這是空間向量公式，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

空間向量公式第 1 篇

一、知識網絡：

二．考綱要求：

（1）空間向量及其運算

① 經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程；

② 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示；

③ 掌握空間向量的線性運算及其坐標表示；

④ 掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直。 （2）空間向量的應用

① 理解直線的方向向量與平面的法向量；

② 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系；

③ 能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）；

④ 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。

三、命題走向

本章內容主要涉及空間向量的坐標及運算、空間向量的應用。本章是立體幾何的核心內容，高考對本章的考查形式為：以客觀題形式考查空間向量的概念和運算，結合主觀題借助空間向量求夾角和距離。

預測10年高考對本章內容的考查將側重于向量的應用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處

理角和距離將是主要方法，在復習時應加大這方面的訓練力度。

第一課時 空間向量及其運算

一、復習目標：1．理解空間向量的概念；掌握空間向量的加法、減法和數乘； 2．了解空間向量的基本定理； 3．掌握空間向量的數量積的定義及其性質；理解空間向量的夾角的概念；掌握空間向量的數量積的概念、性質和運算律；了解空間向量的數量積的幾何意義；能用向量的數量積判斷向量的共線與垂直。

二、重難點：理解空間向量的概念；掌握空間向量的運算方法 三、教學方法：探析類比歸納，講練結合

四、教學過程 （一）、談最新考綱要求及新課標高考命題考查情況，促使積極參與。

學生閱讀復資P128頁，教師點評，增強目標和參與意識。

（二）、知識梳理，方法定位。（學生完成復資P128頁填空題，教師準對問題講評）。 1．空間向量的概念

向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。

說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限于研究同一平面內的平移，而空間向量研究的是空間的平移。

說明：①引導學生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。

3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量

叫做共線向量或平行向量。a平行于b記作a∥b。

a 注意：當我們說、b共線時，對應的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當

a我們說、b平行時，也具有同樣的意義。

共線向量定理：對空間任意兩個向量a（a≠0）、b，a∥b的充要條件是存在實數?使b＝?a （1）對于確定的?和a，b＝?a表示空間與a平行或共線，長度為 |?a|，當?>0時與a同向，

當?<0時與a反向的所有向量。

（3）若直線l∥a，A?l，P為l上任一點，O為空間任一點，下面根據上述定理來推導OP的表達式。

推論：如果 l為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，滿足等式 OP?OA?ta ①

其中向量a叫做直線l的方向向量。

在l上取AB?a，則①式可化為 OP?(1?t)OA?tOB. ② 當t?

12

時，點P是線段AB的中點，則 OP

12

(OA?OB). ③

①或②叫做空間直線的向量參數表示式，③是線段AB的中點公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基礎，也是常用的直線參數方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點共線問題。⑶結合三角形法則記憶方程。

4．向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段所在直線與平面?平行或a在?平面內，我們就???

說向量a平行于平面?，記作a∥?。注意：向量a∥?與直線a∥?的聯系與區別。

共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數

對x、y，使p?xa?yb.①

注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質和判定兩個方面。

推論：空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對x、y，使 MP?xMA?yMB,④

或對空間任一定點O，有OP?OM?xMA?yMB.⑤

在平面MAB內，點P對應的實數對（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵MA?OA?OM,.MB?OB?OM,.代入⑤，整理得

OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB. ⑥

由于對于空間任意一點P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點P就在平面MAB內；對于平面MAB內的任意一點P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量MA、MB（或不共線三點M、A、B）確定的空間平面的向量參數方程，也是M、A、B、P四點共面的充要條件。

5．空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的

有序實數組x, y, z, 使p?xa?yb?zc.

a說明：⑴由上述定理知，如果三個向量、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是

這個集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我們把{a，b，c}?p|p?xa?yb?zc,x、y、z?R?，

叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一

個基底；⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯的不同的概念；⑷由于0可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含

著它們都不是0。

推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序實數組x、y、z，使OP?xOA?yOB?zOC.

