這是高中數學復數公式，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

高中數學復數公式第 1 篇

一、教學內容分析

本節課是《普通高中課程標準實驗教科書·數學5》(人教版)第二章數列第二節等差數列第一課時。

數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分;另一方面,學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數列也為今后學習等比數列提供了“聯想”、“類比”的思想方法。

二、學生學習情況分析

教學內容針對的是高二的學生，經過高中一年的學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也可能有一部分學生的基礎較弱，所以在授課時要從具體的生活實例出發，使學生產生學習的興趣，注重引導、啟發學生的積極主動的去學習數學，從而促進思維能力的進一步提高。

三、設計思想

1.教法

⑴誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構;有利于突出重點，突破難點;有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。

⑵分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。

⑶講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。 2.學法

引導學生首先從四個現實問題(數數問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數組特點并抽象出等差數列的概念;接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。

用多種方法對等差數列的通項公式進行推導。

在引導分析時，留出“空白”，讓學生去聯想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。

四、教學目標

通過本節課的學習使學生能理解并掌握等差數列的概念，能用定義判斷一個數列是否為等差數列，引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想，掌握等差數列的通項公式與前 n 項和公式，并能解決簡單的實際問題;并在此過程中培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力。

五、教學重點與難點

重點：

①等差數列的概念。

②等差數列的通項公式的推導過程及應用。 難點：

①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義。 ②理解等差數列是一種函數模型。 關鍵：

等差數列概念的理解及由此得到的“性質”的方法。

六、教學過程(略)

高中數學復數公式第 2 篇

一． 復數

1.（1）復數的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.

（2）復數及其相關概念：

復數—>形如a + bi的數（其中a，b?R）；

實數—>當b = 0時的復數a + bi，即a；

虛數—>當b?0時的復數a + bi；

純虛數—>當a = 0且b?0時的復數a + bi，即bi.

復數a + bi的實部與虛部—a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數）

2、復數的四則運算

若兩個復數z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=（a1+a2）+（b1+b2）i；

（2）減法：z1－z2=（a1－a2）+（b1－b2）i；

（3）乘法：z1·z2=（a1a2－b1b2）+（a1b2+a2b1）i；

（4）除法：z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i； ?z2a22?b22

（5）四則運算的交換率、結合率、分配率都適合于復數的情況。

3、共軛復數與復數的模的幾何意義

（1）若z=a+bi，則?a?bi，z?為實數，z?為純虛數（b≠0）.

（2）復數z=a+bi的模，|z

且z??|z|2=a2+b2.

注：復數a+bi的模的幾何意義是指表示復數a+bi的點到原點的距離。

復數a+bi的共軛復數是a－bi，若兩復數是共軛復數，則它們所表示的點關于實軸對稱。若

b=0，則實數a與實數a共軛，表示點落在實軸上。

二． 數列

1、等差數列定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一

個常數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表

示。

用遞推公式表示為an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1)。

2、等差數列的通項公式：an?a1?(n?1)d；

3、等差中項的概念：

定義：如果a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項。其中A?a?b2

a，A，b成等差數列?A?a?b。 2

4、等差數列的前n和的求和公式：Sn?

5、等差數列的性質： n(a1?an)n(n?1)?na1?d。 22

（1）在等差數列?an?中，對任意m，n?N?，an?am?(n?m)d；

（2）在等差數列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，則am?an?ap?aq； 說明：設數列{an}是等差數列，且公差為d，

1．等比數列定義

一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這．．．．．．

個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母q表示(q?0)，即：an?1：an?q(q?0)

2．等比數列通項公式為：an?a1?qn?1(a1?q?0)。

說明：（1）由等比數列的通項公式可以知道：當公比q=1時該數列既是等比數列也是等差數列；（2）等比數列的通項公式知：若{an}為等比數列，則am?qm?n。 an

3．等比中項

如果在a與b中間插入一個數G，使a,G,b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項。

4．等比數列前n項和公式

一般地，設等比數列a1,a2,a3,?,an,?的前n項和是Sn?a1?a2?a3???an，當q?1

a1(1?qn)a?anq時，Sn? 或Sn?1；當q=1時，Sn?na1（錯位相減法）。 1?q1?q

n說明：（1）（2）注意求和公式中是q，a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三個可求第四個；

