三角形的頂點？

兩腰的交點叫做等腰三角形的頂點。

（10）什么是等腰三角形的底？

在等腰三角形中，與其它兩邊不相等的邊叫做等腰三角形的底。

（11）什么是等腰三角形的底角？

底邊上兩個相等的角叫等腰三角形的底角。

（12）什么是等邊三角形？

三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，也叫正三角形。

（13）什么是三角形的高？什么叫三角形的底？

從三角形的一個頂點向它的對邊引一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，這個頂點的對邊叫三角形的底。

（14）三角形的內角和是多少度？

三角形內角和是180°.

10、四邊形

（1）什么是四邊形？

有四條線段圍成的圖形叫四邊形。

（2）什么是平等四邊形？

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

（3）什么是平行四邊形的高？

從平行四邊形一條邊上的一點到對邊引一條垂線，這個點和垂足之間的線段叫做四邊形的高。

（4）什么是梯形？

只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

（5）什么是梯形的底？

在梯形里互相平等的一組邊叫梯形的底（通常較短的底叫上底，較長的底叫下底）。

（6）什么是梯形的腰？

在梯形里，不平等的一組對邊叫梯形的腰。

（7）什么是梯形的高？

從上底的一點往下底引一條垂線，這個點和垂足之間的線段叫做梯形的高。

（8）什么是等腰梯形？

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

11、什么是自然數？

用來表示物體個數的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……是自然數（自然數都是整數）。

12、什么是四舍五入法？

求一個數的近似數時，看被省略的尾數最高位上的數是幾，如果是4或者比4小，就把尾數舍去，如果是5或者比5大，去掉尾數后，要在它的前一位加1。這種求近似數的方法，叫做四舍五入法。

