這是高中數(shù)學復(fù)數(shù)的三角表示，是優(yōu)秀的數(shù)學教案文章，供老師家長們參考學習。

高中數(shù)學復(fù)數(shù)的三角表示第 1 篇

這要歸功于歐拉公式：

歐拉公式

當theta = pi時，歐拉公式演變?yōu)?1 + 0 = e^{ipi}即e^{ipi}+1=0，被評為“最美數(shù)學公式”。

當theta = 2pi時，歐拉公式演變?yōu)? + 0 = e^{2ipi}即(e^{ipi})^2=1。

當theta = frac{pi}{2}時，演變?yōu)閕 = e^{i frac{pi}{2}};

復(fù)數(shù)的表示

復(fù)數(shù)的二維解析表達式是z = x + text{i}y，其中x是實部，y是虛部。

如果使用極坐標，模為r幅角為theta的復(fù)數(shù)可以表示為z=r(cos theta + text{i} sin theta)。

在復(fù)平面中繪制單位圓，原點到圓周上的點長度都是1，構(gòu)成的向量是“單位向量”。圓周上的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)都叫“單位復(fù)數(shù)”。

當復(fù)數(shù)模為1時（即x^2+y^2=1），z=cos theta + text{i} sin theta，就是歐拉公式的一邊。

代入歐拉公式，z=r(cos theta + text{i} sin theta) = r e^{itheta}。

我們重新表達一下離散傅里葉變換DFT入門中x^8=1的8個單位復(fù)根

高中數(shù)學復(fù)數(shù)的三角表示第 2 篇

知識點：

一、三角運算：

復(fù)數(shù)除法

復(fù)數(shù)乘法

其實，這個結(jié)論也不難驗證，用代數(shù)形式化簡就可以的。

但是，這個結(jié)論的意義又是不一般的，它同時使得向量有了伸縮和旋轉(zhuǎn)兩種變換。

而且，由它可以很容易的得出復(fù)數(shù)的乘方運算和模的性質(zhì)。

當然，復(fù)數(shù)的加減運算，按照三角形或平行四邊形法則，可是不具備如此好的性質(zhì)的。

但它和向量一樣，也有下面這個不等關(guān)系：

視頻教學：

練習：

一、選擇題

1．復(fù)數(shù)z1＝1，z2由z1繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)π6而得到，則arg(z2z1)的值為(

　　)

A.π12 B.π6

C.π4 D.π3

2．復(fù)數(shù)－12＋3)2i的三角形式是(

　　)

A．cos 60°＋isin 60° B．－cos 60°＋isin 60°

C．cos 120°＋isin 60° D．cos 120°＋isin 120°

3．設(shè)A，B，C是△ABC的內(nèi)角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一個實數(shù)，則△ABC是(

　　)

A．銳角三角形 B．鈍角三角形

C．直角三角形 D．形狀不能確定

4．復(fù)數(shù)cos π3＋isin π3經(jīng)過n次乘方后，所得的復(fù)數(shù)等于它的共軛復(fù)數(shù)，則n的值等于(

　　)

A．3 B．12

C．6k－1(k∈Z) D．6k＋1(k∈Z)

5．復(fù)數(shù)z＝cosπ15＋isinπ15是方程x5＋α＝0的一個根，那么α的值為(

　　)

A.3)2＋12i B.12＋3)2i

C．－3)2－12i D．－12－3)2i

6．(探究題)若復(fù)數(shù)as4alco1((1＋i1－i))n為實數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是(

　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

二、填空題

7．設(shè)z＝1＋i，則復(fù)數(shù)z2－3z＋6z＋1的三角形式是________．

8．復(fù)數(shù)2＋2i的輻角主值為________，化為三角形式為________．

9．設(shè)(1＋i)z＝i，則復(fù)數(shù)z的三角形式為________．

課件：

教案：

教學課時：共2課時（第1課時）

教學目標：

1、能借助復(fù)數(shù)的幾何意義認識復(fù)數(shù)的三角形式，知道復(fù)數(shù)可以用三角形式來表示且可以與代數(shù)形式互化，正確識別復(fù)數(shù)的三角形式中模、輻角等相關(guān)概念．

2、結(jié)合知識學習進一步體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模核心素養(yǎng)；能熟練求出簡單代數(shù)形式的復(fù)數(shù)的三角形式．

3、體會事物聯(lián)系的普遍性，形式與內(nèi)容相統(tǒng)一的辯證唯物主義觀點．

教學重點：將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的意義與轉(zhuǎn)化的方法步驟．

教學難點：將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的意義．

教學過程：

一、情境與問題

問題1：

設(shè)復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，你能不能寫出點Z的坐標，并在復(fù)平面內(nèi)描出點Z的位置，做出向量

？

問題2：

記r為向量

的模，

是以x軸正半軸為始邊，射線OZ為終邊的一個角，請求出r的值，并寫出

的任意一個值．

問題3：

小組討論r、

與

的實部與虛部之間的關(guān)系．每個小組把討論得出的結(jié)論寫出來．請出幾個小組的代表發(fā)言．

【學生活動】：

1、閱讀教材43頁嘗試與發(fā)現(xiàn)．

2、回答文章中提出的問題．

3、小組討論并把討論得出的結(jié)論寫出來．

【設(shè)計意圖】：

引導學生自主思考復(fù)數(shù)的r、

與復(fù)數(shù)的實部、虛部之間的聯(lián)系．建立引入復(fù)數(shù)的三角形式的學習情境．

二、新知探究

問題1：

是不是任意的復(fù)數(shù)的實部、虛部與復(fù)數(shù)的r、

與之間都存在類似的關(guān)系？我們能不能利用r、

表示復(fù)數(shù)？

【學生活動】學生動手推導復(fù)數(shù)的實部、虛部與復(fù)數(shù)的r、

與之間的關(guān)系．

【設(shè)計意圖】通過學生自己動手推導，得到復(fù)數(shù)的實部、虛部與復(fù)數(shù)的r、

與之間的關(guān)系，將

推廣到z=a+bi．

問題2：

復(fù)數(shù)三角形式的定義是什么？

【學生活動】

嘗試總結(jié)復(fù)數(shù)三角形式的定義．

【設(shè)計意圖】引導學生自己總結(jié)復(fù)數(shù)三角形式的定義，調(diào)動學生學習的積極性，能幫助學生加深對復(fù)數(shù)三角形式的理解．

復(fù)數(shù) z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫復(fù)數(shù)z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中

，θ為復(fù)數(shù)z的輻角．

問題3：

輻角是唯一的嗎？如果不唯一，它們之間有什么關(guān)系？

以O(shè)x軸正半軸為始邊，向量

所在的射線為終邊的角θ叫復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角．任意非零復(fù)數(shù)的輻角都有無窮多個，任意兩個輻角之間相差2

的整數(shù)倍．[0，2

）內(nèi)的輻角稱為輻角主值，記作arg z．z=0時，其輻角是任意的．

【學生活動】思考并討論．

【設(shè)計意圖】引導學生對輻角的概念進一步思考，討論得出正確答案．并培養(yǎng)思維的嚴謹性．

問題4：復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式怎么互化？

【學生活動】學生思考并總結(jié)．

【設(shè)計意圖】明確三角形式與代數(shù)形式之間的互化．

三、例題示范

例1（教材44頁例1）

考查意圖：考查對復(fù)數(shù)三角形式的理解，數(shù)學運算能力，化歸思想．

思路分析：求出復(fù)數(shù)的模，找出復(fù)數(shù)的一個輻角（比如輻角主值）即可．

解：（1）

；

（2）

；

（3）

．

解法評析：化成三角形式的關(guān)鍵是找到復(fù)數(shù)的模和其中一個輻角，通常是輻角主值．

例2：（教材48頁習題10-3A第一題）

把下列復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式．

考查意圖：考查對復(fù)數(shù)三角形式與代數(shù)形式的關(guān)系的理解．例1是代數(shù)形式化成三角形式，補充一道題，三角形式化成代數(shù)形式．

