這是初中三角函數概念及理解，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

初中三角函數概念及理解第 1 篇

教材：角的概念的推廣

目的：要求學生掌握用“旋轉”定義角的概念，并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

過程：一、提出課題：“三角函數”

回憶初中學過的“銳角三角函數”——它是利用直角三角形中兩邊的比值來定義的。相對于現在，我們研究的三角函數是“任意角的三角函數”，它對我們今后的學習和研究都起著十分重要的作用，并且在各門學科技術中都有廣泛應用。

二、角的概念的推廣

1.回憶：初中是任何定義角的?(從一個點出發引出的兩條射線構成的幾何圖形)這種概念的優點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”

2.講解：“旋轉”形成角(P4)

突出“旋轉”注意：“頂點”“始邊”“終邊”

“始邊”往往合于軸正半軸

3.“正角”與“負角”——這是由旋轉的方向所決定的。

記法：角或可以簡記成4.由于用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了。

1°角有正負之分如：a=210°b=-150°g=-660°

2°角可以任意大

實例：體操動作：旋轉2周(360°×2=720°)3周(360°×3=1080°)

3°還有零角一條射線，沒有旋轉

三、關于“象限角”

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角

角的頂點合于坐標原點，角的始邊合于軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角(角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限)

例如：30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角

585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等

四、關于終邊相同的角

1.觀察：390°，-330°角，它們的終邊都與30°角的終邊相同

2.終邊相同的角都可以表示成一個0°到360°的角與個周角的和

390°=30°+360°-330°=30°-360°30°=30°+0×360°1470°=30°+4×360°-1770°=30°-5×360°3.所有與a終邊相同的角連同a在內可以構成一個集合

即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和

4.例一(P5略)

五、小結：1°角的概念的推廣

用“旋轉”定義角角的范圍的擴大

2°“象限角”與“終邊相同的角”

六、作業：P7練習1、2、3、4

習題1.41

初中三角函數概念及理解第 2 篇

目標：

1、 理解銳角三角函數的定義，掌握銳角三角函數的表示法；

2、 能根據銳角三角函數的定義計算一個銳角的各個三角函數的值；

3、 掌握 Rt △中的銳角三角函數的表示：

sinA= ， cosA= ， tanA=

4 、掌握銳角三角函數的取值范圍；

5 、通過經歷三角函數概念的形成過程，培養學生從特殊到一般及數形結合的思想方法。

教學重點：

銳角三角函數相關定義的理解及根據定義計算銳角三角函數的值。

教學難點：

銳角三角函數概念的形成。

教學過程：

一、創設情境：

鞋跟多高合適？

美國人體工程學研究人員卡特·克雷加文調查發現， 70 ％以上的女性喜歡穿鞋跟高度為 6 至 7 厘米左右的高跟鞋。但專家認為穿 6 厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等處的肌肉非常容易疲勞。

據研究，當高跟鞋的鞋底與地面的夾角為 11 度左右時，人腳的感覺最舒適。假設某成年人腳前掌到腳后跟長為 15 厘米，不難算出鞋跟在 3 厘米左右高度為最佳。

問：你知道專家是怎樣計算的嗎？

顯然，高跟鞋的鞋底、鞋跟與地面圍城了一個直角三角形，回顧直角三角形的已學知識，引出課題。

二、探索新知：

1 、下面我們一起來探索一下。

實踐一：作一個 30 °的∠ A ，在角的邊上任意取一點 B ，作 BC ⊥ AC 于點 C 。

⑴計算，，的值，并將所得的結果與你同伴所得的結果進行比較。∠ A=30 °時學生 1 結果 學生 2 結果 學生 3 結果 學生 4 結果 ⑵將你所取的 AB 的值和你的同伴比較。

實踐二：作一個 50 °的∠ A ，在角的邊上任意取一點 B ，作 BC ⊥ AC 于點 C 。

（ 1 ）量出 AB ， AC ， BC 的長度（精確到 1mm ）。

（ 2 ）計算BC / AB ，AC / AB，的值（結果保留 2 個有效數字），并將所得的結果與你同伴所得的結果進行比較。∠ A=50 °時 AB AC BC 學生 1 結果 學生 2 結果 學生 3 結果 學生 4 結果 （ 3 ）將你所取的 AB 的值和你的同伴比較。