13、加法意義和運算定律

（1）什么是加法？

把兩個數合并成一個數的運算叫加法。

（2）什么是加數？

相加的兩個數叫加數。

（3）什么是和？

加數相加的結果叫和。

（4）什么是加法交換律？

兩個數相加，交換加數的位置后，它的和不變，這叫做加法交換律。

14、什么是減法？

已知兩個數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。

15、什么是被減數？什么是減數？什么叫差？

在減法中已知的和叫被減數，減去的已知數叫減數，所求的未知數叫差。

16、加法各部分間的關系：

和=加數+加數 加數=和-另一加數

17、減法各部分間的關系：

差=被減數-減數 減數=被減數-差 被減數=減數+差

18、乘法

（1）什么是乘法？

求幾個相同加數的和的簡便運算叫乘法。

（2）什么是因數？

相乘的兩個數叫因數。

（3）什么是積？

因數相乘所得的數叫積。

（4）什么是乘法交換律？

兩個因數相乘，交換因數的位置，它們的積不變，這叫乘法交換律。

（5）什么是乘法結合律？

三個數相乘，先把前兩個數相乘，再同第三個數相乘，或者先把后兩個數相乘，再同第一個數相乘，它們的積不變，這叫乘法結合律。

19、除法

（1）什么是除法？

已知兩個因數的積與其中的一個因數，求另一個因數的運算叫除法。

（2）什么是被除數？

在除法中，已知的積叫被除數。

（3）什么是除數？

在除法中，已知的一個因數叫除數。

（4）什么是商？

在除法中，求出的未知因數叫商。

20、乘法各部分的關系：

積=因數×因數 一個因數=積÷另一個因數

21、除法

（1）除法各部分間的關系：

商=被除數÷除數 除數=被除數÷商

（2）有余數的除法各部分間的關系：

被除數=商×除數+余數

22、什么是名數？

通常量得的數和單位名稱合起來的數叫名數。

23、什么是單名數？

只帶有一個單位名稱的數叫單名數。

24、什么是復名數？

有兩個或兩個以上單位名稱的數叫復名數。

25、什么是小數？

仿照整數的寫法，寫在整數個位的右面，用圓點隔開，用來表示十分之幾、百分之幾、千分之幾……的數叫小數。

26、什么是小數的基本性質？

小數的末尾添上零或者去掉零，小數大小不變，這叫小數的基本性質。

27、什么是有限小數？

小數部分的位數是有限的小數叫有限小數。

28、什么是無限小數？

小數部分的位數是無限的小數叫無限小數。

29、什么是循環節？

一個循環小數的部分依次不斷重復出現的數叫做這個數的循環節。

30、什么是純循環小數？

循環節從小數第一位開始的叫純循環小數。

31、什么是混循環小數？

循環節不是從小數部分第一位開始的叫做混循環小數。

32、什么是四則運算？

我們把學過的加、減、乘、除四種運算統稱四則運算。

33、什么是方程？

含有未知數的等式叫方程。

34、什么是解方程？

求方程解的過程叫解方程。

35、什么是倍數？什么叫約數？

如果a能被b整除，a就是b的倍數，b就叫a的約數（或a的因數）。

36、什么樣的數能被2整除？

個位上是0、2、4、6、8的數都能被2整除。

37、什么是偶數？

能被2整除的數叫偶數。

38、什么是奇數？

不能被2整除的數叫奇數。

39、什么樣的數能被5整除？

個位上是0或5的數能被5整除。

40、什么樣的數能被3整除？

一個數的個位上的和能被3整除，這個數就能被3整除。

41、什么是質數（或素數）？

一個數如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫質數。

42、什么是合數？

一個數除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫合數。

43、什么是質因數？

每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的質因數。

44、什么是分解質因數？

把一個合數用質因數相乘的形式表示出來叫做分解質因數。

45、什么是公約數？什么叫最大公約數？

幾個數公有的約數叫公約數。其中最大的一個叫最大公約數。

46、什么是互質數？

公約數只有1的兩個數叫互質數。

47、什么是公倍數？什么是最小公倍數？

幾個數公有的倍數叫這幾個數的公倍數。其中最小的一個叫這幾個數的最小公倍數。

48、分數

（1）什么是分數？

把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫分數。

（2）什么是分數線？

在分數里中間的橫線叫分數線。

（3）什么是分母？

分數線下面的部分叫分母。

（4）什么是分子？

分數線上面的部分叫分子。

（5）什么是分數單位？

把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份叫分數單位。

49、怎么比較分數大小？

（1）分母相同的兩個分數，分子大的分數比較大。

（2）分子相同的兩個分數，分母小的分子比較大。

（3）什么是真分數？

分子比分母小的分數叫真分數。

（4）什么是假分數？

分子比分母大或者分子和分母相等的分數叫假分數。

（5）什么是帶分數？

由整分數和真分數合成的數通常叫帶分數。

（6）什么是分數的基本性質？

分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數大小不變，這就是分數的基本性質。

（7）什么是約分？

把一個分數化成同它相等，但分子、分母都比較小的數叫做約分。

（8）什么是最簡分數？

分子、分母是互質數的分數叫最簡分數。

50、比

（1）什么是比？

兩個數相除又叫兩個數的比。

（2）什么是比的前項？

比號前面的數叫比的前項。

（3）什么是比的后項？

比號后面的數叫比的后項。

（4）什么是比值？

比的前項除以后項所得的商叫比值。

（5）什么是比的基本性質？

比的前項和后項同時乘以或者同時除以相同的數（0除外）比值不變，這叫比的基本性質。

51、長方體和正方體

（1）什么是棱？

兩個面相交的邊叫棱。

（2）什么是頂點？

三條棱相交的點叫頂點。

（3）什么是長方體的長、寬、高？

相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫長方體的長、寬、高。

（4）什么是正方體（立方體）？

長寬高都相等的長方體叫正方體（或立方體）。

（5）什么是長方體的表面積？

長方體六個面的總面積叫長方體的表面積。

（6）什么是物體體積？

物體所占空間的大小叫做物體的體積。

52、圓

（1）什么是圓心？

圓中心的點叫圓心。

（2）什么是半徑？

連接圓心和圓上任意一點的線段叫半徑。

（3）什么是直徑？

通過圓心、并且兩端都在圓上的線段叫直徑。

（4）什么是圓的周長？

圍成圓的曲線叫圓的周長。

（5）什么是圓周率？

我們把圓的周長和直徑的比值叫圓周率。

（6）什么是圓的面積？

圓所圍平面的大小叫圓的面積。

（7）什么是扇形？

一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形。

（8）什么是弧？

在圓上兩點之間的部分叫弧。

（9）什么是圓心角？

頂點在圓心上的角叫圓心角。

（10）什么是對稱圖形？

如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側圖形能夠完全重合，這樣的圖形就是對稱圖形。

53、什么是百分數？

表示一個數是另一個數百分之幾的數叫百分數，百分數也叫百分率或百分比。

54、比例

（1）什么是比例？

表示兩個比相等的式子叫比例。

（2）什么是比例的項？

組成比例的四個數叫比例的項。

（3）什么是比例外項？

兩端的兩項叫比例外項。

（4）什么是比例內項？

中間的兩項叫比例內項。

（5）什么是比例的基本性質？

在比例中兩個外項的積等于兩個內項的積。

（6）什么是解比例？

求比例中的未知項叫解比例。

（7）什么是正比例關系？

兩種相關的量，一種變化，另一種量也變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量叫正比例的量，它們的關系叫正比例關系。

（8）什么是反比例關系？

兩種相關的量，一種變化，另一種也隨著變化，如果這兩種量中相對應的積一定，這兩種量叫反比例的量，它們的關系成反比例關系。

55、圓柱

（1）什么是圓柱底面？

圓柱的上下兩個面叫圓柱的底面。

（2）什么是圓柱的側面？

圓柱的曲面叫圓柱的側面。

（3）什么是圓柱的高？

圓柱兩個底面的距離叫圓柱的高

小學數學周長的概念第 4 篇

第一章數和數的運算

一概念

（一）整數

1 、整數的意義

自然數和0都是整數。

2 、自然數

我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1，2，3……叫做自然數。

一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。

3、計數單位

一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數單位。

每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。這樣的計數法叫做十進制計數法。

4 、數位

計數單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數位。

5、數的整除

整數a除以整數b(b ≠ 0），除得的商是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a 。

如果數a能被數b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數（或a的因數）。倍數和約數是相互依存的。

因為35能被7整除，所以35是7的倍數，7是35的約數。

6、一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是1，最大的約數是它本身。例如：10的約數有1、2、5、10，其中最小的約數是1，最大的約數是10。

7、一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。3的倍數有：3、6、9、12……其中最小的倍數是3 ，沒有最大的倍數。

8、個位上是0、2、4、6、8的數，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。

9、個位上是0或5的數，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。

10、一個數的各位上的數的和能被3整除，這個數就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

11、一個數各位數上的和能被9整除，這個數就能被9整除。

能被3整除的數不一定能被9整除，但是能被9整除的數一定能被3整除。

12、一個數的末兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

13、一個數的末三位數能被8（或125）整除，這個數就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

14、能被2整除的數叫做偶數。

不能被2整除的數叫做奇數。

0也是偶數。自然數按能否被2 整除的特征可分為奇數和偶數。

15、一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數（或素數）。100以內的質數有：

尾數

個數（25個）

0尾

0個

1尾

11、31、41、61、71、

5個

2尾

2

1個

3尾

3、13、23、43、53、73、83、

7個

4尾

0個

5尾

5、

1個

6尾

0個

7尾

7、17、37、47、67、97

6個

8尾

0個

9尾

19、29、59、79、89、

5個

16、一個數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數，例如 4、6、8、9、12都是合數。

0和1不是質數也不是合數，自然數除了0和1外，不是質數就是合數。如果把自然數按其約數的個數的不同分類，可分為質數、合數和0和1。

17、每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的質因數，例如15=3×5，3和5 叫做15的質因數。

18、把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。

例如把28分解質因數：2 28

2 14

7

28=2×2×7

19、幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數。其中最大的一個，叫做這幾個數的最大因約數，例如12的約數有1、2、3、4、6、12；18的約數有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公約數，6是它們的最大公因數。

4 48 56

4 12 16

3 4

48和56的最大公因數是4×4=16

48和56的最小公倍數數是4×4×3×4=192

20、公因數只有1的兩個數，叫做互質數，成互質關系的兩個數，有下列幾種情況：

1和任何自然數互質。

相鄰的兩個自然數互質。

兩個不同的質數互質。

當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質。

兩個合數的公約數只有1時，這兩個合數互質，如果幾個數中任意兩個都互質，就說這幾個數兩兩互質。

如果較小數是較大數的約數，那么較小數就是這兩個數的最大公約數。

如果兩個數是互質數，它們的最大公約數就是1。

21、幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數，如2的倍數有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……

3的倍數有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍數，6是它們的最小公倍數。。

如果較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數。

如果兩個數是互質數，那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數。

幾個數的公約數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。

4 48 56

4 1216

3 4

48和56的最大公因數是4×4=16

48和56的最小公倍數數是4×4×3×4=192

22、最小的質數是2，最小的合數是4，最小的奇數是1，最小的偶數是0，0和1不是質數也不是合數。最小的一位數是0，最小的2位數是10，最小的3位數是100。

最大的一位數是9，最大的2位數是99，最大的3位數是999。

（二）小數

1 、小數的意義

把整數1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾…… 可以用小數表示。

一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……

一個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點右邊的數叫做小數部分。

在小數里，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。小數部分的最高分數單位“十分之一”和整數部分的最低單位“一”之間的進率也是10。

2、小數的分類

（1）純小數：整數部分是零的小數，叫做純小數。例如： 0.25 、 0.368 都是純小數。

帶小數：整數部分不是零的小數，叫做帶小數。例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數。

（2）有限小數：小數部分的數位是有限的小數，叫做有限小數。例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數。

無限小數：小數部分的數位是無限的小數，叫做無限小數。例如： 4.33 …… 3.1415926 ……

無限不循環小數：一個數的小數部分，數字排列無規律且位數無限，這樣的小數叫做無限不循環小數。例如：∏

循環小數：一個數的小數部分，有一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現，這個數叫做循環小數。例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……

一個循環小數的小數部分，依次不斷重復出現的數字叫做這個循環小數的循環節。例如： 3.99 ……的循環節是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循環節是“ 54 ” 。

純循環小數：循環節從小數部分第一位開始的，叫做純循環小數。例如： 3.111 …… 0.5656 ……

混循環小數：循環節不是從小數部分第一位開始的，叫做混循環小數。 3.1222 …… 0.03333 ……

寫循環小數的時候，為了簡便，小數的循環部分只需寫出一個循環節，并在這個循環節的首、末位數字上各點一個圓點。如果循環節只有一個數字，就只在它的上面點一個點。例如： 3.777 …… 簡寫作 0.5302302 …… 簡寫作。

（三）分數

1、分數的意義

把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。

在分數里，中間的橫線叫做分數線；分數線下面的數，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分數線下面的數叫做分子，表示有這樣的多少份。