思路分析：打開括號，直接整理即可．

解：

解法評析：復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式的互化中，三角形式化代數(shù)形式比較容易．通過互化過程掌握兩種形式之間的聯(lián)系．

四、知能訓練

1、教材48頁習題10-3A第2題、第6題

考查意圖：復(fù)數(shù)的輻角

2、教材48頁習題10-3A第3題、第4題，49頁習題10-3B第2題

考查意圖：復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式的互化．

五、歸納總結(jié)

1、知識內(nèi)容及研究方法方面：復(fù)數(shù)的三角形式．

2、數(shù)學思想方法、核心素養(yǎng)及應(yīng)用方法策略方面：數(shù)形結(jié)合；數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析．

3、應(yīng)注意的問題：復(fù)數(shù)由代數(shù)形式、幾何形式、三角形式，學習中應(yīng)注意三種形式之間的區(qū)別與聯(lián)系．

4、學生活動方式說明：本節(jié)學習內(nèi)容為選學內(nèi)容，故學生可通過自我閱讀的方式來完成本節(jié)的學習．

5、作業(yè)建議：

48頁習題10-3A第2題、第3題、第4題第6題，

49頁習題10-3B第2題

高中數(shù)學復(fù)數(shù)的三角表示第 3 篇

　　一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

　　1.內(nèi)容

　　復(fù)數(shù)的三角表示式，復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　本單元的知識結(jié)構(gòu)：

　　本單元建議用2課時：第一課時，復(fù)數(shù)的三角表示式；第二課時，復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　2. 內(nèi)容解析

　　復(fù)數(shù)的三角表示是復(fù)數(shù)的一種重要表示形式，復(fù)數(shù)的三角表示式、復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義，是復(fù)數(shù)代數(shù)形式及其乘除運算等知識的延續(xù)和深化.復(fù)數(shù)的三角表示溝通了復(fù)數(shù)與平面向量、三角函數(shù)等知識的聯(lián)系，為解決平面向量、三角函數(shù)和平面幾何問題提供了一種重要途徑，同時為學生今后在大學期間進一步學習復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論等高等數(shù)學知識奠定基礎(chǔ)，可見本單元的內(nèi)容在高中數(shù)學乃至大學數(shù)學課程中起著承前啟后的作用.

　　復(fù)數(shù)的三角表示，實際上是用有序數(shù)對（r,）來確定一個復(fù)數(shù)z=a+bi，并把它表示成r(cos+isin)的形式.復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式有著緊密聯(lián)系，可以借助三角函數(shù)的知識，將三角形式和代數(shù)形式進行互化；基于復(fù)數(shù)的三角表示，按照復(fù)數(shù)的乘法運算法則，并利用三角恒等變換知識，就能推導得出復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示，因此復(fù)數(shù)的三角表示是本單元的基礎(chǔ).由復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示可以推導出復(fù)數(shù)除法運算的三角表示.復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示不僅形式簡潔，給復(fù)數(shù)的乘、除運算帶來了便利，而且它們的幾何意義明顯，實際上，復(fù)數(shù)乘、除運算三角表示的幾何意義就是平面向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮.借助復(fù)數(shù)乘、除運算三角表示的幾何意義，可以將一些復(fù)數(shù)、三角和平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題去解決. 因此，復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示式及其幾何意義在本單元中具有重要地位.

　　本單元內(nèi)容突出了復(fù)數(shù)的三角表示和乘、除運算的幾何意義，體現(xiàn)了形與數(shù)的融合，如復(fù)數(shù)的三角表示是從向量出發(fā)，借助數(shù)形結(jié)合，利用三角函數(shù)知識推導得出的；復(fù)數(shù)的乘、除運算可以借助三角表示的幾何意義轉(zhuǎn)化為向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮變換；等.此外，本單元的知識也蘊含了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，如復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式可以互相轉(zhuǎn)化，復(fù)數(shù)除法運算的三角表示可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示，某些復(fù)數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為平面向量問題去解決，某些平面向量問題也可以轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)問題去解決等.再有，本單元在研究過程中也運用了類比的研究方法，如三角表示的兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是類比代數(shù)形式兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件得到的，復(fù)數(shù)除法三角表示的幾何意義是類比復(fù)數(shù)乘法三角表示的幾何意義得到的，等.運用好本單元的相關(guān)知識素材，讓學生體會這些數(shù)學思想和方法，有助于提升他們的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

　　基于以上分析，確定本單元的教學重點：復(fù)數(shù)的三角表示式，復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義，以及這些內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想方法.

　　二、目標和目標解析

　　1. 目標

　　（1）了解復(fù)數(shù)三角表示式的推導過程，了解復(fù)數(shù)的三角表示式.

　　（2）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系，會進行復(fù)數(shù)三角形式和代數(shù)形式之間的互化，了解兩個用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的條件.

　　（3）了解復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（4）在知識的探究和發(fā)現(xiàn)中，感受數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).

　　2. 目標解析

　　

　　達成目標（2）的標志是：學生能根據(jù)運算的需要，將復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式進行互化；能夠類比復(fù)數(shù)代數(shù)形式表示的兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件得出三角形式表示的兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，并會判斷兩個用三角形式表示的復(fù)數(shù)是否相等.

　　達成目標（3）的標志是：學生能根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式推導出復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示式，并能用文字語言闡述其含義；能根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示，得出復(fù)數(shù)乘法的幾何意義；會類比復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示及其幾何意義得出復(fù)數(shù)除法運算的三角表示及其幾何意義；會依據(jù)復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義進行相關(guān)的計算，能解決簡單的復(fù)數(shù)、三角和平面向量問題.

　　達成目標（4）的標志是：在教師的引導下，學生能夠運用數(shù)形結(jié)合的思想，探究復(fù)數(shù)三角表示式和復(fù)數(shù)乘、除運算幾何意義；在復(fù)數(shù)除法運算三角表示的推導過程中，能體會化歸與轉(zhuǎn)化的思想；能夠運用類比的方法，探究兩個三角表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件，探究復(fù)數(shù)除法運算三角表示的幾何意義；在復(fù)數(shù)三角形式和代數(shù)形式的互化過程中，能感受事物之間在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點.

　　三、教學問題診斷分析

　　在知識儲備上，學生已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)系擴充的過程，學習了復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義，知道復(fù)數(shù)a+bi和平面上的點z(a,b)以及向量的一一對應(yīng)關(guān)系；掌握了復(fù)數(shù)乘、除運算的運算法則，為本單元學習復(fù)數(shù)的三角表示奠定了基礎(chǔ).但從復(fù)數(shù)的幾何意義出發(fā)探究得出復(fù)數(shù)的三角表示式，從思維角度看學生還缺乏經(jīng)驗；并且復(fù)數(shù)的三角表示式與復(fù)數(shù)的向量表示、三角函數(shù)有很強的關(guān)聯(lián)性，其形式也比較復(fù)雜，而且有些學生會錯誤地認為，只要復(fù)數(shù)的表達式中含有正弦和余弦函數(shù)就是復(fù)數(shù)的三角表示式.因此，探究和理解復(fù)數(shù)的三角表示式有一定難度.

　　在能力基礎(chǔ)上，學生通過高一上學期的學習，對高中數(shù)學學習中常用的基本數(shù)學思想方法已經(jīng)有所了解，有運用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法解決數(shù)學問題的意識，也知道類比是研究數(shù)學問題的一種常用的方法，但在實際應(yīng)用中，學生運用起來還不夠熟練，而且往往很難針對具體問題的特點選擇合適的數(shù)學思想方法解決問題，所以在運用類比的方法探究三角形式表示的兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，利用數(shù)形結(jié)合、類比等方法探究復(fù)數(shù)乘、除運算幾何意義的過程中，學生可能會遇到障礙.

　　在學習態(tài)度上，由于高考不涉及本單元的內(nèi)容，所以學生在重視程度上可能不夠，需要教師設(shè)置比較好的問題情境，并指出學習本節(jié)內(nèi)容的重要意義和價值，從而激發(fā)學生的學習興趣和學習主動性.

　　綜上所述，本單元的教學難點為：

　　（1）探究、理解復(fù)數(shù)的三角表示式；

　　（2）對復(fù)數(shù)乘、除運算三角表示幾何意義的理解.