6．數量積

（1）夾角：已知兩個非零向量a、b，在空間任取一點O，作OA

叫做向量a與b的夾角，記作?a，b?

a

，OB

b

，則角∠AOB

說明：⑴規定0≤?a，b?≤?,因而?a，b?=?b，a?；

⑵如果?a，b?=，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b；

2

⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點（1）、（2）中的兩個向量的夾角不同，

圖（1）中∠AOB=?OA,OB?，

（1）

B

重合，注意圖

圖（2）中∠AOB=???AO,OB?,

從而有??OA,OB?=?OA,?OB?=???OA,OB?.

（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。

（3）向量的數量積：abcos?a,b?叫做向量a、b的數量積，記作a?b。

即a?b=abcos?a,b?，

向量AB在e方向上的正射影

:

a?e?|AB|cos?a,e??A?B?

（4）性質與運算率

⑴a?e?cos?a,e?。⑴(?a)?b??(a?b)

⑵a⊥b?a?b⑵a?b=b?a

⑶|a|?a?a.⑶a?(b?c)?a?b?a?c

（三）．典例解析

題型1：空間向量的概念及性質

例1、有以下命題：①如果向量a,b與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么a,b的關系是不共

線；②O,A,B,C為空間四點，且向量OA,OB,OC不構成空間的一個基底，那么點O,A,B,C一定共面；????????

③已知向量a,b,c是空間的一個基底，則向量a?b,a?b,c，也是空間的一個基底。其中正確的命題是

2

（ ）。 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③

解析：對于①“如果向量a,b與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么a,b的關系一定共線”；所以①錯誤。②③正確。 題型2：空間向量的基本運算

空間向量公式第 2 篇

學習目標

　　1. 掌握斜二測畫法及其步驟;

　　2. 能用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖.

　　學習過程

　　一、課前準備

　　(預習教材P16~ P19，找出疑惑之處)

　　復習1：中心投影的投影線_________;平行投影的投影線_______.平行投影又分___投影和____投影.

　　復習2：物體在正投影下的三視圖是_____、______、

　　_____;畫三視圖的要點是_____ 、_____ 、______.

　　引入：空間幾何體除了用三視圖表示外，更多的是用直觀圖來表示.用來表示空間圖形的平面圖叫空間圖形的直觀圖.要畫空間幾何體的直觀圖，先要學會水平放置的平面圖形的畫法.我們將學習用斜二測畫法來畫出它們.你知道怎么畫嗎?

　　二、新課導學

　　※ 探索新知

　　探究1：水平放置的平面圖形的直觀圖畫法

　　問題：一個水平放置的正六邊形，你看過去視覺效果是什么樣子的?每條邊還相等嗎?該怎樣把這種效果表示出來呢?

　　新知1：上面的直觀圖就是用斜二測畫法畫出來的，斜二測畫法的規則及步驟如下：

　　(1)在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的 軸和 軸，建立直角坐標系，兩軸相交于 .畫直觀圖時,把它們畫成對應的 軸與 軸，兩軸相交于點 ，且使 (或 ).它們確定的平面表示水平面;

　　(2) 已知圖形中平行于 軸或 軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于 軸或 軸的線段;

　　(3)已知圖形中平行于 軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于 軸的.線段，長度為原來的一半;

　　(4) 圖畫好后，要擦去 軸、 軸及為畫圖添加的輔助線(虛線).

　　※ 典型例題

　　例1 用斜二測畫法畫水平放置正六邊形的直觀圖.

　　討論：把一個圓水平放置，看起來象個什么圖形?它的直觀圖如何畫?

　　結論：水平放置的圓的直觀圖是個橢圓，通常用橢圓模板來畫.

　　探究2：空間幾何體的直觀圖畫法

　　問題：斜二測畫法也能畫空間幾何體的直觀圖，和平面圖形比較，空間幾何體多了一個高，你知道畫圖時該怎么處理嗎?