把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數，叫做分數單位。

2、分數的分類

真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于1。

假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數，叫做假分數。假分數大于或等于1。

帶分數：假分數可以寫成整數與真分數合成的數，通常叫做帶分數。

3、約分和通分

把一個分數化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數，叫做約分。

分子分母是互質數的分數，叫做最簡分數。

把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。

（四）百分數

1、表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數,也叫做百分率或百分比。百分數通常用"%"來表示。百分號是表示百分數的符號。百分號后面絕對不能加單位。

二、方法

（一）數的讀法和寫法

1.整數的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數位連續有幾個0都只讀一個零。

例如：19865030532

億萬個

讀作：一百九十八億六千五百零三萬零五百三十二

2. 整數的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數位上一個單位也沒有，就在那個數位上寫0。

例如：一百九十八億六千五百零三萬零五百三十二

19865030532

億萬個

3. 小數的讀法：讀小數的時候，整數部分按照整數的讀法讀，小數點讀作“點”，小數部分從左向右順次讀出每一位數位上的數字。

4. 小數的寫法：寫小數的時候，整數部分按照整數的寫法來寫，小數點寫在個位右下角，小數部分順次寫出每一個數位上的數字。

5. 分數的讀法：讀分數時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數的讀法來讀。

6. 分數的寫法：先寫分數線，再寫分母，最后寫分子，按照整數的寫法來寫。

7. 百分數的讀法：讀百分數時，先讀百分之，再讀百分號前面的數，讀數時按照整數的讀法來讀。

8. 百分數的寫法：百分數通常不寫成分數形式，而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。

（二）計量單位

整數：135的計量單位是1；

小數：1.35的計量單位是0.01,

10.3009的計量單位0.0001;

分數：的計量單位是，

15的計量單位是。

（二）數的改寫

一個較大的多位數，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數。有時還可以根據需要，省略這個數某一位后面的數，寫成近似數。

1. 準確數：在實際生活中，為了計數的簡便，可以把一個較大的數改寫成以萬或億為單位的數。改寫后的數是原數的準確數。例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數是 125430 萬；改寫成以億做單位的數 12.543 億。

2. 近似數：根據實際需要，我們還可以把一個較大的數，省略某一位后面的尾數，用一個近似數來表示。例如：1302490015 省略億后面的尾數是 13 億。

3. 四舍五入法：要省略的尾數的最高位上的數是4 或者比4小，就把尾數去掉；如果尾數的最高位上的數是5或者比5大，就把尾數舍去，并向它的前一位進1。例如：省略 345900 萬后面的尾數約是 35 萬。省略4725097420 億后面的尾數約是 47 億。

4. 大小比較

1. 比較整數大小：比較整數的大小，位數多的那個數就大，如果位數相同，就看最高位，最高位上的數大，那個數就大；最高位上的數相同，就看下一位，哪一位上的數大那個數就大。

2. 比較小數的大小：先看它們的整數部分，，整數部分大的那個數就大；整數部分相同的，十分位上的數大的那個數就大；十分位上的數也相同的，百分位上的數大的那個數就大……

3. 比較分數的大小:分母相同的分數，分子大的分數比較大；分子相同的數，分母小的分數大。分數的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數的大小。

（三）數的互化

1. 小數化成分數：看小數點后面有幾位小數，就在1的后面添幾個零作分母，把原來的小數去掉小數點作分子，能約分的要約分。

2. 分數化成小數：用分子除以分母。除不盡時，一般保留2位小數。

3. 一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數，這個分數就能化成有限小數；如果分母中含有2和5 以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。

4. 小數化成百分數：只要把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。

5. 百分數化成小數：把百分數化成小數，只要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位。

6. 分數化成百分數：通常先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數)，再把小數化成百分數。

7. 百分數化成小數：先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。

（四）數的整除

1. 把一個合數分解質因數，通常用短除法。先用能整除這個合數的質數去除，一直除到商是質數為止，再把除數和商寫成連乘的形式。

例如把28分解質因數：2 28

2 14

7

28=2×2×7

2. 求幾個數的最大公因數的方法是：先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所得的商只有公約數1為止，然后把所有的除數連乘求積，這個積就是這幾個數的的最大公約數。

4 48 56

4 12 16

3 4

48和56的最大公因數是4×4=16

48和56的最小公倍數數是4×4×3×4=192

3. 求幾個數的最小公倍數的方法是：先用這幾個數（或其中的部分數）的公約數去除，一直除到互質（或兩兩互質）為止，然后把所有的除數和商連乘求積，這個積就是這幾個數的最小公倍數。

4. 成為互質關系的兩個數：1和任何自然數互質；相鄰的兩個自然數互質；當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質；兩個合數的公約數只有1時，這兩個合數互質。

（五）約分和通分

約分的方法：用分子和分母的公約數（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分數為止。

通分的方法：先求出原來的幾個分數分母的最小公倍數，然后把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。

三性質和規律

（一）商不變的規律

商不變的規律：在除法里，被除數和除數同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。

（二）小數的性質

小數的性質：在小數的末尾添上零或者去掉零小數的大小不變。

（三）小數點位置的移動引起小數大小的變化

1. 小數點向右移動一位，原來的數就擴大10倍；小數點向右移動兩位，原來的數就擴大100倍；小數點向右移動三位，原來的數就擴大1000倍……

2.小數點向左移動一位，原來的數就縮小10倍；小數點向左移動兩位，原來的數就縮小100倍；小數點向左移動三位，原來的數就縮小1000倍……

3. 小數點向左移或者向右移位數不夠時，要用“0"補足位。

（四）分數的基本性質

分數的基本性質：分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數（零除外），分數的大小不變。

（五）分數、除法和比的關系

分數

分子

分數線—

分母（不能為0）

分數值

除法

被除數

除號÷

除數（不能為0）

商

比

前項

比號：

后項（不能為0）

比值（可以用整數、分數、小數表示，但絕對不能加單位）

四運算的意義

（一）整數四則運算

1、整數加法：把兩個數合并成一個數的運算叫做加法。

- 在加法里，相加的數叫做加數，加得的數叫做和。加數是部分數，和是總數。

- 加數+加數=和

和－一個加數=另一個加數

2、整數減法：已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。

- 在減法里，已知的和叫做被減數，已知的加數叫做減數，未知的加數叫做差。被減數是總數，減數和差分別是部分數。

- 加法和減法互為逆運算。

3、整數乘法：求幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。

- 在乘法里，相同的加數和相同加數的個數都叫做因數。相同加數的和叫做積。

- 在乘法里，0和任何數相乘都得0. 1和任何數相乘都的任何數。

- 一個因數× 一個因數 =積一個因數=積÷另一個因數

4、整數除法：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算叫做除法。

- 在除法里，已知的積叫做被除數，已知的一個因數叫做除數，所求的因數叫做商。

- 乘法和除法互為逆運算。

- 在除法里，0不能做除數。因為0和任何數相乘都得0，所以任何一個數除以0，均得不到一個確定的商。

- 被除數÷除數=商除數=被除數÷商被除數=商×除數

（二）小數四則運算

1. 小數加法：小數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合并成一個數的運算。

2. 小數減法：小數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算.

