這是函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)地位分析，是優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教案文章，供老師家長們參考學(xué)習(xí)。

函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)地位分析第 1 篇

引言

復(fù)變函數(shù)論是現(xiàn)行大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)的核心課程，主要學(xué)習(xí)經(jīng)典的解析函數(shù)理論.早在19世紀(jì)，有關(guān)解析函數(shù)的研究就已經(jīng)形成了非常系統(tǒng)的理論.這一數(shù)學(xué)分支是19世紀(jì)最為獨(dú)特的創(chuàng)造，幾乎統(tǒng)治了整個19世紀(jì)，曾被認(rèn)為是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.自其形成以來，一方面，它深刻地滲透到了代數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、微分方程、概率統(tǒng)計、計算數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)分支；另一方面，它又被廣泛地應(yīng)用于理論物理、彈性理論、流體力學(xué)、電學(xué)以及天體力學(xué)等方面.它和數(shù)學(xué)其他分支的聯(lián)系也日益密切.并且，對它的研究還發(fā)展出了一些新的數(shù)學(xué)分支.因而，在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的課程學(xué)習(xí)中，解析函數(shù)的理論占有十分重要的地位.

一般而言，在本科階段該課程包含的主要內(nèi)容有：解析函數(shù)及其性質(zhì)、復(fù)函數(shù)的積分理論、解析函數(shù)的Taylor展式、解析函數(shù)的Laurent展式、留數(shù)理論、共形映射以及解析延拓等.這些內(nèi)容都圍繞解析函數(shù)這個中心概念展開.要學(xué)好復(fù)變函數(shù)理論，弄清解析函數(shù)是一個關(guān)鍵.然而，在教學(xué)的過程當(dāng)中，針對學(xué)生而言，對于解析函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，尤其是對其本質(zhì)的認(rèn)識，仍然是一個薄弱的環(huán)節(jié).所以，在教學(xué)的過程當(dāng)中，有必要對解析函數(shù)的概念在深層次上作一定的剖析和探究，同時對其教學(xué)特點(diǎn)作一定的分析和總結(jié).這樣一來，有利于教學(xué)活動的有效展開，起到事半功倍的作用.

文章首先論述了解析概念的產(chǎn)生，介紹了解析函數(shù)研究的背景及其發(fā)展過程；其次深刻分析了函數(shù)解析的本質(zhì)，總結(jié)了若干解析的等價條件；然后具體剖析了解析概念在課程教學(xué)中的重要性；接著指出了現(xiàn)行課程教學(xué)中存在的突出問題；最后，針對問題分析了解析函數(shù)內(nèi)容教學(xué)的特點(diǎn)并給出了相應(yīng)的教學(xué)建議.

一、解析概念的產(chǎn)生

1.研究的歷史

復(fù)數(shù)以及復(fù)變函數(shù)的研究是與部分分式積分法，確定復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的對數(shù)，保形映射，以及實系數(shù)多項式的分解等研究相聯(lián)系而被引入數(shù)學(xué)的.

三、解析概念教學(xué)的重要性

1.解析概念的地位

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論研究的中心對象，因而復(fù)變函數(shù)論常常又稱為解析函數(shù)論.解析函數(shù)是整個復(fù)變函數(shù)論最基本最重要的概念.

其重要性體現(xiàn)在：首先，通過解析函數(shù)的定義，將復(fù)變函數(shù)論的中心研究對象作了界定，使課程主題對象明確化.其次，由解析函數(shù)論研究的歷史，許多相關(guān)的數(shù)學(xué)和實際問題的研究其對應(yīng)的對象都是解析函數(shù)，這在課程中有重要的體現(xiàn).最后，在課程中，由不同時期關(guān)于復(fù)變函數(shù)的研究得到的結(jié)果是由解析這個概念系統(tǒng)組織在一起的.

2.解析概念的紐帶作用

現(xiàn)行大學(xué)復(fù)變函數(shù)論課程的內(nèi)容因要求不同而有所區(qū)別.一般在本科階段該課程包含的主要內(nèi)容有：解析函數(shù)及其性質(zhì)、復(fù)函數(shù)的積分理論、解析函數(shù)的Taylor展式、解析函數(shù)的Laurent展式、留數(shù)理論、共形映射以及解析延拓等.如上所言，解析函數(shù)是該課程研究的中心對象，而解析又是該課程最基本最重要的概念.實際上，在課程教學(xué)中，解析概念還起著關(guān)鍵的紐帶作用.

除去復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基本概念外，課程其他部分的內(nèi)容均圍繞解析函數(shù)而展開.在討論復(fù)積分時，由函數(shù)解析得到著名的柯西積分定理和柯西積分公式等結(jié)論；在復(fù)級數(shù)的討論中，得到冪級數(shù)的解析性和解析函數(shù)的級數(shù)性質(zhì)；隨后對環(huán)狀區(qū)域內(nèi)函數(shù)的解析與級數(shù)展開討論了條件與性質(zhì)；在討論留數(shù)理論時，雖然是針對奇點(diǎn)（不解析點(diǎn)），但還是利用去心鄰域內(nèi)函數(shù)的解析性；共形映射則從幾何的角度討論解析的性質(zhì)與應(yīng)用.所以，課程的各部分內(nèi)容都是由解析概念聯(lián)系在一起的.

四、教學(xué)中的問題

1.背景知識教學(xué)的缺乏

目前，大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課程的教學(xué)中普遍存在概念背景知識教學(xué)的缺乏.通常直接給出概念以及公理、引理，接下來，大部分時間在做推理論證.這種教學(xué)和學(xué)習(xí)的方式使學(xué)生感到課程枯燥乏味，大大降低了學(xué)習(xí)效率.復(fù)變函數(shù)論課程的教學(xué)中當(dāng)然也存在類似問題.

關(guān)于解析函數(shù)的概念，大多數(shù)教材都未給出相應(yīng)的背景知識，教師教學(xué)時也不太重視這個問題.通常是給出定義后，僅將定義本身解釋一遍，而如此定義的原因、過程等等卻未給出相應(yīng)的必要說明.如忽視了解析概念的研究的起源、解析函數(shù)研究的發(fā)展變化以及概念形成的背景等等.致使學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到突兀和茫然，對概念沒有深刻的體會和把握，只能低效機(jī)械地學(xué)習(xí).

2.概念本質(zhì)的強(qiáng)化不夠

在通常的課程教學(xué)中，對解析概念的本質(zhì)強(qiáng)化不夠.實際上，在學(xué)完了解析的概念（定義）后，學(xué)生對解析幾乎不可能有任何深層的體會.而在稍后幾部分重要內(nèi)容即復(fù)函數(shù)的積分理論、解析函數(shù)的Taylor展式、解析函數(shù)的Laurent展式、留數(shù)理論、共形映射以及解析延拓等的學(xué)習(xí)中，教師和學(xué)生又會更加注重于數(shù)學(xué)邏輯的推導(dǎo)和技巧的鍛煉，往往忽視了在這些內(nèi)容的教學(xué)和學(xué)習(xí)中去深化對“解析”的認(rèn)識.

這樣一來，削弱了學(xué)生對解析概念的認(rèn)識和體會，一定程度上使其降低了對各部分內(nèi)容關(guān)聯(lián)度的認(rèn)識，不能從更高的視野下來系統(tǒng)把握整個課程的內(nèi)容.