　　對于難點（1），在講解本單元的第一課時前，可提前布置一些預(yù)習作業(yè)，讓學生為新課的學習做好知識準備，或者在課上先復(fù)習平面向量和復(fù)數(shù)的幾何意義等相關(guān)知識，再進行新課的學習和探究，探究時要充分注意復(fù)數(shù)與平面向量和三角函數(shù)的聯(lián)系性，這是突破難點的一個重要舉措；探究出復(fù)數(shù)的三角表示式后，讓學生明晰復(fù)數(shù)三角表示式的基本結(jié)構(gòu)特征，這樣有助于學生理解復(fù)數(shù)的三角表示式.

　　

　　四、教學支持條件分析

　　利用幾何畫板、GeoGebra等信息技術(shù)工具有助于幫助學生探究并理解輻角.例如，可以使用信息技術(shù)工具畫出平面向量表示的復(fù)數(shù)z=a+bi，讓學生通過觀察、比較，初步確定可以用以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角刻畫平面向量的方向；然后改變復(fù)數(shù)對應(yīng)的平面向量的位置（在不同象限或在實軸、虛軸上），進行動態(tài)演示，感受選擇來刻畫平面向量方向的一般性和合理性. 也可以通過上述圖形，讓學生直觀感受復(fù)數(shù)a+bi與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，體會輻角的多值性和輻角主值的唯一性.

　　在復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示幾何意義的教學中，也可使用幾何畫板、GeoGebra等信息技術(shù)工具，使學生感受兩個復(fù)數(shù)相乘（或相除）時，模和輻角的變化情況，從而加深學生對幾何意義的理解.

　　五、教學過程設(shè)計

　　第一課時

　　7.3.1 復(fù)數(shù)的三角表示式

　　（一）課時教學內(nèi)容

　　復(fù)數(shù)的三角表示式

　　（二）課時教學目標

　　1. 了解復(fù)數(shù)三角表示式的推導過程，了解復(fù)數(shù)的三角表示式.

　　2. 了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系，會進行復(fù)數(shù)三角形式和代數(shù)形式之間的互化，了解兩個用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的條件.

　　（三）教學重點與難點

　　教學重點：復(fù)數(shù)的三角表示式

　　教學難點：復(fù)數(shù)的三角表示式

　　（四）教學過程設(shè)計

　　引言：前面我們已經(jīng)學習了復(fù)數(shù)及其四則運算，本節(jié)我們來研究復(fù)數(shù)的另一種重要表示——復(fù)數(shù)的三角表示.復(fù)數(shù)的三角表示的形式是什么?它又有哪些作用?讓我們一起來探究吧.

　　1. 溫故知新，奠定基礎(chǔ)

　　問題1 前面我們學習了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，請同學們回憶一下它們分別是什么.

　　師生活動：學生思考、回答，指出z=a+bi(a，b∈R)稱為復(fù)數(shù)，以及復(fù)數(shù)的兩種幾何意義：復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z（a，b）一一對應(yīng)；復(fù)數(shù)z=a+bi與平面向量=(a,b)一一對應(yīng).

　　追問1：你能在復(fù)平面內(nèi)用平面向量表示z=a+bi嗎？

　　師生活動：學生回答，教師利用幾何畫板、GeoGebra等信息技術(shù)工具或在黑板上畫出復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)的平面向量.

　　追問2：已知平面向量=(a,b)，能唯一確定與之對應(yīng)的復(fù)數(shù)z嗎？復(fù)數(shù)z的表達式是什么？為什么？

　　師生活動：學生思考并回答，由于復(fù)數(shù)z=a+bi與平面向量=(a,b)一一對應(yīng)，所以已知平面向量=(a,b)能唯一確定與之對應(yīng)的復(fù)數(shù)，其表達式為z=a+bi.教師總結(jié)，復(fù)數(shù)z可以由向量的坐標(a,b)唯一確定.

　　設(shè)計意圖：復(fù)數(shù)的幾何意義是得出復(fù)數(shù)三角表示式的基礎(chǔ).溫故知新，激活學生已有的知識儲備，為本課時從復(fù)數(shù)的向量表示出發(fā)探究復(fù)數(shù)的三角表示奠定基礎(chǔ).

　　2. 引導探究，得出概念

　　問題2 我們知道復(fù)數(shù)z=a+bi可以由向量的坐標(a,b)唯一確定，向量既可以由它的坐標(a,b)唯一確定，也可以由它的大小和方向唯一確定，觀察分析圖1，能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復(fù)數(shù)呢？你認為如何表示？

　　追問1：你認為為了解決問題2，首先應(yīng)研究什么？

　　師生活動：學生在教師的引導下，觀察圖形、思考討論，發(fā)現(xiàn)解決問題2的首要環(huán)節(jié)是，應(yīng)定量刻畫向量的大小和方向這兩個要素，并且向量的大小可以用復(fù)數(shù)的模來表示，向量的方向可以借助角來表示.

　　追問2：如何用文字語言表述角呢？

　　師生活動：學生思考回答，可能給出的表述不很確切. 教師逐漸引導糾正，逐步得出：角是以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角.

　　設(shè)計意圖：利用教科書上的探究問題，借助復(fù)數(shù)的幾何意義，引導學生嘗試定量刻畫向量的大小和方向，為得出復(fù)數(shù)的三角表示式奠基，這也是得出復(fù)數(shù)三角表示式的第一個關(guān)鍵環(huán)節(jié).

　　追問3： 你能用向量的模，以及以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角來表示復(fù)數(shù)z嗎？

　　師生活動：讓學生分組討論.學生利用復(fù)數(shù)的向量表示的圖形（圖1），容易得出：

　　

　　設(shè)計意圖：要求學生進一步借助圖形，得出模r和角與平面向量的坐標(a,b)的關(guān)系，從中感受復(fù)數(shù)和平面向量的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的思想. 這是得出復(fù)數(shù)三角表示式的另一個關(guān)鍵環(huán)節(jié).

　　追問4： 剛才我們畫的圖形，角的終邊落在第一象限，得到a+bi=r(cos+isin)，這個式子是否具有一般性呢？即：若角的終邊落在第二、三、四象限，這個式子成立嗎？若點z在實軸或虛軸上，即角的終邊落在實軸或虛軸上時，這個式子也成立嗎？

　　師生活動：教師借助幾何畫板、GeoGebra和PPT等軟件，改變平面向量的位置，讓學生觀察分析，得出結(jié)論：不管角的終邊落在什么位置，都有a+bi=r().教師指出r()叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式，簡稱為三角形式，并板書復(fù)數(shù)的三角表示式，介紹輻角的概念，說明輻角既可以用弧度表示，也可以用角度表示.最后指出為了與三角形式區(qū)分開，把叫a+bi做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.

　　設(shè)計意圖：讓學生分析角的終邊落在各個象限或?qū)嵼S、虛軸的情況，由具體到抽象，由特殊到一般，歸納出復(fù)數(shù)的三角表示式，感受數(shù)學的嚴謹性，培養(yǎng)抽象概括能力.

　　問題3 一個復(fù)數(shù)的輻角的值有多少個？

　　師生活動：學生結(jié)合圖1，觀察思考回答.利用終邊相同的角的特點，容易得出：任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角的值有無限多個.

　　追問1：這些輻角的值之間有什么關(guān)系呢？

　　師生活動：學生思考回答，因為任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和，所以這些輻角的值之間相差的整數(shù)倍.

　　追問2：若復(fù)數(shù)為0，它的輻角是哪個角？

　　師生活動：教師引導學生分析，對于復(fù)數(shù)0，因為它對應(yīng)著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的，而不是0.

　　設(shè)計意圖：讓學生由平面直角坐標系中終邊相同的角的特點，得出復(fù)數(shù)輻角的多值性，以及這些值之間相差的整數(shù)倍；類比零向量，了解復(fù)數(shù)為0時輻角的任意性.

