這是集合的基本運算教學設計，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

集合的基本運算教學設計第1篇

課型：新授課

課時：1個課時。

教學目標：

1、知識與技能：能理解兩個集合并集與交集的含義，會求兩個簡單集合并集與交集，弄清“或”、“且”的含義，能理解子集的補集的含義，會求給定子集的補集，了解全集的含義、集合A與全集U的關系。

2、過程與方法：能用Venn圖表示集合間的運算，體會直觀圖對理解抽象概念的作用、補集的思想也尤為重要。

3、情感態度與價值觀：通過使用符號表示、集合表示、圖形表示集合間的關系與運算，引導學生感受集合語言在描述客觀現實和數學問題中的意義

教學重、難點

教學重點：并集、交集、補集的含義，利用維恩圖與數軸進行交并補的運算。

教學難點：弄清并集、交集、補集的概念，符號之間的區別與聯系。

教學方法

教法：啟發式教學 探究式教學

學法：自主探究 合作交流

教具準備

彩色粉筆、幻燈片、投影儀

教學過程

(一)創設問題情境引入新課

1、問題情境

學校舉行運動會，參加足球比賽的有100人，參加跳高比賽的有80人，那么總的參賽人數是多少?能否說是180人?這里把參加足球比賽的看作集合A，把參加跳高比賽的看作集合B，那么這兩個集合會有哪些關系呢?請看下面5個圖示：(用幾何畫板作圖)

2、學生根據已有的生活經驗和數學知識獨立探究，教師巡視、指導;

3、合作討論、交流探究的結果(請一位同學將結果寫到黑板上)

圖(1)給出了兩個集合A、B;

圖(2)陰影部分是A與B公共部分;

圖(3)陰影部分是由A、B組成;

圖(4)集合A是集合B的真子集;

圖(5)集合B是集合A的真子集;

4、引導學生觀察、比較、概括出引例中陰影所表示的含義，抽象得出交集、并集的概念，引入新課

揭示課題：集合的基本運算(板書課題)

(二)新課探究

1、概念

并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B ，讀作：“A并B”，即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}

Venn圖表示：

交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B ，讀作：“A交B”，即：A∩B={x|∈A，且x∈B}

交集的Venn圖表示

【問題】 根據定義及維恩圖能總結出它們各自的性質嗎?

結論是：由圖(4)有A B，則A∩B=A ，由圖(5)有B A，則A∪B=A

2、基本練習，加深對定義的理解

拓展：求下列集合A與B的并集與交集(用幾何畫板展示圖片)

3、例題講解

【例4】設A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，求A∪B。

解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}

【例6】新華中學開運動會，設A={x丨x是新華中學高一年級參加百米賽跑的同學}，B={x丨x是新華中學高一年級參加跳高比賽的同學}，求A∩B。

解：A∩B就是新華中學高一年級中那些既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學組成的集合，所以，A∩B={x丨x是新華中學高一年級既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學}

【例7】學生獨立練習，教師檢查，作個別指導并進行反饋：平面內兩條直線的位置關系有三種：平行、相交或重合。那如何用數學符號語言來表示它們之間的關系呢?

請看下例

A={班上所有參加足球隊同學}

B={班上沒有參加足球隊同學}

S={全班同學}

那么S、A、B三集合關系如何?

集合B就是集合S中去掉集合A后余下來的集合。

全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U。

補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集,簡稱為集合A的補集，記作CUA：，即：CUA={x|x∈U且x∈A}

補集的Venn圖表示

【例8】設U={x丨x是小于9的正整數}，A={1,2,3,}，B={3,4,5,6}，求CUA，CUB。

解：根據題意可知，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以

CUA={4,5,6,7,8}

CUB={1,2,7,8}

性質總結：

A∩B A，A∩B B，A∩A=A，A∩ = ,A∩B=B∩A

A A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪ =A,A∪B=B∪A

(CUA)∪A=U，(CUA)∩A=

若A∩B=A，則A B，反之也成立

若A∪B=B，則A B，反之也成立

若x∈(A∩B)，則x∈A且x∈B

若x∈(A∪B)，則x∈A，或x∈B

(三)變式練習，鞏固新知

1、設A={3，5，6，8}，B={4，5，7，8}，求A∩B，A∪B。

2、設全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，求A∩(CUB)，(CUA)∩(CUB)

學生自主完成，然后小組討論、交流

(四)歸納整理

1、并集、交集和補集三種集合運算有什么區別?

