這是不等式的基本性質微課教案，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

不等式的基本性質微課教案第 1 篇

不等式

1、若正數x ，y 滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是

12、若a ，b 為實數，則“0

A ．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

223、若實數x ，y 滿足x ＋y ＋xy ＝1，則x ＋y 的最大值是________．

4. 若正實數X ，Y 滿足2X+Y+6=XY ， 則XY 的最小值是

5、設正實數x , y , z 滿足x -3xy +4y -z =0, 則當22z 取得最大值時, x +2y -z 的最大值為 xy

6、設0

a ＋b a ＋b a ＋b a ＋b A．a ＜b ＜＜ B．a ＜ab ＜＜b C ．a ＜ab ＜b ＜ab ＜a ＜b 2222

147、已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，則y ＝的最小值是 a b

8. 已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是

9. 設a ＞b ＞0，則a +211+的最小值是 ab a a -b 11++a b 10. 已知a >0, b >

0，則

1a 11．已知不等式(x+y)(≥9對任意正實數x,y 恒成立, 則正實數a 的最小值為 x y

212、設0≤α≤π, 不等式8x -(8sinα) x +cos2α≥0對x ∈R 恒成立, 則a 的取值范圍為_________.

13、設a + b = 2, b >0, 則

1|a |的最小值為______. +2|a |b

a 2

≥a +1對一切正實數x 成立, 則a 的取值范圍為_____ 14、設常數a >0, 若9x +x

215、已知關于x 的不等式x -ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，則實數a 的取值范圍是_______

16、設a , b 為正實數，現有下列命題：

①若a -b =1，則a -b

③若=1，則|a -b |

④若|a 3-b 3|=1，則|a -b |

2??21??117、設x ，y ∈R ，且xy ≠0，則 x ＋2? 2＋4y ?的最小值為________． ?y ??x ?

2218、設x ，y 為實數，若4x ＋y ＋xy ＝1，則2x ＋y 的最大值是________．

19. 若對任意x >0,

x ≤a 恒成立，則a 的取值范圍是 x 2+3x +1

y 2

20. 已知x , y , z ∈R ，x -2y +3z =0，則的最小值 ． xz +

不等式的基本性質微課教案第 2 篇

　　1.理解并掌握不等式的概念及性質;(重點)

　　2.會用不等式表示簡單問題的數量關系.(重點、難點)

　　一、情境導入

　　有一群猴子，一天結伴去摘桃子.分桃子時，如果每只猴子分3個，那么還剩下59個;如果每只猴子分5個，那么最后一只猴子分得的桃子不夠5個.你知道有幾只猴子，幾個桃子嗎?

　　二、合作探究

　　探究點一：不等式

　　【類型一】 不等式的概念

　　下列各式中：①-3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x2+xy+y2;⑤x≠5;⑥x+2>y+3.不等式的個數有(

　　)

　　A.5個 B.4個 C.3個 D.1個

　　解析：③是等式，④是代數式，沒有不等關系，所以不是不等式.不等式有①②⑤⑥，共4個.故選B.

　　方法總結：本題考查不等式的判定，一般用不等號表示不相等關系的式子是不等式.解答此類題的關鍵是要識別常見不等號：>，<，≤，≥，≠.如果式子中沒有這些不等號，就不是不等式.

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第1題

　　【類型二】 用不等式表示數量關系

　　根據下列數量關系，列出不等式：

　　(1)x與2的和是負數;

　　(2)m與1的相反數的和是非負數;

　　(3)a與-2的差不大于它的3倍;

　　(4)a，b兩數的平方和不小于它們的積的兩倍.

　　解析：(1)負數即小于0;(2)非負數即大于或等于0;(3)不大于就是小于或等于;(4)不小于就是大于或等于.

　　解：(1)x+2<0;

　　(2)m-1≥0;

　　(3)a+2≤3a;

　　(4)a2+b2≥2ab.