五、教學(xué)的特點(diǎn)及建議

1.教學(xué)特點(diǎn)分析

由上述對解析概念的剖析探究以及復(fù)變函數(shù)論課程內(nèi)容的特點(diǎn)，結(jié)合數(shù)學(xué)教育的內(nèi)在規(guī)律，對于解析概念的教學(xué)，總結(jié)如下幾個特點(diǎn)：

（1）背景知識的教學(xué)，如研究的起源、發(fā)展、形成等對于解析概念的教學(xué)是必要的.恰當(dāng)?shù)谋尘爸R的引入會使學(xué)生更為自然和輕松地接受概念，并且對知識的發(fā)展會有一定的歷史的把握.

（2）解析概念對應(yīng)的實際意義，如映射的保形性、場的無源無旋性等內(nèi)容的教學(xué)對加深學(xué)生在概念理解和接受上有很大的作用.它會在一定程度上將概念形象化，使學(xué)生易于接受.

（3）解析概念在整個復(fù)變函數(shù)論課程各部分內(nèi)容的教學(xué)中具有紐帶作用，充分發(fā)揮并適時強(qiáng)化這一紐帶作用有利于學(xué)生對課程內(nèi)容的全面把握.

（4）解析及其性質(zhì)與實函數(shù)的對比在教學(xué)上有利于深化學(xué)生對解析概念的理解.函數(shù)的解析特性導(dǎo)致復(fù)函數(shù)在性質(zhì)上與一元實函數(shù)有本質(zhì)差異，在教學(xué)中特意比較這種差異有利于學(xué)生深刻領(lǐng)會解析的含義.

（5）解析的多種不同等價形式也有利于學(xué)生對概念的理解和掌握.熟悉并領(lǐng)會多種不同的等價形式不僅有助于理解概念，還有助于對整體內(nèi)容的把握.

2.相應(yīng)的教學(xué)建議

基于現(xiàn)行大學(xué)復(fù)變函數(shù)論課程的教學(xué)要求，根據(jù)上述解析函數(shù)概念的特征，結(jié)合教學(xué)過程中的典型問題以及解析概念教學(xué)的特點(diǎn)分析，對復(fù)變函數(shù)論課程中解析函數(shù)概念的教學(xué)給出如下建議：

（1）選取恰當(dāng)?shù)慕滩囊约敖虒W(xué)參考書，有目的和針對性地在教學(xué)過程中增強(qiáng)關(guān)于解析概念背景知識的教學(xué).同時注重對解析給予恰當(dāng)?shù)膶嶋H解釋.一句話，就是要使解析這個概念在教學(xué)中不要太抽象.

（2）充分發(fā)揮解析概念在復(fù)變函數(shù)論課程中的紐帶作用.通過總結(jié)、展示各種不同形式的解析等價條件，強(qiáng)化學(xué)生對解析概念的理解.同時加強(qiáng)學(xué)生對整體內(nèi)容的全面把握.

（3）在教學(xué)過程中，重視解析函數(shù)與一元實函數(shù)在性質(zhì)上的比較.可引導(dǎo)學(xué)生通過比較二者的性質(zhì)差異性，深化學(xué)生對解析內(nèi)涵的認(rèn)識.

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函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)地位分析第 2 篇

一、對初中函數(shù)應(yīng)用知識的深層次理解

（一）函數(shù)應(yīng)用的知識結(jié)構(gòu)與框圖

初中函數(shù)應(yīng)用主要包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的應(yīng)用這三部分內(nèi)容，

具體如下：

（ 1 ）一次函數(shù)的實際應(yīng)用：利用物理（運(yùn)動過程）中的一次函數(shù)應(yīng)用來滲透函數(shù)應(yīng)用的思想．

（ 2 ）反比例函數(shù)的實際應(yīng)用：揭示社會問題、經(jīng)濟(jì)問題中的反比例關(guān)系．

（ 3 ）二次函數(shù)的實際應(yīng)用：利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程來解決實際問題．利用函數(shù)知識解決應(yīng)用問題的思路框圖如下：

初中數(shù)學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”學(xué)習(xí)研究與教學(xué)策略

（二）函數(shù)應(yīng)用在數(shù)學(xué)中的地位與作用

現(xiàn)實中存在大量問題涉及具有簡單函數(shù)關(guān)系的變量，這為函數(shù)的學(xué)習(xí)提供了大量的現(xiàn)實素材．在實際的教學(xué)過程中，實際問題的情境也會多次出現(xiàn)，主要有以下作用：

（ 1 ）引入或解釋函數(shù)等概念．幾乎所有的概念都是通過實際問題來引入的，這樣做的目的是借助直觀的、具體的事物為理解抽象的內(nèi)容服務(wù)．

（ 2 ）作為函數(shù)的應(yīng)用舉例．在解決實際問題的過程中運(yùn)用函數(shù)這一工具，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想，反映了函數(shù)的廣泛應(yīng)用性．

找出問題中相關(guān)變量之間的關(guān)系，并以數(shù)學(xué)形式表現(xiàn)這種關(guān)系，是函數(shù)中用數(shù)學(xué)模型表示和解決實際問題的關(guān)鍵步驟，而正確的理解問題情境是基礎(chǔ)．在函數(shù)的教學(xué)過程中，可以從多種角度思考，借助圖象、表格、代數(shù)式等進(jìn)行分析，尋找變量之間的關(guān)系，檢驗所建立的函數(shù)關(guān)系的合理性．

（三）函數(shù)應(yīng)用的教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)

函數(shù)的應(yīng)用主要包括以下幾個方面的問題：行程問題，生產(chǎn)中的問題，利潤最大問題，花費(fèi)最小問題，拋物線的刻畫問題，體育比賽中的函數(shù)問題等等．

主要是 讓學(xué)生理解利用函數(shù)知識解決實際問題時，首先要梳理問題所提供的原始信息，從中提取有效信息加以分析，對問題的原始形態(tài)進(jìn)行抽象化、數(shù)學(xué)化，聯(lián)想和概括構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型——即函數(shù)關(guān)系，并利用數(shù)學(xué)知識方法加以解決．

教學(xué)重點(diǎn)：

1 ．有意識地運(yùn)用函數(shù)思想將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，并能合理解實際問題；

2 ．體會數(shù)學(xué)中的變量與不變量的辯證關(guān)系；

3 ．合理確定問題中的變量，建立合適的函數(shù)關(guān)系式．

教學(xué)難點(diǎn)：

1 ．確定實際問題中變量的取值范圍；

2 ．學(xué)會用分段函數(shù)來分析問題；

3 ．確定函數(shù)解析式的方法和步驟．

二、函數(shù)應(yīng)用的教學(xué)策略

（一）怎樣進(jìn)行函數(shù) 應(yīng)用 教學(xué) 引入的設(shè)計

數(shù)學(xué)課的引入設(shè)計是至關(guān)重要的．好的引入會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，快速將學(xué)生引入教學(xué)情境，使整節(jié)課順利進(jìn)行．所以首先從引入的設(shè)計來看看我們在函數(shù)的教學(xué)中應(yīng)該如何去做，下面以二次函數(shù)的起始課為例來進(jìn)行說明．

(1) 常規(guī)設(shè)計：

課本上引入二次函數(shù)是以實際問題（正方體的表面積）為切入點(diǎn)的．包括二次函數(shù)的圖象的教學(xué)，是以投籃時籃球運(yùn)動的軌跡作為引入．看上去這些實際生活中的例子都是非常鮮活的，應(yīng)該能夠起到刺激學(xué)生思維的過程．