2、通過對本節課的學習，你對集合這種語言有什么感受?

(五)布置作業

教材習題1.1A組6、7、9、10題，B組1、2、3、4題

板書設計

集合的基本運算教學設計第2篇

　　各位老師大家好，我是08級數學（2）班的某某，今天我要向大家介紹的課題是集合的基本運算，　　首先，我對本節教材進行簡要的分析；

　　一、 教材分析

　　集合的基本運算是高中新課標A版實驗教材第一冊第一章第一節第三課時的內容，在此之前，學生已學習了集合的概念和基本關系，這為過渡到本節的學習起著鋪墊的作用，本節內容在近年的高考中主要考核集合的基本運算，在整個教材中存在著基礎的地位，為今后學習函數及不等式的解集奠定了基礎數形結合的思想方法對學生今后的學習中有著鋪墊的作用。

　　根據教材結構及內容以及教材地位和作用，考慮到學生已有的認知結構和心理特征，依據新課標制定以下教學目標：

　　二、教學目標

　　1，知識與技能目標：根據集合的圖形表示，理解并集與交集的概念，掌握并集和交集

　　的表示法以及求解兩個集合并集與交集的方法。

　　2， 過程與方法目標：通過復習舊知，引入并集與交集的概念，培養學生觀察、比較、分析、概括的能力，使學生的認知由具體到抽象的過程。

　　3， 情感態度與價值觀：積極引導學生主動參與學習的過程，激發他們用數學解決實際問題的興趣，形成主動學習的態度，培養學生自主探究的數學精神以及合作交流的意識。

　　根據上述地位與作用的分析及教學目標，我確定了本節課的教學重點及難點，

　　三，教學重點與難點

　　重點：并集與交集的概念的理解，以及并集與交集的求解。

　　難點：并集與交集的概念的掌握以及并集與交集的求解各自的區別于聯系。

　　為了突出重點和難點，結合學生的實際情況，接下來談談本節課的教法及學法；

　　四、 教學方法與學法

　　本節課采用學生廣泛參與，師生共同探討的教學模式，對集合的基本關系適當的復習回顧以作鋪墊，對交集與并集采用文字語言，數學語言，圖形語言的分析，以突出重點，分散難點，通過啟發式，觀察的方法與數學結合的思想指導學生學習。

　　那么在本節課中我的教學過程是這樣設計的，

　　五、 教學過程

　　1復習舊知、引入主題

　　問題1、實數有加法運算，類比實數的加法運算，集合是否也可以“相加”呢？

　　由此引入了本節課的課； 集合的基本運算，并讓學生觀察這樣三個集合

　　集合A={1,3,5}, B={2,4,6}, C={1,2,3,4,5,6} 并讓學生思考集合A、集合B并與集合C之間有什么關系？

　　通過對以上集合的觀察、比較、分析、學生容易得出集合C里面的元素由集合A或B里邊得元素組成，像這樣的關系我們把它叫做并集，得出并集的概念后我會引導學生發現并集里邊的關鍵詞“或”字，（為了使學生加深對“或”字的理解，我會舉出生活中的例子，書記或主任去開會，這里有三層意思：（1）書記去開會，（2）主任去開會，（3）書記和主任都去開會 類比這個例子讓學生自己歸納出并集中“或”的三層意思）

　　引入并集的符號“ ”，并用數學語言描述A與B的`并集:或}介紹Veen圖

　　通過對書上例4的講解，讓學生了解當求解并集時出現相同的元素我們只能算一次，這是由集合的互易性確定的，由此復習了集合的互易性，

　　再對例5的講解，讓學生會用數軸來求解并集，

　　學生學習了并集含義之后，我會讓學生思考這樣一個問題，

　　問題2：除了并集之外，集合還有其他的運算嗎？并讓他們觀以下的集合：

　　A={1，2，3} B={3,，4，5} C={3} 讓學生類比并集的方式歸納出它們之間的關系：集合C里面的元素在集合A且在集合B里面，像這樣的關系我們把它叫做交集，

