這是認識單復數教案，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

認識單復數教案第 1 篇

　　引入：

　　大家都知道，數，是數學中的基本概念，也是我們生活和科學技術時刻離不開的語言和工具。前幾天，老師遇到了這樣一個與數有關的問題，大家看看該怎樣解決呢？

　　問題1：已知 ，求：（1） ；（2） 。

　　對于第二個問，學生可能出現下面幾種方案得出結論，

　　方案一：

　　方案二：

　　方案三：通過 可是

　　方案四：

　　你是怎么處理的，結論是什么？

　　第二個問為什么沒解出來？為什么存在著使 的數，但是卻求不出來，你是怎么想的呢？

　　正如同學們所分析的，數的概念需要進一步發展，實數集需要擴充。這就是本節課要研究的內容——§3.3.1數系的擴充與復數的概念。

　　應該如何進行數的擴充呢？到目前為止，大家已經知道，數系經歷了三次擴充，就讓我們通過回憶，從中尋找數系擴充的方法。

　　請大家以四人為一組合作探討下面的問題。

　　問題2：數在不斷的發展，到目前為止，經歷了三次擴充，

　?。?）回顧數從自然數發展到實數的三次擴充歷程。

　?。?）說明數集N,Z,Q,R的關系

　?。?）分析每一次引入新數，擴大數系的原因。

　　同學們說的非常好，數的這種發展一方面是生產生活的需要，另一方面也是數學本身發展的需要。

　　數與數之間的聯系正是通過一些運算建立起來的，如果沒有運算，數不過是一些孤立的符號，毫無意義，接下來讓我們從運算的角度，進一步討論數的擴充。

　　問題3： 對于加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算來說，在以下四個數集中，

　　(1)任意兩個數運算所得的結果是否仍然屬于這個數集。

　　(2)試著分析，引入負數，分數，無理數對于運算的影響。

　　通過不斷的引入新數，數系逐步擴大到了實數系。 通過這個表格，我們看到，新的數集中，原有的運算律仍然適用，同時引入新數后，使得原來的某種不可以實施的運算變得可行了。

　　問題4：現在我們要進行數系的再一次擴充就是要解決什么問題？ 怎么解決？你能具體說一說嗎？

　　同學們分析的很好，到目前為止，負數開偶次方的問題還沒有解決，我們不妨先來研究負數開平方的問題，從運算的角度來說，也就是要解決方程 在實數系中無解的問題。像大家說的，我們可以仿照前面的做法，引入一種新數，法國數學家笛卡爾給這些數起名叫虛數，即 “虛的數”與“實數”相對應．這是因為最開始研究這種新數是在16世紀，而那個時候人們沒能發現什么事物可以支持這樣的數。

　　如果引入虛數，負數可以開方了，那么 就有意義了。我們希望，引入虛數后，原來在實數集中給出的運算規則仍能適用。例如，在引入虛數后，我們希望能把 表示成 的形式。實際上任何一個負數的平方根都可以表示成一個實數與 的乘積的形式，因此，意大利數學家邦貝利提出可以把 看作虛數單位。

　　負數、分數和無理數引入時，都相應的帶來了一種新的記號，那么對于虛數，用一種什么樣的記號來表示呢？

　　現在我們規定：（1） ；（2） 。

　　使用 來表示 這個數，是偉大的數學家歐拉在1777年，雙目失明以后憑借著超乎尋常的意志和毅力，仍然不放棄對科學問題的思索與追求的結果，從而讓虛數有了一個特征性的記號。從此，也就不在使用 表示虛數單位了，而是 了。那么 ，這種表示方法既簡潔又有特點。

