這是二次函數(shù)內(nèi)容分析，是優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教案文章，供老師家長們參考學(xué)習(xí)。

二次函數(shù)內(nèi)容分析第 1 篇

　　教學(xué)內(nèi)容：

　　人教版九年義務(wù)教育初中第三冊第108頁

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1. 1. 理解二次函數(shù)的意義；會(huì)用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=ax2的圖象，知道拋物線的有關(guān)概念；

　　2. 2. 通過變式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性；

　　3. 3. 通過二次函數(shù)的教學(xué)讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)研究函數(shù)的一般方法；加深對于數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識，第五冊二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　二次函數(shù)的意義；會(huì)畫二次函數(shù)圖象。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象，數(shù)與形相互聯(lián)系。

　　教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

　　一. 一. 創(chuàng)設(shè)情景、建模引入

　　我們已學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)及一次函數(shù)，現(xiàn)在來看看下面幾個(gè)例子：

　　1.寫出圓的半徑是R（CM），它的面積S（CM2）與R的關(guān)系式

　　答：S=πR2. ①

　　2.寫出用總長為60M的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S（M2）與矩形一邊長L（M）之間的關(guān)系

　　答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

　　分析：①②兩個(gè)關(guān)系式中S與R、L之間是否存在函數(shù)關(guān)系？

　　S是否是R、L的一次函數(shù)？

　　由于①②兩個(gè)關(guān)系式中S不是R、L的一次函數(shù)，那么S是R、L的什么函數(shù)呢？這樣的函數(shù)大家能不能猜想一下它叫什么函數(shù)呢？

　　答：二次函數(shù)。

　　這一節(jié)課我們將研究二次函數(shù)的有關(guān)知識。（板書課題）

　　二. 二. 歸納抽象、形成概念

　　一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0) ，

　　那么，y叫做x的二次函數(shù).

　　注意：(1)必須a≠0,否則就不是二次函數(shù)了.而b,c兩數(shù)可以是零.(2) 由于二次函數(shù)的解析式是整式的形式，所以x的取值范圍是任意實(shí)數(shù).

　　練習(xí)：1.舉例子：請同學(xué)舉一些二次函數(shù)的例子，全班同學(xué)判斷是否正確。

　　2.出難題：請同學(xué)給大家出示一個(gè)函數(shù)，請同學(xué)判斷是否是二次函數(shù)。

　　（若學(xué)生考慮不全，教師給予補(bǔ)充。如： ； ； ； 的形式。）

　　（通過學(xué)生觀察、歸納定義加深對概念的理解，既培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力，有培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神。并通過開放性的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、開放性。題目用了一些人性化的詞語，也增添了課堂的趣味性。）

　　由前面一次函數(shù)的`學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道研究函數(shù)一般應(yīng)按照定義、圖象、性質(zhì)、求解析式幾個(gè)方面進(jìn)行研究。二次函數(shù)我們也會(huì)按照定義、圖象、性質(zhì)、求解析式幾個(gè)方面進(jìn)行研究。

　　（在這里指出學(xué)習(xí)函數(shù)的一般方法，旨在及時(shí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)；并將此方法形成技能，以指導(dǎo)今后的學(xué)習(xí)；進(jìn)一步培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)的能力。）

　　三. 三. 嘗試模仿、鞏固提高

　　讓我們先從最簡單的二次函數(shù)y=ax2入手展開研究

　　1. 1. 嘗試：大家知道一次函數(shù)的圖象是一條直線，那么二次函數(shù)的圖象是什么呢？

　　請同學(xué)們畫出函數(shù)y=x2的圖象。

　　（學(xué)生分別畫圖，教師巡視了解情況。）

　　2. 2. 模仿鞏固：教師將了解到的各種不同圖象用實(shí)物投影向大家展示，到底哪一個(gè)對呢？下面師生共同畫出函數(shù)y=x2的圖象。

　　解：一、列表：

　　x

　　-3

　　-2

　　-1

　　1

　　2

　　3

　　Y=x2

　　9

　　4

　　1

　　1

　　4

　　9

　　二、描點(diǎn)、連線： 按照表格，描出各點(diǎn).然后用光滑的曲線，按照x(點(diǎn)的橫坐標(biāo))由小到大的順序把各點(diǎn)連結(jié)起來.

　　對照教師畫的圖象一一分析學(xué)生所畫圖象的正誤及原因，從而得到畫二次函數(shù)圖象的幾點(diǎn)注意，初中數(shù)學(xué)教案《第五冊二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)》。

　　練習(xí)：畫出函數(shù) ; 的圖象（請兩個(gè)同學(xué)板演）

　　X

　　-3

　　-2

　　-1

　　1

　　2

　　3

　　Y=0.5X2

　　4.5

　　2

　　0.5

　　0.5

　　02

　　4.5

　　Y=-X2

　　-9

　　-4

　　-1

　　-1

　　-4

　　-9

　　畫好之后教師根據(jù)情況講評，并引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象形狀得出：二次函數(shù) y=ax2的圖象是一條拋物線。

　　（這里，教師在學(xué)生自己探索嘗試的基礎(chǔ)上，示范畫圖象的方法和過程，希望學(xué)生學(xué)會(huì)畫圖象的方法；并及時(shí)安排練習(xí)鞏固剛剛學(xué)到的新知識，通過觀察，感悟拋物線名稱的由來。）

　　三. 三. 運(yùn)用新知、變式探究

　　畫出函數(shù) y=5x2圖象

　　學(xué)生在畫圖象的過程中遇到函數(shù)值較大的困難，不知如何是好。

二次函數(shù)內(nèi)容分析第 2 篇

　　一、教材分析

　　本節(jié)課在討論了二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像的基礎(chǔ)上對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行研究。主要的研究方法是通過配方將y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)轉(zhuǎn)化，體會(huì)知識之間在內(nèi)的聯(lián)系。在具體探究過程中，從特殊的例子出發(fā)，分別研究a>0和a<0的情況，再從特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像和性質(zhì)。

　　二、學(xué)情分析

　　本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)探究過二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像和性質(zhì)，面對一般式向頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)上體會(huì)化歸思想，分析這兩個(gè)式子的區(qū)別。

　　三、教學(xué)目標(biāo)

　　(一)知識與能力目標(biāo)

　　1. 經(jīng)歷求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的過程;

　　2. 能通過配方把二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，從而確定開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸。

　　(二)過程與方法目標(biāo)