　　引導學生發現交集里面的關鍵詞“且”，介紹交集的符號“”用數學語言表示交集：且}；介紹Veen圖

　　對書上例6 的講解讓學生了解集合與我們的生活息息相關，從而激發他們學習是學的興趣，并學會用自然語言來描述兩個集合的交集，

　　例7：讓學生了解當兩條直線沒有交點即兩個集合沒有公共部分的時候，他們的交集不是不存在，而是他們的交集為空集，由此復習了空集的概念，

　　讓學生完成書上的練習，

　　1、 課堂練習，反饋信息。（P11，1、2題）

　　在以上的環節中，老師只起了引導的作用，而學生是主體，充分的調動學生的積極性與主動性，讓學生的學習過程在老師的引導下的知識在創造。

　　2、 課堂小結，自我評價。

　　通過提問，引導學生對所學的知識、思想方法進行小結，形成知識系統，用激勵性的語言加以點評，讓學生思想盡量發揮完善。

　　3、 作業布置，反饋矯正。（P12，6、7）

　　六、 板書設計

　　集合的基本運算

　　一、并集 例4， 引入

　　1， 例5， A={ }

　　2， 例6， B={ }

集合的基本運算教學設計第3篇

　　教學分析

　　課本從學生熟悉的集合出發，結合實例，通過類比實數加法運算引入集合間的運算，同時，結合相關內容介紹子集和全集等概念.在安排這部分內容時，課本繼續注重體現邏輯思考的方法，如類比等.

　　值得注意的問題：在全集和補集的教學中，應注意利用圖形的直觀作用，幫助學生理解補集的概念，并能夠用直觀圖進行求補集的運算.

　　三維目標

　　1.理解兩個集合的并集與交集、全集的含義，掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法，會求給定子集的補集，感受集合作為一種語言，在表示數學內容時的簡潔和準確，進一步提高類比的能力.

　　2.通過觀察和類比，借助Venn圖理解集合的基本運算.體會直觀圖示對理解抽象概念的作用，培養數形結合的思想.

　　重點難點

　　教學重點：交集與并集、全集與補集的概念.

　　教學難點：理解交集與并集的概念，以及符號之間的區別與聯系.

　　課時安排

　　2課時

　　教學過程

　　第1課時

　　導入新課

　　思路1.我們知道，實數有加法運算，兩個實數可以相加，例如5+3=8.類比實數的加法運算，集合是否也可以“相加”呢?教師直接點出課題.

　　思路2.請同學們考察下列各個集合，你能說出集合C與集合A，B之間的關系嗎?

　　(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6};

　　(2)A={x|x是有理數}，B={x|x是無理數}，C={x|x是實數}.

　　引導學生通過觀察、類比、思考和交流，得出結論.教師強調集合也有運算，這就是我們本節課所要學習的內容.

　　思路3.(1)①如圖1甲和乙所示，觀察兩個圖的陰影部分，它們分別同集合A、集合B有什么關系?

　　圖1

　　②觀察集合A，B與集合C={1,2,3,4}之間的關系.

　　學生思考交流并回答，教師直接指出這就是本節課學習的課題：集合的基本運算.

　　(2)①已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，寫出由集合A，B中的所有元素組成的集合C.

　　②已知集合A={x|x>1}，B={x|x<0}，在數軸上表示出集合A與B，并寫出由集合A與B中的所有元素組成的集合C.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　(1)通過上述問題中集合A，B與集合C之間的關系，類比實數的加法運算，你發現了什么?

　　(2)用文字語言來敘述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關系.

　　(3)用數學符號來敘述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關系.

　　(4)試用Venn圖表示A∪B=C.

　　(5)請給出集合的并集定義.

　　(6)求集合的并集是集合間的一種運算，那么，集合間還有其他運算嗎?

　　請同學們考察下面的問題，集合A，B與集合C之間有什么關系?

　　①A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8};

　　②A={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級女同學}，B={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級男同學}，C={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級同學}.

　　(7)類比集合的并集，請給出集合的交集定義，并分別用三種不同的語言形式來表達.

　　活動：先讓學生思考或討論問題，然后再回答，經教師提示、點撥，并對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路，主要引導學生發現集合的并集和交集運算并能用數學符號來刻畫，用Venn圖來表示.

　　討論結果：(1)集合之間也可以相加，也可以進行運算，但是為了不和實數的運算相混淆，規定這種運算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A與B的并集.記為A∪B=C，讀作A并B.

　　(2)所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成了集合C.

　　(3)C={x|x∈A，或x∈B}.

　　(4)如圖1所示.

　　(5)一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集.其含義用符號表示為A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn圖表示，如圖1所示.

　　(6)集合之間還可以求它們的公共元素組成的集合，這種運算叫求集合的交集，記作A∩B，讀作A交B.①A∩B=C，②A∪B=C.

　　(7)一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.

