這是一元二次方程的近似解的求法，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

一元二次方程的近似解的求法第 1 篇

一、教學目標設計

1、教學目標

1．能用表格、關系式、圖象表示變量之間的二次函數關系，發展有條理地進行思考和語言表達的能力，并能根據具體問題，選取適當的方法表示變量之間的二次函數關系；

2．會作二次函數的圖象，并能根據圖象對二次函數的性質進行分析，并逐步積累研究一般函數性質的經驗；

3．能根據二次函數的表達式，確定二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標。

2、教學重點

能根據二次函數的表達式，確定二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標。

3、教學難點

會作二次函數的圖象，體會利用數形結合法解決函數問題的一般經驗

二、教學過程設計

本節課設計了七個教學環節：學習目標、復習二次函數的定義、復習二次函數的圖象和性質、二次函數關系式的三種表示方式、練習與提高、課堂小結、布置作業。

第一個環節：我們先了解一下今天的教學目標（初始教學課件）

1.理解二次函數的概念；

2.會用描點法畫出二次函數的圖象；

3.會用配方法和公式確定拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標；

4.體會數形結合思想在二次函數中的綜合運用。

第二個環節：復習二次函數的定義

定義：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常數,a≠ 0)的函數叫做x的二次函數. 解決方法：教師提示注意三點

1、下列函數中,哪些是二次函數？

(1)y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t²

(5)y=(x+3)²-x²

2、m為何值時，函數(2)y=x+(4)y=1x.1.2x-x是一個二次函數

3、

結合上題和定義設計一道讓別人 容易掉進的“陷阱題”

第三環節 復習二次函數的圖象和性質

1．二次函數的圖象和性質要點

（一）形如y=ax2(a≠0) 的二次函數

（二）形如y=ax2+k(a≠0) 的二次函數

（三）形如y=a(x-h)2( a≠0 ) 的二次函數

(四) 形如y=a(x-h)2+k(a ≠0) 的二次函數

(五)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質

2．二次函數的圖象和性質練習

（1）拋物線y = x 2的開口向 ,對稱軸是 ,頂點坐標是 ,圖象過第 象限

；

2（2)已知y = - nx (n＞0) , 則圖象 ( )（填“可能”或“不可能”）過點A（-2，3）。

2（3）拋物線y =x +3的開口向 ,對稱軸是 ,頂點坐標是 ,是由拋物線y =x 2向 平移 個單位得到的；

（4）已知（如圖）拋物線y = ax 2+k的圖象，則a 0，k 0；若圖象過A (0,-2) 和B (2,0) ，則a = ,k = ；函數關系式是y = 。

2（5）拋物線 y = 2 (x -0．5 ) +1 的開口向 , 對稱軸 , 頂點坐標是 （6）若拋物線y = a (x+m)

2+n開口向下，頂點在第四象限，則a 0, m 0, n 0。 解決方法：提問學生

設計目的：

通過對二次函數y=ax2、y=ax2+k、、y=a(x-h)2

、y=a(x-h)2+k、y=ax2+bx+c的圖象和性質的回顧、總結及練習，鞏固所學知識。

第四環節

一元二次方程的近似解的求法第 2 篇

教學內容：二次函數關系式的三種表示方式：一般式、頂點式、交點式。

解決方法：師生共同回顧

設計目的：

使學生會用表格、關系式、圖象多種方法表示二次函數，會用一般式、頂點式、兩根式表示二次函數關系式，并體會函數的各種表示之間的聯系和特點

第五環節

練習與提高

1、已知函數y=2（x-5)(x+3)與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C。求點A,B,C的坐標及對稱軸（要求用兩種方法解決）

2.已知二次函數y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0,請畫一個能反映這樣特征的二次函數草圖. 解決方法：教師提示，師生共同解決

設計目的：

通過不同的方法，鞏固所學知識，擴散學生思維，提高學生解決問題的能力。

第六環節

課堂小結

請學生總結回顧

第七環節

布置作業

課本復習題1－5

二次函數的回顧

一，

目標展示

二，

定義

三，

性質及圖像

四，

函數解析式的三種表示形式

五，

能力提高

六，

小結

一元二次方程的近似解的求法第 3 篇

教學目標

1、掌握二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點個數與一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情況之間的關系,會用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.