　　問題5：不僅僅 是虛數吧，你還能說出其他形式的虛數嗎？那么通過運算，虛數可以用 表示成什么形式呢？（討論）

　　一．復數的定義

　　虛數與實數構成了一個新的數集，我們把這個新的數集叫做復數集，記作 。這樣我們就完成了數系的又一次擴充。我們把新的數系稱作復數系。

　　該怎樣用描述法表示集合 呢？

　　形如 的數，我們把它們叫做復數，其中 叫做復數的實部， 叫做復數的虛部。

　　一個復數是由兩部分組成的，如果兩個復數的實部和虛部分別相等,我們就說這兩個復數相等，反之亦然，即

　　問題6：實數與虛數組成了復數，那么 這種形式，什么時候表示實數，什么時候表示虛數呢？

　　二．例題

　　例題1.判斷下列各數哪些是實數、虛數、純虛數，并指出它們各自的實部和虛部。

　　例題2．當 取何實數時，復數 是：

　　（1）實數 （2） 虛數 （3）純虛數 （4）零

　　結論：

　　三．虛數引入的必要性

　　通過前面的研究，大家對虛數已經有了初步的認識，然而歷史上引入虛數，可不是件容易的事，是許多數學家200多年的努力，才奠定了虛數在數學領域的地位。開始很多人都不承認虛數，就連科學家牛頓也不認為虛數有多少意義，他認為虛數的引入只是為了使不可解的問題，顯得像是可以解的樣子。

　　他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：「 把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此，將分成的兩部分應是 5+事實并非如此，我們最開始研究的問題1，就是16世紀，意大利數學家卡爾達諾研究的一個著名問題：“將10分成兩部分，使他們的乘積等于40” 的變形。這個問題就說明了虛數的存在性。

　　數十年后另一個意大利數學家邦貝力（R. Bombelli，1526-1573）發現，方程 有三個實數根4， 。邦貝力在利用三次方程求根公式求解時，卻發現實數4竟然是用 來表示的。

　　這個問題進一步說明了虛數不是虛無飄渺的，而是客觀存在的。

　　四．復數的實際應用

　　在十六世紀，很多數學家不認可虛數，只不過因為那時人們對數的認識還不是很深刻，負數和無理數才剛剛接受，讓他們接受負數可以開方就更難了。而且那時也無法在現實世界中找到任何可以支持虛數的事物。

　　不過經過許多數學家的深入研究與探索，現在復數理論越來越完善，它的重要性也越來越明顯。在處理很多數學問題，如代數、分析、幾何與數論等問題中，皆可看到復數的蹤跡。

　　一些碎形就是基于復數理論基礎上的。

　　這個圖就是碎形——曼德勃羅集合，這是他的局部放大圖。

　　復數更多的應用是作為一種數學工具，服務于各個領域。比如復數為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，為建立巨大水電站（如三峽水電站）提供了重要的理論依據。

　　復數還廣泛的應用于物理學的各個分支， 比如在交流電，工程力學中的計算，計算量子力學中的震蕩波產生的影響，等等。

　　五．師生小結

　　那么，通過這堂課的學習你有哪些收獲？

　　今天我們的學習僅僅是打開了研究復數的大門，對復數的認識還是膚淺的，在今后的學習中，大家再慢慢體會復數的作用。

　　板書：

　　§3.1.1數系的擴充與復數的概念

　　一． 虛數

　　1． 虛數單位

　　2． 虛數的表示形式

　　二． 復數

　　1． 概念：形如 的數， 叫做復數的實部， 叫做復數的虛部。

　　2． 性質：

認識單復數教案第 2 篇

　　教學目的：

　　1.了解引進復數的必要性；理解并掌握虛數的單位i

　　2.理解并掌握虛數單位與實數進行四則運算的規律

　　3.理解并掌握復數的有關概念(復數集、代數形式、虛數、純虛數、實部、虛部)

　　4.理解并掌握復數相等的有關概念

　　教學重點：復數的概念，虛數單位i，復數的分類(實數、虛數、純虛數)和復數相等等概念是本節課的教學重點.復數在現代科學技術中以及在數學學科中的地位和作用

　　教學難點：虛數單位i的引進及復數的概念是本節課的教學難點.復數的概念是在引入虛數單位i并同時規定了它的兩條性質之后，自然地得出的.在規定i的第二條性質時，原有的加、乘運算律仍然成立

　　授課類型：新授課

　　課時安排：1課時

　　教 具：多媒體、實物投影儀

　　內容分析：

復數的概念如果單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學生不易接受，教學時，我們采用講解或體驗已學過的數集的擴充的歷史，讓學生體會到數集的擴充是生產實踐的需要，也是數學學科自身發展的需要；介紹數的概念的發展過程，使學生對數的形成、發展的歷史和規律，各種數集中之間的關系有著比較清晰、完整的認識.從而讓學生積極主動地建構虛數的概念、復數的概念、復數的分類