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第5題

　　【類型三】 實際問題中的不等式

　　亮亮準備用自己節省的零花錢買一臺學生平板電腦.他現在已存有55元，計劃從現在起以后每個月節省20元，知道他至少需要350元，則可以用于計算所需要的月數x的不等式是(

　　)

　　A.20x-55≥350 B.20x+55≥350

　　C.20x-55≤350 D.20x+55≤350

　　解析：此題中的不等關系：現在已存有55元，計劃從現在起以后每個月節省20元，知道他至少需要350元.列出不等式20x+55≥350.故選B.

　　方法總結：用不等式表示實際問題中數量關系時，要找準題干中表示不等關系的兩個量，并用代數式表示;正確理解題中的關鍵詞，如大于、不大于、小于、不小于、不足、不超過、至少、至多等的含義.

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第4題

　　探究點二：不等式的性質

　　【類型一】 比較代數式的大小

　　根據不等式的性質，下列變形正確的是(

　　)

　　A.由a>b得ac2>bc2

　　B.由ac2>bc2得a>b

　　C.由-12a>2得a<2

　　D.由2x+1>x得x<-1

　　解析：A中a>b，c=0時，ac2=bc2，故A錯誤;B中不等式的兩邊都乘以或除以同一個正數，不等號的符號不改變，故B正確;C中不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變，右邊也應乘以-2，故C錯誤;D中不等式的兩邊都加或減同一個整式，不等號的方向不變，故D錯誤.故選B.

　　方法總結：本題考查了不等式的性質，注意不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變.

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第2題

　　【類型二】 把不等式化成“x>a”或“x

　　把下列不等式化成“x>a”或“x

　　(1)2x-2<0;

　　(2)3x-9<6x;

　　(3)12x-2>32x-5.

　　解析：根據不等式的基本性質，把含未知數項放到不等式的左邊，常數項放到不等式的右邊，然后把系數化為1.

　　解：(1)根據不等式的基本性質1，兩邊都加上2得2x<2.根據不等式的基本性質2，兩邊除以2得x<1;

　　(2)根據不等式的基本性質1，兩邊都加上9-6x得-3x<9.根據不等式的基本性質3，兩邊都除以-3得x>-3;

　　(3)根據不等式的基本性質1，兩邊都加上2-32x得-x>-3.根據不等式的基本性質3，兩邊都除以-1得x<3.

　　方法總結：運用不等式的基本性質進行變形，把不等式化成“x>a”或“x

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第7題

　　【類型三】 判斷不等式變形是否正確

　　如果不等式(a+1)x1，那么a必須滿足________.

　　解析：根據不等式的基本性質可判斷，a+1為負數，即a+1<0，可得a<-1.

　　方法總結：只有當不等式的兩邊都乘(或除以)一個負數時，不等號的方向才改變.

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第5題

　　三、板書設計

　　1.不等式

　　2.不等式的性質

　　性質1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式，不等號的方向不變;

　　性質2：不等式的兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變;

　　性質3：不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負數，不等號方向改變;

　　性質4：如果a>b，那么b

　　性質5：如果a>b，b>c，那么a>c.

　　本節課通過實際問題引入不等式，并用不等式表示數量關系.要注意常用的關鍵詞的含義：負數、非負數、正數、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超過，這些關鍵詞中如果含有“不”“非”等文字，一般應包括“=”，這也是學生容易出錯的地方。

不等式的基本性質微課教案第 3 篇

●考點目標定位

1.理解不等式的性質及應用.

2.掌握兩個（不擴展到三個）正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡單地應用.

3.掌握比較法、分析法、綜合法證明簡單的不等式.

4.掌握不等式的解法.

5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

●復習方略指南

本章內容在高考中，以考查不等式的性質、證明、解法和最值方面的應用為重點，多數是與函數、方程、三角、數列、幾何綜合在一起被考查，單獨考查不等式的問題較少，尤其是不等式的證明題.

借助不等式的性質及證明，主要考查函數方程思想、等價轉化思想、數形結合思想及分類討論思想等數學思想方法.含參數不等式的解法與討論，不等式與函數、數列、三角等內容的綜合問題，仍將是今后高考命題的熱點.

本章內容理論性強，知識覆蓋面廣，因此復習中應注意：

1.復習不等式的性質時，要克服“想當然”和“顯然成立”的思維定勢，要以比較準則和實數的運算法則為依據.