　　通過思考、探究、化歸、嘗試等過程，讓學(xué)生從中體會(huì)探索新知的方式和方法。

　　(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

　　1. 經(jīng)歷求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的過程，滲透配方和化歸的思想方法;

　　2. 在運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決問題的過程中，親自體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的價(jià)值，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣并獲得成功的體驗(yàn)。

　　四、教學(xué)重難點(diǎn)

　　1.重點(diǎn)

　　通過配方求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

　　2.難點(diǎn)

　　二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像的性質(zhì)。

　　五、教學(xué)策略與 設(shè)計(jì)說明

　　本節(jié)課主要滲透類比、化歸數(shù)學(xué)思想。對比一般式和頂點(diǎn)式的區(qū)別和聯(lián)系;體會(huì)式子的恒等變形的重要意義。

　　六、教學(xué)過程

　　教學(xué)環(huán)節(jié)(注明每個(gè)環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)的時(shí)間)

　　(一)提出問題(約1分鐘)

　　教師活動(dòng)：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的拋物線的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?那么對于一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸又怎樣呢?圖像又如何?

　　學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生快速回答出第一個(gè)問題，第二個(gè)問題引起學(xué)生的思考。

　　目的：由舊有的知識引出新內(nèi)容，體現(xiàn)復(fù)習(xí)與求新的關(guān)系，暗示了探究新知的方法。

　　(二)探究新知

　　1.探索二次函數(shù)y=0.5x2-6x+21的函數(shù)圖像(約2分鐘)

　　教師活動(dòng)：教師提出思考問題。這里教師適當(dāng)引導(dǎo)能否將次一般式化成頂點(diǎn)式?然后結(jié)合頂點(diǎn)式確定其頂點(diǎn)和對稱軸。

　　學(xué)生活動(dòng)：討論解決

　　目的：激發(fā)興趣

　　2.配方求解頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸(約5分鐘)

　　教師活動(dòng)：教師板書配方過程：y=0.5x2-6x+21=0.5(x2-12x+42)

　　=0.5(x2-12x+36-36+42)

　　=0.5(x-6)2+3

　　教師還應(yīng)強(qiáng)調(diào)這里的配方法比一元二次方程的配方稍復(fù)雜，注意其區(qū)別與聯(lián)系。

　　學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生關(guān)注黑板上的講解內(nèi)容，注意自己容易出錯(cuò)的地方。

　　目的：即加深對本課知識的認(rèn)知有增強(qiáng)了配方法的應(yīng)用意識。

　　3.畫出該二次函數(shù)圖像(約5分鐘)

　　教師活動(dòng)：提出問題。這里要引導(dǎo)學(xué)生是否可以通過y=0.5x2的圖像的平移來說明該函數(shù)圖像。關(guān)注學(xué)生在連線時(shí)是否用平滑的曲線，對稱性如何。

　　學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生通過列表、描點(diǎn)、連線結(jié)合二次函數(shù)圖像的對稱性完成作圖。

　　目的：強(qiáng)化二次函數(shù)圖像的畫法。即確定開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸結(jié)合圖像的對稱性完成圖像。

　　4.探究y=-2x2-4x+1的函數(shù)圖像特點(diǎn)(約3分鐘)

　　教師活動(dòng)：教師提出問題。找學(xué)生板演拋物線的開口方向、頂點(diǎn)和對稱軸內(nèi)容，教師巡視，學(xué)生互相查找問題。這里教師要關(guān)注學(xué)生是否真正掌握了配方法的步驟及含義。

　　學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成。

　　目的：研究a<0時(shí)一個(gè)具體函數(shù)的圖像和性質(zhì)，體會(huì)研究二次函數(shù)圖像的一般方法。

　　5.結(jié)合該二次函數(shù)圖像小結(jié)y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì)(約14分鐘)

　　教師活動(dòng)：教師將y=ax2+bx+c(a≠0)通過配方化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式。確定函數(shù)頂點(diǎn)、對稱軸和開口方向并著重討論分析a>0和a<0時(shí)，y隨x的變化情況、拋物線與y的交點(diǎn)以及函數(shù)的最值如何。

　　學(xué)生活動(dòng)：仔細(xì)理解記憶一般式中的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸和開口方向;理解y隨x的變化情況。

　　目的：體會(huì)由特殊到一般的過程。體驗(yàn)、觀察、分析二次函數(shù)圖像和性質(zhì)。

　　6.簡單應(yīng)用(約11分鐘)

　　教師活動(dòng)：教師板書：已知拋物線y=0.5x2-2x+1.5，求這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸圖像和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)并確定y隨x的變化情況和最值。

　　教師巡視，個(gè)別指導(dǎo)。教師在這里可以用兩種方法解決該問題：i)用配方法如例題所示;ii)我們可以先求出對稱軸，然后將對稱軸代入到原函數(shù)解析式求其函數(shù)值，此時(shí)對稱軸數(shù)值和所求出的函數(shù)值即為頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)。

　　學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立完成，約3分鐘后討論交流，最后形成結(jié)論。

　　目的：鞏固新知

　　課堂小結(jié)(2分鐘)

　　1. 本節(jié)課研究的內(nèi)容是什么?研究的過程中你遇到了哪些知識上的問題?

　　2. 你對本節(jié)課有什么感想或疑惑?

　　布置作業(yè)(1分鐘)

　　1. 教科書習(xí)題22.1第6，7兩題;

　　2. 《課時(shí)練》本節(jié)內(nèi)容。

　　板書設(shè)計(jì)

　　提出問題 畫函數(shù)圖像 學(xué)生板演練習(xí)

　　例題配方過程

　　到頂點(diǎn)式的配方過程 一般式相關(guān)知識點(diǎn)

　　教學(xué)反思

　　在教學(xué)中我采用了合作、體驗(yàn)、探究的教學(xué)方式。在我引導(dǎo)下，學(xué)生通過觀察、歸納出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像性質(zhì)，體驗(yàn)知識的形成過程，力求體現(xiàn)“主體參與、自主探索、合作交流、指導(dǎo)引探”的教學(xué)理念。整個(gè)教學(xué)過程主要分為三部分：第一部分是知識回顧;第二部分是學(xué)習(xí)探究;第三部分是課堂練習(xí)。從當(dāng)堂的反饋和第二天的作業(yè)情況來看，絕大多數(shù)同學(xué)能掌握本節(jié)課的知識，達(dá)到了學(xué)習(xí)目標(biāo)中的要求。