但是事實卻不是如此．

這是一個信息爆炸的時代，現(xiàn)代的學(xué)生每天都能夠被大量的信息所影響．他們更關(guān)心的是與自己的生活息息相關(guān)的內(nèi)容，而不是陳舊的、已經(jīng)沿襲很久的實例．另外過于簡單的實例（如投籃時籃球的軌跡）也許會帶給他們一定刺激，但是能否刺激學(xué)生去思考這些例子背后的數(shù)學(xué)原理，能否對于二次函數(shù)的學(xué)習(xí)有所幫助就很難說了．面對不再新鮮，甚至說有些過時的例子，學(xué)生很難打起精神來．這就要求我們教師必須有所改變，我們應(yīng)該與時俱進(jìn)，了解學(xué)生在想什么，他們經(jīng)常在做些什么？才能設(shè)計出更好的、更貼切他們的生活的實例，并能為我們的教學(xué)帶來幫助．

（ 2 ） 突破設(shè)計：

通過以上的分析可以想到，實際生活中的二次函數(shù)還有那些？運(yùn)動軌跡是拋物線的還有哪些呢？實際上有一個很好的資源可以供我們來使用，那就是《憤怒的小鳥》 —— 可以說是現(xiàn)在最火爆的游戲（如圖）．

初中數(shù)學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”學(xué)習(xí)研究與教學(xué)策略

相信當(dāng)學(xué)生看到這幅圖片時，一定會產(chǎn)生發(fā)自內(nèi)心的共鳴．當(dāng)然根據(jù)這個游戲可以設(shè)計出很多數(shù)學(xué)問題，學(xué)生自然會很有興趣的去思考這些數(shù)學(xué)問題的解決途徑，也就自然的引出了二次函數(shù)的概念，甚至是拋物線的定義了．下圖是美國的一道考試題，在這方面，創(chuàng)新能力出眾的美國教師已經(jīng)走在了我們的前面，我們需要迎頭趕上．

初中數(shù)學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”學(xué)習(xí)研究與教學(xué)策略

（二）怎樣進(jìn)行 函數(shù) 應(yīng)用 知識的滲透及教學(xué)

1 ．應(yīng)用性問題的解決方法和規(guī)律是什么？

初中數(shù)學(xué)教育的理念中對應(yīng)用能力的培養(yǎng)已經(jīng)發(fā)生了一定的變化，近幾年教材中、各類考試中不僅增加了實際問題的內(nèi)容，還豐富了實際問題的類型，而且拓展了實際問題的意境，改變了以往取材僅限于工程、行程、濃度問題等老面孔，紛紛取材于國情大政、環(huán)保生態(tài)、市場決策、經(jīng)濟(jì)核算、生產(chǎn)生活，既展示數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣闊空間，又著意體現(xiàn)新素材的德育功能．

應(yīng)用題要解決的是實際問題，而實際問題是豐富多彩的．因此，在解決實際問題的過程中，不但需要扎實的基礎(chǔ)知識和技能，更需要有多方面的能力．解答應(yīng)用題一般程序是：先讀懂文字，理解題意，再將其翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型．

例 1 幸福村村辦工廠今年前 5 個月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總量 C （件）關(guān)于時間 t （月）的函數(shù)圖象如圖所示，則該廠對這種產(chǎn)品來說（

　　）

A ． 1 月至 3 月每月生產(chǎn)總量逐月增加， 4 、 5 兩月每月生產(chǎn)總量逐月減少．

B ． 1 月至 3 月每月生產(chǎn)總量逐月增加， 4 、 5 兩月每月生產(chǎn)總量與 3 月持平

C ． 1 月至 3 月每月生產(chǎn)總量逐月增加， 4 、 5 兩月均停止生產(chǎn)

D ． 1 月至 3 月每月生產(chǎn)總量不變， 4 、 5 兩月均停止生產(chǎn)

初中數(shù)學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”學(xué)習(xí)研究與教學(xué)策略

此題講解中注意：

圖象顯示 1 ～ 3 月為正比例函數(shù)表示總產(chǎn)量逐月累計增加，而并不表示 “ 每月生產(chǎn)總量逐月增加 ” ； 4 、 5 兩月的 “ 累計總產(chǎn)量 ” 均同 3 月，則表示這兩個月的產(chǎn)量均為 0 ．應(yīng)選 D ．

此題是函數(shù)圖象信息型應(yīng)用題． 教師在講解中注意引導(dǎo)學(xué)生明白 解決這類問題的關(guān)鍵是讀懂函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲得數(shù)據(jù)，培養(yǎng)的是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題的能力．

此題在設(shè)置過程中意境抓住了問題中的易錯易混點(diǎn)來設(shè)計選擇項，若讀圖能力差或?qū)忣}不細(xì)，極易掉進(jìn)陷井，錯選成答案 B ．

例 2 ： A 、 B 兩人連續(xù) 6 年對某縣農(nóng)村甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模（產(chǎn)量）進(jìn)行調(diào)查，提供了兩個方面的信息，如圖（ 1 ）和（ 2 ）． A 調(diào)查表明：每個甲魚池平均年產(chǎn)量由第一年的 l 萬只甲魚上升到第 6 年的 2 萬只； B 調(diào)查表明：甲魚池個數(shù)由第一年的 30 個減少到第 6 年的 10 個．

請你根據(jù)所提供的信息說明：

（ 1 ）第 2 年甲魚池的個數(shù)及全縣出產(chǎn)甲魚總數(shù)；

（ 2 ）到第 6 年這個縣的甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第 1 年是擴(kuò)大了還是縮小了 ? 說明理由 ；

（ 3 ）哪處的規(guī)模最大？說明理由．

初中數(shù)學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”學(xué)習(xí)研究與教學(xué)策略

教師在講解此題時，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀圖中的信息：

（ 1 ）讀圖（ 2 ）知，第 2 年甲魚池的只數(shù)為 26 ；讀圖（ 1 ）知，第 2 年每個甲魚池平均產(chǎn)量為 1.2 萬只，全縣出產(chǎn)甲魚的總數(shù)為 1.2×26 ＝ 31.1 （萬只）

（ 2 ）規(guī)模縮小．因為第一年出產(chǎn)甲魚 30×1 ＝ 30 （萬只），而第 6 年出產(chǎn)甲魚 2×10 ＝ 20 （萬只）．

初中數(shù)學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”學(xué)習(xí)研究與教學(xué)策略

即第 2 年規(guī)模最大，生產(chǎn)甲魚 31.2 萬只．

這道應(yīng)用題把圖象信息、閱讀理解、探索性問題巧妙地揉合在一起，要求 學(xué) 生在讀懂文字、圖形的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象轉(zhuǎn)化，建立起符合題意的數(shù)學(xué)模型解決問題． 這是學(xué)生解題的一個難點(diǎn)，所以教師如何啟發(fā)學(xué)生整個認(rèn)知過程，使之將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn) 轉(zhuǎn)化后的數(shù)學(xué)問題并不復(fù)雜：

① 根據(jù)函數(shù)圖象求點(diǎn)的坐標(biāo)；

② 運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

③ 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．

例 3 ： 為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對移動電話采用了不同的收費(fèi)方式．其中所使用的 “ 便民卡 ” 與 “ 如意卡 ” 在每月（ 30 天）的通話時間 x （分鐘）與通話費(fèi) y （元）的關(guān)系如圖所示．

（ 1 ）分別求出通話費(fèi) y 1 、 y 2 與通話時間 x 之間的函數(shù)關(guān)系式．

（ 2 ）請幫用戶計算一下，在一個月內(nèi)使用哪種卡便宜 ?

