這是掌握與三角形有關的角，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

掌握與三角形有關的角第 1 篇

　　知識點總結

　　一、三角形的有關概念

　　1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫三角形。

　　三角形的特征：①不在同一直線上;②三條線段;③首尾順次相接;④三角形具有穩定性。

　　2.三角形中的三條重要線段：角平分線、中線、高

　　(1)角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的`對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

　　(2)中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。

　　(3)高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。

　　說明：①三角形的角平分線、中線、高都是線段;

　　②三角形的角平分線、中線都在三角形內部且都交于一點;三角形的高可能在三角形的內部(銳角三角形)、外部(鈍角三角形)，也可能在邊上(直角三角形)，它們(或延長線)相交于一點。

　　二、三角形的邊和角

　　三邊關系：三角形中任意兩邊之和大于第三邊。

　　由三邊關系可以推出：三角形任意兩邊之差小于第三邊。

　　三、三角形內、外角的關系

　　1.三角形的內角和等于180°。

　　2.直角三角形的兩個銳角互余。

　　3.三角形的一外角等于和它不相鄰的兩個內角之和，三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。

　　4.三角形的外角和為360°。

　　四、等腰三角形與直角三角形:

　　1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形，相等的兩邊叫做等腰三角形的腰，三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形(或正三角形)。

　　說明：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況。

　　2.直角三角形：有一個角是直角的三角形是直角三角形，它的兩個銳角互余。

　　五、三角形的分類：

　　2.性質：等底等高的三角形面積相等。

掌握與三角形有關的角第 2 篇

一、三角形內角和定理

三角形三個內角的和等于180°這里常見的考法就是，進行與角有關的計算。一般題型為：已知一個三角形中某些角的度數，求其他角的度數，或證明與角有關的等式成立。這類題目的解題思路：在三角形中，求角的度數問題是非常常見的問題，計算時主要利用三角形的內角和定理、三角形的外角性質及直角三角形中兩銳角互余的性質。解決形如“已知三角形中某些角的度數或數量關系，求未知角的問題基本步驟是：①將未知角放入三角形中，利用內角和定理用其他角表示未知量；②利用條件，將其他角用已知角表示，直到所有表達式中的角的度數已知；③代入已知角的度數求出未知角。

例題1：（1）、在?ABC中，若∠A=70°，∠C=30°,則∠B=

（2）、若∠A=70°，∠B=∠C,則∠C=

分析：本題就是利用三角形內角和求解其他角的度數。（1）中，180°-70°-30°=80°；（2）中，已知∠B=∠C，則∠B=∠C=（180°-70°）/2 = 55°

這里除了求角的度數，考試中還經常考證明三角形內角和定理，定理證明的一般思路是，要證明三角形的內角和為180°就是要把三角形的三個內角轉化成滿足大小為180°的情況，滿足大小為180°的情況有：①平角，②一組鄰補角的和，③平行線間一對同旁內角的和，而在證明的過程中，構建平行線是問題轉化的橋梁。

二、直角三角形的性質和判定

性質：直角三角形的兩個銳角互余。判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形。對于直角三角形同學們一定掌握，是后面學習的重點。而與直角三角形有三個重要的結論，大家也一定要牢記。

三、三角形的外角

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。三角形外角的性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。①三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角，所以三角形共有六個外角，通常每個頂點處取一個外角。因為三角形的每個外角和與它相鄰的內角是鄰補角，由三角形的內角和是180°,可推出三角形的三個外角和是360°。②三角形內角和定理與三角形外角的性質是角的有關計算及推理論證時經常使用的理論依據。外角定理常用的四個用途：(1)已知外角與和它不相鄰的兩個內角中的任意兩個可求“另一個”(2)利用推論可證一個角為另兩個角的和(3)利用三角形內角和定理作為中間關系式證明兩個角相等.(4)可以證明兩角的不等關系.