　　例2 用斜二測畫法畫長4cm、寬3cm、高2cm的長方體的直觀圖.

　　新知2：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖時，通常要建立三條軸： 軸， 軸， 軸;它們相交于點 ，且 ， 空間幾何體的底面作圖與水平放置的平面圖形作法一樣，即圖形中平行于 軸的線段保持長度不變，平行于 軸的線段長度為原來的一半，但空間幾何體的高，即平行于 軸的線段，保持長度不變.

　　※ 動手試試

　　練1. 用斜二測畫法畫底面半徑為4 ,高為3 的圓柱.

　　例3 如下圖，是一個空間幾何體的三視圖，請用斜二測畫法畫出它的直觀圖.

　　練2. 由三視圖畫出物體的直觀圖.

　　正視圖 側視圖 俯視圖

　　小結：由簡單組合體的三視圖畫直觀圖時，先要想象出幾何體的形狀，它是由哪幾個簡單幾何體怎樣構成的;然后由三視圖確定這些簡單幾何體的長度、寬度、高度，再用斜二測畫法依次畫出來.

　　三、總結提升

　　※ 學習小結

　　1. 斜二測畫法要點①建坐標系，定水平面;②與坐標軸平行的線段保持平行;③水平線段( 軸)等長,豎直線段( 軸)減半;④若是空間幾何體,與 軸平行的線段長度也不變.

　　2. 簡單組合體直觀圖的畫法;由三視圖畫直觀圖.

　　※ 知識拓展

　　1. 立體幾何中常用正等測畫法畫水平放置的圓.正等測畫法畫圓的步驟為：

　　(1)在已知圖形⊙ 中，互相垂直的 軸和 軸畫直觀圖時，把它們畫成對應的 軸與 軸，且使 (或 );

　　(2)已知圖形中平行于 軸或 軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于 軸或 軸的線段;

　　(3)平行于 軸或 軸的線段，長度均保持不變.

　　2. 空間幾何體的三視圖與直觀圖有密切聯系：三視圖從細節上刻畫了空間幾何體的結構，根據三視圖可以得到一個精確的空間幾何體，得到廣泛應用(零件圖紙、建筑圖紙),直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫，根據直觀圖的結構想象實物的形象.

　　學習評價

　　※ 自我評價 你完成本節導學案的情況為( ).

　　A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差

　　※ 當堂檢測(時量：5分鐘 滿分：10分)計分：

　　1. 一個長方體的長、寬、高分別是4、8、4，則畫其直觀圖時對應為( ).

　　A. 4、8、4 B. 4、4、4 C. 2、4、4 D.2、4、2

　　2. 利用斜二測畫法得到的①三角形的直觀圖是三角形②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形③正方形的直觀圖是正方形④菱形的直觀圖是菱形，其中正確的是( ).

　　A.①② B.① C.③④ D.①②③④

　　3. 一個三角形的直觀圖是腰長為 的等腰直角三角形，則它的原面積是( ).

　　A. 8 B. 16 C. D.32

　　4. 下圖是一個幾何體的三視圖

　　請畫出它的圖形為_____________________.

　　5. 等腰梯形ABCD上底邊CD=1，腰AD=CB= ， 下底AB=3，按平行于上、下底邊取x軸，則直觀圖 的面積為________.

　　課后作業

　　1. 一個正三角形的面積是 ，用斜二測畫法畫出其水平放置的直觀圖，并求它的直觀圖形的面積.

　　2. 用斜二測畫法畫出下圖中水平放置的四邊形的直觀圖.

　　【總結】2013年數學網為小編在此為您收集了此文章高一數學教案：空間幾何體的直觀圖，今后還會發布更多更好的文章希望對大家有所幫助，祝您在數學網學習愉快!