2、經歷探究二次函數與一元二次方程、一元二次不等式關系的過程,體會函數、方程、不等式之間的聯系.

3、進一步培養學生的綜合解題能力,掌握解決問題的方法,培養探究精神.

重點難點

【重點】

用函數圖象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.

【難點】

用數形結合的思想解方程及不等式. 教學準備

多媒體課件

教學過程

一、創設情境,導入新知

1、任意一次函數的圖象與x軸有幾個交點?

一個或不對,當直線與x軸平行時,沒有交點或還有一種情況,當直線與x軸重合時,有無數個交點.

師:同學們考慮得很周到!當一次函數的圖象與x軸有1個交點時,你能求出它與x軸交點的坐標嗎?比如一次函數y=2x-3,它的圖象與x軸交點的坐標是多少?

學生計算后回答.

二、共同探究,獲取新知

問題1、你猜想一下,二次函數的圖象與x軸可能會有幾個交點?我們可以借助什么來研究?

學生思考，借助二次函數的圖象.

教師多媒體課件出示:

二次函數y=x2+3x+2的圖象如圖所示,根據圖象回答問題:

1.它與x軸有公共點嗎?如果有,公共點的橫坐標是多少?

2.當x取公共點的橫坐標時,函數的值是多少?

3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根嗎?

4.方程x2+3x+2=0的解與交點的橫坐標有什么關系?

請同學們先畫出函數圖象,然后思考下面幾個問題.

學生作圖,教師巡視指導.

教師出示圖象:

學生觀察圖象后回答.

這個函數的圖象與x軸有公共點,公共點的橫坐標分別是-2和-1.這時函數值都為0,所以方程x2+3x+2=0的根為-2和-1.方程x2+3x+2=0的解與交點的橫坐標是一樣的.

同學們回答得很好!你能歸納出函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點個數的其他情況嗎?交點的個數與方程ax2+bx+c=0的根的個數有何關系呢?

學生思考,交流討論.

函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的個數與方程ax2+bx+c=0根的個數一樣,所以也有三種情況:令Δ=b2-4ac,當Δ>0時,函數圖象與x軸有兩個交點,方程有兩個根;當Δ=0時,函數圖象與x軸有一個交點,方程有兩個相等的根;當Δ<0時,函數圖象與x軸沒有交點,方程無解.

同學們回答得很好!所以我們有了求一元二次方程根的另一種方法,畫出二次函數的圖象,然后怎么確定方程的解呢?

二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程的解.

三、例題講解

【例】

用圖象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精確到0.1).

解:畫出函數y=x2+2x-1的圖象,如圖.

由圖象可知,方程有兩個實數根,一個在-3和-2之間,另一個在0和1之間.

先求位于-3和-2之間的根.由圖象可估計這個根是-2.5或-2.4,利用計算器進行探索,見下表:

x

y

…

…

-2.5

0.25

-2.4

-0.04

…

…

觀察上表可以發現,當x分別取-2.5和-2.4時,對應的y由正變負,可見在-2.5與-2.4之間肯定有一個x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一個根.題目只要求精確到0.1,這時取x=-2.5或x=-2.4作為根都符合要求.但當x=-2.4時,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故選x=-2.4.

同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之間精確到0.1的另一個根.

方程x2+2x-1=0的近似解還可以這樣求:分別畫出函數y=x2和y=-2x+1的圖象,如圖,它們的交點A、B的橫坐標就是方程x2+2x-1=0的根.

如有條件,可以在計算機上用《幾何畫板》處理.

四、練習新知

師:我這有幾個習題,現在讓我們一起來解決它們.