　　教學過程：

　　一、復習引入：

　　數的概念是從實踐中產生和發展起來的.早在人類社會初期，人們在狩獵、采集果實等勞動中，由于計數的需要，就產生了1，2，3，4等數以及表示“沒有”的數0.自然數的全體構成自然數集N

　　隨著生產和科學的發展，數的概念也得到發展

　　為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數的需要，人們又引進了負數.這樣就把數集擴充到有理數集Q.顯然NQ.如果把自然數集(含正整數和0)與負整數集合并在一起，構成整數集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數看作分母為1的分數，那么有理數集實際上就是分數集

　　有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數表示，為了解決這個矛盾，人們又引進了無理數.所謂無理數，就是無限不循環小數.有理數集與無理數集合并在一起，構成實數集R.因為有理數都可看作循環小數(包括整數、有限小數)，無理數都是無限不循環小數，所以實數集實際上就是小數集

　　因生產和科學發展的需要而逐步擴充，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，也解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數解決了在整數集中不能整除的矛盾，負數解決了在正有理數集中不夠減的矛盾，無理數解決了開方開不盡的矛盾.但是，數集擴到實數集R以后，像x2=－1這樣的方程還是無解的，因為沒有一個實數的平方等于－1.由于解方程的需要，人們引入了一個新數，叫做虛數單位.并由此產生的了復數

認識單復數教案第 3 篇

　　引入：

復數的教學設計

　　大家都知道，數，是數學中的基本概念，也是我們生活和科學技術時刻離不開的語言和工具。前幾天，老師遇到了這樣一個與數有關的問題，大家看看該怎樣解決呢？

　　問題1：已知 ，求：（1） ；（2） 。

　　對于第二個問，學生可能出現下面幾種方案得出結論，

　　方案一：

　　方案二：

　　方案三：通過 可是

　　方案四：

　　你是怎么處理的，結論是什么？

　　第二個問為什么沒解出來？為什么存在著使 的數，但是卻求不出來，你是怎么想的呢？

　　正如同學們所分析的，數的概念需要進一步發展，實數集需要擴充。這就是本節課要研究的內容——§3.3.1數系的擴充與復數的概念。

　　應該如何進行數的擴充呢？到目前為止，大家已經知道，數系經歷了三次擴充，就讓我們通過回憶，從中尋找數系擴充的方法。

　　請大家以四人為一組合作探討下面的問題。

　　問題2：數在不斷的發展，到目前為止，經歷了三次擴充，

　?。?）回顧數從自然數發展到實數的三次擴充歷程。

　?。?）說明數集N,Z,Q,R的關系

　　（2）分析每一次引入新數，擴大數系的原因。

　　同學們說的非常好，數的這種發展一方面是生產生活的需要，另一方面也是數學本身發展的需要。

　　數與數之間的聯系正是通過一些運算建立起來的，如果沒有運算，數不過是一些孤立的符號，毫無意義，接下來讓我們從運算的角度，進一步討論數的擴充。

　　問題3： 對于加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算來說，在以下四個數集中，

　　(1)任意兩個數運算所得的結果是否仍然屬于這個數集。

　　(2)試著分析，引入負數，分數，無理數對于運算的影響。

　　通過不斷的引入新數，數系逐步擴大到了實數系。 通過這個表格，我們看到，新的數集中，原有的運算律仍然適用，同時引入新數后，使得原來的某種不可以實施的運算變得可行了。

　　問題4：現在我們要進行數系的再一次擴充就是要解決什么問題？ 怎么解決？你能具體說一說嗎？

　　同學們分析的很好，到目前為止，負數開偶次方的問題還沒有解決，我們不妨先來研究負數開平方的問題，從運算的角度來說，也就是要解決方程 在實數系中無解的問題。像大家說的，我們可以仿照前面的做法，引入一種新數，法國數學家笛卡爾給這些數起名叫虛數，即 “虛的數”與“實數”相對應．這是因為最開始研究這種新數是在16世紀，而那個時候人們沒能發現什么事物可以支持這樣的數。