通項公式中是q不要混淆；（3）應用求和公式時q?1，必要時應討論q?1的情況。

5．等比數列的性質

①等比數列任意兩項間的關系：如果ann項，am是等差數列的第m項，且②對于等比數列?an?，若n?m?u?v，則an?am?au?av;

③若數列?an?Sn是其前n項的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數列。

n?1m?nq，則有an?amqn?m； 三． 立體幾何

立體幾何公式

柱錐臺的表面積計算公式：

圓柱：側面展開圖是矩形，長是圓柱底面圓周長，寬是圓柱的高（母線）， S圓柱側=2?rl，S圓柱表=2?r(r?l)，其中為r圓柱底面半徑，l為母線長。

圓錐：側面展開圖為一個扇形，半徑是圓錐的母線，弧長等于圓錐底面周長，側面展開圖扇形中心角為???3600，S圓錐側=?rl， S圓錐表=?r(r?l)，其

中為r圓錐底面半徑，l為母線長。

圓臺：側面展開圖是扇環，內弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，側面展開圖扇環中心角為??

S圓臺表=?(r2?rl?Rl?R2).

rlR?r?3600，Sl圓臺側=?(r?R)l，

柱，錐，臺的體積計算公式

1.根據正方體、長方體、圓柱的體積公式，推測柱體的體積計算公式

柱體體積計算公式：V柱?Sh （S為底面面積，h為柱體的高）→V圓柱?Sh??r2h

2. 根據圓錐的體積公式公式，推測錐體的體積計算公式：給出錐體的體積計算公式：

1V錐?Sh S為底面面積，h為高） 3

3.臺體的上底面積S’，下底面積S，高h，由此如何計算切割前的錐體的高：給出臺體的體積公式

：V臺?(S'S)h （S，S分別上、下底面積，h為高）

13'

11V圓臺?(S'S)h??(r2?rR?R2)h （r、R分別為圓臺上底、下底半徑） 33

?球的表面積為4?R2

4V??R3 球的體積為3

四． 統計

樣本方差：s2=1/n[(x1-x￣)2+(x2-x￣)2+...+(xn-x￣)2] ；

看例題，理解方差、中位數、眾數

例.某生產車間將10個零件的尺寸(單位：cm)用右面的莖葉圖的方式記錄下來，則它們的平均值和中位數分別是________，________.

解析：10個零件的尺寸數據如下：14,19,21,22,25,37,39,40,41,42，則平均數為30，中位數為31.

答案：30 31

例．(2010·福州模擬)甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓，在培訓期間，他們參加的5次預賽成績記錄如下：

甲 82 82 79 95 87

乙 95 75 80 90 85

(1)用莖葉圖表示這兩組數據；

(2)從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個，求甲的成績比乙高的概率；

(3)現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？說明理由．

解：(1)作出莖葉圖如下：

(2)記甲被抽到的成績為x，乙被抽到的成績為y，用數對(x，y)表示基本事件： (82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，

(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，

(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，

(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，

(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)．

基本事件總數n＝25.

記“甲的成績比乙高”為事件A，事件A包含的基本事件：

(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)．

事件A包含的基本事件數m＝12.

m12所以P(A)＝n25

(3)派甲參賽比較合適．理由如下： x甲＝(70×1＋80×3＋90×1＋9＋2＋2＋7＋5)＝85， x乙＝(70×1＋80×2＋90×2＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，

222222＝[(79－85)＋(82－85)＋(82－85)＋(87－85)＋(95－85)]＝31.6， S甲515151222222＝－85)＋(80－85)＋(85－85)＋(90－85)＋(95－85)]＝50. S乙51∵x甲＝x乙，S甲＜S乙，（注意：方差計算公式）

∴甲的成績較穩定，派甲參賽比較合適．

22

高中數學復數公式第 3 篇

考試內容：

復數的概念．

復數的加法和減法．

復數的乘法和除法．

數系的擴充．

考試要求：

（1）了解復數的有關概念及復數的代數表示和幾何意義．

（2）掌握復數代數形式的運算法則，能進行復數代數形式的加法、減法、乘法、

除法運算．

（3）了解從自然數系到復數系的關系及擴充的基本思想．

15. 復 數 知識要點

1. ⑴復數的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.