2 、經過實踐一和二進行猜測

猜測一：當∠ A 不變時，三個比值與 B 在 AM 邊上的位置有無關系？

猜測二：當∠ A 的大小改變時，相應的三個比值會改變嗎？

3、 理論推理

如圖， B 、 B 1 是一邊上任意兩點，作 BC ⊥ AC 于點 C ， B 1 C 1 ⊥ AC 1 于點 C 1 ，

判斷比值與，與，與是否相等，并說明理由。

4 、歸納總結得到新知：

⑴三個比值與 B 點在的邊 AM 上的位置無關；

⑵三個比值隨的變化而變化，但（0 °﹤∠α﹤90 ° ）確定時，三個比值隨之確定；

比值，，都是銳角的函數

比值叫做的正弦， sinα =

比值叫做的余弦， cos α=

比值叫做的正切， tanα =

（ 3 ）注意點： sin α， cos α， tan α都是一個完整的符號，單獨的 “ sin ”沒有意義，其中前面的“∠”一般省略不寫。

強化讀法，寫法；分清各三角函數的自變量和應變量。

三、深化新知

1 、三角函數的定義

在 Rt △ ABC 中，如果銳角 A 確定，那么∠ A 的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定 . 則有

sinA ＝

cosA ＝

2 、提問：根據上面的三角函數定義，你知道正弦與余弦三角函數值的取值范圍嗎？

（點撥）直角三角形中，斜邊大于直角邊．

生：獨立思考，嘗試回答，交流結果．

明確：銳角的三角函數值的范圍： 0 ＜ sin α＜ 1 ， 0 ＜ cos α＜ 1.

四、鞏固新知

例 1. 如圖 , 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C=90 °， AB=5,BC=3,

（ 1 ）求∠ A 的正弦、余弦和正切 .

（ 2 ）求∠ B 的正弦、余弦和正切 .

分析：由勾股定理求出 AC 的長度，再根據直角三角形中銳角三角函數值與三邊之間的關系求出各函數值。

提問：觀察以上計算結果 , 你發現了什么 ?

明確： sinA=cosB ， cosA=sinB ， tanA · tanB=1

五、升華新知

例 2 . 如圖 : 在 Rt △ ABC, ∠ B=90 ° ,AC=200,sinA=0.6 ，求 BC 的長 .

由例 2 啟發學生解決情境創設中的問題。

六、課堂小結：談談今天的收獲

1 、內容總結

（ 1 ）在 Rt Δ ABC 中 , 設∠ C=90 ° ，∠α為 Rt Δ ABC 的一個銳角，則

∠α的正弦，∠α的余弦，

∠α的正切

2 、方法歸納

在涉及直角三角形邊角關系時，常借助三角函數定義來解

四、布置作業

初中三角函數概念及理解第 3 篇

初中函數概念的教學分析和教學設計

我們先了解一下函數形成的簡要歷史：

1、函數是從研究各種運動問題中產生的。

2、函數概念經歷了這樣幾個階段：①把研究的曲線當作函數；②把由一個變量和一些常量以任何方式形成的解析表達式作為函數；③用對應關系定義的函數；④用*定義的函數。實際上函數概念到此還沒有終結，還在發展。分析函數概念的形成歷史，我們可以看出幾點：

1、函數概念的形成是由研究靜止現象到研究運動、變化現象的結果；

2、函數概念的形成是人類活動不斷深化的結果，是人類思維能力和認識能力提高的結果。

基于函數形成的歷史，使我們認識到要使學生形成清晰的函數概念，必須使學生經歷由常量數學到變量數學的轉變，而要使學生實現這種觀念上的質的飛躍，必定要經歷一個困難的過程。困難主要表現在：①長時間處理常量數學問題使學生形成了靜止、孤立、片面看問題的固定思維方式；②思維能力水平的制約。初中學生的整體思維能力還不高，一方面，初中學生的思維從初一到初三由借助于具體形象，具體的事例進行思維活動向抽象思維發展；另一方面，在學生學習了推理后，學生的思維由雜亂向有序發展，隨著概念的不斷豐富，推理能力的不斷提高，學生逐步形成了邏輯思維能力，但要使學生理解函數概念，只是具備這些條件是不行的，學生還必須具有辨*思維的能力。