初中數(shù)學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”學(xué)習(xí)研究與教學(xué)策略

教師講解時，引導(dǎo)學(xué)生從閱讀圖中的信息入手，如

(1) 由圖象知 y 1 、 y 2 與通話時間之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)的關(guān)系．設(shè) y 1 = k 1 x+b

把 A （ 0 ， 29 ）， B （ 30 ， 35 ）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得

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（ 2 ）要知道在一個月內(nèi)使用哪種卡便宜，只需要比較出 y 1 與 y 2 的大小即可．

本 題取材于我們?nèi)粘Ｉ钪械氖謾C(jī)話費(fèi)問題，要求計算出兩種電話卡哪種便宜．設(shè)計的問題并不難，但立意卻比較深刻．

在市場經(jīng)濟(jì)的大潮中，諸如省錢劃算，商品優(yōu)惠的問題，銷售價、成本價和銷售利潤的問題等等，司空見慣，不勝枚舉．通過在應(yīng)用題中的滲透，提醒同學(xué)們重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活和經(jīng)濟(jì)建設(shè)中的應(yīng)用，非常必要．在解決實際問題的過程中，逐步形成用數(shù)學(xué)的意識，樹立數(shù)學(xué)來源于實踐又應(yīng)用于實踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)，為同學(xué)們將來的學(xué)習(xí)和工作打下堅實的基礎(chǔ)．這正是素質(zhì)教育的發(fā)展方向所在．

（三）怎樣突破 函數(shù) 應(yīng)用 教學(xué)中的難點(diǎn)

1 ．用二次函數(shù)求最大（小）值的應(yīng)用題的方法步驟是什么？

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際的規(guī)劃設(shè)計問題（即最大最小值問題），其基本方法是將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的取值范圍問題，然后按求二次函數(shù)最大值或最小值的方法求解．

其一般步驟是：

（ 1 ）利用題目中的已知條件明確函數(shù)關(guān)系式；

（ 2 ）把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的解析式；

（ 3 ）求二次函數(shù)的最大值或最小值（注意自變量的取值范圍）．

例 4 ： 用 12 米 長的木料做成如圖所示的矩形窗框（包括中間的十字形），問當(dāng)長、寬各是多少時，矩形窗框的面積最大 ? 最大的面積是多少 ?

此題關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系，

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用二次函數(shù)表示變量之間的關(guān)系時，要抓住兩點(diǎn)：

（ 1 ）要明確變量（自變量、因變量）的含義；

（ 2 ）為便于尋找各變量的關(guān)系，可根據(jù)實際情況列出相應(yīng)的圖或表或解析式來表示各量之間的關(guān)系 ．

在解決問題時可直接應(yīng)用已建立的圖、表或解析式關(guān)系，幫助進(jìn)行思考，便于尋找較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系 ．

例 5 ：如圖， 已知三角形的兩邊和為 20cm ，這兩邊的夾角為 120° ．求它的面積的最大值；當(dāng)面積最大時，這兩邊的長各是多少 ?

教師在試題分析時，注意引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生： 已知三角形兩邊之和為 20cm ，應(yīng)設(shè)其中一邊為 x cm ，并將這條邊上的高用 x 表示，即可把該三角形的面積表示為 x 的函數(shù)．

本題講解時，關(guān)鍵是如何建立兩個變量關(guān)系，如果確定變量，如何從題的條件出發(fā)去發(fā)現(xiàn)量之間的關(guān)系，結(jié)合圖形尋找解決問題的入手點(diǎn) .

教師講解時，從形入手幫助學(xué)生分析建立函數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵點(diǎn)，只要能引導(dǎo)學(xué)生正確的引出輔助線問題就得以解決

在如圖所示的 △ ABC 中，設(shè) BC 邊的長為 x cm ，則 AB ＝（ 20 － x ） cm ．

過 A 作 BC 邊上的高 AD ，與 CB 的延長線交于點(diǎn) D ．

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求幾何圖形的最大面積，應(yīng)先在分析圖形的基礎(chǔ)上，引入自變量，用含自變量的代數(shù)式分別表示出與所求幾何圖形相關(guān)的量，再根據(jù)圖形特征列出其面積的計算公式，并且用函數(shù)表示這個面積，最后根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式求出最值及取的最值時自變量的值 ．

在求幾何圖形的最大面積時，還應(yīng)注意自變量的取值范圍，一定要注意題目中的每一個幾何量的可能范圍，一般有以下幾種情況：邊長、周長、面積大于零，三角形中兩邊之和大于第三遍，圓的周長與半徑的關(guān)系 ．

例 6 ： 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．為了擴(kuò)大銷路，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價 1 元，商場平均每天可多售出 2 件．

（ 1 ）某商場平均每天要盈利 1200 元，每件襯衫應(yīng)降價多少元 ?

（ 2 ）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多 ?

本題是獲利問題，給學(xué)生交代清楚：

商場所獲的利潤是由售出的商品數(shù)量和這件商品的利潤相乘而得到的．

這樣問題就轉(zhuǎn)化為如何建立兩個變量的關(guān)系了 .

如果每件襯衫降價 x 元，則 每件 盈利為（ 40 － x ）元，則可多售出 2 x 件襯衫，即每天可售出（ 20 ＋ 2 x ）件襯衫，

問題（ 1 ）可列出方程 (20+2 x )(40- x )=1200. 轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解問題，這里要注意一元二次方程有兩個根時要檢驗是否符合題意 ．

問題（ 2 ）若設(shè)商場平均每天盈利為 y ．

則 y =(20-2 x )(40- x ). 問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題 .

從而可求出每天的利潤．

由于這個關(guān)系式是一個二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)的二次函數(shù)，所以可求出盈利的最大值，

通過解答上述的幾個實際問題， 讓學(xué)生了解 數(shù)學(xué)的美很大程度上在于它來源于實踐，應(yīng)用于實踐． 教師要交給學(xué)生會 從生產(chǎn)、生活的實踐中發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律，進(jìn)而能根據(jù)客觀規(guī)律指導(dǎo)實踐，解決生產(chǎn)、生活中的一些實際問題．

教師在教學(xué)過程中，讓學(xué)生逐步知曉 初中數(shù)學(xué)中的一次函數(shù)、二次函數(shù)問題是與實際問題聯(lián)系最緊密的內(nèi)容之一． 學(xué)生 通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，掌握把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題這一重要的思想方法．

2 ．閱讀理解題方法和規(guī)律是什么？

閱讀和處理數(shù)學(xué)問題，不是一個被動接受的過程，而是一個主動建構(gòu)的過程，讓同學(xué)們學(xué)會讀書，學(xué)會理解，學(xué)會分析，學(xué)會總結(jié)，從而學(xué)會求知，這就是閱讀理解題潛在的素質(zhì)教育功能．

實際應(yīng)用問題與常規(guī)的數(shù)學(xué)問題相比最明顯的區(qū)別就是閱讀量的增加以及對學(xué)生理解能力要求的提高．不管是課本、考試中遇到的應(yīng)用題，還是實際生活中的數(shù)學(xué)問題，都會出現(xiàn)很多干擾信息，需要學(xué)生對其進(jìn)行甄別處理，從中提煉出數(shù)學(xué)的條件 和 結(jié)論．即需要經(jīng)歷一個將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言（包括符號語言和圖形語言）的過程．然后才能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來解決這些問題．而現(xiàn)在的學(xué)生閱讀理解能力偏弱，其直接后果就是無法順利地將實際問題建模化，更談不上解決問題了．