⑵復數及其相關概念：

① 復數—形如a + bi的數（其中a，b?R）；

② 實數—當b = 0時的復數a + bi，即a；

③ 虛數—當b?0時的復數a + bi；

④ 純虛數—當a = 0且b?0時的復數a + bi，即bi.

⑤ 復數a + bi的實部與虛部—a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數） ⑥ 復數集C—全體復數的集合，一般用字母C表示.

⑶兩個復數相等的定義：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特別地a?bi?0?a?b?0.

⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.

注：①若z1,z2為復數，則1?若z1?z2?0，則z1??z2.（×）[z1,z2為復數，而不是實數] 2?若z1?z2，則z1?z2?0.（√）

②若a,b,c?C，則(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的（當(a?b)2?i2，

(b?c)2?1,(c?a)2?0時，上式成立）

2. ⑴復平面內的兩點間距離公式：d?z1?z2.

其中z1，z2是復平面內的兩點z1和z2所對應的復數，d表示z1和z2間的距離.

由上可得：復平面內以z0為圓心，r為半徑的圓的復數方程：z?z0?r（r?0）.

⑵曲線方程的復數形式： ①z?z0?r表示以z0為圓心，r為半徑的圓的方程. ②z?z1?z?z2表示線段z1z2的垂直平分線的方程.

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③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若2a?z1z2，此方程表示線段Z1，Z2）. ④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若2a?z1z2，此方程表示兩條射線）.

⑶絕對值不等式：

設z1，z2是不等于零的復數，則 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.

左邊取等號的條件是z2??z1（??R，且??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）. ②z1?z2?z1?z2?z1?z2.

左邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）. 注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.

3. 共軛復數的性質：

z?z z1?z2?z1?z2

z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）z?z?|z|2?|z|2

z1?z2?z1?z2 z1?z2?z1?z2

?z1??z2??z1??（z2?0）zn?(z)n ?z2?

注：兩個共軛復數之差是純虛數. （×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的] n?z?z?z?z...z(n?N) 4 ⑴①復數的乘方：?????

n

②對任何z，z1,z2?C及m,n?N?有

③nzm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn1?z2

注：①以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如i2??1,i4?1若由i?21142(i)?12?1就會得到?1?1的錯誤結論.

②在實數集成立的|x|?x2. 當x為虛數時，|x|?x2，所以復數集內解方程不能采用兩邊平方法.

⑵常用的結論：

i2??1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1

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in?in?1?in?2?in?3?0,(n?Z)

(1?i)2??2i,

若1?i1?i?i,??i 1?i1?i1

1?是的2立n方n?1虛n?2數根，即????,1?????0,??????0(n?Z)則 ? .

5. ⑴復數z是實數及純虛數的充要條件：

①z?R?z?z.

②若z?0，z是純虛數?z?z?0.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數. 特例：零向量的方向是任意的，其模為零. ?3?1,?2?,??12i2，

注：|z|?|z|.

6. ⑴復數的三角形式：z?r(cos??isin?).

輻角主值：?適合于0≤?＜2?的值，記作argz.

注：①z為零時，argz可取[0,2?)內任意值.

②輻角是多值的，都相差2?的整數倍.

③設a?R?,則arga?0,arg(?a)??,argai?

⑵復數的代數形式與三角形式的互化：

a?bi?r(cos??isin?)，r?a2?b2，cos???3,arg(?ai)??. 22ab,sin??. rr

⑶幾類三角式的標準形式：

r(cos??isin?)?r[cos(??)?isin(??)]