函數概念由模糊到清晰經歷了近300年就說明了困難的程度。我們都知道，觀念上的轉變是非常困難的，所以要使學生實現觀念上的轉變，首要的任務是使學生接觸運動現象，認識運動現象，思考運動現象，這樣才能使學生認識變量的存在，然后逐步使學生理解變量的意義，實現由常量到變量的轉變。然后使學生認識到運動變化過程中確實存在相互聯系的量，實現由習慣于處理靜止現象到處理運動現象的過渡，促進學生運動觀的形成，這樣才有可能使學生理解函數的意義；另外，還必須切實提高學生的思維水平。

在處理函數概念時，把函數概念分為兩個階段：初中階段和高中階段。對初中學生來說，只要使初中學生認識到：

（1）問題中所研究的兩個變量是相互聯系的。

（2）其中一個變量變化時，另一個變量也隨著發生變化。

（3）對第一個變量在某一范圍內的每一個確定的值，第二個變量都有唯一確定的值與它對應即可。初中階段主要使學生能處理能用解析式表達的函數即可。要使學生掌握幾類簡單的函數：正比例函數、反比例函數、簡單的二次函數，理解他們的定義，知道它們的圖象和*質，會用它們的圖形和*質解答一些生活和其他學科中的簡單問題就行了。

研究函數既要用到代數的方法又要用到幾何的方法，所以要使學生學好函數的知識，就必須使學生不僅熟練掌握代數和幾何的方法，還要使學生理解代數和幾何之間的關系，融合代數方法和幾何方法，而這對于一般的學生來說難度是比較大的。

基于以上分析，我們作為一名初中教師，在實施函數教學時，要把握好初中函數教學的度，要根據初中學生的思維特點和知識結構進行教學過程設計。

下面筆者就談談自己對函數概念教學的處理方式。

一、滲透階段，使學生逐漸認識變量及變量之間的相互關系

對字母表示數的認識，是學生體驗、認識變量的開端，在這段內容的教學中教師要促使學生感受到變量的意義，體驗變量的概念。在代數式的值的教學中再強化變量的意義，再讓學生通過代數式的值與代數式中字母取值的之間的相互依賴關系，感受到變量之間的相互聯系。再在方程特別是二元一次方程的學生中，進一步促進學生認識兩個量之間是相互關聯的，體會到兩個變量之間的相互依存關系。

二、強化階段，促進學生對變量之間的關系的認識，形成事物之間是相互聯系的認識

到了初二開始學習幾何，在幾何教學中，函數關系的例子非常多。像中點的定義、角的平分線的定義就揭示兩個量之間的關系；還有兩個角互余、互補，揭示的都是兩個變量之間的關系。像平行線四邊形的*質，中位線定理等等都蘊涵著函數關系。作為教師，一方面要在學習這些知識的過程中有意識地不斷滲透變量的意識——即在現實生活中存在著大量變量，且變量之間并不是*的，而是相互聯系的；另一方面，通過這些知識使學生熟悉把幾何問題代數化的方法，為函數的代數和幾何方法的結合打好基礎，為后來函數的學習作好充分的準備。

函數概念的形成首先與物理學的發展是有關的。對運動的研究的不斷深入，使人們逐漸認識到變量的存在和意義，對多種事物研究和思考，使人們認識事物之間是相互聯系的，而不是*的，這些思想的形成和深化是函數思想的形成的直接原因。所以用物理上的知識滲透變量意識、變量是相互聯系的意識，是非常直觀且有效的方法。像運動過程中的路程、速度和時間之間的關系就是典型的函數關系；力、壓強和受力面積之間的關系也是典型的函數關系；等等，物理上很多知識都是促成學生函數概念形成的好素材。這就要求教師要熟悉函數的形成史，從多方面進行滲透，強化變量之間是存在相互聯系的觀念。