　　其含義用符號表示為：

　　A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

　　用Venn圖表示，如圖2所示.

　　圖2

　　應用示例

　　例1 集合A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，則A∩B，B∪C，A∩B∩C分別是什么?

　　活動：學生先思考集合中元素的特征，明確集合中的元素.將集合中元素利用數形結合在數軸上找到，那么運算結果尋求就易進行.這三個集合都是用描述法表示的數集，求集合的并集和交集的關鍵是找出它們的公共元素和所有元素.

　　解：因為A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，在數軸上表示，如圖3所示，所以A∩B={x|00}，A∩B∩C= .

　　圖3

　　點評：本題主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集時，①明確集合中的元素;②依據并集和交集的含義，直接觀察或借助于數軸或Venn圖寫出結果.

　　變式訓練

　　1.設集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

　　解：對任意m∈A，則有m=2n=2•2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那么m∈B，即對任意m∈A有m∈B，所以A⊆B.

　　而10∈B但10 A，即A B，那么A∩B=A，A∪B=B.

　　2.求滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的個數.

　　解：滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};還可含1或2其中一個，有{1,3}，{2,3};還可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4個滿足條件的集合B.

　　3.設集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.

　　解：∵A∩B={9}，則9∈A，a-1=9或a2=9.

　　∴a=10或a=±3.

　　當a=10時，a-5=5 ,1-a=-9;

　　當a=3時，a-1=2不合題意;

　　當a=-3時，a-1=-4不合題意.

　　故a=10.此時A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，滿足A∩B={9}.

　　4.設集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3

　　A.{x|-3

　　C.{x|x>-3} D.{x|x<1}

　　解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，

　　觀察或由數軸得A∩B={x|-3

　　答案：A

　　例2 設集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

　　活動：明確集合A，B中的元素，教師和學生共同探討滿足A∩B=B的集合A，B的關系.集 合A是方程x2+4x=0的解組成的集合，可以發現，B⊆A，通過分類討論集合B是否為空集來求a的值.利用集合的表示 法來認識集合A，B均是方程的解集，通過畫Venn圖發現集合A，B的關系，從數軸上分析求得a的值.

　　解：由題意得A={-4,0}.

　　∵A∩B=B，∴B⊆A.

　　∴B= 或B≠ .

　　當B= 時，即關于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0無實數解，

　　則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

　　當B≠ 時，若集合B僅含有一個元素，則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，

　　此時，B={x|x2=0}={0}⊆A，即a=-1符合題意.

　　若集合B含有兩個元素，則這兩個元素是-4,0，

　　即關于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

　　則有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.

　　解得a=1，則a=1符合題意.

　　綜上所得，a=1或a≤-1.

　　變式訓練

　　1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，則能使A⊆(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?

　　解：由題意知A⊆(A∩B)，即A⊆B，A非空，利用數軸得 解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.

　　2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m -1}，且A∪B=A，試求實數m的取值范圍.

　　分析：由A∪B=A得B⊆A，則有B= 或B≠ ，因此對集合B分類討論.

　　解：∵A∪B=A，∴B⊆A.

　　又∵A={x|-2≤x≤5}≠ ，∴B= ，或B≠ .

　　當B= 時，有m+1>2m-1，∴m<2.

　　當B≠ 時，觀察圖4：

　　圖4

　　由數軸可得 解得2≤m≤3.

　　綜上所述，實數m的取值范圍是m<2或2≤m≤3，即m≤3.

　　點評：本題主要考查集合的運算、分類討論的思想，以及集合間關系的應用.已知兩個集合的運算結果，求集合中參數的值時，由集合的運算結果確定它們的關系，通過深刻理解集合表示法的轉換，把相關問題化歸為其他常見的方程、不等式等數學問題.這稱為數學的化歸思想，是數學中的常用方法，學會應用化歸和分類討論的數學思想方法解決有關問題.

　　知能訓練

　　課本本節練習1,2,3.

　　【補充練習】

　　1.設集合A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，

　　(1)求A∩B，A∪B.

　　(2)用適當的符號(⊇，⊆)填空：

　　A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.

　　解：(1)因A，B的公共元素為5,8，故兩集合的公共部分為5,8，

　　則A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.

　　又A，B兩集合的所有相異元素為3,4,5,6,7,8，故A∪B={3,4,5,6,7,8}.

　　(2)由Venn圖可知

　　A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B.

　　2.設A={x|x<5}，B={x|x≥0}，求A∩B.