3. 小數乘法：小數乘整數的意義和整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算；一個數乘純小數的意義是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。

4. 小數除法：小數除法的意義與整數除法的意義相同，就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。

5. 乘方求幾個相同因數的積的運算叫做乘方。例如 3 × 3 =32

（三）分數四則運算

1. 分數加法：分數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合并成一個數的運算。

2. 分數減法：分數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。

3. 分數乘法：分數乘法的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算。

4. 乘積是1的兩個數叫做互為倒數。

5.分數除法：分數除法的意義與整數除法的意義相同。就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。

（四）運算定律

1. 加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變，這叫做加法交換律

表示為：a+b=b+a

甲數+乙數=乙數+甲數

○+※=※+○

15+4=4+15

2. 加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數；或者先把后兩個數相加，再和第一個數相加它們的和不變，這叫做加法結合律

表示為：（a+b)+c=a+(b+c)

（甲數+乙數）+丙數=甲數+（乙數+丙數）

（○+※）+◎=○+（※+◎）

（15+4）+6=15+（4+6）

在加法中：

0和0是好朋友，因為0+0=0

1和9是好朋友，因為1+9=10

2和8是好朋友，因為2+8=10

3和7是好朋友，因為3+7=10

4和6是好朋友，因為4+6=10

5和5是好朋友，因為5+5=10

3. 乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置它們的積不變，這叫做乘法交換律

表示為：a×b=b×a。

甲數×乙數=乙數×甲數

○ ×※ = ※ ×○

15×4=4×15

4. 乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘以第三個數；或者先把后兩個數相乘，再和第一個數相乘，它們的積不變，這叫做乘法結合律

表示為：（a×b)×c=a×(b×c) 。

（甲數×乙數）×丙數=甲數×（乙數×丙數）

（○×※）×◎=○×（※×◎）

（15×4）×6=15×（4×6）

在乘法中：

4和25是好朋友，因為4×25=100

4和250是好朋友，因為4×250=1000

4和0.25是好朋友，因為4×0.25=1

4和2.5是好朋友，因為4×2.5=10

40和2.5是好朋友，因為40×2.5=100

40和25是好朋友，因為40×25=1000

8和125是好朋友，因為8×125=1000

8和12.5是好朋友，因為8×12.5=100

8和1.25是好朋友，因為8×1.25=10

8和0.125是好朋友，因為8×0.125=1

一定要記住：

5×12=60 2×15=30 2×25=50

5×14=70 4×15=60 4×25=100

5×16=80 6×15=90 6×25=150

5×18=90 8×15=120 8×25=200

5×24=120 12×15=180 12×25=250

5. 乘法結合律：（1）兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘再把兩個積相加，這叫做乘法律分配律。

（2）兩個數的差與一個數相乘，可以把兩個數分別與這個數相乘再把兩個積相減，這也叫做乘法律分配律。

表示為：(a+b)×c=a×b+a×c

(25+6)×4 =25×4+6×4 =100+24 =124

(a-b)×c=a×b-a×c

(25-6)×4 =25×4-6×4 =100-24 =76

a×b+a×c=c×(a+b)

25×4+5×4=4×(25+5) =4×30=120

a×b-a×c=c×(a-b)

25×4-5×4 =4×(25-5)=4×20=80

（3）隱“1”法計算乘法分配律的要點

9=9×1 15=15×1 24=24×1 38=38×1

58=80×1 90=90×1 165=165×1 256=256×1

例如：

25×9+25=25×（9+1）=25×10=250

125×9-125=125×（9-1）=125×8=1000

一定要記住：

101=100+1 99=100-1

102=100+2 98=100-2

103=100+7 97=100-3

201=200+1 199=200-1

202=200+2 198=200-2

203=200+7 197=200-3

6. 減法的性質：（1）從一個數里連續減去幾個數，可以從這個數里減去所有減數的和，差不變，這叫做減法的性質。

表示為：a-b-c=a-(b+c)

a-b+c=a-(b-c)

251-28-72=251-（28+72）=251-100=151

251-128+28=251-（128-28）=251-100=151

7、除法的性質：從一個數里連續除去幾個數，可以從這個數里除去所有除數的積，商不變，這叫做除法的性質。

表示為：a÷b÷c=a÷(b×c)

a÷b×c=a÷(b÷c)

200÷25÷4=200÷(25×4) =200÷100=2

a÷b×c=a÷(b÷c)

8、特殊情況

一個數+0=這個數

一個數—0=這個數

一個數×0=0

一個數÷0沒有意義，因為0不能作除數

0÷一個非0的數=0

一個數—這個數=0

一個非0的數÷這個數=1

一個數÷1=這個數

一個數×1=這個數

1÷一個數（不能為0）=

（五）運算法則

1. 整數加法計算法則：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數相加滿十，就向前一位進一。

2. 整數減法計算法則：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數合并在一起，再減。

3. 整數乘法計算法則：先用一個因數每一位上的數分別去乘另一個因數各個數位上的數，用因數哪一位上的數去乘，乘得的數的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數加起來。

4. 整數除法計算法則：先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位；如果不夠除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補“0”占位。每次除得的余數要小于除數。

5. 小數乘法法則：先按照整數乘法的計算法則算出積，再看因數中共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點；如果位數不夠，就用“0”補足。

6. 除數是整數的小數除法計算法則：先按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果除到被除數的末尾仍有余數，就在余數后面添“0”，再繼續除。

7. 除數是小數的除法計算法則：先移動除數的小數點，使它變成整數，除數的小數點也向右移動幾位（位數不夠的補“0”），然后按照除數是整數的除法法則進行計算。

8. 同分母分數加減法計算方法:同分母分數相加減，只把分子相加減，分母不變。

9. 異分母分數加減法計算方法:先通分，然后按照同分母分數加減法的的法則進行計算。

10. 帶分數加減法的計算方法:整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的數合并起來。

11. 分數乘法的計算法則:分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變；

分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

12. 分數除法的計算法則:甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。

（六）運算順序

1. 第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。

2. 第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。

3、小數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。

4、分數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。

5、沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算；兩級運算先算乘、除法，后算加減法。

6、有括號的混合運算:先算小括號里面的數，再算中括號里面的數，最后算括號外面的數。

五應用題

（一）整數和小數的應用

1 簡單應用題

（1）簡單應用題：只含有一種基本數量關系，或用一步運算解答的應用題，通常叫做簡單應用題。

（2）解題步驟：

a、審題理解題意：了解應用題的內容，知道應用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復述條件和問題，幫助理解題意。

b、選擇算法和列式計算：這是解答應用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步根據所給的條件和問題，聯系四則運算的含義，分析數量關系，確定算法，進行解答并標明正確的單位名稱。

C、檢驗：就是根據應用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正確，是否符合題意。如果發現錯誤，馬上改正。