2.不等式的證明方法除比較法、分析法、綜合法外，還有反證法、換元法、判別式法、構造法、幾何法，這些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧賓奪主.

3.解（證）某些不等式時，要把函數的定義域、值域和單調性結合起來.

4.注意重要不等式和常用思想方法在解題中的作用.

5.利用平均值定理解決問題時，要注意滿足定理成立的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”.

6.對于含有絕對值的不等式（問題），要緊緊抓住絕對值的定義實質，充分利用絕對值的幾何意義.

7.要強化不等式的應用意識，同時要注意到不等式與函數方程的對比與聯系.

6.1 不等式的性質

●知識梳理

1.比較準則：a－b＞0a＞b；

a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.

2.基本性質：

（1）a＞bb＜a.

（2）a＞b，b＞ca＞c.

（3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d.

（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；

a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.

（5）a＞b＞0＞（n∈N，n＞1）；

a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）.

3.要注意不等式性質成立的條件.例如，重要結論：a＞b，ab＞0＜，不能弱化條件得a＞b＜，也不能強化條件得a＞b＞0＜.

4.要正確處理帶等號的情況.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，當且僅當a=b且b=c時，才會有a=c.

5.性質

（3）的推論以及性質

（4）的推論可以推廣到兩個以上的同向不等式.

6.性質

（5）中的指數n可以推廣到任意正數的情形.

特別提示

不等式的性質從形式上可分兩類：一類是“”型；另一類是“”型.要注意二者的區別.

●點擊雙基

1.若a＜b＜0，則下列不等式不能成立的是

A.＞ B.2a＞2b

C.|a|＞|b| D.（）a＞（）b

解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a·＜b·，即＞成立；

由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.

又（）x是減函數，所以（）a＞（）b成立.

故不成立的是B.

答案：B

2.（春季北京，7）已知三個不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均為實數），用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結論組成一個命題，可組成的正確命題的個數是

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出

－＞0.

bc－ad＞0，兩端同除以ab，得－＞0.

同樣由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0.

ab＞0.

答案：D

3.設α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范圍是

A.（0，） B.（－，）

C.（0，π） D.（－，π）

解析：由題設得0＜2α＜π，0≤≤.

∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π.

4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，則，，，的由大到小的順序是____________.

解析：特殊值法即可

答案：＞＞＞

5.設a=2－，b=－2，c=5－2，則a、b、c之間的大小關系為____________.

解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.

c=5－2=－＞0.

b－c=3－7=－＜0.

∴c＞b＞a.

答案：c＞b＞a

●典例剖析

【例1】 已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范圍.

剖析：∵a+b，a－b的范圍已知，

∴要求2a+3b的取值范圍，

只需將2a+3b用已知量a+b，a－b表示出來.

可設2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系數法求出x、y.

解：設2a+3b=x（a+b）+y（a－b），

∴解得

∴－＜（a+b）＜，

－2＜－（a－b）＜－1.

∴－＜（a+b）－（a－b）＜，

即－＜2a+3b＜.

評述：解此題常見錯誤是：－1＜a+b＜3，

①2＜a－b＜4.

②①+

②得1＜2a＜7.

③由

②得－4＜b－a＜－2.

④④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜.

⑤

③+

⑤得－＜2a+3b＜.

思考討論

1.評述中解法錯在何處

2.該類問題用線性規劃能解嗎并試著解決如下問題：

已知函數f（x）=ax2－c，滿足－4≤f

（1）≤－1，－1≤f

（2）≤5，求f

（3）的最大值和最小值.

答案：20 －1

【例2】 （福建，3）命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要條件；命題q：函數y=的定義域是（－∞，－1］∪［3，+∞），則

A.“p或q”為假 B.“p且q”為真

C. p真q假 D. p假q真

剖析：只需弄清命題p、q的真假即可.

解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1，

而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命題p為假.

又函數y=的定義域為|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2.

∴x≤－1或x≥3.∴q為真.

【例3】 比較1+logx3與2logx2（x＞0且x≠1）的大小.

剖析：由于要比較的兩個數都是對數，我們聯系到對數的性質，以及對數函數的單調性.