閱讀理解題在函數(shù)應(yīng)用方面的主要類型是：閱讀一段短文，在理解題意的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)實際問題中的變量的數(shù)量關(guān)系， 再 求解答有關(guān)的問題．

例 7 ： 某地防汛部門為做好當(dāng)年的防汛抗洪工作，根據(jù)本地往年汛期特點(diǎn)和當(dāng)年氣象信息分析，利用當(dāng)?shù)匾凰畮斓乃空{(diào)節(jié)功能，制訂了當(dāng)年的防汛計劃：

從 6 月 10 日 零時起，開啟水庫 1 號入水閘蓄水，每天經(jīng)過 1 號水閘流入水庫的水量為 6 萬立方米 ；從 6 月 15 日 零時起，打開水庫的泄水閘泄水，每天從水庫流出的水量為 4 萬立方米 ；從 6 月 20 日 零時起再開啟水庫 2 號入水閘，每天經(jīng)過 2 號入水閘流入水庫的水量為 3 萬立方米 ；到 6 月 30 日 零時，入水閘和泄水閘全部關(guān)閉．根據(jù)測量， 6 月 10 日 零時，該水庫的蓄水量為 96 萬立方米．

（ 1 ）設(shè)開啟 2 號入水閘后的第 x 天零時，水庫的蓄水量為 y 萬立方米，寫出 y （萬立方米）與 x （天）之間的函數(shù)關(guān)系式（只要求寫出解析式）；

（ 2 ）如果該水庫的最大蓄水量為 200 萬立方米，該地防汛部門的當(dāng)年汛期（到 6 月 30 日 零時）的防汛計劃能否保證水庫的安全（水庫的蓄水量不超過水庫的最大蓄水量） ? 請說明理由．

此題的題干較大，閱讀量過多，如何從大容量的閱讀中抓住數(shù)學(xué)問題去分析是關(guān)鍵，教師應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)不同時段問題的變化，即

（ 1 ）根據(jù)題目中給出的四個時刻，可分為三個時間段考慮 y 與 x 間的函數(shù)關(guān)系：

① 6 月 10 日 零時，該水庫的蓄水量為 96 萬立方米．

② 6 月 10 日 零時起，到 6 月 20 日 零時止，該水庫增加的蓄水量 問題

③ 從 6 月 20 日 零時起，到開啟 2 號入水閘后的第 x 天的零時止，

該水庫水量問題 , 于是可得：

y ＝ 5 x ＋ 136 ，其中 0≤ x ≤10 ， x 取整數(shù)．

解決第（ 2 ）個問題，注意引導(dǎo)學(xué)生此問題實際是解決函數(shù)中的最值問題，聯(lián)系函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可解答 ．

本 題取材于防汛抗洪問題，對閱讀理解的能力要求高，要了解現(xiàn)實情景，必須讀懂第二段文字，將四個時刻，開啟（或關(guān)閉）入水（或泄水）閘，流量等要素搞懂，才能理清其數(shù)量關(guān)系；構(gòu)思新穎，但設(shè)計的兩個問題并不難，也沒有繁雜的運(yùn)算．

3 ．二次函數(shù)的實踐與探究

有些實際問題中的變量存在著二次函數(shù)的關(guān)系，但問題中并不告訴存在二次函數(shù)，而是提到拋物線．如何描述和刻畫拋物線？顯然用二次函數(shù)，而且需要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，這是有難度的問題．首先是如何建立平面直角坐標(biāo)系，還有如何使用問題的條件來確定解析式．

例 8 ： 有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀， MN =4m ，拋物線頂點(diǎn)處到邊 MN 的距離是 4m ，要在鐵皮上截下一矩形 ABCD ，使矩形頂點(diǎn) B 、 C 落在邊 MN 上， A 、 D 落在拋物線上，問這樣截下的矩形鐵皮的周長能否等于 8m ？

教師在講解時，首先指導(dǎo)學(xué)生考慮如何建立坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出二次函數(shù)的解析式．通過形確定出數(shù)量關(guān)系，即建立方程解方程，用數(shù)將形的問題解決 . 這里的關(guān)鍵是如何建系，教師可以從不同角度分析建系，讓學(xué)生體會其中的奧秘 . 同時引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從實際問題中去考慮自變量取值范圍問題 ．

如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，引導(dǎo)學(xué)生求出拋物線的解析式，設(shè)出相關(guān)的量，從而通過解方程把問題答案找到 .

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例 9 ： 目前國內(nèi)最大跨徑的鋼管混凝土拱橋 —— 永和大橋，是南寧市又一標(biāo)志性建筑，其拱形圖形為拋物線的一部分（如圖（ 1 ）），在正常情況下，位于水面上的橋拱跨度為 350 米 ，拱高為 85 米 ．在所給的直角坐標(biāo)系中（如圖（ 2 ）），假設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y=ax 2 + b ，請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)求出 a 、 b 的值，并寫出拋物線的表達(dá)式 . （不要求寫自變量的取值范圍， a 、 b 的值保留兩個有效數(shù)字） .

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此題教師在講解時，要交待清楚解決此類問題，必須建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，而坐標(biāo)系的建立取決于已知點(diǎn)所在的位置，可以以已知的一部分作一個坐標(biāo)軸，以它的垂直平分線作為另一個坐標(biāo)軸，使圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，可以使計算較簡便 ．

例 10 ： 有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面 AB 的寬為 20m ，如果水位上升 3 米時，水面 CD 的寬為 10m ．

（ 1 ）建立如圖直角坐標(biāo)系，求點(diǎn) B 、 D 的坐標(biāo) ；

（ 2 ）求此拋物線的解析式；

（ 3 ）現(xiàn)有一輛載有救援物質(zhì)的貨車，從甲出發(fā)需經(jīng)此橋開往乙，已知甲距此橋 280km （橋長忽略不計）貨車以 40km ／ h 的速度開往乙；當(dāng)行駛 1 小時，忽然接到通知，前方連降暴雨，造成水位以每小時 0.25m 的速度持續(xù)上漲（貨車接到通知時水位在 CD 處，當(dāng)水位到達(dá)最高點(diǎn) E 時，禁止車輛通行）試問：如果貨車按原速行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由，若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應(yīng)不小于每小時多少千米？

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此題和例 9 類同，關(guān)鍵之一是建立平面直角坐標(biāo)系的選擇 . 關(guān)鍵之二分析清楚此題實際是一個行程的應(yīng)用問題，如何建立行程中三個量的關(guān)系，如何找到已知的量是關(guān)鍵之二 ．

解：（ 1 ） B （ 10 ， 0 ）， D （ 5 ， 3 ） .