三、形成階段，形成對函數概念的認識

在學生產生了變量意識、一些變量之間是存在相互聯系的意識之后，學生對函數概念的理解的準備工作已經基本作好，就可以講授函數的概念了。但教師在教授函數概念時，要在復習前面的相關知識的基礎上重點強化上面的兩種意識，讓學生清醒的感受到這兩種意識，然后在教給學生自變量、函數一些名稱，并訓練學生運用這些名詞來敘述變量之間的關系，熟悉函數的相關概念，當然學生這時對函數的理解還并不清晰。

然后，教師在以后的具體函數的教學中不斷使學生理解函數概念的內涵。像正比例函數，是一類最簡單的函數，在實際生活中大量存在，例如，在相似三角形中，每一對對應邊的數量關系就構成了正比例函數關系；在直角三角形中30角所對直角邊與斜邊之間也是正比例函數關系，等等。用這些具體例子使學生清楚的認識到兩個變量之間的具體聯系，認識到它們的共同特征，學生對函數概念就會逐漸理解，并且通過這些實例理解函數的*質更直觀，在通過后面的反比例函數、二次函數的教學進一步促進學生理解函數概念的實質，這樣可以加強學生對函數*質的理解。再者，這時初三物理中也有很多各類函數的例子，教師只要能從整體上把握教學，就可以挖掘出各種具體的材料和方法，使學生能更深刻認識函數的內涵和外延。

四、逐漸適應函數的學習方法

學習函數的方法與以前學習代數和幾何的方法有著明顯的不同。如函數的表達方式就是多樣化的，有列表法，圖像法，解析式法等，學生在一開始會不適應，所以在教函數學時要使學生逐漸適應這種多樣化，使學生逐漸認識到這些方法的作用，了解各種方法在不同情況下使用，會用不同的方法表示函數。

數形結合法是學習函數的重要方法，這和前面的代數方法和幾何方法明顯不同，對這種方法的適應需要一定的時間，因為學生對一個式子和一個幾何圖形之間的對應還不適應，在教學時要使學生逐漸認識到一個解析式和一個圖形之間的對應關系，在正比例函數、反比例函數、二次函數的學習過程中使學生認識到具體的對應關系：一次函數與一條直線對應，反比例函數與雙曲線對應，一個關于x的二次函數與拋物線對應。通過這幾類特殊的函數的學習使學生不斷認識到圖像的作用，從而逐漸適應這種方法，體會到這種方法的優點：解析式準確簡潔，圖像形象直觀，通過數形結合法使學生認識到代數方法和幾何的方法各自的作用及相互結合的優點。

通過上面的分析可以看出：函數概念的學習既要有觀念上的轉變，又要具備更強的抽象思維能力，提高學生的抽象思維能力和學生的認識能力是使學生形成函數思想的基礎，所以教師在代數和幾何教學過程中要切實把提高學生的思維能力和認識能力作為一項重要任務，把知識傳授和思維能力培養有機結合起來，既促進學生形成知識結構，又使學生形成相應的能力結構，實現觀念的轉變。這就要求教師要從整體上把握教材，有一個整體教學計劃，使教學活動成為一個有機整體，這樣才能在教學活動中真正有效的提高學生的素質。

初中三角函數概念及理解第 4 篇

教材分析：函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型．高中階段不僅把函數看成變量之間的依賴關系，同時還用*與對應的語言刻畫函數，高中階段更注重函數模型化的思想．

教學目的：

（1）通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用*與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；

（2）了解構成函數的要素；

（3）會求一些簡單函數的定義域和值域；

教學重點：理解函數的模型化思想，用合與對應的語言來刻畫函數；

教學難點：符號“y=f(x)”的含義，函數定義域和值域的區間表示；

教學過程：

一、引入課題

1.復習初中所學函數的概念，強調函數的模型化思想；

2.閱讀課本引例，體會函數是描述客觀事物變化規律的數學模型的思想：

（1）**的*高與時間的變化關系問題；

（2）南極臭氧空洞面積與時間的變化關系問題；

（3）“八五”計劃以來我國城鎮居民的恩格爾系數與時間的變化關系問題

備用實例：

我國20xx年4月份*疫情統計：