　　解：因x<5及x≥0的公共部分為0≤x<5，

　　故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.

　　3.設A={x|x是銳角三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B.

　　解：因三角形按角分類時，銳角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B兩集合沒有公共部分.

　　所以A∩B={x|x是銳角三角形}∩{x|x是鈍角三角形}= .

　　4.設A={x|x>-2}，B={x|x≥3}，求A∪B.

　　解：在數軸上將A，B分別表示出來，得A∪B={x|x>-2}.

　　5.設A={x|x是平行四邊形}，B={x|x是矩形}，求A∪B.

　　解：因矩形是平行四邊形，故由A及B的元素組成的集合為A∪B，A∪B={x|x是平行四邊形}.

　　6.已知M={1}，N={1,2}，設A={(x，y)|x∈M，y∈N}，B={(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.

　　分析：M，N中的元素是數，A，B中的元素是平面內的點集，關鍵是找其元素.

　　解：∵M={1}，N={1,2}，∴A={(1,1)，(1,2)}，B={(1,1)，(2,1)}，故A∩B={(1,1)}，A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}.

　　7.若A，B，C為三個集合，A∪B=B∩C，則一定有(

　　)

　　A.A⊆C B.C⊆A C.A≠C D.A=

　　解析：思路一：∵(B∩C)⊆B，(B∩C)⊆C，A∪B=B∩C，

　　∴A∪B⊆B，A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.

　　思路二：取滿足條件的A={1}，B={1,2}，C={1,2,3}，排除B，D，

　　令A={1,2}，B={1,2}，C={1,2}，則此時也滿足條件A∪B=B∩C，

　　而此時A=C，排除C.

　　答案：A

　　拓展提升

　　觀察：(1)集合A={1,2}，B={1,2,3,4}時，A∩B，A∪B這兩個運算結果與集合A，B的關系;

　　(2)當A= 時，A∩B，A∪B這兩個運算結果與集合A，B的關系;

　　(3)當A=B={1,2}時，A∩B，A∪B這兩個運算結果與集合A，B的關系.

　　由(1)(2)(3)你發現了什么結論?

　　圖5

　　活動：依據集合的交集和并集的含義寫出運算結果，并觀察與集 合A，B的關系.用Venn圖來發現運算結果與集合A，B的關系.(1)(2)(3)中的集合A，B均滿足A⊆B，用Venn圖表示，如圖5所示，就可以發現A∩B，A∪B與集合A，B的關系.

　　解：A∩B=A⇔A⊆B⇔A∪B=B.

　　用類似方法，可以得到集合的運算性質，歸納如下：

　　A∪B=B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B);A∪A=A，A∪ =A，A⊆B⇔A∪B=B;

　　A∩B=B∩A;(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B;A∩A=A;A∩ = ;A⊆B⇔A∩B=A.

　　課堂小結

　　本節主要學習了：

　　1.集合的交集和并集.

　　2.通常借助于數軸或Venn圖來求交集和并集.

　　作業

　　1.課外思考：對于集合的基本運算，你能得出哪些運算規律?

　　2.請你舉出現實生活中的一個實例，并說明其并集、交集和補集的現實含義.

　　3.書面作業：課本習題1.1，A組，6,7,8.

　　設計感想

　　由于本節課內容比較容易接受，也是歷年高考的必考內容之一，所以在教學設計上注重加強練習和拓展課本內容.設計中通過借助于數軸或Venn圖寫出集合運算的結果，這是突破本節教學難點的有效方法.

　　第2課時

　　導入新課

　　問題：①分別在整數范圍和實數范圍內解方程(x-3)(x-3)=0，其結果會相同嗎?

　　②若集合A={x|0

　　學生回答后，教師指明：在不同的范圍內集合中的元素會有所不同，這個“范 圍”問題就是本節學習的內容，引出課題.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　①用列舉法表示下列集合：

　　A={x∈Z|(x-2) =0};

　　B={x∈Q|(x-2) =0};

　　C={x∈R|(x-2) =0}.

　　②問題①中三個集合相等嗎?為什么?

　　③由此看，解方程時要注意什么?

　　④問題①中，集合Z，Q，R分別含有所解方程時所涉及的全部元素，這樣的集合稱為全集，請給出全集的定義.

　　⑤已知全集U={1,2,3}，A={1}，寫出全集中不屬于集合A的所有元素組成的集合B.

　　⑥請給出補集的定義.

　　⑦用Venn圖表示?UA.