d、答案：根據計算的結果，先口答，逐步過渡到筆答。

( 3 ) 解答加法應用題：

a求總數的應用題：已知甲數是多少，乙數是多少，求甲乙兩數的和是多少。

b求比一個數多幾的數應用題：已知甲數是多少和乙數比甲數多多少，求乙數是多少。

(4 ) 解答減法應用題：

a求剩余的應用題：從已知數中去掉一部分，求剩下的部分。

-b求兩個數相差的多少的應用題：已知甲乙兩數各是多少，求甲數比乙數多多少，或乙數比甲數少多少。

c求比一個數少幾的數的應用題：已知甲數是多少，，乙數比甲數少多少，求乙數是多少。

(5 ) 解答乘法應用題：

a求相同加數和的應用題：已知相同的加數和相同加數的個數，求總數。

b求一個數的幾倍是多少的應用題：已知一個數是多少，另一個數是它的幾倍，求另一個數是多少。

( 6) 解答除法應用題：

a把一個數平均分成幾份，求每一份是多少的應用題：已知一個數和把這個數平均分成幾份的，求每一份是多少。

b求一個數里包含幾個另一個數的應用題：已知一個數和每份是多少，求可以分成幾份。

C 求一個數是另一個數的的幾倍的應用題：已知甲數乙數各是多少，求較大數是較小數的幾倍。

d已知一個數的幾倍是多少，求這個數的應用題。

（7）常見的數量關系：

1 、平均數問題

平均數數×份數＝總量

總量÷平均數＝份數

總量÷份數＝平均數

2、行程問題

速度×時間＝路程

路程÷速度＝時間

路程÷時間＝速度

解題關鍵及規律：

- 同時同地相背而行：路程=速度和×時間。

- 同時相向而行：相遇時間=速度和×時間

- 同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間=路程速度差。

- 同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×時間。

3、價格問題

單價×數量＝總價

總價÷單價＝數量

總價÷數量＝單價

4、工程問題

工作效率×工作時間＝工作總量

工作總量÷工作效率＝工作時間

工作總量÷工作時間＝工作效率

5、相遇問題

（甲速+乙速）×相遇時間＝路程

路程÷（甲速+乙速）＝相遇時間

路程÷相遇時間—甲速＝乙速

路程÷相遇時間—乙速＝甲速

6、追及問題

路程差÷速度差=追及時間

7、流水問題：

順速=船速＋水速

逆速=船速－水速

船行速度=（順水速度+ 逆流速度）÷2

流水速度=（順流速度- 逆流速度）÷2

路程=順流速度× 順流航行所需時間

路程=逆流速度×逆流航行所需時間

8、植樹問題：

（1）沿線段植樹

- 棵樹=段數+1

棵樹=總路程÷株距+1

- 株距=總路程÷（棵樹-1）

總路程=株距×（棵樹-1）

-（2）沿周長植樹

- 棵樹=總路程÷株距

- 株距=總路程÷棵樹

- 總路程=株距×棵樹

9、年齡問題

解題關鍵：年齡問題的主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于利用差不變的特點。

10、雞兔同籠問題：

解題關鍵：解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根據出現的腿數差，可推算出某一種的頭數。

- 解題規律：

假設全部是雞

兔的只數：（總腿數－雞腿數×總頭數）÷一只雞兔腿數的差=兔子只數

11、加法

加數＋加數＝和

和－一個加數＝另一個加數

12、減法

被減數－減數＝差

被減數－差＝減數

差＋減數＝被減數

13、乘法

因數×因數＝積

積÷一個因數＝另一個因數

14、除法

被除數÷除數＝商

被除數÷商＝除數

商×除數＝被除數

（二）分數和百分數的應用題解題方法：

1、特殊形式

（1）“的”字類

“的”前ד的”后

（2）“是、相當于、占”字類

“是”前÷“是”后

“相當于”前÷“相當于”后

“占”前÷“占”后

（3）“比”字類

（大數—小數）÷“比”后的數

2、找標準量（單位“1”）的方法

要正確找準單位“1”的量（即標準量）必須從題目中的分率句著手。

（1） 分數應用題，存在著整體和部分兩個數量，一般

來說，整體是標準量，部分是比較量。

（2）“的”前就是標準量

（3）“比、占、是、相當于”后面的就是標準量

（4）工程問題中工作總量就是單位“1”

3、分數應用題的解題公式

標準量×對應分率=比較量

標準量×（1+分率）=比較量

標準量×（1—分率）=比較量

比較量÷對應分率=標準量

比較量÷（1+分率）=標準量

比較量÷（1—分率）=標準量

比較量÷標準量=對應分率

（1）

4 、百分率

利息＝本金×利率×時間

稅后利息＝本金×利率×時間×(1－5%)

達標率＝×100%

發芽率＝×100％

出粉率＝×100％ 出米率＝×100％

出油率＝×100％ 成活率＝×100％

合格率＝×100％ 次品率＝×100％

出勤率＝×100％

入學率＝×100％

優秀率＝×100％ 及格率＝×100％

命中率=×100％

xx率=×100％ (計算公式)

5 、工程問題：

- 是分數應用題的特例，它與整數的工作問題有著密切的聯系。它是探討工作總量、工作效率和工作時間三個數量之間相互關系的一種應用題。

- 解題關鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數，然后根據題目的具體情況，靈活運用公式。

- 數量關系式：

- 工作總量=工作效率×工作時間

- 工作效率=工作總量÷工作時間

- 工作時間=工作總量÷工作效率

- 工作總量÷工作效率和=合作時間

6 納稅

- 納稅就是把根據國家各種稅法的有關規定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。

- 繳納的稅款叫應納稅款。

- 應納稅額與各種收入的（銷售額、營業額、應納稅所得額 ……）的比率叫做稅率。

* 利息

存入銀行的錢叫做本金。

取款時銀行多支付的錢叫做利息。

利息與本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×時間

第二章度量衡

一長度

(一) 什么是長度

長度是一維空間的度量。

(二) 長度常用單位

*公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um)

(三) 單位之間的換算

* 1毫米＝1000微米

* 1厘米＝10 毫米

* 1分米＝10 厘米

* 1米＝1000 毫米

* 1千米＝1000 米

二面積

（一）什么是面積

面積，就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。

（二）常用的面積單位* 平方毫米* 平方厘米* 平方分米* 平方米* 平方千米

（三）面積單位的換算

* 1平方厘米＝100 平方毫米

* 1平方分米=100平方厘米

* 1平方米＝100 平方分米

* 1公傾＝10000 平方米

* 1平方公里＝100 公頃

三體積和容積

（一）什么是體積、容積

體積，就是物體所占空間的大小。

容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。

（二）常用單位

1 -、體積單位

* 立方米

* 立方米* 立方分米* 立方厘米

2、容積單位

* 升* 毫升

1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升

1升=1000毫升

（三）單位換算

1 體積單位

* 1立方米=1000立方分米

* 1立方分米=1000立方厘米

2 容積單位

* 1升=1000毫升

* 1升=1立方分米

* 1毫升=1立方厘米

四質量

（一）什么是質量

質量，就是表示表示物體有多重。

（二）常用單位

* 噸 t

* 千克 kg

* 克 g

（三）常用換算

* 一噸=1000千克

* 1千克=1000克

五時間

（一）什么是時間

是指有起點和終點的一段時間

（二）常用單位

* 世紀* 年* 月* 日* 時* 分* 秒

（三）單位換算

* 1世紀=100年

* 1年=365天平年

* 一年=366天閏年

* 一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31 天

* 四、六、九、十一是小月小月小月有30天

* 平年2月有28天閏年2月有29天

* 1天= 24小時

* 1小時=60分

* 一分=60秒

六貨幣

（一）什么是貨幣

貨幣是充當一切商品的等價物的特殊商品。貨幣是價值的一般代表，可以購買任何別的商品。

（二）常用單位

* 元

* 角

* 分

（三）單位換算

* 1元=10角

* 1角=10分

第三章代數初步知識

一、用字母表示數

1 用字母表示數的意義和作用

* 用字母表示數，可以把數量關系簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結果。

2用字母表示常見的數量關系、運算定律和性質、幾何形體的計算公式

（1）常見的數量關系

- 路程用s表示，速度v用表示，時間用t表示，三者之間的關系：

- s=vt

- v=s/t

- t=s/v

- 總價用a表示，單價用b表示，數量用c表示，三者之間的關系:

- a=bc

- b=a/c

- c=a/b

（2）運算定律和性質

- 加法交換律：a+b=b+a

- 加法結合律：（a+b)+c=a+(b+c)

- 乘法交換律：ab=ba

- 乘法結合律：（ab)c=a(bc)

- 乘法分配律：（a+b)c=ac+bc

- 減法的性質：a-(b+c) =a-b-c

（3）用字母表示幾何形體的公式

- 長方形的長用a表示，寬用b表示，周長用c表示，面積用s表示。

- c=2(a+b)

- s=ab

- 正方形的邊長a用表示，周長用c表示，面積用s表示。

- c=4a

- s=a2

- 平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示。

- s=ah

- 三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。

- s=ah/2

- 梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s表示。

- s=(a+b)h/2

- s=mh

- 圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長用c表示，面積用s表示。

- c=∏d=2∏r

- s=∏ r2

- 扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數，面積用s表示。

- s=∏ nr2/360

- 長方體的長用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，體積用v表示。

- v=sh

- s=2(ab+ah+bh)

- v=abh

- 正方體的棱長用a表示，底面周長c用表示，底面積用s表示，體積用v表示.