　　問題4 在研究問題時，復(fù)數(shù)輻角的多值性有時會給我們帶來不便，為了使任意一個非0復(fù)數(shù)有唯一確定的“值”作為其所有輻角值的代表，你認為規(guī)定這種“值”在哪個范圍內(nèi)比較合適？

　　

　　追問：一個非零復(fù)數(shù)輻角的主值有多少個？

　　師生活動：學生思考回答，一個非零復(fù)數(shù)的輻角主值有且只有一個.教師總結(jié)：每一個非零復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值.

　　設(shè)計意圖：給出輻角的主值的概念和取值范圍.讓學生了解規(guī)定輻角的主值，保證了其唯一性，從而為一些表述和研究帶來便利.

　　3. 概念辨析，加深理解

　　

　　設(shè)計意圖：由學生容易出錯的問題，通過具體事例引出對復(fù)數(shù)三角表示式的辨析，通過對復(fù)數(shù)三角表示式結(jié)構(gòu)特點的分析，得出復(fù)數(shù)三角表示式的結(jié)構(gòu)特征，進而根據(jù)結(jié)構(gòu)特征作出判斷.

　　例1 判斷下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.

　　師生活動：學生在練習本上獨立完成，教師巡視并進行個別指導，學生都完成后進行反饋交流，教師幫助更正錯誤，指導學生依據(jù)復(fù)數(shù)三角表示式的結(jié)構(gòu)特征進行反思，并總結(jié)：熟練應(yīng)用三角函數(shù)的誘導公式進行恒等變換，是將復(fù)數(shù)的非三角表示式轉(zhuǎn)化為三角表示式的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié).

　　設(shè)計意圖：辨析復(fù)數(shù)的三角表示式，幫助學生進一步理解三角表示式的概念，學會將復(fù)數(shù)的非三角表示式化為三角表示式的方法.

　　4. 概念應(yīng)用，鞏固新知

　　例2 畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：

　　師生活動：先由學生思考發(fā)言，師生共同總結(jié)解題的基本思路，教師板書第1小題，學生書寫第2小題完整的解題步驟.

　　教師總結(jié)解題思路：復(fù)數(shù)的幾何意義是解決此類問題的關(guān)鍵，要借助數(shù)形結(jié)合解決問題.只要確定復(fù)數(shù)的模和一個輻角，就能將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式.而利用即可求得模，先借助向量的坐標判斷輻角的終邊所在的象限，再利用cos或sin求輻角.

　　設(shè)計意圖：一方面是讓學生進一步體會復(fù)數(shù)的幾何意義，感受復(fù)數(shù)和平面向量一一對應(yīng)的關(guān)系；更為重要的是借助與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標，判斷角的終邊所在的象限，體會將復(fù)數(shù)代數(shù)形式化為三角形式的基本方法.

　　例3 分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個輻角，畫出它們對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：

　　師生活動：學生在練習本上獨立完成，教師巡視并給予個別指導，學生都完成后請學生展示交流. 教師指導學生反思：應(yīng)注意輻角的值不只一個，寫出的輻角可以是輻角的主值，也可以不是，它們相差的整數(shù)倍.

　　設(shè)計意圖：例3主要有兩個用意，一是通過幾何直觀，幫助學生進一步認識復(fù)數(shù)三角形式中r,的含義，進而認識到復(fù)數(shù)實質(zhì)上可以由有序?qū)崝?shù)對(r,)來唯一確定，再次感受復(fù)數(shù)與平面向量的聯(lián)系；二是幫助學生掌握直接利用三角函數(shù)公式，將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式的方法.

　　問題6 兩個用代數(shù)形式表示的非零復(fù)數(shù)相等的條件是什么？兩個用三角形式表示的非零復(fù)數(shù)在什么條件下相等呢？

　　師生活動：引導學生利用類比的方法思考、回答.教師可以引導學生按照下面的思路進行探究：兩個復(fù)數(shù)相等兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量相同兩個向量的長度相等且方向相同兩個復(fù)數(shù)的模相等且輻角主值相等.

　　通過推理，順理成章地得出結(jié)論.

　　設(shè)計意圖：讓學生運用類比的研究方法，得出兩個三角形式的非零復(fù)數(shù)相等的充要條件，體會推理的嚴謹性.

　　5. 課后作業(yè)

　　教科書習題7.3 第1，2題.

　　（五） 目標檢測設(shè)計

　　1. 畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：

　　設(shè)計意圖：考查學生將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的能力．

　　2. 下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.

　　設(shè)計意圖：考查學生對復(fù)數(shù)三角形式的掌握程度．

　　3. 將下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：

　　設(shè)計意圖：考查學生將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式的能力.

　　第二課時

　　7.3.2 復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義

　　（一）課時教學內(nèi)容

　　復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（二）課時教學目標

　　1. 了解復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　2. 在知識的探究和發(fā)現(xiàn)中，感受數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).

　　（三）教學重點與難點

　　教學重點：復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示

　　教學難點：復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（四）教學過程設(shè)計

　　引言：在7.2節(jié)，我們研究了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，上節(jié)課又學習了復(fù)數(shù)的另一種重要的表示形式——三角形式，很自然地，我們想知道復(fù)數(shù)的四則運算是否能用三角形式表示？下面我們就一起來研究這個問題.

　　1.知識回顧

　　問題1 我們知道，復(fù)數(shù)可以進行加、減、乘、除運算，請回憶一下，復(fù)數(shù)代數(shù)形式加法和乘法運算的法則是什么？

　　師生活動：學生回憶后回答：

　　設(shè)a，b,c,d∈R，則

　　(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)

　　設(shè)計意圖：復(fù)數(shù)加法、乘法運算的法則是研究復(fù)數(shù)加法、乘法運算三角表示的出發(fā)點，提出這個問題，激活學生已有的認知基礎(chǔ)，為本節(jié)課研究復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示進行鋪墊.

　　2.復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示及幾何意義的探究及應(yīng)用

　　問題2 上節(jié)課，我們學習了復(fù)數(shù)一種新的表示方法——三角形式，那么復(fù)數(shù)的加法和乘法運算是否能用三角形式來表示呢？

　　師生活動：教師給學生充分的自主活動的時間，學生經(jīng)過獨立思考和演算后，由學生匯報交流，教師及時補充或糾正錯誤，師生共同完成復(fù)數(shù)加法和乘法是否能用三角形式表示的探究過程.發(fā)現(xiàn)：一般說來復(fù)數(shù)的加法不便表示成三角形式；復(fù)數(shù)的乘法能表示成三角形式，其三角表示公式為：

　　教師板書復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式.

　　追問2：復(fù)數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算，復(fù)數(shù)的減法運算是否能用三角形式來表示？

　　師生活動：教師側(cè)重引導學生，將復(fù)數(shù)的減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算，學生類比探究復(fù)數(shù)的加法是否能用三角形式表示的過程，容易發(fā)現(xiàn)：一般說來，復(fù)數(shù)的減法不便表示成三角形式.

　　設(shè)計意圖：讓學生獨立思考、自主探究，經(jīng)歷復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式得出的過程，從中進一步體會復(fù)數(shù)和三角之間的緊密聯(lián)系.

　　問題3 你能用文字語言來表述復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式嗎？

　　師生活動：學生回答，教師補充完善.得出：兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.可以簡述為“模相乘，輻角相加”.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生的語言表達能力，幫助學生進一步加深對復(fù)數(shù)乘法運算三角表示公式的理解.

　　問題4 我們知道復(fù)數(shù)的加、減運算具有幾何意義，那么復(fù)數(shù)乘法很可能也具有幾何意義.請你利用復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示進行探索、嘗試.

　　師生活動：學生用紙筆畫出草圖，分組討論交流.教師借助幾何畫板、GeoGebra等軟件畫出對應(yīng)的向量，演示乘法運算的過程，學生歸納得出復(fù)數(shù)乘法運算三角表示的幾何意義（圖2）.

　　設(shè)計意圖：讓學生借助圖形進行分析，探究得出復(fù)數(shù)乘法三角表示的幾何意義，體會數(shù)形結(jié)合思想，同時也培養(yǎng)學生的自主學習能力和合作意識.