　　我認(rèn)為優(yōu)點(diǎn)主要包括：

　　1.教態(tài)自然，能注重身體語言的作用，聲音洪亮，提問具有啟發(fā)性。

　　2.教學(xué)目標(biāo)明確、思路清晰，注重學(xué)生的自我學(xué)習(xí)培養(yǎng)和小組合作學(xué)習(xí)的落實(shí)。

　　3.板書字體端正，格式清晰明了，突出重點(diǎn)、難點(diǎn)。

　　4.我覺的精彩之處是求一般式的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)的第二種方法，給學(xué)生減輕了一些負(fù)擔(dān)，不一定非得配方或運(yùn)用公式求頂點(diǎn)坐標(biāo)。

　　所以我對于本節(jié)課基本上是滿意的。但也有很多需要改進(jìn)的地方主要表現(xiàn)在：

　　1.知識的生成過程體現(xiàn)的不夠具體，有些急于求成。在學(xué)生活動(dòng)中自己引導(dǎo)的較少，時(shí)間較短，討論的不夠積極;

　　2.一般式圖像的性質(zhì)自己總結(jié)的較多，學(xué)生發(fā)言較少，有些知識完全可以有學(xué)生提出并生成，這樣的結(jié)論學(xué)生理解起來會(huì)更深刻;

　　3.學(xué)生在回答問題的過程中我老是打斷學(xué)生。提問一個(gè)問題，學(xué)生說了一半，我就迫不及待地引導(dǎo)他說出下一半，有的時(shí)候是我替學(xué)生說了，這樣學(xué)生的思路就被我打斷了。破壞學(xué)生的思路是我們教師最大的毛病，此頑疾不除，教學(xué)質(zhì)量難以保證。

　　4.合作學(xué)習(xí)的有效性不夠。正所謂：“水本無波，相蕩乃成漣漪;石本無火，相擊而生靈光。”只有真正把自主、探究、合作的學(xué)習(xí)方式落到實(shí)處，才能培養(yǎng)學(xué)生成為既有創(chuàng)新能力，又能適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展的公民。

　　重新去解讀這節(jié)課的`話我會(huì)注意以上一些問題，再多一些時(shí)間給學(xué)生，讓他們?nèi)ンw驗(yàn)，探究而后形成自己的知識。

二次函數(shù)內(nèi)容分析第 3 篇

　　一、教材分析

　　1．教材的地位和作用

　　（1）函數(shù)是初等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，貫穿于整個(gè)初等數(shù)學(xué)體系之中，也是實(shí)際生活中數(shù)學(xué)建模的重要工具之一，二次函數(shù)在初中函數(shù)的教學(xué)中有重要地位，它不僅是初中代數(shù)內(nèi)容的引申，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，更為高中學(xué)習(xí)一元二次不等式和圓錐曲線奠定基礎(chǔ)。在歷屆佛山市中考試題中，二次函數(shù)都是必不可少的內(nèi)容。

　　（2）二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生基本數(shù)學(xué)思想和素養(yǎng)的形成起推動(dòng)作用。

　　（3）二次函數(shù)與一元二次方程、不等式等知識的聯(lián)系，使學(xué)生能更好地將所學(xué)知識融會(huì)貫通。

　　2．課標(biāo)要求：

　　①通過對實(shí)際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會(huì)二次函數(shù)的意義。

　　②會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)。

　　③會(huì)根據(jù)公式確定圖象的頂點(diǎn)、開口方向和對稱軸（公式不要求記憶和推導(dǎo)）。

　　④會(huì)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題。

　　3．學(xué)情分析：

　　（1）初三學(xué)生在新課的學(xué)習(xí)中已掌握二次函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)等基本知識。

　　（2）學(xué)生的分析、理解能力較學(xué)習(xí)新課時(shí)有明顯提高。

　　（3）學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情很高，思維敏捷，具有一定的自主探究和合作學(xué)習(xí)的能力。

　　（4）學(xué)生能力差異較大，兩極分化明顯。

　　4．教學(xué)目標(biāo)

　　◆認(rèn)知目標(biāo)

　　(1)掌握二次函數(shù) y=圖像與系數(shù)符號之間的關(guān)系。通過復(fù)習(xí)，掌握各類形式的二次函數(shù)解析式求解方法和思路，能夠一題多解，發(fā)散提高學(xué)生的創(chuàng)造思維能力。

　　◆能力目標(biāo)

　　提高學(xué)生對知識的整合能力和分析能力。

　　◆ 情感目標(biāo)

　　制作動(dòng)畫增加直觀效果，激發(fā)學(xué)生興趣，感受數(shù)學(xué)之美。在教學(xué)中滲透美的教育，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中學(xué)會(huì)感受探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)成功的喜悅。

　　5．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

　　重點(diǎn)：(１)掌握二次函數(shù)y=圖像與系數(shù)符號之間的關(guān)系。

　　(２) 各類形式的二次函數(shù)解析式的求解方法和思路。

　　（３）本節(jié)課主要目的，對歷屆中考題中的二次函數(shù)題目進(jìn)行類比分析，達(dá)到融會(huì)貫通的作用。

　　難點(diǎn)：(1)已知二次函數(shù)的解析式說出函數(shù)性質(zhì)

　　(2)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,選用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系式解決幾何問題.

　　二、教學(xué)方法：

　　1. 運(yùn)用多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)，既直觀、生動(dòng)地反映圖形變換，增強(qiáng)教學(xué)的條理性和形象性，又豐富了課堂的內(nèi)容，有利于突出重點(diǎn)、分散難點(diǎn)，更好地提高課堂效率。

　　2．將知識點(diǎn)分類，讓學(xué)生通過這個(gè)框架結(jié)構(gòu)很容易看出不同解析式表示的二次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生形成一個(gè)清晰、系統(tǒng)、完整的知識網(wǎng)絡(luò)。

　　3．師生互動(dòng)探究式教學(xué)，以課標(biāo)為依據(jù)，滲透新的教育理念，遵循教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的原則，結(jié)合初三學(xué)生的求知心理和已有的認(rèn)知水平開展教學(xué)．形成學(xué)生自動(dòng)、生生助動(dòng)、師生互動(dòng)，教師著眼于引導(dǎo)，學(xué)生著眼于探索，側(cè)重于學(xué)生能力的提高、思維的訓(xùn)練。同時(shí)考慮到學(xué)生的個(gè)體差異，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中進(jìn)行分層施教，讓每一個(gè)學(xué)生都能獲得知識，能力得到提高。