利用三角形的外角性質，求角的度數或相互關系的解題步驟：1、確定三角形的內角及相關的外角；2、利用三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內角比較角的大小；3、利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，以及外角和求解角的大小。

四、平行線與三角形外角定理

本節中除了單獨考察以外，還會結合之前學的平行線進行綜合考察。而利用平行線的性質與三角形外角定理的解題步驟一般是：1、認真審題，看圖、結合圖形理順已知條件和求解結論。2、根據平行線的性質和三角形內（外）角定理，把分散的角聚在一起。常用的方法是：尋找橋梁，即某一個角可能是平行線中的某一個已知的同位角，內錯角或同旁內角，同時這個角也可能是某一個三角形中的外角或內角。3.結合橋梁和條件，求出所需結論。

三角形這一部分，考試題的難度還是比較大的，因此同學們在掌握解題方法思路之后，一定要多做練習，才能夠真正掌握這部分的內容，加油

掌握與三角形有關的角第 3 篇

1教學目標

【知識與技能】掌握三角形的外角概念和性質，學會運用簡單的說理來計算三角形相關的角。

【過程與方法】采取探索、交流的方式掌握三角形外角的性質。

【情感態度與價值觀】培養學生的觀察總結能力，體驗主動探究的成功和快樂。

2學情分析

本班學生基礎知識較低，平面幾何的分析、觀察能力較欠缺。對于推理、論證掌握較差，因此在學習這節內容時，可能會出現找不到外角的情況。另外，也會出現知道是什么道理，但是說不清楚寫不出來的情況。

3重點難點

【教學重點】三角形外角的性質。

【教學難點】運用三角形的性質進行有關計算，能表達推理的過程和方法。

4教學過程 4.1第一學時 教學活動 活動1【導入】復習

1.三角形有幾個內角？三角形的內角和是多少？（有三個內角，內角和是180°）

2.在△ABC中，

（1）∠C=90°，∠A=30 °，則∠B=____；

（2）∠A=50°，∠B=∠C，則∠B=_____.

3.在△ＡＢＣ中，∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４則∠Ａ＝ ，∠Ｂ＝ ，∠Ｃ＝ 。

活動2【講授】感受新知

1.畫圖把△ＡＢＣ的一邊BC延長到D,得到∠ACD,它是三角形的內角嗎？（圖形見素材1）

2.觀察∠ACD的特征：（1）∠ACD的頂點是 ，（2）一邊AC是 ，（3）另一邊DC是 ，（4）它在△ＡＢＣ的 。

3.歸納定義：

三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角。

4、思考：畫一個△ABC，你能畫出它的所有外角嗎？請動手試一試．同時，想一想△ABC的外角一共有幾個？（6個，而且相同頂點的兩個外角相等）（圖形見素材2）

活動3【講授】探究新知

1.如圖（圖形見素材3）在△ＡＢＣ中，外角∠ACD與內角∠ACB在位置上有什么關系？度數呢？（是相鄰的，和為180°）請同學們再任意畫一個△ＡＢＣ的外角，看看它與相鄰的內角是不是還存在這樣的關系？你能用一句話概括嗎？（三角形的一個外角與它相鄰的內角互補）

2.如圖（圖形見素材3），在△ＡＢＣ中，∠A=70°, ∠B=60°, ∠ACD是△ＡＢＣ的一個外角，你能求出∠ACD的大小嗎？如果∠A=110°, ∠B=40°呢？你能看出∠ACD與∠A，∠B的關系嗎？（∠ACD等于∠A于∠B的和）

3.任意一個三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內角是否都有這種關系？你能證明嗎？（提示：回憶證明三角形內角和的方法）（圖形見素材4）

已知：如圖，在△ＡＢＣ中，∠ACD是一個外角。

求證：∠ACD=∠A+∠B

證明1：∵∠A+∠B+∠ACB=180°

∴∠ACB=180°–（∠A+∠B）

∵∠ACB+∠ACD=180°

∴∠ACB=180°–∠ACD

∴∠ACD=∠A+∠B

證明2：過點C作CE//AB,則

∠A=∠ACE, ∠B=∠ECD

∵∠ACD=∠ACE+∠ECD

∴∠ACD=∠A+∠B

4.用>、<填空。（圖形見素材5）

∠ACD ∠A ∠ACD ∠B

5.歸納結論

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。

6.議一議：如圖（圖形見素材6），∠1,∠2,∠3是△ＡＢＣ的三個外角，它們的和是多少？

解：∠1＋ ∠BAC=180°

∠2＋ ∠ABC=180°

∠3＋ ∠ACB=180°

三個式子相加得到

∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°

而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°

∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°

7、三角形的內角和等于360°。

活動4【練習】練習

1.判斷題(見課件第11頁)