　　師生活動：學生獨立做題，教師巡視答疑，學生完成后利用多媒體進行交流展示.教師指導學生反思：運用復(fù)數(shù)乘法的三角表示式進行運算的前提是，給出的復(fù)數(shù)必須都是三角形式，然后才能利用“模數(shù)相乘，輻角相加”的算法進行運算. 教學中應(yīng)提醒學生：當不要求把計算結(jié)果化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式時，也可以直接用三角形式表示結(jié)果.

　　設(shè)計意圖：讓學生運用復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式進行運算，進一步熟悉算理和復(fù)數(shù)乘法運算三角表示的幾何意義.

　　設(shè)計意圖：讓學生了解利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可以解決某些與向量旋轉(zhuǎn)、伸縮有關(guān)的復(fù)數(shù)運算問題，體會利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義解決問題的便捷性.

　　3. 復(fù)數(shù)除法運算的三角表示及幾何意義的探究與應(yīng)用

　　問題6 除法運算是乘法運算的逆運算.根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示，你能得出復(fù)數(shù)除法運算的三角表示嗎？你能用文字語言加以表述嗎？

　　師生活動：教師引導，學生討論，得出將復(fù)數(shù)除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算的方法（配湊法），學生自己推導得出復(fù)數(shù)除法運算三角表示公式，教師板書公式：

　　用文字語言可表述為：兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差．

　　追問：你還有其他的推導方法嗎？

　　師生活動：教師引導，學生思考回答。也可以通過 “分數(shù)”運算直接推導得出：

　　設(shè)計意圖：在復(fù)數(shù)乘法運算三角表示的基礎(chǔ)上，引導學生借助已有知識和運算技巧推導復(fù)數(shù)除法運算的三角表示，體會化歸與轉(zhuǎn)化和類比的數(shù)學思想，提升數(shù)學運算素養(yǎng).

　　追問：若模伸長或縮短倍呢？

　　師生活動：學生思考回答，教師借助幾何畫板、GeoGebra等軟件演示，幫助學生理解. 教師總結(jié)：利用復(fù)數(shù)乘、除運算的幾何意義，可以把平面向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘、除運算問題，反之亦然.

　　設(shè)計意圖：讓學生思考復(fù)數(shù)乘、除運算幾何意義的反向應(yīng)用，培養(yǎng)逆向思維能力，進一步感受平面向量和復(fù)數(shù)之間可以互相轉(zhuǎn)化的關(guān)系.

　　4. 課堂練習

　　（1）教科書第89頁練習1（1）（3）.

　　（2）教科書第89頁練習2（1）（2）.

　　5. 單元小結(jié)

　　（1）回顧并敘述得出復(fù)數(shù)三角形式的研究思路和基本過程，并說說研究方法.

　　（2）復(fù)數(shù)三角表示式的基本結(jié)構(gòu)特點是什么？輻角和輻角的主值的概念和特點是什么？

　　（3）三角形式表示的兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？它是怎么得出的？

　　（4）復(fù)數(shù)乘法運算和除法運算的三角表示公式及其幾何意義分別是什么？它們是如何推導出來的，試簡述研究思路和方法.

　　（5）簡述復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和三角形式的區(qū)別與聯(lián)系，它們在運算上各有什么優(yōu)勢？分別適合哪些運算？

　　師生活動：教師提出問題，學生思考、討論、回答，互相補充，教師進行點評，幫助完善.

　　是利用復(fù)數(shù)的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合進行探究.回顧研究過程和研究方法有利于培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗.

　　（2）讓學生進一步理解復(fù)數(shù)三角表示式和輻角、輻角的主值等核心概念.使學生對概念形成清晰的認識，有利于復(fù)數(shù)三角形式的后續(xù)應(yīng)用.

　　（3）讓學生進一步明確兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，體會類比的研究方法.

　　（4）讓學生進一步明確復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義，進一步體會類比、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法.有利于提升學生直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

　　（5）通過比較，讓學生體會復(fù)數(shù)代數(shù)形式和三角形式各自的特點，體會復(fù)數(shù)的三角形式給復(fù)數(shù)的乘、除運算帶來的便利，以及復(fù)數(shù)三角形式與平面向量、三角函數(shù)之間的緊密聯(lián)系.

　　6. 課后作業(yè)：

　　習題7.3第3，4，6，7，8題

　　（五）目標檢測設(shè)計

　　1. 計算下列各式，并做出幾何解釋：

　　設(shè)計意圖：考查學生對復(fù)數(shù)乘除運算的三角表示式及其幾何意義的掌握程度．

　　2.在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，求與所得的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.

　　設(shè)計意圖：考查學生對復(fù)數(shù)除法運算幾何意義的了解和應(yīng)用.

高中數(shù)學復(fù)數(shù)的三角表示第 4 篇

　　一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

　　1.內(nèi)容

　　復(fù)數(shù)的三角表示式，復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　本單元的知識結(jié)構(gòu)：

　　本單元建議用2課時：第一課時，復(fù)數(shù)的三角表示式；第二課時，復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　2. 內(nèi)容解析

　　復(fù)數(shù)的三角表示是復(fù)數(shù)的一種重要表示形式，復(fù)數(shù)的三角表示式、復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義，是復(fù)數(shù)代數(shù)形式及其乘除運算等知識的延續(xù)和深化.復(fù)數(shù)的三角表示溝通了復(fù)數(shù)與平面向量、三角函數(shù)等知識的聯(lián)系，為解決平面向量、三角函數(shù)和平面幾何問題提供了一種重要途徑，同時為學生今后在大學期間進一步學習復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論等高等數(shù)學知識奠定基礎(chǔ)，可見本單元的內(nèi)容在高中數(shù)學乃至大學數(shù)學課程中起著承前啟后的作用.

　　復(fù)數(shù)的三角表示，實際上是用有序數(shù)對（r,）來確定一個復(fù)數(shù)z=a+bi，并把它表示成r(cos+isin)的形式.復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式有著緊密聯(lián)系，可以借助三角函數(shù)的知識，將三角形式和代數(shù)形式進行互化；基于復(fù)數(shù)的三角表示，按照復(fù)數(shù)的乘法運算法則，并利用三角恒等變換知識，就能推導得出復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示，因此復(fù)數(shù)的三角表示是本單元的基礎(chǔ).由復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示可以推導出復(fù)數(shù)除法運算的三角表示.復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示不僅形式簡潔，給復(fù)數(shù)的乘、除運算帶來了便利，而且它們的幾何意義明顯，實際上，復(fù)數(shù)乘、除運算三角表示的幾何意義就是平面向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮.借助復(fù)數(shù)乘、除運算三角表示的幾何意義，可以將一些復(fù)數(shù)、三角和平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題去解決. 因此，復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示式及其幾何意義在本單元中具有重要地位.

　　本單元內(nèi)容突出了復(fù)數(shù)的三角表示和乘、除運算的幾何意義，體現(xiàn)了形與數(shù)的融合，如復(fù)數(shù)的三角表示是從向量出發(fā)，借助數(shù)形結(jié)合，利用三角函數(shù)知識推導得出的；復(fù)數(shù)的乘、除運算可以借助三角表示的幾何意義轉(zhuǎn)化為向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮變換；等.此外，本單元的知識也蘊含了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，如復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式可以互相轉(zhuǎn)化，復(fù)數(shù)除法運算的三角表示可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示，某些復(fù)數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為平面向量問題去解決，某些平面向量問題也可以轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)問題去解決等.再有，本單元在研究過程中也運用了類比的研究方法，如三角表示的兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是類比代數(shù)形式兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件得到的，復(fù)數(shù)除法三角表示的幾何意義是類比復(fù)數(shù)乘法三角表示的幾何意義得到的，等.運用好本單元的相關(guān)知識素材，讓學生體會這些數(shù)學思想和方法，有助于提升他們的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

　　基于以上分析，確定本單元的教學重點：復(fù)數(shù)的三角表示式，復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義，以及這些內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想方法.

　　二、目標和目標解析

　　1. 目標

　　（1）了解復(fù)數(shù)三角表示式的推導過程，了解復(fù)數(shù)的三角表示式.