解：（1+logx3）－2logx2=logx.

當或

即0＜x＜1或x＞時，

有logx＞0，1+logx3＞2logx2.

當

①或

②時，logx＜0.

解

①得無解，解

②得1＜x＜，

即當1＜x＜時，有logx＜0，

1+logx3＜2logx2.

當x=1，即x=時，有logx=0.

∴1+logx3=2logx2.

綜上所述，當0＜x＜1或x＞時，1+logx3＞2logx2；

當1＜x＜時，1+logx3＜2logx2；

當x=時，1+logx3=2logx2.

評述：作差看符號是比較兩數大小的常用方法，在分類討論時，要做到不重復、不遺漏.

深化拓展

函數f（x）=x2+（b－1）x+c的圖象與x軸交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.當t＜x1時，比較t2+bt+c與x1的大小.

提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2），

∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x.

把t2+bt+c與x1作差即可.

答案：t2+bt+c＞x1.

●闖關訓練

夯實基礎

1.（遼寧，2）對于0＜a＜1，給出下列四個不等式：

①loga（1+a）＜loga（1+）；

②loga（1+a）＞loga（1+）；

③a1+a＜a1；

④a1+a＞a.其中成立的是

A.

③ B.

④ C.

③ D.

解析：∵0＜a＜1，∴a＜，從而1+a＜1+.

∴loga（1+a）＞loga（1+）.

又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.

故

②與

④成立.

2.若p=a+（a＞2），q=2，則

A.p＞q B.p＜q C.p≥q D.p≤q

解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.

答案：A

3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，C=，D=則A、B、C、D按從小到大的順序排列起來是____________.

解析：取特殊值a=－，計算可得A=，B=，C=，D=.

∴D＜B＜A＜C.

答案：D＜B＜A＜C

4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍是____________.

解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.

∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.

答案：（－3，3）

5.已知a＞2，b＞2，試比較a+b與ab的大小.

解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1，

又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.

∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.

∴ab＞a+b.

6.設A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，當x∈R+，n∈N時，求證：A≥B.

證明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）

=x－n（x2n+1－x2n－1－x）

=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］

=x－n（x－1）（x2n－1－1）.

由x∈R+，x－n＞0，得

當x≥1時，x－1≥0，x2n－1－1≥0；

當x＜1時，x－1＜0，x2n－1＜0，即

x－1與x2n－1－1同號.∴A－B≥0.∴A≥B.

培養能力

7.設0＜x＜1，a＞0且a≠，試比較|log3a（1－x）3|與|log3a（1+x）3|的大小.

解：∵0＜x＜1，∴

①當3a＞1，即a＞時，

|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|

=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|

=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］

=－3log3a（1－x2）.

∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.

②當0＜3a＜1，即0＜a＜時，

=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］

=3log3a（1－x2）＞0.

綜上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.

8.設a1≈，令a2=1+.

（1）證明介于a

1、a2之間；

（2）求a

1、a2中哪一個更接近于；

（3）你能設計一個比a2更接近于的一個a3嗎？并說明理由.

（1）證明：（－a1）（－a2）=（－a1）· （－1－）=＜0.

∴介于a

1、a2之間.

（2）解：|－a2|=|－1－|

=||

=|－a1|＜|－a1|.

∴a2比a1更接近于.

（3）解：令a3=1+，

則a3比a2更接近于.

由

（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.

探究創新

9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比較（1+x）n與1+nx的大小.

解：設f（x）=（1+x）n－（1+nx），

則（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］.

由（x）=0得x=0.

當x∈（－1，0）時，（x）＜0，

f（x）在（－1，0）上遞減.

當x∈（0，+∞）時，（x）＞0，

f（x）在（0，+∞）上遞增.

∴x=0時，f（x）最小，最小值為0，即f（x）≥0.

∴（1+x）n≥1+nx.

評述：理科學生也可以用數學歸納法證明.

●思悟小結

1.不等式的性質是解、證不等式的基礎，對任意兩實數a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，這是比較兩數（式）大小的理論根據，也是學習不等式的基石.

2.一定要在理解的基礎上記準、記熟不等式的性質，并注意解題中靈活、準確地加以應用.