?r(cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(?cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(sin??icos?)?r??)?i??)] 22

7. 復數集中解一元二次方程：

在復數集內解關于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)時，應注意下述問題：

①當a,b,c?R時，若?＞0，則有二不等實數根x1,2?

x1,2???b??；若?=0，則有二相等實數根2a???b??|ib；若?＜0，則有二相等復數根x1,2?（x1,2為共軛復數）. 2a2a

②當a,b,c不全為實數時，不能用?方程根的情況.

③不論a,b,c為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.

8. 復數的三角形式運算：

高中數學復數公式第 4 篇

教學目標

(1)把握復數加法與減法運算法則,能熟練地進行加、減法運算;

(2)理解并把握復數加法與減法的幾何意義,會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題;

(3)能初步運用復平面兩點間的距離公式解決有關問題;

(4)通過學習平行四邊形法則和三角形法,培養學生的數形結合的數學思想;

(5)通過本節內容的學習,培養學生良好思維品質(思維的嚴謹性,深刻性,靈活性等).

教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

本節的重點是復數加法法則。難點是復數加減法的幾何意義。復數加法法則是教材首先規定的法則,它是復數加減法運算的基礎,對于這個規定的合理性,在教學過程中要加以重視。復數加減法的幾何意義的難點在于復數加減法轉化為向量加減法,以它為根據來解決某些平面圖形的問題,學生對這一點不輕易接受。

三、教學建議

(1)在復數的加法與減法中,重點是加法.教材首先規定了復數的加法法則.對于這個規定,應通過下面幾個方面,使學生逐步理解這個規定的合理性:①當 時,與實數加法法則一致;②驗證實數加法運算律在復數集中仍然成立;③符合向量加法的平行四邊形法則.

(2)復數加法的向量運算講解設 ,畫出向量 , 后,提問向量加法的平行四邊形法則,并讓學生自己畫出和向量(即合向量) ,畫出向量 后,問與它對應的復數是什么,即求點Z的坐標OR與RZ(證法如教材所示).

(3)向學生介紹復數加法的三角形法則.講過復數加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后,可以指出向量加法還可按三角形法則來進行:如教材中圖8-5(2)所示,求 與 的和,可以看作是求 與 的和.這時先畫出第一個向量 ,再以 的終點為起點畫出第二個向量 ,那么,由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量 ,就是這兩個向量的和向量.

(4)向學生指出復數加法的三角形法則的好處.向學生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的:例如講到當 與 在同一直線上時,求它們的和,用三角形法則來解釋,可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋輕易理解一些;講復數減法的幾何意義時,用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.

(5)講解了教材例2后,應強調 (注重:這里 是起點, 是終點)就是同復數 - 對應的向量.點 , 之間的距離 就是向量 的模,也就是復數 - 的模,即 .

例如,起點對應復數-1、終點對應復數 的那個向量(如圖),可用 來表示.因而點 與 ( )點間的距離就是復數 的模,它等于 。

教學設計示例

復數的減法及其幾何意義

教學目標

1.理解并把握復數減法法則和它的幾何意義.

2.滲透轉化,數形結合等數學思想和方法,提高分析、解決問題能力.

3.培養學生良好思維品質(思維的嚴謹性,深刻性,靈活性等).

教學重點和難點

重點:復數減法法則.

難點:對復數減法幾何意義理解和應用.

教學過程設計

(一)引入新課

上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義,今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義.(板書課題:復數減法及其幾何意義)

(二)復數減法

復數減法是加法逆運算,那么復數減法法則為( i)( i)=( ) ( )i,

1.復數減法法則

(1)規定:復數減法是加法逆運算;

(2)法則:( i)( i)=( ) ( )i( , , , ∈R).

把( i)( i)看成( i) (1)( i)如何推導這個法則.

( i)( i)=( i) (1)( i)=( i) ( i)=( ) ( )i.

推導的想法和依據把減法運算轉化為加法運算.

推導:設( i)( i)= i( , ∈R).即復數 i為復數 i減去復數 i的差.由規定,得( i) ( i)= i,依據加法法則,得( ) ( )i= i,依據復數相等定義,得

故( i)( i)=( ) ( )i.這樣推導每一步都有合理依據.