　　（2）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系，會進行復(fù)數(shù)三角形式和代數(shù)形式之間的互化，了解兩個用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的條件.

　　（3）了解復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（4）在知識的探究和發(fā)現(xiàn)中，感受數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).

　　2. 目標解析

　　

　　達成目標（2）的標志是：學生能根據(jù)運算的需要，將復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式進行互化；能夠類比復(fù)數(shù)代數(shù)形式表示的兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件得出三角形式表示的兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，并會判斷兩個用三角形式表示的復(fù)數(shù)是否相等.

　　達成目標（3）的標志是：學生能根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式推導出復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示式，并能用文字語言闡述其含義；能根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示，得出復(fù)數(shù)乘法的幾何意義；會類比復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示及其幾何意義得出復(fù)數(shù)除法運算的三角表示及其幾何意義；會依據(jù)復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義進行相關(guān)的計算，能解決簡單的復(fù)數(shù)、三角和平面向量問題.

　　達成目標（4）的標志是：在教師的引導下，學生能夠運用數(shù)形結(jié)合的思想，探究復(fù)數(shù)三角表示式和復(fù)數(shù)乘、除運算幾何意義；在復(fù)數(shù)除法運算三角表示的推導過程中，能體會化歸與轉(zhuǎn)化的思想；能夠運用類比的方法，探究兩個三角表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件，探究復(fù)數(shù)除法運算三角表示的幾何意義；在復(fù)數(shù)三角形式和代數(shù)形式的互化過程中，能感受事物之間在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點.

　　三、教學問題診斷分析

　　在知識儲備上，學生已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)系擴充的過程，學習了復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義，知道復(fù)數(shù)a+bi和平面上的點z(a,b)以及向量的一一對應(yīng)關(guān)系；掌握了復(fù)數(shù)乘、除運算的運算法則，為本單元學習復(fù)數(shù)的三角表示奠定了基礎(chǔ).但從復(fù)數(shù)的幾何意義出發(fā)探究得出復(fù)數(shù)的三角表示式，從思維角度看學生還缺乏經(jīng)驗；并且復(fù)數(shù)的三角表示式與復(fù)數(shù)的向量表示、三角函數(shù)有很強的關(guān)聯(lián)性，其形式也比較復(fù)雜，而且有些學生會錯誤地認為，只要復(fù)數(shù)的表達式中含有正弦和余弦函數(shù)就是復(fù)數(shù)的三角表示式.因此，探究和理解復(fù)數(shù)的三角表示式有一定難度.

　　在能力基礎(chǔ)上，學生通過高一上學期的學習，對高中數(shù)學學習中常用的基本數(shù)學思想方法已經(jīng)有所了解，有運用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法解決數(shù)學問題的意識，也知道類比是研究數(shù)學問題的一種常用的方法，但在實際應(yīng)用中，學生運用起來還不夠熟練，而且往往很難針對具體問題的特點選擇合適的數(shù)學思想方法解決問題，所以在運用類比的方法探究三角形式表示的兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，利用數(shù)形結(jié)合、類比等方法探究復(fù)數(shù)乘、除運算幾何意義的過程中，學生可能會遇到障礙.

　　在學習態(tài)度上，由于高考不涉及本單元的內(nèi)容，所以學生在重視程度上可能不夠，需要教師設(shè)置比較好的問題情境，并指出學習本節(jié)內(nèi)容的重要意義和價值，從而激發(fā)學生的學習興趣和學習主動性.

　　綜上所述，本單元的教學難點為：

　　（1）探究、理解復(fù)數(shù)的三角表示式；

　　（2）對復(fù)數(shù)乘、除運算三角表示幾何意義的理解.

　　對于難點（1），在講解本單元的第一課時前，可提前布置一些預(yù)習作業(yè)，讓學生為新課的學習做好知識準備，或者在課上先復(fù)習平面向量和復(fù)數(shù)的幾何意義等相關(guān)知識，再進行新課的學習和探究，探究時要充分注意復(fù)數(shù)與平面向量和三角函數(shù)的聯(lián)系性，這是突破難點的一個重要舉措；探究出復(fù)數(shù)的三角表示式后，讓學生明晰復(fù)數(shù)三角表示式的基本結(jié)構(gòu)特征，這樣有助于學生理解復(fù)數(shù)的三角表示式.

　　

　　四、教學支持條件分析

　　利用幾何畫板、GeoGebra等信息技術(shù)工具有助于幫助學生探究并理解輻角.例如，可以使用信息技術(shù)工具畫出平面向量表示的復(fù)數(shù)z=a+bi，讓學生通過觀察、比較，初步確定可以用以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角刻畫平面向量的方向；然后改變復(fù)數(shù)對應(yīng)的平面向量的位置（在不同象限或在實軸、虛軸上），進行動態(tài)演示，感受選擇來刻畫平面向量方向的一般性和合理性. 也可以通過上述圖形，讓學生直觀感受復(fù)數(shù)a+bi與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，體會輻角的多值性和輻角主值的唯一性.

　　在復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示幾何意義的教學中，也可使用幾何畫板、GeoGebra等信息技術(shù)工具，使學生感受兩個復(fù)數(shù)相乘（或相除）時，模和輻角的變化情況，從而加深學生對幾何意義的理解.

　　五、教學過程設(shè)計

　　第一課時

　　7.3.1 復(fù)數(shù)的三角表示式

　　（一）課時教學內(nèi)容

　　復(fù)數(shù)的三角表示式

　　（二）課時教學目標

　　1. 了解復(fù)數(shù)三角表示式的推導過程，了解復(fù)數(shù)的三角表示式.

　　2. 了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系，會進行復(fù)數(shù)三角形式和代數(shù)形式之間的互化，了解兩個用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的條件.

　　（三）教學重點與難點

　　教學重點：復(fù)數(shù)的三角表示式

　　教學難點：復(fù)數(shù)的三角表示式

　　（四）教學過程設(shè)計

　　引言：前面我們已經(jīng)學習了復(fù)數(shù)及其四則運算，本節(jié)我們來研究復(fù)數(shù)的另一種重要表示——復(fù)數(shù)的三角表示.復(fù)數(shù)的三角表示的形式是什么?它又有哪些作用?讓我們一起來探究吧.

　　1. 溫故知新，奠定基礎(chǔ)

　　問題1 前面我們學習了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，請同學們回憶一下它們分別是什么.

　　師生活動：學生思考、回答，指出z=a+bi(a，b∈R)稱為復(fù)數(shù)，以及復(fù)數(shù)的兩種幾何意義：復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z（a，b）一一對應(yīng)；復(fù)數(shù)z=a+bi與平面向量=(a,b)一一對應(yīng).

　　追問1：你能在復(fù)平面內(nèi)用平面向量表示z=a+bi嗎？

　　師生活動：學生回答，教師利用幾何畫板、GeoGebra等信息技術(shù)工具或在黑板上畫出復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)的平面向量.

　　追問2：已知平面向量=(a,b)，能唯一確定與之對應(yīng)的復(fù)數(shù)z嗎？復(fù)數(shù)z的表達式是什么？為什么？

　　師生活動：學生思考并回答，由于復(fù)數(shù)z=a+bi與平面向量=(a,b)一一對應(yīng)，所以已知平面向量=(a,b)能唯一確定與之對應(yīng)的復(fù)數(shù)，其表達式為z=a+bi.教師總結(jié)，復(fù)數(shù)z可以由向量的坐標(a,b)唯一確定.

　　設(shè)計意圖：復(fù)數(shù)的幾何意義是得出復(fù)數(shù)三角表示式的基礎(chǔ).溫故知新，激活學生已有的知識儲備，為本課時從復(fù)數(shù)的向量表示出發(fā)探究復(fù)數(shù)的三角表示奠定基礎(chǔ).