1.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點坐標分別為(1,0)、(-5,0),那么關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根分別是

.

【答案】x1=1,x2=-5

2.判斷下列二次函數的圖象與x軸有無交點.若有,求出交點的坐標;若沒有,請說明理由.

(1)y=2x2-5x+3;

(2)y=x2+3x+5;

(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.

【答案】(1)有交點,交點坐標為(1,0)、(,0);

(2)無交點,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;

(3)無交點,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;

(4)有交點,交點坐標為(4,0)、(-6,0).

3.已知二次函數y=kx2-3x-2的圖象與x軸有兩個交點,求k的取值范圍.

【答案】根據題意,得

解得k>-且k≠0.

五、繼續探究,層層推進

我們前面學習了一次函數與一元一次方程、一元一次不等式之間的關系,上面討論了二次函數與一元二次方程的關系,下面我們討論二次函數與一元二次不等式的關系.請同學們看教材。

學生看圖.

我們可以清楚地看到二次函數y=x2+3x+2的圖象被x軸分成三部分:一部分與x軸相交,一部分在x軸上方,一部分在x軸下方.在x軸上方或下方的意義是什么?

1:在x軸上方時,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以圖象在x軸上方的x的取值范圍就是不等式x2+3x+2>0的解集.

2:在x軸下方時,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以圖象在x軸下方的x的取值范圍就是不等式x2+3x+2<0的解集.

同學們很聰明!你現在就根據這個來完成課本第33頁練習的1、2.

學生做題,教師巡視指導,完成后集體訂正.

六、課堂小結

本節課你學習了什么內容?有什么收獲?

教學反思

學習這節內容要充分運用兩種思想方法: 1.

函數與方程的思想,用變量和函數來思考問題的方法就是函數思想,函數思想是函數概念、圖象和性質等知識更高層次的提煉和概括,是在知識和方法反復學習中抽象出的帶有觀念的指導方法. 2.

數形結合思想,在中學數學里,我們不可能把“數”和“形”完全孤立地割裂開,也就是說,代數問題可以幾何化,幾何問題也可以代數化,“數”和“形”在一定條件下可以相互轉化、相互滲透. 在學生理解二次函數與一元二次方程的聯系的基礎上,能夠運用二次函數及其圖象、性南去解決現實生活中的一些問題,進一步培養學生綜合解題的能力,在整個章節的學習過程中始終滲透數形結合的思想,更體現了學好數學的重要意義.

一元二次方程的近似解的求法第 4 篇

教學目標 2學情分析 3重點難點 4教學過程 4.1第一學時評論(0) 教學目標

1、 經歷方程解的探索過程，增進學生對方程的認識，發展估算意識和能力

2、 探究一元二次方程解的實際意義，能根據實際情況得出方程的符合實際意義的根。

評論(0) 教學重點

重點：一元二次方程解的探索.

評論(0) 學時難點

難點：一元二次方程近似解的探索.

教學活動 活動1【講授】活動一

一、知識回顧

1、什么是一元二次方程？_______________________________

2、運用前面所學的知識填空：

（1） 一元二次方程的一般形式為： ____________­___

（2） 把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數及常數項.

_________________

（3） 判斷下列方程哪些是一元二次方程？

①x2+4x+=0

②x2+3x－2= x2

③x2－2xy－3=0

④a x2+bx+c=0

___________________

二、探究新知（一）

探究以下問題

1.兩個連續奇數的積是323，求這兩個數.

2.用22cm長的鐵絲，折成一個面積為30cm2的矩形，求這個矩形的長與寬.

3.已知一個多邊形的對角線共有35條，這個多邊形是幾邊形？

4. 某電廠規定：用戶用電，如果一個月用了A度或A度以下，每度電為0.2元，如果一個月的用電量超過了A度，則超過部分每度電的電費按元計算，其余部分仍按每度電0.2元計算.如果該用戶四月份用電180度，交電費36元，五月份用電250度，交電費56元.問電廠規定的A度是多少度？

學以致用（一）

1.你會解下列一元二次方程嗎？

(1)x2－4=0； (2)x2+12x+40=5.