空間向量公式第 3 篇

活動目標：

　　1、 引導幼兒學會辨別物體的空間位置，并能正確數出7以內的數量。

　　2、 培養幼兒辨別空間方位的能力。

　　3、體驗數學活動帶來的樂趣。

　　活動準備：

　　幼兒操作材料（1、2）、范畫（1、2）、7以內數量的圖片，錄音機、錄音帶《火車開來了》、課前教會幼兒唱《小貓歌》和會玩躲小貓的`游戲。

　　活動過程：

　　一、 游戲導入：

　　1、 聽音樂入室：《火車開來了》引起幼兒的興趣。

　　2、 ——“小朋友，看這里有很多椅子，我們找個位置坐下來。”

　　3、 游戲：躲小貓“等一下老師和你們玩“躲小貓”的游戲，老師來做貓媽 媽去抓小貓，你們做小貓去躲。貓媽 媽找不到你們的話，等一下你們要告訴貓媽 媽“你剛剛躲在哪里的什么地方？”

　　二、 辨別空間方位：

　　1、提問：“有哪只小貓告訴我，你剛剛躲在哪里的什么地方？”

　　2、出示范畫（1）：

　　（1）、“誰來告訴我，你在圖片上看到什么，？有多少？”

　　（2）、出示蝴蝶和蝸牛圖片：“誰也來了，它在哪里呢？有多少？”

　　3、出示范畫（2）：“它是誰啊？”

　　今天喜洋洋也來和我們一起做游戲。

　　三、游戲：拼一拼1、我這里有一些數字寶寶，等一下我會把數字寶寶放在喜洋洋頭不同的方位，讓你們根據所給的來拼。如：教師在喜洋洋頭的上面放數字寶寶2，我就在操作材料中找出與數2相同數量的拼在喜洋洋頭的上面。

　　2、幼兒拼一拼：

　　3、請個別幼兒來說說成品，教師小結。

　　四、寫一寫

　　1、出示范例：“今天老師出了一些題來考考小朋友，看看你們今天學的空間方位懂了多少。”

　　2、教師示范。

　　3、 幼兒做題：

　　五、活動結束：火車開來了小朋友今天我們都學到了很多本領，我們一起去當小老師教一教弟弟妹妹吧。

　　活動反思：

　　孩子們對活動很感興趣，他們還很投入到活動中。他們都能積極舉手發言，還能用完整的話來回答。不過幼兒對辨別空間方位上還不大了解還得繼續培養和鞏固。活動開展的時間有點長。以后我會吸取更多的教學方法爭取上的更好。

空間向量公式第 4 篇

　引用：

　　空間智能不是幻想，而是一種能力，是人的思維的一部分。幼兒的空間智能具有以下特點：

　　1、圖像思維，可清楚地說出視覺表象。

　　2、能輕松看地圖及其他圖表。

　　3、喜歡畫畫、泥工等藝術。

　　4、喜歡拼圖、下棋、走迷宮及類似的游戲。

　　5、喜歡想象，并創造出內心的表象。

　　6、喜歡看幻燈、電影或其他視覺上的表演。

　　7、有好的色彩感覺，經常用圖像來記憶。

　　活動準備：

　　磁性教具，幼兒用書，紅色圓卡10個。

　　活動過程：

　　1、 教師讓幼兒自己選擇把同一種東西放在一個小格子里，直到把4種東西放完。

　　2、 引導幼兒討論，每個格子里各有幾個東西。

　　3、 教師與幼兒一起對比討論，兩個方格里，相同位置東西的數是否一樣。

　　4、 請幼兒翻開兒童用書27頁，說說本頁的內容，有什么圖形?這些圖形都是什么樣的?

　　5、 引導幼兒用手指著書中的圖，第一個中有幾個皮球?是什么顏色?第二格中有幾個皮球?是什么顏色?

　　6、 請幼兒在桌子上，用圈圈板擺擺看，下面的第一格與上面的第一格里，對應一樣的是什么顏色，有幾個。

　　活動目標效果：

　　1、 培養幼兒的對應能力。

　　2、 培養幼兒的計數能力。

　　3、 發展幼兒的空間感知能力。