　　三、學(xué)法指導(dǎo)：

　　1．學(xué)法引導(dǎo)

　　“授人之魚，不如授人之漁”在教學(xué)過程中，不但要傳授學(xué)生基本知識，還要培育學(xué)生主動(dòng)思考，親自動(dòng)手，自我發(fā)現(xiàn)等能力，增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，從而達(dá)到教學(xué)終極目標(biāo)。

　　2．學(xué)法分析：新課標(biāo)明確提出要培養(yǎng)“可持續(xù)發(fā)展的學(xué)生”，因此教師有組織、有目的、有針對性的引導(dǎo)學(xué)生并參入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，鼓勵(lì)學(xué)生采用自主學(xué)習(xí)，合作交流的研討式學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生“動(dòng)手”、“動(dòng)腦”、“動(dòng)口”的習(xí)慣與能力，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。

　　3、設(shè)計(jì)理念：《課標(biāo)》要求，對于課程實(shí)施和教學(xué)過程，教師在教學(xué)過程中應(yīng)與學(xué)生積極互動(dòng)、共同發(fā)展，要處理好傳授知識與培養(yǎng)能力的關(guān)系，關(guān)注個(gè)體差異，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需要．”

　　4、設(shè)計(jì)思路：不把復(fù)習(xí)課簡單地看作知識點(diǎn)的復(fù)習(xí)和習(xí)題的訓(xùn)練，而是通過復(fù)習(xí)舊知識，拓展學(xué)生思維，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力。

　　四、教學(xué)過程：

　　1、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)：

　　根據(jù)教材的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，緊緊抓住新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化的思想，突破難點(diǎn)．

　　本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)：

　　◆創(chuàng)設(shè)情境，引入新知 ：復(fù)習(xí)舊知識的目的是對學(xué)生新課應(yīng)具備的“認(rèn)知前提能力”和“情感前提特征進(jìn)行檢測判斷”。學(xué)生自主完成，不僅體現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，也能為課堂教學(xué)掃清障礙。為了更好地理解、掌握二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，按照分層遞進(jìn)的教學(xué)原則，設(shè)計(jì)安排了6個(gè)由淺入深的題型，讓每一個(gè)學(xué)生都能為下一步的探究做好準(zhǔn)備。

　　◆自主探究，合作交流：本環(huán)節(jié)通過開放性題的設(shè)置，發(fā)散學(xué)生思維，學(xué)生對二次函數(shù)的性質(zhì)作出全面分析。讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，獨(dú)立思考，相互交流，培養(yǎng)學(xué)生自主探索，合作探究的能力。通過學(xué)生觀察、思考、交流，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)過程，加深對重點(diǎn)知識的理解。

　　◆運(yùn)用知識，體驗(yàn)成功：根據(jù)不同層次的學(xué)生，同時(shí)配有兩個(gè)由低到高、層次不同的鞏固性習(xí)題，體現(xiàn)漸進(jìn)性原則，希望學(xué)生能將知識轉(zhuǎn)化為技能。讓每一個(gè)學(xué)生獲得成功，感受成功的喜悅。

　　安排三個(gè)層次的練習(xí)。

　　(一)從定義出發(fā)的簡單題目。

　　(二)典型例題分析，通過反饋使學(xué)生掌握重點(diǎn)內(nèi)容。

　　(三)綜合應(yīng)用能力提高。

　　既培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識的能力，又培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行梳理，將知識系統(tǒng)化，條理化，網(wǎng)絡(luò)化，對在獲取新知識中體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想、方法、策略進(jìn)行反思，從而加深對知識的理解。并增強(qiáng)學(xué)生分析問題，運(yùn)用知識的能力。

　　(四)方法與小結(jié)

　　由總結(jié)、歸納、反思，加深對知識的理解，并且能熟練運(yùn)用所學(xué)知識解決問題。

　　2、作業(yè)設(shè)計(jì)：(見課件)

　　3、板書設(shè)計(jì)：(見課件)

　　五、評價(jià)分析：

　　本節(jié)課的設(shè)計(jì)，我以學(xué)生活動(dòng)為主線，通過“觀察、分析、探索、交流”等過程，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)中溫故而知新，在應(yīng)用中獲得發(fā)展，從而使知識轉(zhuǎn)化為能力。本節(jié)教學(xué)過程主要由創(chuàng)設(shè)情境，引入新知――合作交流；探究新知――運(yùn)用知識，體驗(yàn)成功；知識深化――應(yīng)用提高；歸納小結(jié)――形成結(jié)構(gòu)等環(huán)節(jié)構(gòu)成，環(huán)環(huán)相扣，緊密聯(lián)系，體現(xiàn)了讓學(xué)生成為行為主體即“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流“的《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》要求。本設(shè)計(jì)同時(shí)還注重發(fā)揮多媒體的輔助作用，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識；貫穿整個(gè)課堂教學(xué)的活動(dòng)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在活動(dòng)、合作、開放、探究、交流中，愉悅地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)。

二次函數(shù)內(nèi)容分析第 4 篇

知識梳理

1、 二次函數(shù)的分類

頂點(diǎn)式：y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，

兩點(diǎn)式：y=a(x-x1`)(x-x2)

一般式：y=ax2+bx+c （各式中，a≠0）

2、 二次函數(shù)圖像的性質(zhì)

1）二次函數(shù)y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表：

（1） 當(dāng)h>0時(shí)，y=a（x-h）2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，

（2） 當(dāng)h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)│h│個(gè)單位得到．

（3） 當(dāng)h>0，k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a（x-h）2+k的圖象；

（4） 當(dāng)h>0，k<0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)│k│個(gè)單位可得到y(tǒng)=a（x-h）2+k的圖象；

（5） 當(dāng)h<0，k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)│h│個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a（x-h）2+k的圖象；

（6） 當(dāng)h<0，k<0時(shí)，將拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)│h│個(gè)，再向下移動(dòng)│k│個(gè)單位可得到y(tǒng)=a（x-h）2+k的圖象；

因此，研究拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，通過配方，將一般式化為y=a（x-h）2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

2）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象：

當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，

當(dāng)a<0時(shí)，開口向下，

對稱軸是直線x=-，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-，）．

3）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）：

若a>0，當(dāng)x≤-時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x≥-時(shí)，y隨x的增大而增大．