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∴ 水位有 CD 上升到點(diǎn) E 所用的時間為 1÷0.25=4 小時

設(shè)貨車從接到通知到到達(dá)橋所用的時間為 t ．

則 40 （ t ＋ 1 ）＝ 280,

解得： t ＝ 6 ＞ 4 ．

故貨車按原速行駛，不能安全通過此橋 ．

設(shè)貨車速度為 x km ／ h ，能安全通過此橋 ．

則 4 x +40≥280, 解得 x ≥60 ．

故速度不小于 60 km ／ h ，貨車能安全通過此橋 ．

4 ．分段函數(shù)的應(yīng)用

有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系是用分段函數(shù)給出的，研究分段函數(shù)是學(xué)生需要面對的一個難點(diǎn)．

例 11 ：心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，學(xué)生的注意力隨著教師講課時間的變化而變化，講課開始時，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時間學(xué)生的注意力保持較為理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，經(jīng)過實驗分析可知，學(xué)生的注意力 y 隨著時間 t 的變化規(guī)律有如下關(guān)系式：

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（ 1 ）講課開始后，第 5 分鐘時與講課開始后第 25 分鐘時比較，何時學(xué)生的注意力更集中？

（ 2 ）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？

（ 3 ）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解 24 分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力最低達(dá)到 180 ，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？

解：（ 1 ）當(dāng) t=5 時， y=195 ，當(dāng) t=25 時， y=205

∴講課開始后第 25 分鐘時學(xué)生的注意力比講課開始后第 5 分鐘時更集中．

（ 2 ）當(dāng) 0 ＜ t ≤ 10 時， y=-t 2 +24t+100=- （ t-12 ） 2+244 ，

該圖的對稱軸為 t=12 ，在對稱軸左側(cè)， y 隨 x 的增大而增大，

所以，當(dāng) t=10 時， y 有最大值 240

當(dāng) 10 ＜ t ≤ 20 時， y=240

當(dāng) 20 ＜ t ≤ 40 時， y=-7t+380 ， y 隨 x 的增大而減小，

故此時 y ＜ 240

所以，當(dāng) t=20 時， y 有最大值 240 ．

所以，講課開始后 10 分鐘時，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù) 10 分鐘．

（ 3 ）當(dāng) 0 ＜ t ≤ 10 ，令 y=-t 2 +24t+100=180 ，

∴ t=4

當(dāng) 20 ＜ t ≤ 40 時，令 y=-7t+380=180 ，

∴ t=28.57

所以，老師可以經(jīng)過適當(dāng)安排，能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目．

教師在講解時，交給如何去學(xué)生讀懂題意，讓學(xué)生知道在理解實際背景情況下，再去收集處理有關(guān)信息 ．

教師要講解清楚如何應(yīng)用問題中的信息語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，抽象、歸納其中的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題 ． 引導(dǎo)學(xué)生在得到數(shù)學(xué)模型上，進(jìn)行推理與對比計算等，得出問題解決的方案 ．

通過例題，老師應(yīng)給學(xué)生交待清楚解決此類型問題首先要根據(jù)圖形特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立平面直角坐標(biāo)系時，要盡量將圖形放置于特殊位置，這樣便于解題 ．

（四）怎樣分析 函數(shù) 應(yīng)用 與相關(guān)知識的聯(lián)系

在現(xiàn)實生活中存在著大量實際問題，它們或多或少的都設(shè)計具有簡單函數(shù)關(guān)系的變量．這些數(shù)量關(guān)系可能是線性（一次函數(shù)）的，也可能是反比例關(guān)系或者是二次關(guān)系，這些實際問題為初中數(shù)學(xué)的教學(xué)提供了大量的素材．

而函數(shù)本身就是人們?yōu)榱烁羁痰恼J(rèn)識千變?nèi)f化的世界，經(jīng)過歸納總結(jié)得出的一個重要的數(shù)學(xué)工具，它的主要作用就是用來描述變化中的數(shù)量關(guān)系．其中找出實際問題中相關(guān)變量之間的關(guān)系，并以數(shù)學(xué)形式表現(xiàn)這種關(guān)系，是運(yùn)用函數(shù)或者數(shù)學(xué)模型表示和解決實際問題的關(guān)鍵步驟，而正確的理解問題情境則是基礎(chǔ)．

例 12 ：如圖，在梯形 ABCD 中， DC // AB , ∠ A =90 ° ， AD =6cm, DC =4cm ， BC 的坡度 i =3:4, 動點(diǎn) P 從 A 出發(fā)以 2cm/s 的速度沿 AB 方向向點(diǎn) B 運(yùn)動，動點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā)以 3cm/s 的速度沿 B---C---D 方向向點(diǎn) D 運(yùn)動，兩個動點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止，設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為 t 秒 ．

（ 1 ）求邊 BC 的長；

（ 2 ）當(dāng) t 為何值時， PC 與 BQ 互相平分；（ 3 ）連結(jié) PQ, 設(shè) ⊿ PBQ 的面積為 y, 探求 y 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，求 t 為何值時， y 有最大值？最大值是多少？

此題是運(yùn)動型幾何問題中二次函數(shù)的應(yīng)用

教師在講解時，首先要清楚對于運(yùn)動型幾何問題中的函數(shù)應(yīng)用問題，解題時應(yīng)以靜制動，在動中求靜；指點(diǎn)學(xué)生抓住適合條件的某個待定時刻具體位置的幾何狀態(tài)，運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)建立出變量之間的函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)的性質(zhì)予以解決，給學(xué)生點(diǎn)播當(dāng)圖形（或某一事物）在運(yùn)動的過程中達(dá)到最大或最小值時，其位置必定在一個特殊的位置，這是普遍規(guī)律 ．

引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)引出輔助線建立出數(shù)學(xué)模型去解決問題 ．

問題（ 1 ）通過圖形的分割，問題轉(zhuǎn)化為矩形和勾股定理來解決，這里利用了坡度的概念，找出直角三角形中的兩條直角邊進(jìn)而求出 BC =10 ．

問題（ 2 ）如果 PC 與 BQ 互相平分，就可以得出平行四邊形這一個特殊的四邊形，再利用平行四邊形這一特殊的形的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來解決即可求出 t 的值 ．

初中數(shù)學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”學(xué)習(xí)研究與教學(xué)策略

對于運(yùn)動型幾何問題中的函數(shù)應(yīng)用問題，解題時應(yīng)以靜制動，在動中求靜，抓住適合條件的某個特定時刻具體的幾何狀態(tài)，運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)建立出變量之間的函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)的性質(zhì)予以解決，當(dāng)圖形在運(yùn)動的過程中達(dá)到最大值或最小值時，其位置必定在一個特殊的位置，這是普遍規(guī)律 ．

三、 學(xué)生常見的問題及解決的策略方法

（一）利用 函數(shù)解決實際生產(chǎn)問題的困惑

例 13 ： 某旅社有 100 張床位，每床每晚收費(fèi) 10 元時，可全部租出，若每床每晚收費(fèi)提高 2 元時，則減少 10 張床位租出；以每次提高 2 元這種方法變化下去，為了投資少而獲利大，每床每晚應(yīng)提高多少元？

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每床每晚應(yīng)提高 6 元時，獲得的利潤最大，最大利潤為 1120 元 ．

例 14 ： 某商品現(xiàn)在的售價為每件 60 元，每星期可賣出 300 件，市場調(diào)查反映：每漲價 1 元，每星期少賣出 10 件；每降價 1 元，每星期可多賣出 18 件，已知商品的進(jìn)價為每件 40 元，如何定價才能使利潤最大？

此題也是實際生活中常遇到的問題，但是題中出現(xiàn)了兩種情況，一是漲價，二是降價 ． 所以考慮解決方法要全，不能漏此題體現(xiàn)了分類討論思想 ．

解：調(diào)整價格包括漲價和降價兩種情況

先來看漲價的情況：

(1) 每件漲價 x 元，

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所以，當(dāng)定價為 65 元時，利潤最大，最大利潤為 6250 元 . ．

可以看出，這個函數(shù)的圖象是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點(diǎn)是函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，也就是說當(dāng) x 取頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)時，這個函數(shù)有最大值 ．