我們得到了復數減法法則,兩個復數的差仍是復數.是確定的復數.

復數的加(減)法與多項式加(減)法是類似的.就是把復數的實部與實部,虛部與虛部分別相加(減),即( i)±( i)=( ± ) ( ± )i.

(三)復數減法幾何意義

我們有了做復數減法的依據——復數減法法則,那么復數減法的幾何意義是什么?

設z= i( , ∈R),z1= i( , ∈R),對應向量分別為 , 如圖

由于復數減法是加法的逆運算,設z=( ) ( )i,所以zz1=z2,z2 z1=z,由復數加法幾何意義,以 為一條對角線, 1為一條邊畫平行四邊形,那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復數zz1的差( ) ( )i對應,如圖.

在這個平行四邊形中與zz1差對應的向量是只有向量 2嗎?

還有 . 因為OZ2 Z1Z,所以向量 ,也與zz1差對應.向量 是以Z1為起點,Z為終點的向量.

能概括一下復數減法幾何意義是:兩個復數的差zz1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應.

(四)應用舉例

在直角坐標系中標Z1(2,5),連接OZ1,向量 1與多數z1對應,標點Z2(3,2),Z2關于x軸對稱點Z2(3,2),向量 2與復數對應,連接,向量與的差對應(如圖).

例2根據復數的幾何意義及向量表示,求復平面內兩點間的距離公式.

解:設復平面內的任意兩點Z1,Z2分別表示復數z1,z2,那么Z1Z2就是復數對應的向量,點之間的距離就是向量的模,即復數z2z1的模.假如用d表示點Z1,Z2之間的距離,那么d=|z2z1|.

例3 在復平面內,滿足下列復數形式方程的動點Z的軌跡是什么.

(1)|z1i|=|z 2 i|;

方程左式可以看成|z(1 i)|,是復數Z與復數1 i差的模.

幾何意義是是動點Z與定點(1,1)間的距離.方程右式也可以寫成|z(2i)|,是復數z與復數2i差的模,也就是動點Z與定點(2,1)間距離.這個方程表示的是到兩點( 1,1),(2,1)距離相等的點的軌跡方程,這個動點軌跡是以點( 1,1),(2,1)為端點的線段的垂直平分線.

(2)|z i| |zi|=4;

方程可以看成|z(i)| |zi|=4,表示的是到兩個定點(0,1)和(0,1)距離和等于4的動點軌跡.滿足方程的動點軌跡是橢圓.

(3)|z 2||z2|=1.

這個方程可以寫成|z(2)||z2|=1,所以表示到兩個定點(2,0),(2,0)距離差等于1的點的軌跡,這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.

由z1z2幾何意義,將z1z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1z2|,由此得到線段垂直平分線,橢圓、雙曲線等復數方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質特征.

例4 設動點Z與復數z= i對應,定點P與復數p= i對應.求

(1)復平面內圓的方程;

解:設定點P為圓心,r為半徑,如圖

由圓的定義,得復平面內圓的方程|zp|=r.

(2)復平面內滿足不等式|zp|解:復平面內滿足不等式|zp|(五)小結

我們通過推導得到復數減法法則,并進一步得到了復數減法幾何意義,應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式,可以用復數研究解析幾何問題,不等式以及最值問題.

(六)布置作業P193習題二十七:2,3,8,9.

探究活動

復數等式的幾何意義

復數等式 在復平面上表示以 為圓心,以1為半徑的圓。請再舉三個復數等式并說明它們在復平面上的幾何意義。

分析與解

1. 復數等式 在復平面上表示線段 的中垂線。

2. 復數等式 在復平面上表示一個橢圓。

3. 復數等式 在復平面上表示一條線段。

4. 復數等式 在復平面上表示雙曲線的一支。

5. 復數等式 在復平面上表示原點為O、 構成一個矩形。

說明復數與復平面上的點有一一對應的關系,假如我們對復數的代數形式工(幾何意義)之間的關系比較熟悉的話,必然會強化對復數知識的把握。