（1）三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）

（2）三角形的外角和等于它內角和的2倍。（ ）

（3）三角形的一個外角等于兩個內角的和。（ ）

（4）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。（ ）

（5）三角形的一個外角大于任何一個內角。（ ）

（6）三角形的一個內角小于任何一個與它不相鄰的外角。（ ）

2.說出下列圖形中∠1與∠2的度數。(見課件第12頁)

3.把圖中的∠1、∠2、∠3按從大到小的順序排列。(見課件第13頁)

4.已知圖中∠A、 ∠B、 ∠C分別為80°， 20° ， 30° ，求∠1的度數.(見課件第14頁)

5.求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數。(見課件第15頁)

6.求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度數.(見課件第16頁)

活動5【講授】小結

今天你學到了什么？

1.三角形的一個外角與它相鄰的內角互補；

2.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；

3.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角

4.三角形的外角和等于360º。

活動6【作業】作業

必做：課本第76頁習題11.2第4、5、6、8、9題。

選做：課本第77頁習題11.2第10題.

【板書設計】

7.2.2三角形的外角

1.三角形外角的定義

2.三角形外角的性質

（1）三角形的一個外角與它相鄰的內角互補

∠ACD+∠ACB=180º

（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和

∠ACD=∠BAC+∠ABC

（3）三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角

∠ACD＞∠BAC, ∠ACD＞∠ABC

（4）三角形的外角和等于360º

∠ACD+∠BAE+∠CBF=360º

11.2　與三角形有關的角

課時設計 課堂實錄

11.2　與三角形有關的角

1第一學時 教學活動 活動1【導入】復習

1.三角形有幾個內角？三角形的內角和是多少？（有三個內角，內角和是180°）

2.在△ABC中，

（1）∠C=90°，∠A=30 °，則∠B=____；

（2）∠A=50°，∠B=∠C，則∠B=_____.

3.在△ＡＢＣ中，∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４則∠Ａ＝ ，∠Ｂ＝ ，∠Ｃ＝ 。

活動2【講授】感受新知

1.畫圖把△ＡＢＣ的一邊BC延長到D,得到∠ACD,它是三角形的內角嗎？（圖形見素材1）

2.觀察∠ACD的特征：（1）∠ACD的頂點是 ，（2）一邊AC是 ，（3）另一邊DC是 ，（4）它在△ＡＢＣ的 。

3.歸納定義：

三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角。

4、思考：畫一個△ABC，你能畫出它的所有外角嗎？請動手試一試．同時，想一想△ABC的外角一共有幾個？（6個，而且相同頂點的兩個外角相等）（圖形見素材2）

活動3【講授】探究新知

1.如圖（圖形見素材3）在△ＡＢＣ中，外角∠ACD與內角∠ACB在位置上有什么關系？度數呢？（是相鄰的，和為180°）請同學們再任意畫一個△ＡＢＣ的外角，看看它與相鄰的內角是不是還存在這樣的關系？你能用一句話概括嗎？（三角形的一個外角與它相鄰的內角互補）

2.如圖（圖形見素材3），在△ＡＢＣ中，∠A=70°, ∠B=60°, ∠ACD是△ＡＢＣ的一個外角，你能求出∠ACD的大小嗎？如果∠A=110°, ∠B=40°呢？你能看出∠ACD與∠A，∠B的關系嗎？（∠ACD等于∠A于∠B的和）

3.任意一個三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內角是否都有這種關系？你能證明嗎？（提示：回憶證明三角形內角和的方法）（圖形見素材4）