- s=6a2

- v=a3

- 圓柱的高用h表示，底面周長用c表示，底面積用s表示，體積用v表示.

- s側=ch

- s表=s側+2s底

- v=sh

- 圓錐的高用h表示，底面積用s表示，體積用v表示.

- v=sh/3

3 用字母表示數的寫法

- 數字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作“.”，或者省略不寫，數字要寫在字母的前面。

- 當“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。

- 在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示。

- 用含有字母的式子表示問題的答案時，除數一般寫成分母，如果式子中有加號或者減號，要先用括號把含字母的式子括起來，再在括號后面寫上單位的名稱。

4將數值代入式子求值

* 把具體的數代入式子求值時，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，再把數代入式子求值。字母表示的是數，后面不寫單位名稱。

* 同一個式子，式子中所含字母取不同的數值，那么所求出的式子的值也不相同。

二、簡易方程

（一）方程和方程的解

1方程：含有未知數的等式叫做方程。

- 注意方程是等式，又含有未知數，兩者缺一不可。

- 方程和算術式不同。算術式是一個式子，它由運算符號和已知數組成，它表示未知數。方程是一個等式，在方程里的未知數可以參加運算，并且只有當未知數為特定的數值時，方程才成立。

2 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。

三、解方程

解方程，求方程的解的過程叫做解方程。

四、列方程解應用題

1 列方程解應用題的意義

* 用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。

2 列方程解答應用題的步驟

* 弄清題意，確定未知數并用x表示；

* 找出題中的數量之間的相等關系；

* 列方程，解方程；

* 檢查或驗算，寫出答案。

3列方程解應用題的方法

* 綜合法：先把應用題中已知數（量）和所設未知數（量）列成有關的代數式，再找出它們之間的等量關系，進而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過程，其思考方向是從已知到未知。

* 分析法：先找出等量關系，再根據具體建立等量關系的需要，把應用題中已知數（量）和所設的未知數（量）列成有關的代數式進而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知到已知。

4列方程解應用題的范圍

小學范圍內常用方程解的應用題：

a一般應用題；

b和倍、差倍問題；

c幾何形體的周長、面積、體積計算；

d 分數、百分數應用題；

e 比和比例應用題。

五比和比例

1比的意義和性質

（1）比的意義

- 兩個數相除又叫做兩個數的比。

- “：”是比號，讀作“比”。比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。

- 同除法比較，比的前項相當于被除數，后項相當于除數，比值相當于商。

- 比值通常用分數表示，也可以用小數表示，有時也可能是整數。

- 比的后項不能是零。

根據分數與除法的關系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數值。

（2）比的性質

- 比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質。

（3）求比值和化簡比

- 求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結果是一個數值可以是整數，也可以是小數或分數。

- 根據比的基本性質可以把比化成最簡單的整數比。它的結果必須是一個最簡比，即前、后項是互質的數。

（4）比例尺

- 圖上距離：實際距離=比例尺

- 要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和比例尺求圖上距離。

- 線段比例尺：在圖上附有一條注有數目的線段，用來表示和地面上相對應的實際距離。

（5）按比例分配

- 在農業生產和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。

- 方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數的幾分之幾是多少。

2 比例的意義和性質

（1）比例的意義

- 表示兩個比相等的式子叫做比例。

- 組成比例的四個數，叫做比例的項。

- 兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項。

（2）比例的性質

- 在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內向的積。這叫做比例的基本性質。

（3）解比例

- 根據比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。

3 正比例和反比例

（1）成正比例的量

- 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。（正比例的圖像是一條直線）

- 用字母表示y/x=k(一定）

（2）成反比例的量

- 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系叫做反比例關系。（反比例的圖像是一條曲線）

- 用字母表示x×y=k(一定)

第四章幾何的初步知識

一線和角

（1）線

* 直線

- 直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫無數條，過兩點只能畫一條直線。

* 射線

- 射線只有一個端點；長度無限。

* 線段

- 線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。

* 平行線

-在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。

- 兩條平行線之間的垂線長度都相等。

* 垂線

- 兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。

- 從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。

（2）角

（1）- 從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。

（2）角的分類

- 銳角：小于90°的角叫做銳角。

- 直角：等于90°的角叫做直角。

- 鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。

- 平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°。

- 周角：角的一邊旋轉一周，與另一邊重合。周角是360°。

對稱軸

- 如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。

- 正方形有4條對稱軸。

長方形有2條對稱軸。

-等腰三角形有2條對稱軸

等邊三角形有3條對稱軸

正五邊形有5條對稱軸

正六邊形有6條對稱軸

- 等腰梯形有一條對稱軸

圓有無數條對稱軸。

環形有無數條對稱軸

- 菱形有4條對稱軸

扇形有一條對稱軸。

平行四邊形沒有對稱軸。

任意三角形形沒有對稱軸。

任意梯形形沒有對稱軸

三立體圖形

（一）長方體

1 特征

- 六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。

- 相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。

- 有8個頂點。

- 相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。

- 兩個面相交的邊叫做棱。

- 三條棱相交的點叫做頂點。

- 把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。

- 長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。

2 計算公式

棱長總和=（長+寬+高）×4

s表=2(ab+ah+bh)

S表（無蓋）=a×b+（a×h+b×h) ×2

S表（沒有上底和下底）=（a×h+b×h) ×2

- V=sh

- V=abh

（二）正方體

1 特征

- 六個面都是正方形

- 六個面的面積相等

- 12條棱，棱長都相等

- 有8個頂點

- 正方體可以看作特殊的長方體

2 計算公式

棱長總和=棱長×12

S表=6a2

S表（無蓋）=5a2

S表（沒有上底和下底）=4a2

v=a3

（三）圓柱

1圓柱的認識

- 圓柱的上下兩個面叫做底面。

- 圓柱有一個曲面叫做側面。

- 圓柱兩個底面之間的距離叫做高。

- 進一法：實際中，使用的材料都要比計算的結果多一些，因此，要保留數的時候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進1。這種取近似值的方法叫做進一法。