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在降價的情況下

解：設(shè)降價 x 元時利潤最大，則每星期可多賣 18 x 件，實際賣出（ 300+18 x ) 件，

銷售額為 (60 − x )(300+18 x ) 元，買進(jìn)商品需付 40(300 — 10 x ) 元，

因此，得利潤

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所以選擇漲價 ．

這兩道題是利用二次函數(shù)解決實際問題中的利潤問題，學(xué)生在解決時困惑之一不理解題中所給出有關(guān)量的含義，也就是缺少實際生活的體驗，困惑之二不知從何處著手獲取有用的信息；困惑之三就是由函數(shù)關(guān)系式從理論上會求最值，但不知和實際結(jié)合去解決問題 ．

所以要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象去思考問題，結(jié)合實際生活總的現(xiàn)象去解決問題 ．

（二）利用函數(shù)解決體育問題的困惑

例 15 ：如圖，一個運(yùn)動員推鉛球，鉛球在點(diǎn) A 處出手，出手時離地面約5/3

米，鉛球落地在點(diǎn) B 處，鉛球運(yùn)行中在運(yùn)動員前 4 米處（即 OC=4 ）達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)離地面距離為 3 米，已知鉛球經(jīng)過的路線是拋物線，根據(jù)圖示的直角坐標(biāo)系，能否算出該運(yùn)動員的成績？若能請求出他的成績，若不能請說明理由．

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此題反映的是體育運(yùn)動中鉛球運(yùn)行過程中所行的路徑問題，老師對此題分析時可以實際生活中鉛球比賽時鉛球運(yùn)行的實況，讓學(xué)生感受其路徑近似可以看出是拋物線 , 讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)服務(wù)于生活和來源于生活的辯證關(guān)系，進(jìn)而將有關(guān)數(shù)學(xué)信息抽出來，建立數(shù)學(xué)模型區(qū)解決 ．

例 16 ：如圖，足球場上守門員在 O 處開出一高球，球從離地面 1 米的 A 處飛出（ A 在 y 軸上），運(yùn)動員乙在距 O 點(diǎn) 6 米的 B 處發(fā)現(xiàn)球在自己的正上方達(dá)到最高點(diǎn) M ，距地面約 4 米高，球落地后又一次彈起，據(jù)試驗，足球在草地上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半 ．

（ 1 ）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的解析式

（ 2 ）足球第一次落地點(diǎn) C 距守門員多少米？（取初中數(shù)學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”學(xué)習(xí)研究與教學(xué)策略

）

（ 3 ）運(yùn)動員乙要搶到第二次落點(diǎn) D ，他應(yīng)該再向前跑多少米？

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此題是將足球運(yùn)動問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵引導(dǎo)學(xué)生對足球常識的一個認(rèn)知，體會在實際生活中踢足球時，足球運(yùn)動路徑，老師最好帶領(lǐng)學(xué)生一起去體驗，讓學(xué)生真正感知，另一點(diǎn)將實際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，體會拋物線平移變化的規(guī)律 . 從實際到理論，通過建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題 ．

（三） 利用函數(shù)解決最大（小）值問題的困惑

例 17 ：某瓜果基地市場部為指導(dǎo)該基地某種蔬菜的生產(chǎn)和銷售，在對歷年市場行情和生產(chǎn)情況進(jìn)行了調(diào)查的基礎(chǔ)上，對今年這種蔬菜上市后，市場售價和生產(chǎn)成本進(jìn)行了預(yù)測，提供了兩個方面的信息，如圖甲、乙所示 ( 甲、乙兩圖中的每個實心黑點(diǎn)所對應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份的售價和成本，生產(chǎn)成本 6 月份最低，甲圖的圖象是線段，乙圖的圖象是拋物線段 ) ．

請你根據(jù)圖像提供的信息說明：

(1) 在 3 月份出售這種蔬菜，每千克的收益是多少元？ ( 收益＝售價－成本 )

(2) 哪個月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？說明理由；

(3) 已知市場部銷售該種蔬菜， 4 、 5 兩個月的總收益為 48 萬元，且 5 月份的銷量比 4 月份的銷量多 2 萬公斤，求 4 、 5 兩個月銷量各多少萬公斤？

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此題老師在講解時，要帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真分析題中信息的含義，題中存在的等量關(guān)系及每個圖的意義： 由每千克的收益 = 售價－成本，分別由甲、乙兩圖求出售價與月份，每千克成本與月份的函數(shù)關(guān)系式，其中圖甲反映的是一次函數(shù)，圖乙反映的是二次函數(shù)，則收益為二次函數(shù)，求這個函數(shù)的最大值．抓住切入點(diǎn)建立函數(shù)關(guān)系去解決問題 .

解：（ 1 ）從甲圖知： 3 月份出售這種蔬菜，每千克售價為 5 元；

從乙圖知， 3 月份購買這種蔬菜的成本為每千克 4 元，

根據(jù)收益 = 售價 - 成本，易知，

在 3 月份出售這種蔬菜每千克的收益是 1 元；

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( 四 ) 利用反比例函數(shù)解決實際問題的困惑

在與數(shù)學(xué)聯(lián)系密切的物理、化學(xué)學(xué)科中存在大量的成反比例函數(shù)的關(guān)系量凡是成反比例關(guān)系的兩個量，都可以用反比例函數(shù)解決，特別地，在求反比例函數(shù)的關(guān)系式時，要注意自變量的取值范圍，更要注意考慮實際情況 .

而學(xué)生在遇到這種跨學(xué)科應(yīng)用的問題時，一是困惑不知從什么角度去聯(lián)系兩個學(xué)科之間的關(guān)系，二是困惑不知從其他學(xué)科中如何尋找數(shù)學(xué)問題 .

例 18 ．某種氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓 P(kPa ) 是氣體體積 V(m3 ) 的反比例函數(shù)，其圖象如圖示，當(dāng)氣球內(nèi)氣體的氣壓對于 120kPa 時，氣球?qū)⒈ǎ瑸榱税踩瑲怏w的體積應(yīng)該（ ）

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例 19. 李明參加了新月電腦公司推出的分期付款購買電腦活動，他購買的電腦價格為 1.2 萬元，交了首付之后每月付款 y 元， x 個月結(jié)清余款， y 與 x 的函數(shù)關(guān)系如圖所示，試根據(jù)圖象所提供的信息回答下列問題：

（ 1 ）確定 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出首付的數(shù)目；

（ 2 ）李明若用 4 個月結(jié)清余款，每月應(yīng)付多少元？

（ 3 ）如果打算每月付款不超過 500 元，李明至少幾個月才能結(jié)清余款？

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所以李明至少 16 個月才能結(jié)清余款 .

把實際問題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立反比例函數(shù)模型，即列出符合題意的反比例函數(shù)的解析式，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解 .

學(xué)生面對這樣的應(yīng)用問題困惑之一是對實際問題中的有關(guān)量不理解，也就是缺少生活實際經(jīng)驗 . 困惑二是不知從什么角度思考去利用函數(shù)來解決問題 . 困惑三是不知實際問題中什么量可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，去建立數(shù)學(xué)模型 .

例 20 ．近年來，我國煤礦安全事故頻頻發(fā)生 , 其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是 CO ，在一次礦難事件的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：從零時起，井內(nèi)空氣中 CO 的濃度達(dá)到 4mg/L, 此后濃度呈直線型增加，在第 7 時到達(dá)最高值 46mg/L ，發(fā)生爆炸；爆炸后，空氣中的 CO 濃度呈反比例下降，如圖，根據(jù)題中相關(guān)信息回答下列問題：

（ 1 ）求爆炸前后空氣中 CO 濃度 y 與時間 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量取值范圍；

（ 2 ）當(dāng)空氣中的 CO 濃度達(dá)到 34mg/L 時，井下 3km 的礦工接到自動報警信號，這里他們至少要以每小時多少千米的速度散離才能在爆炸前逃生？

（ 3 ）礦工只有在空氣中的 CO 濃度降到 4mg/L 及以下時，才能回到礦井開展生產(chǎn)自救，求礦工至少在爆炸后多少小時才能下井？

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所以至少在爆炸后 73.5 小時才能下井 .