2.一小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足關系：h=15t－5t2,小球何時能達到10m高？

學以致用（二）

問題(1)在一問題中，矩形地毯花邊的寬x(m)滿足方程(8－2x)(5－2x)=18,也就是2x2－13x＋11=0.你能求出x嗎？

①x可能小于0嗎？說說你的理由。

②x可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？說說你的理由，并與同伴進行交流。

③完成下表：

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

2x2－13x+11

問題(2)，梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程(x+6)2+72=102,也就是x2+12x－15=0

⑴小明認為底端也滑動了1m，他的說法正確嗎？為什么？

⑵底端滑動的距離可能是2m嗎？可能是3m嗎？為什么？

⑶你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎？

⑷x的整數部分是幾？十分位是幾？

x

0

0.5

1

1.5

2

x2+12x－15

－15

－8.75

－2

5.25

13

所以1＜x＜1.5.

進一步計算：

x

1.1

1.2

1.3

1.4

x2+12x－15

－0.59

0.84

2.29

3.76

所以：1.1＜x＜1.2.

因此x的整數部分是1，十分位是1.

你的結果怎樣呢?

利用以上只是解決課本上的問題。

四、知識小結

1、本節學習的基本方法是_______________。

2、如何進行一元二次方程解的探索________________________________

五、診斷檢測 (一)

1、(1)方程x2=64的根是

(1)x2–4x+4=0的根是

(3)4x2–8x+4=0的根是

2、 關于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一個根是1，則m的值為 。

3、 已知二次三項式x2+2mx+4是一個完全平方式，則m= （）

4、 請寫出一個根為1，的一元二次方程是 。

5、下面是某同學在一次數學測驗中解答的填空題，其中答對的是（ ）

A、 若x2=4，則x=2 B、若3x2=6x，則x=2

C、 x2+x-k=0的一個根是1，則k=2

D、以上都不對

診斷檢測 (二)

1、方程（x+3）（x－3）=0的根的情況是（ ）

A、無實數根 B、有兩個不相等的實數根 C、兩根互為倒數 D、兩根互為相反數

2、如果關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x＝3與1，那么這個一元二次方程是（ ） A. x2+3x+4=0 B. x2-4x+3=0 C. x2+4x-3=0 D. x2 +3x-4=0

3、一個長方形的周長是30厘米，面積是54平方厘米，設長為X厘米。

（1）根據題意列出方程（ ）

（2）X 的值能小于7嗎？說明理由。

（3）X 能大于15嗎？說明理由。

診斷檢測 (一)答案：

1. (1)X=±8 ( 2). x=2 (3). x=1 2.M =-4 3. M = ±1

4. 2. x2+x-2=0(答案不唯一) 5. C

診斷檢測 (二) 答案：

1．B 2. B 3. (1) （15-x）x=54 (2)不能，因為是ｘ＝７時，則寬為８，面積為５６。

　　（3）不能，因為是ｘ＝１５時，矩形周長為３０則寬為０，就構不成矩形了。

六、作業布置 P33　 3 、　4、 5。

21.1 一元二次方程

課時設計 課堂實錄

21.1 一元二次方程

1第一學時 教學目標

1、 經歷方程解的探索過程，增進學生對方程的認識，發展估算意識和能力

2、 探究一元二次方程解的實際意義，能根據實際情況得出方程的符合實際意義的根。

教學重點

重點：一元二次方程解的探索.

學時難點

難點：一元二次方程近似解的探索.

教學活動 活動1【講授】活動一

一、知識回顧

1、什么是一元二次方程？_______________________________

2、運用前面所學的知識填空：

（1） 一元二次方程的一般形式為： ____________­___

（2） 把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數及常數項.