已知：如圖，在△ＡＢＣ中，∠ACD是一個外角。

求證：∠ACD=∠A+∠B

證明1：∵∠A+∠B+∠ACB=180°

∴∠ACB=180°–（∠A+∠B）

∵∠ACB+∠ACD=180°

∴∠ACB=180°–∠ACD

∴∠ACD=∠A+∠B

證明2：過點C作CE//AB,則

∠A=∠ACE, ∠B=∠ECD

∵∠ACD=∠ACE+∠ECD

∴∠ACD=∠A+∠B

4.用>、<填空。（圖形見素材5）

∠ACD ∠A ∠ACD ∠B

5.歸納結論

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。

6.議一議：如圖（圖形見素材6），∠1,∠2,∠3是△ＡＢＣ的三個外角，它們的和是多少？

解：∠1＋ ∠BAC=180°

∠2＋ ∠ABC=180°

∠3＋ ∠ACB=180°

三個式子相加得到

∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°

而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°

∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°

7、三角形的內角和等于360°。

活動4【練習】練習

1.判斷題(見課件第11頁)

（1）三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）

（2）三角形的外角和等于它內角和的2倍。（ ）

（3）三角形的一個外角等于兩個內角的和。（ ）

（4）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。（ ）

（5）三角形的一個外角大于任何一個內角。（ ）

（6）三角形的一個內角小于任何一個與它不相鄰的外角。（ ）

2.說出下列圖形中∠1與∠2的度數。(見課件第12頁)

3.把圖中的∠1、∠2、∠3按從大到小的順序排列。(見課件第13頁)

4.已知圖中∠A、 ∠B、 ∠C分別為80°， 20° ， 30° ，求∠1的度數.(見課件第14頁)

5.求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數。(見課件第15頁)

6.求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度數.(見課件第16頁)

活動5【講授】小結

今天你學到了什么？

1.三角形的一個外角與它相鄰的內角互補；

2.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；

3.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角

4.三角形的外角和等于360º。

活動6【作業】作業

必做：課本第76頁習題11.2第4、5、6、8、9題。

選做：課本第77頁習題11.2第10題.

【板書設計】

7.2.2三角形的外角

1.三角形外角的定義

2.三角形外角的性質

（1）三角形的一個外角與它相鄰的內角互補

∠ACD+∠ACB=180º

（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和

∠ACD=∠BAC+∠ABC

（3）三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角

∠ACD＞∠BAC, ∠ACD＞∠ABC

（4）三角形的外角和等于360º

∠ACD+∠BAE+∠CBF=360º

掌握與三角形有關的角第 4 篇

　　教學目標：

　　1、知識與技能：

　　(1)掌握三角形內角和定理證明及其簡單應用;

　　(2)掌握三角形的外角的定義、三角形外角性質定理及其推論的證明和靈活運用。

　　2、過程與方法：通過動手操作探索三角形三個內角的和，運用三角形內角和定理解決實際問題;探究三角形外角的性質定理，能夠運用三角形的外角性質定理解決實際問題;經歷小組協作討論，進一步發展合作交流的能力和數學表達能力。

　　3、情感、態度與價值觀：養成獨立觀察思考的習慣，感受數學學習中轉化的巧妙。

　　教學重點：

　　(1)三角形內角和定理;

　　(2)三角形的外角的定義，三角形外角的性質定理及其推論。

　　教學難點：

　　(1)三角形內角和定理的證明;

　　(2)三角形外角性質定理和推論及其應用。

　　教學方法：引導發現法、嘗試探究法。

　　教學過程：

　　一、創設情境，導入新課：

　　前面我們學習了三角形的邊，今天這節課我們將學習與三角形有關的角。 我們已經知道，任意一個三角形的三個內角和等于180°。雖然度量的方法可以驗證一些具體的`三角形的內角和等于180°，但是形狀不同的三角形有無數個，我們不可能用度量的方法一一驗證。接下來我們將一起探索并證明三角形的三個內角和是180°。

　　二、合作交流，解讀探究：

　　1、拼圖實驗：

　　(1)教師展示圖(1)的拼法，并利用此拼圖證明三角形內角和定理。

　　(2)分析拼圖：在圖(1)中，由內錯角相等可得，移動后∠B的一條邊平行于邊BC;同理，移動后∠C的一條邊平行于邊BC。由“經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”可得，移動后∠B的一條邊和移動后∠C的一條邊在同一條直線上，并且這條直線平行于邊BC。

　　(3)提問：通過上面的分析，你能想出證明“三角形內角和等于180°”的方法嗎?