　　如果引入虛數，負數可以開方了，那么 就有意義了。我們希望，引入虛數后，原來在實數集中給出的運算規則仍能適用。例如，在引入虛數后，我們希望能把 表示成 的形式。實際上任何一個負數的平方根都可以表示成一個實數與 的乘積的形式，因此，意大利數學家邦貝利提出可以把 看作虛數單位。

　　負數、分數和無理數引入時，都相應的帶來了一種新的記號，那么對于虛數，用一種什么樣的記號來表示呢？

　　現在我們規定：（1） ；（2） 。

　　使用 來表示 這個數，是偉大的數學家歐拉在1777年，雙目失明以后憑借著超乎尋常的意志和毅力，仍然不放棄對科學問題的思索與追求的結果，從而讓虛數有了一個特征性的記號。從此，也就不在使用 表示虛數單位了，而是 了。那么 ，這種表示方法既簡潔又有特點。

　　問題5：不僅僅 是虛數吧，你還能說出其他形式的虛數嗎？那么通過運算，虛數可以用 表示成什么形式呢？（討論）

　　一．復數的定義

　　虛數與實數構成了一個新的數集，我們把這個新的數集叫做復數集，記作 。這樣我們就完成了數系的又一次擴充。我們把新的數系稱作復數系。

　　該怎樣用描述法表示集合 呢？

　　形如 的數，我們把它們叫做復數，其中 叫做復數的實部， 叫做復數的虛部。

　　一個復數是由兩部分組成的，如果兩個復數的實部和虛部分別相等,我們就說這兩個復數相等，反之亦然，即

　　問題6：實數與虛數組成了復數，那么 這種形式，什么時候表示實數，什么時候表示虛數呢？

　　二．例題

　　例題1.判斷下列各數哪些是實數、虛數、純虛數，并指出它們各自的實部和虛部。

　　例題2．當 取何實數時，復數 是：

　?。?）實數 （2） 虛數 （3）純虛數 （4）零

　　結論：

　　三．虛數引入的必要性

　　通過前面的研究，大家對虛數已經有了初步的認識，然而歷史上引入虛數，可不是件容易的事，是許多數學家200多年的努力，才奠定了虛數在數學領域的地位。開始很多人都不承認虛數，就連科學家牛頓也不認為虛數有多少意義，他認為虛數的引入只是為了使不可解的問題，顯得像是可以解的樣子。

　　他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：「 把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此，將分成的兩部分應是 5+事實并非如此，我們最開始研究的問題1，就是16世紀，意大利數學家卡爾達諾研究的一個著名問題：“將10分成兩部分，使他們的乘積等于40” 的變形。這個問題就說明了虛數的'存在性。

　　數十年后另一個意大利數學家邦貝力（R. Bombelli，1526-1573）發現，方程 有三個實數根4， 。邦貝力在利用三次方程求根公式求解時，卻發現實數4竟然是用 來表示的。

　　這個問題進一步說明了虛數不是虛無飄渺的，而是客觀存在的。

　　四．復數的實際應用

　　在十六世紀，很多數學家不認可虛數，只不過因為那時人們對數的認識還不是很深刻，負數和無理數才剛剛接受，讓他們接受負數可以開方就更難了。而且那時也無法在現實世界中找到任何可以支持虛數的事物。

　　不過經過許多數學家的深入研究與探索，現在復數理論越來越完善，它的重要性也越來越明顯。在處理很多數學問題，如代數、分析、幾何與數論等問題中，皆可看到復數的蹤跡。

　　一些碎形就是基于復數理論基礎上的。

　　這個圖就是碎形——曼德勃羅集合，這是他的局部放大圖。

　　復數更多的應用是作為一種數學工具，服務于各個領域。比如復數為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，為建立巨大水電站（如三峽水電站）提供了重要的理論依據。

　　復數還廣泛的應用于物理學的各個分支， 比如在交流電，工程力學中的計算，計算量子力學中的震蕩波產生的影響，等等。

　　五．師生小結

　　那么，通過這堂課的學習你有哪些收獲？

　　今天我們的學習僅僅是打開了研究復數的大門，對復數的認識還是膚淺的，在今后的學習中，大家再慢慢體會復數的作用。

　　板書：

　　§3.1.1數系的擴充與復數的概念

　　一． 虛數

　　1． 虛數單位

　　2． 虛數的表示形式

　　二． 復數

　　1． 概念：形如 的數， 叫做復數的實部， 叫做復數的虛部。

　　2． 性質：

認識單復數教案第 4 篇

　　教學目標

　?。?）掌握，如虛數、純虛數、復數的實部與虛部、兩復數相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數、共軛虛數的概念。