_________________

（3） 判斷下列方程哪些是一元二次方程？

①x2+4x+=0

②x2+3x－2= x2

③x2－2xy－3=0

④a x2+bx+c=0

___________________

二、探究新知（一）

探究以下問題

1.兩個連續奇數的積是323，求這兩個數.

2.用22cm長的鐵絲，折成一個面積為30cm2的矩形，求這個矩形的長與寬.

3.已知一個多邊形的對角線共有35條，這個多邊形是幾邊形？

4. 某電廠規定：用戶用電，如果一個月用了A度或A度以下，每度電為0.2元，如果一個月的用電量超過了A度，則超過部分每度電的電費按元計算，其余部分仍按每度電0.2元計算.如果該用戶四月份用電180度，交電費36元，五月份用電250度，交電費56元.問電廠規定的A度是多少度？

學以致用（一）

1.你會解下列一元二次方程嗎？

(1)x2－4=0； (2)x2+12x+40=5.

2.一小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足關系：h=15t－5t2,小球何時能達到10m高？

學以致用（二）

問題(1)在一問題中，矩形地毯花邊的寬x(m)滿足方程(8－2x)(5－2x)=18,也就是2x2－13x＋11=0.你能求出x嗎？

①x可能小于0嗎？說說你的理由。

②x可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？說說你的理由，并與同伴進行交流。

③完成下表：

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

2x2－13x+11

問題(2)，梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程(x+6)2+72=102,也就是x2+12x－15=0

⑴小明認為底端也滑動了1m，他的說法正確嗎？為什么？

⑵底端滑動的距離可能是2m嗎？可能是3m嗎？為什么？

⑶你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎？

⑷x的整數部分是幾？十分位是幾？

x

0

0.5

1

1.5

2

x2+12x－15

－15

－8.75

－2

5.25

13

所以1＜x＜1.5.

進一步計算：

x

1.1

1.2

1.3

1.4

x2+12x－15

－0.59

0.84

2.29

3.76

所以：1.1＜x＜1.2.

因此x的整數部分是1，十分位是1.

你的結果怎樣呢?

利用以上只是解決課本上的問題。

四、知識小結

1、本節學習的基本方法是_______________。

2、如何進行一元二次方程解的探索________________________________

五、診斷檢測 (一)

1、(1)方程x2=64的根是

(1)x2–4x+4=0的根是

(3)4x2–8x+4=0的根是

2、 關于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一個根是1，則m的值為 。

3、 已知二次三項式x2+2mx+4是一個完全平方式，則m= （）

4、 請寫出一個根為1，的一元二次方程是 。

5、下面是某同學在一次數學測驗中解答的填空題，其中答對的是（ ）

A、 若x2=4，則x=2 B、若3x2=6x，則x=2

C、 x2+x-k=0的一個根是1，則k=2

D、以上都不對

診斷檢測 (二)

1、方程（x+3）（x－3）=0的根的情況是（ ）

A、無實數根 B、有兩個不相等的實數根 C、兩根互為倒數 D、兩根互為相反數

2、如果關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x＝3與1，那么這個一元二次方程是（ ） A. x2+3x+4=0 B. x2-4x+3=0 C. x2+4x-3=0 D. x2 +3x-4=0

3、一個長方形的周長是30厘米，面積是54平方厘米，設長為X厘米。

（1）根據題意列出方程（ ）

（2）X 的值能小于7嗎？說明理由。

（3）X 能大于15嗎？說明理由。

診斷檢測 (一)答案：

1. (1)X=±8 ( 2). x=2 (3). x=1 2.M =-4 3. M = ±1

4. 2. x2+x-2=0(答案不唯一) 5. C

診斷檢測 (二) 答案：

1．B 2. B 3. (1) （15-x）x=54 (2)不能，因為是ｘ＝７時，則寬為８，面積為５６。

　　（3）不能，因為是ｘ＝１５時，矩形周長為３０則寬為０，就構不成矩形了。

六、作業布置 P33　 3 、　4、 5。