　　2. 引導探究，得出概念

　　問題2 我們知道復(fù)數(shù)z=a+bi可以由向量的坐標(a,b)唯一確定，向量既可以由它的坐標(a,b)唯一確定，也可以由它的大小和方向唯一確定，觀察分析圖1，能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復(fù)數(shù)呢？你認為如何表示？

　　追問1：你認為為了解決問題2，首先應(yīng)研究什么？

　　師生活動：學生在教師的引導下，觀察圖形、思考討論，發(fā)現(xiàn)解決問題2的首要環(huán)節(jié)是，應(yīng)定量刻畫向量的大小和方向這兩個要素，并且向量的大小可以用復(fù)數(shù)的模來表示，向量的方向可以借助角來表示.

　　追問2：如何用文字語言表述角呢？

　　師生活動：學生思考回答，可能給出的表述不很確切. 教師逐漸引導糾正，逐步得出：角是以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角.

　　設(shè)計意圖：利用教科書上的探究問題，借助復(fù)數(shù)的幾何意義，引導學生嘗試定量刻畫向量的大小和方向，為得出復(fù)數(shù)的三角表示式奠基，這也是得出復(fù)數(shù)三角表示式的第一個關(guān)鍵環(huán)節(jié).

　　追問3： 你能用向量的模，以及以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角來表示復(fù)數(shù)z嗎？

　　師生活動：讓學生分組討論.學生利用復(fù)數(shù)的向量表示的圖形（圖1），容易得出：

　　

　　設(shè)計意圖：要求學生進一步借助圖形，得出模r和角與平面向量的坐標(a,b)的關(guān)系，從中感受復(fù)數(shù)和平面向量的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的思想. 這是得出復(fù)數(shù)三角表示式的另一個關(guān)鍵環(huán)節(jié).

　　追問4： 剛才我們畫的圖形，角的終邊落在第一象限，得到a+bi=r(cos+isin)，這個式子是否具有一般性呢？即：若角的終邊落在第二、三、四象限，這個式子成立嗎？若點z在實軸或虛軸上，即角的終邊落在實軸或虛軸上時，這個式子也成立嗎？

　　師生活動：教師借助幾何畫板、GeoGebra和PPT等軟件，改變平面向量的位置，讓學生觀察分析，得出結(jié)論：不管角的終邊落在什么位置，都有a+bi=r().教師指出r()叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式，簡稱為三角形式，并板書復(fù)數(shù)的三角表示式，介紹輻角的概念，說明輻角既可以用弧度表示，也可以用角度表示.最后指出為了與三角形式區(qū)分開，把叫a+bi做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.

　　設(shè)計意圖：讓學生分析角的終邊落在各個象限或?qū)嵼S、虛軸的情況，由具體到抽象，由特殊到一般，歸納出復(fù)數(shù)的三角表示式，感受數(shù)學的嚴謹性，培養(yǎng)抽象概括能力.

　　問題3 一個復(fù)數(shù)的輻角的值有多少個？

　　師生活動：學生結(jié)合圖1，觀察思考回答.利用終邊相同的角的特點，容易得出：任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角的值有無限多個.

　　追問1：這些輻角的值之間有什么關(guān)系呢？

　　師生活動：學生思考回答，因為任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和，所以這些輻角的值之間相差的整數(shù)倍.

　　追問2：若復(fù)數(shù)為0，它的輻角是哪個角？

　　師生活動：教師引導學生分析，對于復(fù)數(shù)0，因為它對應(yīng)著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的，而不是0.

　　設(shè)計意圖：讓學生由平面直角坐標系中終邊相同的角的特點，得出復(fù)數(shù)輻角的多值性，以及這些值之間相差的整數(shù)倍；類比零向量，了解復(fù)數(shù)為0時輻角的任意性.

　　問題4 在研究問題時，復(fù)數(shù)輻角的多值性有時會給我們帶來不便，為了使任意一個非0復(fù)數(shù)有唯一確定的“值”作為其所有輻角值的代表，你認為規(guī)定這種“值”在哪個范圍內(nèi)比較合適？

　　

　　追問：一個非零復(fù)數(shù)輻角的主值有多少個？

　　師生活動：學生思考回答，一個非零復(fù)數(shù)的輻角主值有且只有一個.教師總結(jié)：每一個非零復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值.

　　設(shè)計意圖：給出輻角的主值的概念和取值范圍.讓學生了解規(guī)定輻角的主值，保證了其唯一性，從而為一些表述和研究帶來便利.

　　3. 概念辨析，加深理解

　　

　　設(shè)計意圖：由學生容易出錯的問題，通過具體事例引出對復(fù)數(shù)三角表示式的辨析，通過對復(fù)數(shù)三角表示式結(jié)構(gòu)特點的分析，得出復(fù)數(shù)三角表示式的結(jié)構(gòu)特征，進而根據(jù)結(jié)構(gòu)特征作出判斷.

　　例1 判斷下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.

　　師生活動：學生在練習本上獨立完成，教師巡視并進行個別指導，學生都完成后進行反饋交流，教師幫助更正錯誤，指導學生依據(jù)復(fù)數(shù)三角表示式的結(jié)構(gòu)特征進行反思，并總結(jié)：熟練應(yīng)用三角函數(shù)的誘導公式進行恒等變換，是將復(fù)數(shù)的非三角表示式轉(zhuǎn)化為三角表示式的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié).

　　設(shè)計意圖：辨析復(fù)數(shù)的三角表示式，幫助學生進一步理解三角表示式的概念，學會將復(fù)數(shù)的非三角表示式化為三角表示式的方法.

　　4. 概念應(yīng)用，鞏固新知

　　例2 畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：

　　師生活動：先由學生思考發(fā)言，師生共同總結(jié)解題的基本思路，教師板書第1小題，學生書寫第2小題完整的解題步驟.

　　教師總結(jié)解題思路：復(fù)數(shù)的幾何意義是解決此類問題的關(guān)鍵，要借助數(shù)形結(jié)合解決問題.只要確定復(fù)數(shù)的模和一個輻角，就能將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式.而利用即可求得模，先借助向量的坐標判斷輻角的終邊所在的象限，再利用cos或sin求輻角.

　　設(shè)計意圖：一方面是讓學生進一步體會復(fù)數(shù)的幾何意義，感受復(fù)數(shù)和平面向量一一對應(yīng)的關(guān)系；更為重要的是借助與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標，判斷角的終邊所在的象限，體會將復(fù)數(shù)代數(shù)形式化為三角形式的基本方法.

　　例3 分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個輻角，畫出它們對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：

　　師生活動：學生在練習本上獨立完成，教師巡視并給予個別指導，學生都完成后請學生展示交流. 教師指導學生反思：應(yīng)注意輻角的值不只一個，寫出的輻角可以是輻角的主值，也可以不是，它們相差的整數(shù)倍.

　　設(shè)計意圖：例3主要有兩個用意，一是通過幾何直觀，幫助學生進一步認識復(fù)數(shù)三角形式中r,的含義，進而認識到復(fù)數(shù)實質(zhì)上可以由有序?qū)崝?shù)對(r,)來唯一確定，再次感受復(fù)數(shù)與平面向量的聯(lián)系；二是幫助學生掌握直接利用三角函數(shù)公式，將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式的方法.

　　問題6 兩個用代數(shù)形式表示的非零復(fù)數(shù)相等的條件是什么？兩個用三角形式表示的非零復(fù)數(shù)在什么條件下相等呢？

　　師生活動：引導學生利用類比的方法思考、回答.教師可以引導學生按照下面的思路進行探究：兩個復(fù)數(shù)相等兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量相同兩個向量的長度相等且方向相同兩個復(fù)數(shù)的模相等且輻角主值相等.

　　通過推理，順理成章地得出結(jié)論.

　　設(shè)計意圖：讓學生運用類比的研究方法，得出兩個三角形式的非零復(fù)數(shù)相等的充要條件，體會推理的嚴謹性.

　　5. 課后作業(yè)

　　教科書習題7.3 第1，2題.

　　（五） 目標檢測設(shè)計

　　1. 畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：

　　設(shè)計意圖：考查學生將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的能力．

　　2. 下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.

　　設(shè)計意圖：考查學生對復(fù)數(shù)三角形式的掌握程度．

　　3. 將下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：

　　設(shè)計意圖：考查學生將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式的能力.

　　第二課時

　　7.3.2 復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義

　　（一）課時教學內(nèi)容

　　復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（二）課時教學目標

　　1. 了解復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　2. 在知識的探究和發(fā)現(xiàn)中，感受數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).