　?。?）正確對復數進行分類，掌握數集之間的從屬關系；

　　（3）理解復數的幾何意義，初步掌握復數集c和復平面內所有的點所成的集合之間的一一對應關系。

　?。?）培養學生數形結合的數學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力．

　　教學建議

　?。ㄒ唬┙滩姆治?/p>

　　1、知識結構

　　本節首先介紹了，然后指出復數相等的充要條件，接著介紹了有關復數的幾何表示，最后指出了有關共軛復數的概念．

　　2、重點、難點分析

　?。?）正確復數的實部與虛部

　　對于復數 ，實部是 ，虛部是 ．注意在說復數 時，一定有 ，否則，不能說實部是 ，虛部是 ,復數的實部和虛部都是實數。

　　說明：對于復數的定義，特別要抓住 這一標準形式以及 是實數這一概念，這對于解有關復數的問題將有很大的幫助。

　?。?）正確地對復數進行分類，弄清數集之間的關系

　　分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統一。根據上述原則，復數集的分類如下：

　　注意分清復數分類中的界限：

　　①設 ，則 為實數

　?、?為虛數

　?、?且 。

　　④ 為純虛數 且

　　（3）不能亂用復數相等的條件解題．用復數相等的條件要注意：

　?、倩癁閺蛿档臉藴市问?/p>

　　②實部、虛部中的字母為實數，即

　?。?）在講復數集與復平面內所有點所成的集合一一對應時，要注意：

　　①任何一個復數 都可以由一個有序實數對( )唯一確定．這就是說，復數的實質是有序實數對．一些書上就是把實數對( )叫做復數的．

　?、趶蛿?用復平面內的點z( )表示．復平面內的點z的坐標是( )，而不是( )，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是 ．由于 =0＋1· ，所以用復平面內的點(0，1)表示 時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度．這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數 時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數單位 ，或者 就是縱軸的單位長度．

　?、郛?時，對任何 ， 是純虛數，所以縱軸上的點( )( )都是表示純虛數．但當 時， 是實數．所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸．

　　由此可見，復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區別就是復平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點．

　　④復數z=a＋bi中的z，書寫時小寫，復平面內點z(a，b)中的z，書寫時大寫．要學生注意．

　?。?）關于共軛復數的概念

　　設 ，則 ，即 與 的實部相等，虛部互為相反數（不能認為 與 或 是共軛復數）．

　　教師可以提一下當 時的特殊情況，即實軸上的點關于實軸本身對稱，例如：5和－5也是互為共軛復數．當 時， 與 互為共軛虛數．可見，共軛虛數是共軛復數的特殊情行．

　　（6）復數能否比較大小

　　教材最后指出：“兩個復數，如果不全是實數，就不能比較它們的大小”，要注意：

　　①根據兩個復數相等地定義，可知在 兩式中，只要有一個不成立，那么 ．兩個復數，如果不全是實數，只有相等與不等關系，而不能比較它們的大?。?/p>

　?、诿}中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復數間的一個關系‘<’，都不能使這關系同時滿足實數集中大小關系地四條性質”：

　　(i)對于任意兩個實數a， b來說，a＜b， a=b， b＜a這三種情形有且僅有一種成立；

　　(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

　　(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

　　(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向學生講解)

　?。ǘ┙谭ńㄗh

　　1．要注意知識的連續性：復數 是二維數，其幾何意義是一個點 ，因而注意與平面解析幾何的聯系．

　　2．注意數形結合的數形思想：由于復數集與復平面上的點的集合建立了一一對應關系，所以用“形”來解決“數”就成為可能，在本節要注意復數的幾何意義的講解，培養學生數形結合的數學思想．

　　3．注意分層次的教學：教材中最后對于“兩個復數，如果不全是實數就不能本節它們的大小”沒有