這是《勾股定理的證明》反思，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

　　勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源于中國和希臘。1.中國方法畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。2.希臘方法直接在直角三角形三邊上畫正方形，容易看出，△ABA’≌△AA’’C。過C向A’’B’’引垂線，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。△ABA’與正方形ACDA’同底等高,前者面積為后者面積的一半，△AA’’C與矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面積也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面積等于矩形AA’’C’’C’的面積。同理可得正方形BB’EC的面積等于矩形B’’BC’C’’的面積。于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，即a2+b2=c2。至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到(請讀者自己證明)。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念：⑴全等形的面積相等;⑵一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。我國歷代數學家關于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽(即趙君卿)在他附于《周髀算經》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。采用的是割補法：將圖中的四個直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然后經過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關系是符勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦也”。趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。S梯形ABCD=(a+b)2=(a2+2ab+b2)，①又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED=ab+ba+c2=(2ab+c2)。②比較以上二式，便a2+b2=c2。這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的這一證明。5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統。后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統”證法，這在數學史上被傳為佳話。在學習了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。則△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。由△BCD∽△BAC可得BC2=BD•BA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD•AB。②我們發現，把①、②兩式相加可得BC2+AC2=AB(AD+BD)，

　　而AD+BD=AB，因此有BC2+AC2=AB2，這就是a2+b2=c2。這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：設△ABC中，∠C=90°，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，因為∠C=90°，所以cosC=0。所a2+b2=c2。這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是余弦定理的證明來自勾股定理。人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。