　　由上面的分析，啟發學生過△ABC的頂點A作直線?∥BC,即可實現“角的拼合”，再利用平行線的性質與平角的定義進行證明。

　　(4)指導學生寫出已知、求證、證明過程，規范證明格式。

　　已知：如圖，△ABC 求證：∠A+∠B+∠C=180° 證明：過A點作直線DE∥BC ∵DE∥BC

　　∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C(兩直線平行，內錯角相等) ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°(平角的定義) ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換)

　　應指出輔助線通常畫為虛線,并在證明前交代說明。

　　(5)每個學生把課前準備好的三角形紙片的兩個內角剪下，和第三個內角拼在一起。

　　讓學生展示自己的拼法。

　　(6)學生口述利用圖(2)證明的過程。

　　已知：如圖，△ABC 求證：∠A+∠B+∠C=180°

　　證明：作BC的延長線CD，過點C作射線CE∥BA ∵CE∥BA

　　∴∠B=∠ECD(兩直線平行，同位角相等) ∠A=∠ACE(兩直線平行，內錯角相等) ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定義) ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換)

　　C

　　D

　　C

　　D

　　A

　　E

　　2、小結證明思路：通過作平行線“搬兩個角”，運用平行線的性質和平角的定義證明。

　　3、發散思考：在證明三角形內角和定理時，可以“搬兩個角”來說理。如果只“搬一個角”行嗎? “搬三個角”呢?這個問題留給同學們在課后研討。

　　4、三角形內角和定理：三角形內角和等于180°。

　　5、鞏固練習：

　　說出下列圖形中∠1的度數：

　　(2)

　　6、外角：

　　(1)定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

　　如圖，∠ACD是△ABC的一個外角。

　　問題：①一個三角形一共有幾個外角?

　　②判斷下面圖形中∠1是不是三角形的外角?

　　(2)性質定理及其推論：

　　(1)

　　B

　　(2)

　　推導：由∠A+∠B+∠ACB=180°，可得∠ACB=180°-∠A-∠B 由∠ACB+∠ACD=180°，可得∠ACD=180°-∠ACB

　　所以 ∠ACD=180°-∠ACB=180°-(180°-∠A-∠B)=∠A+∠B 性質定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。 推論：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。 (3)鞏固練習：說出下列圖形中∠1和∠2的度數：

　　D

　　北

　　(2)

　　(1)

　　三、應用舉例：

　　例1 如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度?

　　解：由題意可知 ∠1=50°，∠1+∠2=80°，∠4=40°

　　所以 ∠2=30°

　　由AD∥BE，可得∠1 +∠2+∠3+∠4=180°。

　　所以∠3=180°-∠1-∠2-∠4=180°-50°-30°-40°=60°

　　在⊿ABC中，∠ACB=180°-∠2-∠3=180°-60°-30 °=90° 答：從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°。 提問：你還能想出其他的解法嗎?其他解題思路：

　　(1)如圖1，過點C作AD的垂線，交直線AD于點M，交直線BE于點N。 (2)如圖2，過點C作CF∥AD。

　　圖1

　　北

　　F

　　D

　　北例2 如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少?

　　解：如圖，因為∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，

　　(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和) 所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)， 因為 ∠1+∠2+∠3=180°，

　　所以 ∠BAE +∠CBF+∠ACD=360°。

　　提問：你還能想出其他的解法嗎?(利用平角的定義) 歸納結論：三角形的外角和等于360°。

　　四、課堂小結：通過本節課的學習，你有哪些收獲?

　　五、布置作業：1、必做題：教材P76 習題7.2 第1、4、7題。 2、選做題：

　　(1)已知：P是△ABC內一點。

　　求證：∠BPC>∠BAC

　　(2)已知：在△ABC中，AD是BC邊上的高，E

　　是AC邊上一點，BE與AD交于點F，∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠AFB=120°。

　　求證：BE⊥AC

　　B