若a<0，當(dāng)x≤-時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥-時(shí)，y隨x的增大而減小． 4）拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

（1）圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；

（2）當(dāng)△=b2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB=│x1-x2│=．

當(dāng)△=0，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)△<0，圖象與x軸沒有交點(diǎn)．

當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)，都有y>0；

當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0．

3、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對對應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）．

（2）當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a≠0）．

（3）當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）．

例題精講

【試題來源】2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽（浙江賽區(qū)）初賽試題

【題目】作拋物線A關(guān)于x軸對稱的拋物線B，再將拋物線B向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是y=2（x+1）2-1，則拋物線A所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是下列（ ）

（A）y=-2（x+3）2-2; （B）y=-2（x+3）2+2;

（C）y=-2（x-1）2-2; （D）y=-2（x-1）2+2

【答案】D

【解析】　解：將拋物線C再變回到拋物線A：即將拋物線y=2（x+1）2-1

向下平移1個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得到拋物線y=2（x-1）2-2，

而拋物線y=2（x-1）2-2關(guān)于x軸對稱的拋物線是y=-2（x-1）2+2．

評注：拋物線的平移主要抓住頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化，需要注意的是通常要將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，且平移時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)不變．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂例題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽（海南賽區(qū)）

【題目】根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）一個(gè)解x的范圍是（ ）

（A）3

（C）3.24

【答案】C

【解析】　解：觀察表格知，隨x（x>0）的增大，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值由負(fù)到正．而：

當(dāng)x取3.24時(shí)，ax2+bx+c=-0.02是負(fù)數(shù)；

當(dāng)x取3.25時(shí)，ax2+bx+c=0.03是正數(shù)．

所以可以推知借于3.24和3.25之間的某一x值，必然使ax2+bx+c=0．

評注：本題利用方程的解就是它對應(yīng)的函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，以此估計(jì)一元二次方程的一個(gè)解的大致范圍．它以表格才形式提出了部分信息，考查了學(xué)生合情推理的能力．解題關(guān)鍵是觀察表格的對應(yīng)值．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)

【難度系數(shù)】3

【試題來源】2006年蕪湖市鳩江區(qū)初中數(shù)學(xué)競賽試題

【題目】函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的大致位置如右圖所示，則ab，bc，2a+b，（a+c）2-b2，（a+b）2-c2，b2-a2等代數(shù)式的值中，正數(shù)有（ ）

（A）2個(gè) （B）3個(gè) （C）4個(gè) （D）5個(gè)

【答案】A

【解析】 解：顯然，a<0，c<0，b>0，由-<1，

得b<-2a，所以2a+b<0；

由a-b+c<0得（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c）<0；

由a+b+c>0得a+b>-c>0，因此

（a+b）2-c2>0，│b│>│a│，b2-a2>0．

綜上所述，僅有（a+b）2-c2，b2-a2為正數(shù)．

評注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c中有關(guān)字母系數(shù)a、b、c的代數(shù)式符號確定，是競賽熱點(diǎn)問題，解題時(shí)，要抓住拋物線開口方向、對稱軸、與x軸交點(diǎn)情況綜合考慮．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂例題

【難度系數(shù)】3

【試題來源】2006年蕪湖市鳩江區(qū)初中數(shù)學(xué)競賽試題

【題目】若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（0，1）和（-1，0）則S=a+b+c的值的變化范圍是__________．

【答案】0

【解析】　解：將（0，1），（-1，0）代入y=ax2+bx+c得

∴S=a+b+c=2b．

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c頂點(diǎn)在第一象限，

∴->0，又a=b-1，

∴->0，即2b（b-1）<0．

∴0

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題

【難度系數(shù)】3

【試題來源】1993年江蘇初中數(shù)學(xué)競賽試題

【題目】已知是兩位數(shù)，二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)間距離不超過2．

（1）求證：0

（2）求出所有這樣的兩位數(shù)．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）設(shè)y=x2+mx+n的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0），x1≠x2．

則x1，x2為方程x2+mx+n=0的兩個(gè)不同實(shí)根．

∴x1+x2=-m，x1·x2=n．

又0<│x1-x2│≤2， 即0<（x1+x2）2-4x1x2≤4，

也即0

（2）∵m，n為整數(shù)（m≠0），

∴m2-4n=1，2，3，4，而m2被4除余0或1，故m2-4n被4除也余0或1，

從而只能有m2-4n=1或m2-4n=4．

解這兩個(gè)不定方程，得：

∴所求兩位數(shù)為10，32，56，20，43，68．

評注：一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是方程ax2+bx+c=0的兩根，利用韋達(dá)定理即可求解．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂例題

【難度系數(shù)】4

【試題來源】1997年天津市初中數(shù)學(xué)競賽試題

【題目】已知函數(shù)y=x2-│x│-12的圖象與x軸交于相異兩點(diǎn)A，B，另一拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c．

【答案】a=-，b=0，c=4

【解析】　解：考試方程x2-│x│-12=0，

當(dāng)x>0時(shí)，x2-x-12=0，解得x1=4，x2=-3（舍去）；

當(dāng)x<0時(shí)，x2+x-12=0，解得x1=-4，x2=3（舍去）．

∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0），（-4，0）．

∵y=ax2+bx+c過A、B兩點(diǎn)，即過（4，0），（-4，0），

∴可設(shè)y=ax2+bx+c為y=a（x-4）（x+4）

∵△APB為等腰直角三角形，而A、B為頂點(diǎn)，

∴AB可為斜邊，也可為直角邊．

當(dāng)AB為斜邊，求得P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）；當(dāng)AB為直角邊時(shí)，這種情況不滿足題設(shè)條件．

所以將P（0，4）代入①得a=，則①變?yōu)?/p>

y=-（x2-16）=-x2+4，

故有a=-，b=0，c=4．

將P（0，-4）代入①得a=，則①變?yōu)?/p>

y=（x2-16）=x2-4，

故有a=，b=0，c=-4．

評注：求符合某種條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，需根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系和幾何元素間的關(guān)系建立關(guān)于縱橫坐標(biāo)的方程（組），解方程（組）便可以求得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，對于幾何問題，還應(yīng)注意圖形的分類討論．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題

【難度系數(shù)】4

【試題來源】2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽（海南賽區(qū)）

【題目】已知A1、A2、A3是拋物線y=x2上的三點(diǎn)，A1B1、A2B2、A3B3分別垂直于x軸，垂足為B1、B2、B3，直線A2B2交線段A1A3于點(diǎn)C．