　　活動：組織學生充分討論、交流，使學生明確集合中的元素，提示學生注意集合中元素的范圍.

　　討論結果：①A={2}，B=2，-13，C=2，-13，2.

　　②不相等，因為三個集合中的元素不相同.

　　③解方程時，要注意方程的根在什么范圍內，同一個方程，在不同的范圍其解會有所不同.

　　④一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記為U.

　　⑤B={2,3}.

　　⑥對于一個集合A，全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集.

　　集合A相對于全集U的補集記為?UA，即?UA={x|x∈U，且x A}.

　　⑦如圖6所示，陰影表示補集.

　　圖6

　　應用示例

　　思路1

　　例1 設U={x|x是小于9的正整數}，A={1,2,3}，B={3,4,5,6}，求?UA，?UB.

　　活動：讓學生明確全集U中的元素，回顧補集的定義，用列舉法表示全集U，依據補集的定義寫出?UA，?UB.

　　解：根據題意，可知U={1,2,3,4,5,6,7,8}，

　　所以?UA={4,5,6,7,8}，?UB={1,2,7,8}.

　　點評：本題主要考查補集的概念和求法.用列舉法表示的集合，依據補集的含義，直接觀察寫出集合運算的結果.

　　常見結論：?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB);?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

　　變式訓練

　　1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5,7}，B={3,4,5}，則(?UA)∩(?UB)等于(

　　)

　　A.{1,6}

　　

　　　B.{4,5}

　　C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}

　　解析：思路一：觀察得(?UA)∩(?UB)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6}.思路二：A∪B={2,3,4,5,7}，則(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={1,6}.

　　答案：A

　　2.設集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,4}，B={2}，則A∩(?UB)等于(

　　)

　　A.{1,2,3,4,5} B.{1,4}

　　C.{1,2,4} D.{3,5}

　　答案：B

　　3.設全集U={1,2,3,4,5,6,7}，P={1,2,3,4,5}，Q={3，4,5,6,7}，則P∩(?UQ)等于(

　　)

　　A.{1,2} B.{3,4,5}

　　C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5}

　　答案：A

　　例2 設全集U={x|x是三角形}，A={x |x是銳角三角形}，B={x|x是鈍角三角形}.求A∩B，?U(A∪B).

　　活動：學生思考三角形的分類和集合的交集、并集和補集的含義.結合交集、并集和補集的含義寫出結果.A∩B是由集合A， B中公共元素組成的集合，?U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素組成的集合.

　　解：根據三角形的分類可知A∩B= ，

　　A∪B={x|x是銳角三角形或鈍角三角形}，

　　?U(A∪B)={x|x是直角三角形}.

　　變式訓練

　　1.已知集合A={x|3≤x<8}，求?RA.

　　解：?RA={x|x<3，或x≥8}.

　　2.設S={x|x是至少有一組對邊平行的四邊形}，A={x|x是平行四邊形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，求B∩C，?AB，?SA.

　　解：B∩C={x|x是正方形}，?AB={x|x是鄰邊不相等的.平行四邊形}，?SA={x|x是梯形}.

　　3.已知全集I=R，集合A={x|x2+ax+12b=0}，B={x|x2-ax+b=0}，滿足(?IA) ∩B={2}，(?IB)∩A={4}，求實數a，b的值.

　　解：a=87，b=-127.

　　4.設全集U=R，A={x|x≤2+3}，B={3,4,5,6}，則(?UA)∩B等于(

　　)

　　A.{4}

　　　B.{4,5,6}

　　　C.{2,3,4}

　　　D.{1,2,3,4}

　　解析：∵U=R，A={x|x≤2+3}，∴?UA={x|x>2+3}.而4,5,6都大于2+3，∴(?UA)∩B={4,5,6}.

　　答案：B

　　思路2

　　例1 已知全集U=R，A={x|-2≤x≤4}，B={x|-3≤x≤3}，求：

　　(1)?UA，?UB;

　　(2)(?UA)∪(?UB)，?U(A∩B)，由此你發現了什么結論?

　　(3)(?UA)∩(?UB)，?U(A∪B)，由此你發現了什么結論?

　　活動：學生回想補集的含義，教師指導學生利用數軸來解決.依據補集的含義，借助于數軸求得.

　　解：在數軸上表示集合A，B，如圖7所示，

　　圖7

　　(1)由圖得?UA={x|x<-2，或x>4}，?UB={x|x<-3，或x>3}.