3.對兩個（或兩個以上）不等式同加（或同乘）時一定要注意不等式是否同向（且大于零）.

4.對于含參問題的大小比較要注意分類討論.

●教師下載中心

教學點睛

1.加強化歸意識，把比較大小問題轉化為實數的運算.

2.通過復習要強化不等式“運算”的條件.如a＞b、c＞d在什么條件下才能推出ac＞bd.

3.強化函數的性質在大小比較中的重要作用，加強知識間的聯系.

拓展題例

【例1】 已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）.

（1）比較m+n與0的大小；

（2）比較f（）與f（）的大小.

剖析：本題關鍵是如何去掉絕對值號，然后再判斷差的符號.

解：

（1）∵f（m）=f（n），

∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.

∴log22（m+1）=log22（n+1）.

∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0，

log2（m+1）（n+1）·log2=0.

∵m＜n，∴≠1.

∴log2（m+1）（n+1）=0.

∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.

當m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）時，

由函數y=f（x）的單調性知x∈（－1，0］時，f（x）為減函數，x∈［0，+∞）時，f（x）為增函數，f（m）≠f（n）.

∴－1＜m＜0，n＞0.∴m·n＜0.

∴m+n=－mn＞0.

（2）f（）=|log2|=－log2=log2，

f（）=|log2|=log2.

－=

=－＞0.

∴f（）＞f（）.

【例2】 某家庭準備利用假期到某地旅游，有甲、乙兩家旅行社提供兩種優惠方案，甲旅行社的方案是：如果戶主買全票一張，其余人可享受五五折優惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集體票，可按七五折優惠.如果甲、乙兩家旅行社的原價相同，請問該家庭選擇哪家旅行社外出旅游合算？

解：設該家庭除戶主外，還有x人參加旅游，甲、乙兩旅行社收費總金額分別為y1和y2.一張全票價格為a元，

那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.

∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）.

∴當x＞1.25時，y1＜y2；

當x＜1.25時，y1＞y2.又因x為正整數，

所以當x=1，即兩口之家應選擇乙旅行社；

當x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭應選擇甲旅行社.

不等式的基本性質微課教案第 4 篇

　　本文題目：高一數學不等式的教案

　　高一數學教案：不等式

　　第三章 不等式

　　第一教時

　　教材：不等式、不等式的綜合性質

　　目的：首先讓學生掌握不等式的一個等價關系，了解并會證明不等式的基本性質ⅠⅡ。

　　過程：

　　一、引入新課

　　1.世界上所有的事物不等是絕對的，相等是相對的。

　　2.過去我們已經接觸過許多不等式 從而提出課題

　　二、幾個與不等式有關的.名稱 (例略)

　　1.同向不等式與異向不等式

　　2.絕對不等式與矛盾不等式

　　三、不等式的一個等價關系(充要條件)

　　1.從實數與數軸上的點一一對應談起

　　2.應用：例一 比較 與 的大小

　　解：(取差)

　　例二 已知 0, 比較 與 的大小

　　解：(取差)

　　∵ 從而

　　小結：步驟：作差變形判斷結論

　　例三 比較大小1. 和

　　解：∵

　　∵

　　2. 和

　　解：(取差) ∵

　　當 時 當 時 = ;當 時

　　3.設 且 ， 比較 與 的大小

　　解：xx

　　當 時 當 時

　　四、不等式的性質

　　1.性質1：如果 ，那么 ;如果 ，那么 (對稱性)

　　證：∵ 由正數的相反數是負數

　　2.性質2：如果 ， 那么 (傳遞性)

　　證：∵ ， ，

　　∵兩個正數的和仍是正數

　　由對稱性、性質2可以表示為如果 且 那么

　　五、小結：1.不等式的概念 2.一個充要條件

　　3.性質1、2

　　補充題：1.若 ，比較 與 的大小

　　解： xx

　　2.比較2sin與sin2的大小(02)

　　略解：2sinsin2=2sin(1cos)

　　當(0,)時2sin(1cos)0 2sinsin2

　　當(,2)時2sin(1cos)0 2sin

　　3.設 且 比較 與 的大小