（1）如圖（a），若A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1、2、3，求線段CA2的長；

（2）如圖（b），若將拋物線y=x2改為拋物線y=x2-x+1，A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，求線段CA2的長；

（3）若將拋物線y=x2改為拋物線y=ax2+bx+c，A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，請猜想線段CA2的長（用a、b、c表示，并直接寫出答案）．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）方法1：

∵A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1、2、3，

∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32=．

設(shè)直線A1A3的解析式為y=kx+b．

∴

∴直線A1A3的解析式為y=2x-．

∴CB2=2×2-=．

∴CA2=CB2-A2B2=-2=．

方法2：

∵A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1、2、3，

∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32=．

由已知可得A1B1∥A3B3，

∴CB2=（A1B1+A3B3）=（+）=．

∴CA2=CB2-A2B2=-2=．

（2）方法1：

設(shè)A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為n-1、n、n+1．

則A1B1=（n-1）2-（n-1）+1，

A2B2=n2-n+1，A3B3=（n+1）2-（n+1）+1．

設(shè)直線A1A3的解析式為y=kx+b．

∴ 解得

∴直線A1A3的解析式為y=（n-1）x-n2+．

∴CB2=n（n-1）-n2+=n2-n+

∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-n2+n-1=．

方法2：

設(shè)A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為n-1、n、n+1．

則A1B1=（n-1）2-（n-1）+1，

A2B2=n2-n+1，

A3B3=（n+1）2-（n+1）+1

由已知可得A1B1∥A3B3，

∴CB2=（A1B1+A3B3）

= [（n-1）2-（n-1）+1+（n+1）2-（n+1）+1]

= n2-n+．

∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-（n2+n-1）=．

（3）當(dāng)a>0時(shí)，CA2=a；

當(dāng)a<0時(shí)，CA2=-a．

評注：本題強(qiáng)調(diào)從“知識立意”向“能力立意”轉(zhuǎn)變的課程理念，重視基礎(chǔ)與能力并重，突出了“觀察、猜想、探究”等方面的考查，具有明顯層次性，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法．同時(shí)，本題還給擅長不同思維方式的學(xué)生提供了不同的解題思路．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂例題

【難度系數(shù)】4

【試題來源】

【題目】設(shè)拋物線C的解析式為y=x2-2kx+（+k）k，k為實(shí)數(shù)．

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程（用k表示）；

（2）任意給定k的三個(gè)不同實(shí)數(shù)值，請寫出三個(gè)對應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，試說明當(dāng)k變化時(shí)，拋物線C的頂點(diǎn)在一條定直線L上，求出直線L的解析式并畫出圖象；

（3）在第一象限有任意兩圓O1、O2相外切，且都與x軸和（2）中的直線L相切，設(shè)兩圓在x軸上的切點(diǎn)分別為A、B（OA

（4）已知一直線L1與拋物線C中任意一條都相截，且截得的線段長都為6，求這條直線的解析式．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）配方，得y=（x-k）2+k，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k，k），對稱軸為x=k．

（2）設(shè)頂點(diǎn)為（x，y），則x=k，y=k消去k得直線L的解析式為y=x，

如圖（a）所示，令k=1，2，3得三個(gè)對應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），（2，2），（3，3）．

（3）在y=x上任取一點(diǎn)（a，a），設(shè)直線與x軸成角為a（0°

則tana==，

∴a=60°，由切線長定理可知，OO1平分∠a，

∴∠O1OA=30°，如圖（a）所示，

即O1O=2O1A，OO2=2O2B，

又OO2-OO1=O1O2=O1A+O2B=2（O2B-O1A）

∴O1A：O2B=1：3．

又，∴=，即為一定值．

（4）如圖（b）要使該直線與拋物線C中任意一條相截且截得線段長都為6，

則該直線必平行于y=x．設(shè)其為y=x+b，

考慮其與y=x2相交，則：

即x2-x-b≥0，設(shè)此方程兩根為xA，xB．

又│BC│=[│AB│]2=32，

9=│xA-xB│2=（xA+xB）2-4xAxB=3+4b，

∴b=，即L1為y=x+．

評注：（2）中消去參數(shù)k求x、y的函數(shù)關(guān)系應(yīng)掌握；（4）拋物線C的頂點(diǎn)軌跡為直線y=x，若直線L1與拋物線截得的線段等長，則L1必與y=x平行，在利用截線段長為6時(shí)，只須考慮一種最簡單的解析式y(tǒng)=x2與y=x的聯(lián)立方程組即可．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題

【難度系數(shù)】5

【試題來源】

【題目】已知：拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0）．

（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；

（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5：2的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在（2）中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APE的周長最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）依題意，拋物線的對稱軸為y=x-2．

∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），

∴由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）．

（2）∵拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），

∴a（-1）2+4a（-1）+t=0，∴t=3a．

∴y=ax2+4ax+3a．

∴D（0，3a）．

∵梯形ABCD中，AB∥CD，且點(diǎn)C在拋物線y=ax2+4ax+3a上，

∴C（-4，3a），∴AB=2，CD=4，

∵梯形ABCD的面積為9，

∴（AB+CD）·OD=9．

∴（2+4）│3a│=9，∴a=±1．

∴所求拋物線的解析式為y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3．

（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x0，y0），依題意x0<0，y0>0，且=．

∴y=-．

① 點(diǎn)E在拋物線y=x2+4x+3上，∴y0=x02+4x0+3．

② 解方程組∴

∵點(diǎn)E與點(diǎn)A在對稱軸x=-2的同側(cè)，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-，），

設(shè)在拋物線的對稱軸x=-2上存在一點(diǎn)P，使△APE的周長最小．

∵AE長為定值，

∴要使△APE的周長最小，只須PA+PE最小．

∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=-2的對稱點(diǎn)是B（-3，0），

∴幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x=-2的交點(diǎn)．

設(shè)過點(diǎn)E、B的直線的解析式為y=mx+n，

∴

∴直線BE的解析式為y=x+，把x=-2代入上式，得y=，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2，-）．

③ 點(diǎn)E在拋物線y=-x2-4x-3上，

④ ∴y0=-x02-4x0-3．解方程

消去y0，得x02+x0+3=0，

∴△<0，∴此方程無實(shí)數(shù)根．

綜上．在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P（-2，），使△APE的周長最小．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂例題