2計算公式

- s側=ch

- s表=s側+s底×2

- v=sh/3

（四）圓錐

1 圓錐的認識

- 圓錐的底面是個圓，圓錐的側面是個曲面。

- 從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。

- 測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。

- 把圓錐的側面展開得到一個扇形。 2計算公式

- v= sh/3

（五）球

1 認識

- 球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面。

- 球和圓類似，也有一個球心，用O表示。

- 從球心到球面上任意一點的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。

- 通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長度等于半徑的2倍，即d=2r。

三角形

四邊形

分類

分類

按角分

1、銳角三角形：三個角都是銳角。

2、直角三角形：有一個角是直角。等腰直角三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對稱軸。

3、鈍角三角形：有一個角是鈍角。

平行四邊形

定義：在同一平面內有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

特征：

1、兩組對邊分別平行且對邊相等。

2、對角相等，相鄰的兩個角的度數之和為180度。

3、平行四邊形容易變形。

4、平行四邊形沒有對稱軸。

面積公式：底×高

梯形

定義：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

特征：

1、只有一組對邊平行的四邊形。

2、中位線等于上下底和的一半。

按邊分

1、任意三角形：三條邊長度不相等。

2、等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；

3、等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內角都是60度；有三條對稱軸。

長方形

定義：有四個角是直角的平行四邊形叫做長方形。

特征

1、兩組對邊分別平行且對邊相等，4個角都是直角

2、長方形的對角線相等。

。

正方形

定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形。

特征：

1、四條邊都相等。

2、四個角都是直角。

3、有4條對稱軸。

菱形

定義：鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

特征：

1、菱形的四條邊都相等。

2、菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

1、任意梯形

定義：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

2、直角梯形

定義：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。

3、等腰梯形

定義：兩條腰相等的梯形叫等腰梯形。

三角形

平行四邊形

長方形

正方形

菱形

梯形

周長

（長+寬）×2

邊長×4

邊長×4

面積

底×高÷2

底×高

長×寬

邊長×邊長

對角線×對角線÷2

底×高

（上底+下底）×高÷2

對稱軸

1、等腰三角形有1條對稱軸。

2、等邊三角形有3條對稱軸。

沒有

2條

4條

2條

只有等腰梯形有1條對稱軸。

長方體

正方體

特征

1、六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。上下面+左右面+前后面=六個面

2、相對的面面積相等。

3、有4長、4寬、4高共12條棱。

4、有8個頂點。、

5、把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。

1、六個面都是正方形。

2、六個面的面積相等

3、12條棱，棱長都相等

4、有8個頂點

5、把正方體放在桌面上，最多只能看到三個面。

6、正方體可以看作特殊的長方體

棱長總和

（長+寬+高）×4

棱長×12

表面積

（長×寬+長×高+寬×高）×2

(a×b+a×h+b×h) ×2

棱長×棱長×6

a2 ×6

無蓋表面積

長×寬+（長×高+寬×高）×2

a×b+（a×h+b×h) ×2

棱長×棱長×5

a2 ×5

側面積（沒有上底和下底）

（長×高+寬×高）×2

（a×h+b×h) ×2

棱長×棱長×4

a2 ×4

體積

底面積×高V = sh

長×寬×高V = abh

底面積×高V = sh

棱長×棱長×棱長 V = a

高

體積÷底面積

體積÷（長×寬）

體積÷底面積

體積÷（棱長×棱長）

圓柱

圓錐

定義

以的長方形一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐。

側面展開圖

長方形或正方形

扇形

側面積

圓

環形

半圓

扇形

定義

平面上的一種曲線圖形，叫做圓。

由同一圓心，不同半徑圍成的圖形，叫做環形。

半圓是指直徑所對應的弧，叫做半圓。

一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

r（連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。）在同一個圓里，有無數條半徑，每條半徑的長度都相等。

r=d÷2

r=c÷∏÷2

d（通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。在同一個圓里，有無數條直徑，每條直徑的長度都相等。

d=2r

d=c÷∏

c

c=∏d

c=2∏r

C環=∏D+∏d

c環=2∏R+2∏r

C半圓=∏r+2r

C半圓=∏d÷2+d

C半圓=c÷2+c÷∏

C扇=∏d ×+d

c扇=2∏r× +2r

c扇=c× + c÷∏

s圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。

s=∏r2

s=∏×(d÷2)2

s=∏×(c÷∏÷2)2

S環=∏×（R2—r2）

S半圓=∏r2 ÷2

S半圓=∏×(d÷2)2÷2

S半圓=∏×(c÷∏÷2)2÷2

S扇=∏r2 ×

S扇=∏×(d÷2)2×

S扇=∏×(c÷∏÷2)2×

對稱軸

無數條

無數條

1條

1條

其它定義：

1、 圓的畫法

（1）把圓規的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）；

（2）把有針尖的一只腳固定在一點（即圓心）上；

（3）把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉一周，就畫出一個圓。

（4） 標出數據。

2、 圓心：圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。

3、 圓周率：圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。

4、 在同一個圓中，直徑等于半徑長度的2倍，半徑等于直徑長度的。即d=2r，r=d÷2

5、圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小。

2 復合應用題

（1）有兩個或兩個以上的基本數量關系組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應用題，通常叫做復合應用題。

（2）含有三個已知條件的兩步計算的應用題。

- 求比兩個數的和多（少）幾個數的應用題。

- 比較兩數差與倍數關系的應用題。

（3）含有兩個已知條件的兩步計算的應用題。

- 已知兩數相差多少（或倍數關系）與其中一個數，求兩個數的和（或差）。

- 已知兩數之和與其中一個數，求兩個數相差多少（或倍數關系）。

（4）解答連乘連除應用題。

（5）解答三步計算的應用題。

（6）解答小數計算的應用題：小數計算的加法、減法、乘法和除法的應用題，他們的數量關系、結構、和解題方式都與正式應用題基本相同，只是在已知數或未知數中間含有小數。

3典型應用題

具有獨特的結構特征的和特定的解題規律的復合應用題，通常叫做典型應用題。

（1）平均數問題：平均數是等分除法的發展。

- 解題關鍵：在于確定總數量和與之相對應的總份數。

- 算術平均數：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。數量關系式：數量之和÷數量的個數=算術平均數。

- 加權平均數：已知兩個以上若干份的平均數，求總平均數是多少。

- 數量關系式（部分平均數×權數）的總和÷（權數的和）=加權平均數。

- 差額平均數：是把各個大于或小于標準數的部分之和被總份數均分，求的是標準數與各數相差之和的平均數。

- 數量關系式：（大數－小數）÷2=小數應得數最大數與各數之差的和÷總份數=最大數應給數最大數與個數之差的和÷總份數=最小數應得數。

例：一輛汽車以每小時 100 千米的速度從甲地開往乙地，又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100 ，所用的時間為，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米，所用的時間是，汽車共行的時間為 + = , 汽車的平均速度為 2 ÷ =75 （千米）

（2）歸一問題：已知相互關聯的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。

- 根據求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。

- 根據球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。

- 一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。”

- 兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。”

- 正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結果的歸一問題。

- 反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結果的歸一問題。

- 解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數量（單一量），然后以它為標準，根據題目的要求算出結果。

c求比一個數少幾的數的應用題：已知甲數是多少，，乙數比甲數少多少，求乙數是多少。

(5 ) 解答乘法應用題：

a求相同加數和的應用題：已知相同的加數和相同加數的個數，求總數。

b求一個數的幾倍是多少的應用題：已知一個數是多少，另一個數是它的幾倍，求另一個數是多少。

( 6) 解答除法應用題：

a把一個數平均分成幾份，求每一份是多少的應用題：已知一個數和把這個數平均分成幾份的，求每一份是多少。

b求一個數里包含幾個另一個數的應用題：已知一個數和每份是多少，求可以分成幾份。

C 求一個數是另一個數的的幾倍的應用題：已知甲數乙數各是多少，求較大數是較小數的幾倍。

d已知一個數的幾倍是多少，求這個數的應用題。

（7）常見的數量關系：

- 總價= 單價×數量

- 路程= 速度×時間

- 工作總量=工作時間×工效

- 總產量=單產量×數量

2 復合應用題

（1）有兩個或兩個以上的基本數量關系組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應用題，通常叫做復合應用題。