　　(2)由圖得(?UA)∪(?UB)={x|x<-2，或x>4}∪{x|x<-3，或x>3}={x|x<-2，或x>3};∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3}，

　　∴?U(A∩B)=?U{x|-2≤x≤3}={x|x<-2，或x>3}.

　　∴得出結論?U(A∩B)=(?UA)∪(?U B).

　　(3)由圖得(?UA)∩(?UB)={x|x<-2，或x>4}∩{x|x<-3，或x>3}={x|x<-3，或x>4};∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4}，∴?U(A∪B)=?U{x|-3≤x≤4}={x|x<-3，或x>4}.∴得出結論?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

　　變式訓練

　　1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5,7}，B={3,4,5}，則(?UA)∪(?UB)等于(

　　)

　　A.{1,6}

　　

　　　B.{4,5}

　　C.{1,2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}

　　答案：D

　　2.設集合I={x||x|<3，x∈Z}，A={1,2}，B={-2，-1，2}，則A∪(?IB)等于(

　　)

　　A.{1}

　　　 B.{1,2} C.{2}

　　　 D.{0,1,2}

　　答案：D

　　例2 設全集U={x|x≤20，x∈N，x是質數} ，A∩(?UB)={3,5}，(?UA)∩B={7,19}，(?UA)∩(?UB)={2,17}，求集合A，B.

　　活動：學生回顧集合的運算的含義，明確全集中的元素.利用列舉法表示全集U，根據題中所給的條件，把集合中的元素填入相應的Venn圖中即可.求集合A，B的關鍵是確定它們的元素，由于全集是U，則集合A，B中的元素均屬于全集U，由于本題中的集合均是有限集并且元素的個數不多，可借助于Venn圖來 解決.

　　解：U={2,3,5,7,11,13,17,19}，

　　由題意借助于Venn圖，如圖8所示，

　　圖8

　　∴A={3,5,11,13}，B={7,11,13,19}.

　　點評：本題主要考查集合的運算、Venn圖以及推理能力.借助于Venn圖分析集合的運算問題，使問題簡捷地獲得解決，將本來抽象的集合問題直觀形象地表示出來，這正體現了數形結合思想的優越性.

　　變式訓練

　　1.設I為全集，M，N，P都是它的子集，則圖9中陰影部分表示的集合是(

　　)

　　圖9

　　A.M∩[(?IN)∩P]

　　B.M∩(N∪P)

　　C.[(?IM)∩(?IN)]∩P

　　D.M∩N∪(N∩P)

　　解析：思路一：陰影部分在集合M內部，排除C;陰影部分不在集合N內，排除B，D.

　　思路二：陰影部分在集合M內部，即是M的子集，又陰影部分在P內不在集合N內，即在(?IN)∩P內，所以陰影部分表示的集合是M∩[(?IN)∩P].

　　答案：A

　　2.設U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(?UA)∩B={3,7}，(?UB)∩A={2,8}，(?UA)∩(?UB)={1,5,6}，則集合A=________，B=________.

　　解析：借助Venn圖，如圖10，把相關運算的結果表示出來，自然地就得出集合A，B了.

　　圖10

　　答案：{2,4,8,9}　{3,4,7,9}

　　知能訓練

　　課本本節練習4.

　　【補充練習】

　　1.設全集U=R，A={x|2x+1>0}，試用文字語言表述?UA的意義.

　　解：A={x|2x+1>0}，即不等式2x+1>0的解集，?UA中元素均不能使2x+1>0成立，即?UA中元素應當滿足2x+1≤0.∴?UA即不等式2x+1≤0的解集.

　　2.如圖11所示，U是全集，M，P，S是U的三個子集，則陰影部分表示的集合是________.

　　圖11

　　解析：觀察圖可以看出，陰影部分滿足兩個條件：一是不在集合S內;二是在集合M，P的公共部分內，因此陰影部分表示的集合是集合S的補集與集合M，P的交集的交集，即(?US)∩(M∩P).

　　答案：(?US)∩(M∩P)

　　3.設集合A，B都是U={1,2,3,4}的子集，已知(?UA)∩(?UB)={2}，(?UA)∩B={1}，則A等于(

　　)

　　A.{1,2}

　　　B.{2,3}

　　　C.{3,4}

　　　D.{1,4}

　　解析：如圖12所示.

　　圖12

　　由于(?UA)∩(?UB)={2}，(?UA)∩B={1}，則有?UA={1,2}.∴A={3,4}.