【難度系數(shù)】5

【試題來源】

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別坐勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．

（2）試在（1）中的拋物線上找一點(diǎn)D，使得以O(shè)、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒，如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫出此時(shí)t的取值范圍．

（4）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，這時(shí)，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）∵O，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），C（8，6），

設(shè)OC的解析式為y=kx+b，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：k=，b=0，

∴y=x．

∵拋物線過O，A，C三點(diǎn)，這三點(diǎn)的坐標(biāo)為O（0，0），A（18，0），C（8，6）．

∵A，O是x軸上兩點(diǎn)，故可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-0）（x-18）．

再將C（8，6）代入得：a=-．

∴y=-x2+x．

（2）D（10，6）．

（3）當(dāng)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可設(shè)Q（m，m），

依題意有：m2+（m）2=（2t）2，

∴m=t，∴Q（t，t），（0≤t≤5）．

當(dāng)Q在CB上時(shí)，Q點(diǎn)所走過的路程為2t．

∵OC=10，∴CQ=2t-10，

∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2t-10+8=2t-2．

∴Q（2t-2，6），（5

（4）∵梯形OABC的周長為44，當(dāng)Q點(diǎn)在OC上時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的路程為t，

則Q運(yùn)動(dòng)的路程為（22-t）．△OPQ中，OP邊上的高為：（22-t）×．

∴S△OPQ=t（22-t）×，

S梯形OABC=（18+10）×6=84．

依題意有：t（22-t）×=84×．整理得：t2-22t+140=0．

∵△=222-4×140<0，

∴這樣的t不存在．

當(dāng)Q在BC上時(shí)，Q走過的路程為22-t，

∴CQ的長為：22-t-10=12-t，

∴S梯形OCQP=×6（22-t-10+t）=36≠84×．

∴這樣的t值也不存在．

綜上所述，不存在這樣的t值，使得P、Q兩點(diǎn)同時(shí)平分梯形的周長和面積．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題

【難度系數(shù)】4

【試題來源】

【題目】已知拋物線經(jīng)過O(0,0)，A(4,0),B(3,)三點(diǎn)，連結(jié)AB，過點(diǎn)B作BC∥軸交該拋物線于點(diǎn)C.

（1） 求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

（2） 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng). 其中，點(diǎn)P沿著線段0A向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿著折線A→B→C的路線向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng). 設(shè)這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒) (0＜＜4)，△PQA的面積記為S.

① 求S與的函數(shù)關(guān)系式；

② 當(dāng)為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？并指出此時(shí)△PQA的形狀；

③ 是否存在這樣的值，使得△PQA是直角三角形?若存在，請直接寫出此時(shí)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】如下解析

【解析】解：（1）∵ 拋物線經(jīng)過O(0,0)，A(4,0),B(3,)，

∴

解得 .

∴ 所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.

（2）① 過點(diǎn)B作BE⊥軸于E，

則BE=，AE=1，AB=2.

由tan∠BAE=，得∠BAE =60°.

（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，即0＜≤2時(shí)，QA=t，PA=4-.

過點(diǎn)Q作QF⊥軸于F，則QF=，

∴ S=PA·QF

.

（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)，即2≤＜4時(shí)，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，PA=4-.

這時(shí)，S=.

②（ⅰ）當(dāng)0＜≤2時(shí)，

.

∵ ，∴ 當(dāng)=2時(shí)，S有最大值，最大值S=.

（ⅱ）當(dāng)2≤＜4時(shí)，

∵ ，

∴ S隨著的增大而減小.

∴ 當(dāng)=2時(shí)，S有最大值，最大值.

綜合（ⅰ）（ⅱ），當(dāng)=2時(shí)，S有最大值，最大值為.

所以△PQA是等邊三角形.

③ 存在.

當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，要使得△PQA是直角三角形，必須使得∠PQA =90°，這時(shí)PA=2QA，即4-=2，

∴ .

∴ P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1(,0)，Q1(,).

當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q、P兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為5-和，要使得△PQA是直角三角形，則必須5-=，

∴

∴ P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P2(,0)，Q2(,).

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂例題

【難度系數(shù)】5

【試題來源】

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與x軸相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）兩點(diǎn)，與y軸相切于點(diǎn)B（0，4）．

（1）求經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E，證明：直線CE與⊙A相切；

（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)F，使△BDF面積最大，最大值是多少？并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，

把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得：

，

解得．

∴經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2+x+4；

（2）∵y=x2+x+4=（x+5）2﹣，

∴E（﹣5，﹣），

設(shè)直線CE的函數(shù)解析式為y=mx+n，

直線CE與y軸交于點(diǎn)G，則，

解得．

∴y=x+，

在y=x+中，令x=0，y=，

∴G（0，），

如圖1，連接AB，AC，AG，

則BG=OB﹣OG=4﹣=，

CG===，

∴BG=CG，AB=AC，

在△ABG與△ACG中，

，

∴△ABG≌△ACG，

∴∠ACG=∠ABG，

∵⊙A與y軸相切于點(diǎn)B（0，4），

∴∠ABG=90°，

∴∠ACG=∠ABG=90°

∵點(diǎn)C在⊙A上，

∴直線CE與⊙A相切；

（3）存在點(diǎn)F，使△BDF面積最大，

如圖2連接BD，BF，DF，設(shè)F（t，t2+t+4），

過F作FN∥y軸交BD于點(diǎn)N，

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+d，則，

解得．

∴直線BD的解析式為y=x+4，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，t+4），

∴FN=t+4﹣（t2+t+4）=﹣t2﹣2t，

∴S△DBF=S△DNF+S△BNF

=ODFN=（﹣t2﹣2t）

=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，

∴當(dāng)t=﹣4時(shí)，S△BDF最大，最大值是16，

當(dāng)t=﹣4時(shí)，t2+t+4=﹣2，

∴F（﹣4，﹣2）．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，三角形面積的求法，勾股定理，根據(jù)題意正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】當(dāng)堂例題

【難度系數(shù)】5

習(xí)題演練

【試題來源】2005年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題

【題目】Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C均在拋物線y=x2上，并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為h，則（ ）

（A）h<1 （B）h=1 （C）12

【答案】B

【解析】 解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，c2）（│c│<│a│），

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-a，a2），由勾股定理，得AC2=（c-a）2+（c2-a2）2．