（2）含有三個已知條件的兩步計算的應用題。

- 求比兩個數的和多（少）幾個數的應用題。

- 比較兩數差與倍數關系的應用題。

（3）含有兩個已知條件的兩步計算的應用題。

- 已知兩數相差多少（或倍數關系）與其中一個數，求兩個數的和（或差）。

- 已知兩數之和與其中一個數，求兩個數相差多少（或倍數關系）。

（4）解答連乘連除應用題。

（5）解答三步計算的應用題。

（6）解答小數計算的應用題：小數計算的加法、減法、乘法和除法的應用題，他們的數量關系、結構、和解題方式都與正式應用題基本相同，只是在已知數或未知數中間含有小數。

3典型應用題

具有獨特的結構特征的和特定的解題規律的復合應用題，通常叫做典型應用題。

（1）平均數問題：平均數是等分除法的發展。

- 解題關鍵：在于確定總數量和與之相對應的總份數。

- 算術平均數：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。數量關系式：數量之和÷數量的個數=算術平均數。

- 加權平均數：已知兩個以上若干份的平均數，求總平均數是多少。

- 數量關系式（部分平均數×權數）的總和÷（權數的和）=加權平均數。

- 差額平均數：是把各個大于或小于標準數的部分之和被總份數均分，求的是標準數與各數相差之和的平均數。

- 數量關系式：（大數－小數）÷2=小數應得數最大數與各數之差的和÷總份數=最大數應給數最大數與個數之差的和÷總份數=最小數應得數。

例：一輛汽車以每小時 100 千米的速度從甲地開往乙地，又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100 ，所用的時間為，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米，所用的時間是，汽車共行的時間為 + = , 汽車的平均速度為 2 ÷ =75 （千米）

（2）歸一問題：已知相互關聯的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。

- 根據求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。

- 根據球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。

- 一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。”

- 兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。”

- 正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結果的歸一問題。

- 反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結果的歸一問題。

- 解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數量（單一量），然后以它為標準，根據題目的要求算出結果。

- 數量關系式：單一量×份數=總數量（正歸一）

- 總數量÷單一量=份數（反歸一）

例一個織布工人，在七月份織布 4774 米，照這樣計算，織布 6930 米，需要多少天？

分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 693 0 ÷ （ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）

（3）歸總問題：是已知單位數量和計量單位數量的個數，以及不同的單位數量（或單位數量的個數），通過求總數量求得單位數量的個數（或單位數量）。

- 特點：兩種相關聯的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規律相反，和反比例算法彼此相通。

- 數量關系式：單位數量×單位個數÷另一個單位數量 = 另一個單位數量單位數量×單位個數÷另一個單位數量= 另一個單位數量。

例修一條水渠，原計劃每天修 800 米， 6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多少米？

分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米）

（4）和差問題：已知大小兩個數的和，以及他們的差，求這兩個數各是多少的應用題叫做和差問題。

- 解題關鍵：是把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和（或兩個小數的和），然后再求另一個數。

- 解題規律：（和＋差）÷2 =大數大數－差=小數

（和－差）÷2=小數和－小數= 大數

例某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調 46 人到甲班工作，這時乙班比甲班人數少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人？

分析：從乙班調 46 人到甲班，對于總數沒有變化，現在把乙數轉化成 2 個乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到現在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在調出 46 人之前應該為 41+46=87 （人），甲班為 9 4 － 87=7 （人）

（5）和倍問題：已知兩個數的和及它們之間的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題，叫做和倍問題。

- 解題關鍵：找準標準數（即1倍數）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數。求出倍數和之后，再求出標準的數量是多少。根據另一個數（也可能是幾個數）與標準數的倍數關系，再去求另一個數（或幾個數）的數量。

- 解題規律：和÷倍數和=標準數標準數×倍數=另一個數

例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？

分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數 115 輛內，為了使總數與（ 5+1 ）倍對應，總車輛數應（ 115-7 ）輛。

列式為（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （輛）， 18 × 5+7=97 （輛）

（6）差倍問題：已知兩個數的差，及兩個數的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題。

- 解題規律：兩個數的差÷（倍數－1 ）= 標準數標準數×倍數=另一個數。

例甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米，乙繩長 29 米，兩根繩剪去同樣的長度，結果甲所剩的長度是乙繩長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實比乙繩多（ 3-1 ）倍，以乙繩的長度為標準數。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙繩剩下的長度， 17 × 3=51 （米）…甲繩剩下的長度， 29-17=12 （米）…剪去的長度。

第五章簡單的統計

一統計表

（一）意義

* 把統計數據填寫在一定格式的表格內，用來反映情況、說明問題，這樣的表格就叫做統計表。

（二）組成部分

* 一般分為表格外和表格內兩部分。表格外部分包括標的名稱，單位說明和制表日期；表格內部包括表頭、橫標目、縱標目和數據四個方面。

（三）種類

* 單式統計表：只含有一個項目的統計表。

* 復式統計表：含有兩個或兩個以上統計項目的統計表。

* 百分數統計表：不僅表明各統計項目的具體數量，而且表明比較量相當于標準量的百分比的統計表。

（四）制作步驟

1搜集數據

2整理數據：

- 要根據制表的目的和統計的內容，對數據進行分類。

3設計草表：

- 要根據統計的目的和內容設計分欄格內容、分欄格畫法，規定橫欄、豎欄各需幾格，每格長度。

4 正式制表：

- 把核對過的數據填入表中，并根據制表要求，用簡單、明確的語言寫上統計表的名稱和制表日期。

二統計圖

（一）意義

* 用點線面積等來表示相關的量之間的數量關系的圖形叫做統計圖。

（二）分類

1 條形統計圖

- 用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少畫成長短不同的直條，然后把這些直線按照一定的順序排列起來。

- 優點：很容易看出各種數量的多少。

- 注意：畫條形統計圖時，直條的寬窄必須相同。

- 取一個單位長度表示數量的多少要根據具體情況而確定；

- 復式條形統計圖中表示不同項目的直條，要用不同的線條或顏色區別開，并在制圖日期下面注明圖例。

制作條形統計圖的一般步驟:

（1）根據圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。

（2）在水平射線上，適當分配條形的位置，確定直線的寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據數據大小的具體情況，確定單位長度表示多少。

（4）按照數據的大小畫出長短不同的直條，并注明數量。

2 折線統計圖

- 用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來。

- 優點：不但可以表示數量的多少，而且能夠清楚地表示出數量增減變化的情況。

- 注意：折線統計圖的橫軸表示不同的年份、月份等時間時，不同時間之間的距離要根據年份或月份的間隔來確定。

制作折線統計圖的一般步驟:

（1）根據圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。

（2）在水平射線上，適當分配折線的位置，確定直線的寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據數據大小的具體情況，確定單位長度表示多少。

（4）按照數據的大小描出各點，再用線段順次連接起來，并注明數量。

3扇形統計圖

- 用整個圓的面積表示總數，用扇形面積表示各部分所占總數的百分數。

- 優點：很清楚地表示出各部分同總數之間的關系。

制扇形統計圖的一般步驟：

（1）先算出各部分數量占總量的百分之幾。

（2）再算出表示各部分數量的扇形的圓心角度數。

（3）取適當的半徑畫一個圓，并按照上面算出的圓心角的度數，在圓里畫出各個扇形。

（4）在每個扇形中標明所表示的各部分數量名稱和所占的百分數，并用不同顏色或條紋把各個扇形區別開。