　　答案：C

　　4.設全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，則?U(S∪T)等于(

　　)

　　A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}

　　解析：直接觀察(或畫出Venn圖)，得S∪T={1,3,5,6}，則?U(S∪T)={2,4,7,8}.

　　答案：B

　　5.已知集合I={1,2,3,4}，A={1}，B={2,4}，則A∪(?IB)等于(

　　)

　　A.{1} B.{1,3} C.{3} D.{1,2,3}

　　解析：∵?IB={1,3}，∴A∪(?IB)={1}∪{1,3}={1,3}.

　　答案：B

　　拓展提升

　　問題：某班有學生50人，解甲、乙兩道數學題，已知解對甲題者有 34人，解對乙題者有28人，兩題均解對者有20人，問：

　　(1)至少解對其中一題者有多少人?

　　(2)兩題均未解對者有多少人?

　　分析：先利用集合表示解對甲、乙兩道數學題的各種類型，然后根據題意寫出它們的運算，問題便得到解決.

　　解：設全集為U，A={只解對甲題的學生}，B={只解對乙題的學生}，C={甲、乙兩題都解對的學生}，則A∪C={解對甲題的學生}，B∪C={解對乙題的學生}，

　　A∪B∪C={至少解對一題的學生}，?U(A∪B∪C)={兩題均未解對的學生}.

　　由已知，A∪C有34個人，C有20個人，

　　從而知A有14個人;B∪C有28個人，C有20個人，所以B有8個人.因此A∪B∪C有N1=14+8+20=42(人)，?U(A∪B∪C)有N2=50-42=8(人).

　　∴至少解對其中一題者有42個人，兩題均未解對者有8個人.

　　課堂小結

　　本節課學習了：

　　①全集和補集的概念和求法.

　　②常借助于數軸或Venn圖進行集合的補集運算.

　　作業

　　課本習題1.1A組　9,10，B組　4

　　設計感想

　　本節教學設計注重滲透數形結合的思想方法，因此在教學過程中要重點指導學生借助于數軸或Venn圖進行集合的補集運算.由于高考中集合常與以后學習的不等式等知識緊密結合，本節對此也予以體現，可以利用課余時間學習有關解不等式的知識.

　　備課資料

　　【備選例題】

　　【例1】已知A={y|y=x2-4x+6，x∈R，y∈N}，B={y|y=-x2-2x+7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分別用描述法、列舉法表示它.

　　解：y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2，A={y|y≥2，y∈N}，

　　又∵y=-x2-2x+7=-(x+1)2+8≤8，∴B={y|y≤8，y∈N}.

　　故A∩B={y|2≤y≤8}={2,3,4,5,6,7,8}.

　　【例2】設S={(x，y)|xy>0}，T={(x，y)|x>0，且y>0}，則(

　　)

　　A.S∪T=S

　　 B.S∪T=T 　C.S∩T=S

　　 D.S∩T=

　　解析：S={(x，y)|xy>0}={(x，y)|x>0且y>0，或x<0且y<0}，則T⊆S，所以S∪T=S.

　　答案：A

　　【例3】某城鎮有1 000戶居民，其中有819戶有彩電，有682戶有空調，有535戶彩電和空調都有，則彩電和空調至少有一種的有________戶.

　　解析：設這1 000戶居民組成集合U，其中有彩電的組成集合A，有空調的組成集合B，如圖13所示.有彩電無空調的有819-535=284(戶);有空調無彩電的有682-535=147(戶)，因此二者至少有一種的有284+147+535=966(戶).填966.

　　圖13

　　答案：966

　　【知識拓展】

　　差集與補集

　　有兩個集合A，B，如果集合C是由所有屬于A但不屬于B的元素組成的集合，那么C就叫做A與B的差集，記作A-B(或AB).

　　例如，A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，C=A-B={a，b}.

　　也可以用Venn圖表示，如圖14所示(陰影部分表示差集).

　　圖14

　　圖15

　　特殊情況，如果集合B是集合I的子集，我們把I看作全集，那么I與B的差集I -B，叫做B在I中的補集，記作B.

　　例如，I={1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，B=I-B={4,5}.

　　也可以用Venn圖表示，如圖15所示(陰影部分表示補集).

　　從集合的觀點來看，非負整數的減法運算，就是已知兩個不相交集合的并集的基數，以及其中一個集合的基數，求另一個集合的基數，也可以看作是求集合I與它的子集B的差集的基數.