BC2=（c+a）2+（c2-a2）2，AC2+BC2=AB2，

所以（a2-c2）2=a2-c2．

由于a2>c2，所以a2-c2=1，

故斜邊AB上高h(yuǎn)=a2-c2=1．

評注：本題滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過將代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合一起，考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】隨堂課后練習(xí)

【難度系數(shù)】3

【試題來源】2004年河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽決賽試題

【題目】通過實(shí)驗(yàn)研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課時(shí)間的變化而變化的，講課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平衡的狀態(tài)，隨后開始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示（y越大表示學(xué)生注意力越集中）．當(dāng)0≤x≤10時(shí)，圖象是拋物線的一部分，當(dāng)10≤x≤20和20≤x≤40時(shí)，圖象是線段．

（1）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，求注意力指標(biāo)數(shù)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）一道數(shù)學(xué)競賽題需要講解24分鐘．問老師能否經(jīng)過適當(dāng)安排，使學(xué)生在聽這道題時(shí)，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36．

【答案】（1）y=-x2+x+20，0≤x≤10；

（2）師可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛?在學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)不低于36時(shí)，講授完這道競賽題．

【解析】 分析：①由點(diǎn)（0，20），（5，39），（10，48），可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式，②分別求出指標(biāo)數(shù)是36的各段函數(shù)中的自變量的值．

解：（1）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+bx+c，

由于它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，20），（5，39），（10，48），

所以

解得a=-，b=，c=20．

所以y=-x2+x+20，0≤x≤10．

（2）當(dāng)20≤x≤40時(shí)，y=-x+76．

所以，當(dāng)0≤x≤10時(shí)，令y=36，得36=-x2+x+20，

解得x=4，x=20（舍去）；

當(dāng)20≤x≤40時(shí)，令y=36，得36=-x+76，

解得x==28．

因?yàn)?8-4=24>24，

所以，老師可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛?在學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)不低于36時(shí)，講授完這道競賽題．

評注：本題情景新穎，關(guān)注了考生的學(xué)習(xí)、生活，既考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識和閱讀理解能力，又考查了考生利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題能力．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】隨堂課后練習(xí)

【難度系數(shù)】4

【試題來源】2005年全國初中數(shù)學(xué)競賽浙江賽區(qū)試題

【題目】直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx-m2（m>0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別為OA，OB，且滿足=，則m的值等于_______．

【答案】2

【解析】 解：設(shè)方程x2+mx-m2=0的兩根分別x1，x2，且x1

則有x1+x2=-m<0，x1x2=-m2<0，

所以x1<0，x2>0，

由=，可知OA>OB，又m>0，

所以拋物線的對稱軸y軸的左側(cè)，于是OA=│x1│=-x1，OB=x2．

所以=，=，

故=，

解得m=2．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】隨堂課后練習(xí)

【難度系數(shù)】4

【試題來源】

【題目】拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）．

（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；

（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）平行于x軸的一條直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）將C（0，-3）代入y=ax2+bx+c，得c=-3，

將c=-3，B（3，0）代入y=ax2+bx+c，得9a+3b+c=0．

∵x=1是對稱軸，

∴-=-1．（2）．

將（2）代入（1）得a=1，b=-2．

所以二次函數(shù)得解析式是y=x2-2x-3．

（2）AC與對稱軸的交點(diǎn)P即為到B、C的距離之差最大的點(diǎn)．

∵ C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）．

∴直線AC的解析式是y=-3x-3，又對稱軸為x=1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，-6）．

（3）設(shè)M（x1，y），N（x2，y），所求圓的半徑為r，則x2-x1=2r，（1）

∵對稱軸為x=1，∴x2+x1=2．（2）

由（1）、（2）得：x2=r+1． （3）

將N（r+1，y）將代入解析式y(tǒng)=x2-2x-3，

得y=（r+1）2-2（r+1）-3，（4）

整理得：y=r2-4．由于r=±y，當(dāng)y>0時(shí)，r2-r-4=0，

解得r1=，r2=（舍去），

當(dāng)y<0時(shí)，r2+r-4=0，解得r1=，r2=（舍去），

所以圓的半徑是或．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】隨堂課后練習(xí)

【難度系數(shù)】5

【試題來源】

【題目】如圖，已知點(diǎn)D在雙曲線y=（x＞0）的圖象上，以D為圓心的⊙D與y軸相切于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且線段AP與BC所在直線有交點(diǎn)Q．

（1）寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)并求出拋物線的解析式；

（2）證明∠ACO=∠OBC；

（3）探究是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)Q為線段AP的四等分點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）∵以D為圓心的⊙D與y軸相切于點(diǎn)C（0，4），

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是4，

又∵點(diǎn)D在雙曲線y=（x＞0）的圖象上，

∴4=，

解得x=5，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)是（5，4）．

如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，連接AD，BD，

在RT△DAE中，DA=5，DE=4，

∴AE==3，

∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，

∴A（2，0），B（8，0），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x﹣8），由于它過點(diǎn)C（0，4），

∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x+4．

（2）如圖2，連接AC，

在RT△AOC中，OA=2，CO=4，

∴tan∠ACO==，

在RT△BOC中，OB=8，CO=4，

∴tan∠CBO==，

∴∠ACO=∠CBO．

（3）∵B（8，0），C（0，4），

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4，

如圖3，分別過點(diǎn)Q，P作QF⊥x軸，PG⊥x軸，垂足分別為F，G，

設(shè)P（t，t2﹣t+4），

①AQ：AP=1：4，則易得Q（，），

∵點(diǎn)Q在直線y=﹣x+4上，

∴﹣+4=，

整理得t2﹣8t﹣36=0，

解得t1=4+2，t2=4﹣2，

∴P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），

②AQ：AP=2：4，則易得Q（，），

∵點(diǎn)Q在直線y=﹣x+4上，

∴﹣+4=，

整理得t2﹣8t﹣12=0，

解得P3=4+2，P4=4﹣2，

∴P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；

③AQ：AP=3：4，則易得Q（，），

∵點(diǎn)Q在直線y=﹣x+4上，

∴﹣+4=，

整理得t2﹣8t﹣4=0，

解得t5=4+2，t6=4﹣2，

∴P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+），

綜上所述，拋物線上存在六個(gè)點(diǎn)P，使Q為線段AP的三等分點(diǎn)，

其坐標(biāo)分別為：P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及雙曲線，一次函數(shù)，三角函數(shù)及二次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是分三種情況討論求解．

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)

【適用場合】隨堂課后練習(xí)

【難度系數(shù)】5