　　（三）教學重點與難點

　　教學重點：復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示

　　教學難點：復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（四）教學過程設(shè)計

　　引言：在7.2節(jié)，我們研究了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，上節(jié)課又學習了復(fù)數(shù)的另一種重要的表示形式——三角形式，很自然地，我們想知道復(fù)數(shù)的四則運算是否能用三角形式表示？下面我們就一起來研究這個問題.

　　1.知識回顧

　　問題1 我們知道，復(fù)數(shù)可以進行加、減、乘、除運算，請回憶一下，復(fù)數(shù)代數(shù)形式加法和乘法運算的法則是什么？

　　師生活動：學生回憶后回答：

　　設(shè)a，b,c,d∈R，則

　　(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)

　　設(shè)計意圖：復(fù)數(shù)加法、乘法運算的法則是研究復(fù)數(shù)加法、乘法運算三角表示的出發(fā)點，提出這個問題，激活學生已有的認知基礎(chǔ)，為本節(jié)課研究復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示進行鋪墊.

　　2.復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示及幾何意義的探究及應(yīng)用

　　問題2 上節(jié)課，我們學習了復(fù)數(shù)一種新的表示方法——三角形式，那么復(fù)數(shù)的加法和乘法運算是否能用三角形式來表示呢？

　　師生活動：教師給學生充分的自主活動的時間，學生經(jīng)過獨立思考和演算后，由學生匯報交流，教師及時補充或糾正錯誤，師生共同完成復(fù)數(shù)加法和乘法是否能用三角形式表示的探究過程.發(fā)現(xiàn)：一般說來復(fù)數(shù)的加法不便表示成三角形式；復(fù)數(shù)的乘法能表示成三角形式，其三角表示公式為：

　　教師板書復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式.

　　追問2：復(fù)數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算，復(fù)數(shù)的減法運算是否能用三角形式來表示？

　　師生活動：教師側(cè)重引導學生，將復(fù)數(shù)的減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算，學生類比探究復(fù)數(shù)的加法是否能用三角形式表示的過程，容易發(fā)現(xiàn)：一般說來，復(fù)數(shù)的減法不便表示成三角形式.

　　設(shè)計意圖：讓學生獨立思考、自主探究，經(jīng)歷復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式得出的過程，從中進一步體會復(fù)數(shù)和三角之間的緊密聯(lián)系.

　　問題3 你能用文字語言來表述復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式嗎？

　　師生活動：學生回答，教師補充完善.得出：兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.可以簡述為“模相乘，輻角相加”.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生的語言表達能力，幫助學生進一步加深對復(fù)數(shù)乘法運算三角表示公式的理解.

　　問題4 我們知道復(fù)數(shù)的加、減運算具有幾何意義，那么復(fù)數(shù)乘法很可能也具有幾何意義.請你利用復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示進行探索、嘗試.

　　師生活動：學生用紙筆畫出草圖，分組討論交流.教師借助幾何畫板、GeoGebra等軟件畫出對應(yīng)的向量，演示乘法運算的過程，學生歸納得出復(fù)數(shù)乘法運算三角表示的幾何意義（圖2）.

　　設(shè)計意圖：讓學生借助圖形進行分析，探究得出復(fù)數(shù)乘法三角表示的幾何意義，體會數(shù)形結(jié)合思想，同時也培養(yǎng)學生的自主學習能力和合作意識.

　　師生活動：學生獨立做題，教師巡視答疑，學生完成后利用多媒體進行交流展示.教師指導學生反思：運用復(fù)數(shù)乘法的三角表示式進行運算的前提是，給出的復(fù)數(shù)必須都是三角形式，然后才能利用“模數(shù)相乘，輻角相加”的算法進行運算. 教學中應(yīng)提醒學生：當不要求把計算結(jié)果化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式時，也可以直接用三角形式表示結(jié)果.

　　設(shè)計意圖：讓學生運用復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式進行運算，進一步熟悉算理和復(fù)數(shù)乘法運算三角表示的幾何意義.

　　設(shè)計意圖：讓學生了解利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可以解決某些與向量旋轉(zhuǎn)、伸縮有關(guān)的復(fù)數(shù)運算問題，體會利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義解決問題的便捷性.

　　3. 復(fù)數(shù)除法運算的三角表示及幾何意義的探究與應(yīng)用

　　問題6 除法運算是乘法運算的逆運算.根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示，你能得出復(fù)數(shù)除法運算的三角表示嗎？你能用文字語言加以表述嗎？

　　師生活動：教師引導，學生討論，得出將復(fù)數(shù)除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算的方法（配湊法），學生自己推導得出復(fù)數(shù)除法運算三角表示公式，教師板書公式：

　　用文字語言可表述為：兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差．

　　追問：你還有其他的推導方法嗎？

　　師生活動：教師引導，學生思考回答。也可以通過 “分數(shù)”運算直接推導得出：

　　設(shè)計意圖：在復(fù)數(shù)乘法運算三角表示的基礎(chǔ)上，引導學生借助已有知識和運算技巧推導復(fù)數(shù)除法運算的三角表示，體會化歸與轉(zhuǎn)化和類比的數(shù)學思想，提升數(shù)學運算素養(yǎng).

　　追問：若模伸長或縮短倍呢？

　　師生活動：學生思考回答，教師借助幾何畫板、GeoGebra等軟件演示，幫助學生理解. 教師總結(jié)：利用復(fù)數(shù)乘、除運算的幾何意義，可以把平面向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘、除運算問題，反之亦然.

　　設(shè)計意圖：讓學生思考復(fù)數(shù)乘、除運算幾何意義的反向應(yīng)用，培養(yǎng)逆向思維能力，進一步感受平面向量和復(fù)數(shù)之間可以互相轉(zhuǎn)化的關(guān)系.

　　4. 課堂練習

　　（1）教科書第89頁練習1（1）（3）.

　　（2）教科書第89頁練習2（1）（2）.

　　5. 單元小結(jié)

　　（1）回顧并敘述得出復(fù)數(shù)三角形式的研究思路和基本過程，并說說研究方法.

　　（2）復(fù)數(shù)三角表示式的基本結(jié)構(gòu)特點是什么？輻角和輻角的主值的概念和特點是什么？

　　（3）三角形式表示的兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？它是怎么得出的？

　　（4）復(fù)數(shù)乘法運算和除法運算的三角表示公式及其幾何意義分別是什么？它們是如何推導出來的，試簡述研究思路和方法.

　　（5）簡述復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和三角形式的區(qū)別與聯(lián)系，它們在運算上各有什么優(yōu)勢？分別適合哪些運算？

　　師生活動：教師提出問題，學生思考、討論、回答，互相補充，教師進行點評，幫助完善.

　　是利用復(fù)數(shù)的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合進行探究.回顧研究過程和研究方法有利于培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗.

　　（2）讓學生進一步理解復(fù)數(shù)三角表示式和輻角、輻角的主值等核心概念.使學生對概念形成清晰的認識，有利于復(fù)數(shù)三角形式的后續(xù)應(yīng)用.

　　（3）讓學生進一步明確兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，體會類比的研究方法.

　　（4）讓學生進一步明確復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義，進一步體會類比、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法.有利于提升學生直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

　　（5）通過比較，讓學生體會復(fù)數(shù)代數(shù)形式和三角形式各自的特點，體會復(fù)數(shù)的三角形式給復(fù)數(shù)的乘、除運算帶來的便利，以及復(fù)數(shù)三角形式與平面向量、三角函數(shù)之間的緊密聯(lián)系.

　　6. 課后作業(yè)：

　　習題7.3第3，4，6，7，8題

　　（五）目標檢測設(shè)計

　　1. 計算下列各式，并做出幾何解釋：

　　設(shè)計意圖：考查學生對復(fù)數(shù)乘除運算的三角表示式及其幾何意義的掌握程度．

　　2.在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，求與所得的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.

　　設(shè)計意圖：考查學生對復(fù)數(shù)除法運算幾何意義的了解和應(yīng)用.