本題中兩個變量的關(guān)系不是單一的一次函數(shù)或反比例函數(shù)關(guān)系，而是兩者的復(fù)合，這類題目在函數(shù)應(yīng)用中很普遍，注意在實際問題中提煉出函數(shù)模型，同時要加上自變量的取值范圍，這點(diǎn)也正是學(xué)生的困惑之處，所以教師在講解時也要在這點(diǎn)上講解清楚，引導(dǎo)學(xué)生掌握好解題方法和思路 .

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（ 3 ）以下方法只要回答一種即可

方法一：利用鈍角的一半是銳角，然后利用上述結(jié)論把銳角三等分的方法即可 .

方法二：也可把鈍角減去一個直角得一個銳角，然后利用上述結(jié)論把銳角三等分后 . 再將直角利用等邊三角形（或其他方法）將其三等分即可 .

這是一道本學(xué)科知識點(diǎn)之間應(yīng)用的一個問題，學(xué)生困惑點(diǎn)是不知如何由形確定數(shù)，再由數(shù)解決形的問題的入手點(diǎn) .

綜上，運(yùn)用函數(shù)知識解決實際問題時，可以從多角度思考，利用函數(shù)的圖象、表格、解析式等對實際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，尋找變量之間的關(guān)系，檢驗所建立的函數(shù)的合理性，在實際教學(xué)中還可以結(jié)合實際情況選擇更貼近生活的各種問題，進(jìn)一步的強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識，更深入的的滲透數(shù)學(xué)建模的思想，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)．

函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)地位分析第 3 篇

在高中新課程中，函數(shù)是在實際中應(yīng)用最多的內(nèi)容之一，它是反映現(xiàn)實生活和其它學(xué)科規(guī)律的基本的數(shù)學(xué)模型。作為新課程的一條主線，函數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用貫穿在高中新課程的始終。

一、 函數(shù)與方程

用函數(shù)的觀點(diǎn)看待方程，可以用動態(tài)的觀點(diǎn)看方程，把方程看成函數(shù)變化過程中的一個特殊狀態(tài)，方程的根是函數(shù)的零點(diǎn)，解方程就是求函數(shù)的零點(diǎn)。

例1.設(shè)6ec8aac122bd4f6e，若僅有一個常數(shù)c使得對于任意的6ec8aac122bd4f6e，都有6ec8aac122bd4f6e滿足方程6ec8aac122bd4f6e，這時，6ec8aac122bd4f6e的取值的集合為 。

分析:題目給出的方程中含有6ec8aac122bd4f6e等多個字母，而條件中是對任意的6ec8aac122bd4f6e都有6ec8aac122bd4f6e，這使我們聯(lián)想到函數(shù)的定義域、值域，所以必須把方程改寫為關(guān)于6ec8aac122bd4f6e的函數(shù)，再進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)。

解：由已知6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e（其中6ec8aac122bd4f6e），函數(shù)為反比例函數(shù)，在6ec8aac122bd4f6e（6ec8aac122bd4f6e）上為單調(diào)遞減，所以當(dāng)6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e又因為對于任意的6ec8aac122bd4f6e，都有6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e，因為有且只有一個常數(shù)6ec8aac122bd4f6e符合題意，所以6ec8aac122bd4f6e，解得6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e的取值的集合為6ec8aac122bd4f6e。

本題看似方程問題，實質(zhì)是函數(shù)問題，通過分析、轉(zhuǎn)化為函數(shù)，并運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為不等式組解出，自覺地、巧妙地運(yùn)用函數(shù)的思想來指導(dǎo)解答問題。

二、 函數(shù)與數(shù)列

數(shù)列是特殊的函數(shù)。因為它的定義域一般是自然數(shù)集或其子集，而自然數(shù)是離散的，因此，數(shù)列通常稱為離散函數(shù)。教材中從兩個角度對數(shù)列給出了定義，一是描述性定義：數(shù)列是按照一定順 序排列著的一列數(shù)，二是函數(shù)性定義：數(shù)列是一類定義在整數(shù)集或它的有限子集上的一種特殊函數(shù)，由此可見，任何數(shù)列問題都具有函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的一些固有特征。充分利用函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)去揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而達(dá)到更有效、更快捷地解決數(shù)列的問題。如等差數(shù)列與一次函數(shù)的聯(lián)系，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)造特殊函數(shù)模型結(jié)合圖象解決問題等。

例2． 數(shù)列通項,前30項中最大項和最小項分別是( )

A B C D

分析:用分離常數(shù)法,得.該函數(shù)圖象是經(jīng)過坐標(biāo)軸平移后的反比例函數(shù)圖像

三、函數(shù)與不等式、線性規(guī)劃

用函數(shù)的觀點(diǎn)看不等式——運(yùn)動變化、數(shù)形結(jié)合、幾何直觀。例如二次不等式、高次不等式的解法，都是以函數(shù)為載體，通過數(shù)形結(jié)合的方法來實現(xiàn)。從函數(shù)的觀點(diǎn)看，線性規(guī)劃問題就是確定目標(biāo)函數(shù)在可行域（由約束條件確定的定義域）內(nèi)的最值問題，是函數(shù)知識在更高維度上的擴(kuò)展。

例3． 不等式恰好有一個實數(shù)解，則的取值范圍是 。

分析：如果僅從不等式的角度去思考問題，就要解兩個含參不等式，并且使其交集只含有一個元素，理論上可行，但實際解決起來很繁瑣。換一角度思考：由不等式可構(gòu)造函數(shù)：，題目轉(zhuǎn)化為該二次函數(shù)的圖像在軸和直線僅僅出現(xiàn)一個點(diǎn)，不難想象二次函數(shù)的圖像應(yīng)滿如圖所示的樣子，即拋物線的最低點(diǎn)在直線上，故，解得。

四、函數(shù)與解析幾何

平面曲線是函數(shù)概念的重要背景，嚴(yán)格定義后它們有差異，但仍有緊密聯(lián)系。例如：從函數(shù)的角度看，一元二次函數(shù)的圖象是拋物線，體現(xiàn)的是變量之間的對應(yīng)關(guān)系；從方程和曲線的角度看，拋物線是由“到定點(diǎn)和定直線等距”這一幾何特征確定的曲線。函數(shù)為解析幾何學(xué)習(xí)中所需的數(shù)、形結(jié)合思想奠定了基礎(chǔ)。

例4． 已知P點(diǎn)在圓x2+(y-4)2=1上移動，Q點(diǎn)有橢圓上移動,Q點(diǎn)在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。

分析：兩個都是動點(diǎn)，看不出究竟，P、Q在什么位置時|PQ|最大

故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值。

解：設(shè)Q（x，y），則|O1Q|2= x2+(y-4)2=1 ①

因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) ⑵

將②代入①得

|O1Q|2=9（1-y2）+（y-4）2

=

因為Q在橢圓上移動，所以 —1≤y≤1

故當(dāng)時，|O1Q|mox=

此時 |PQ| mox=+1

函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等。

五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

函數(shù)是導(dǎo)數(shù)的研究對象。沒有導(dǎo)數(shù)時，函數(shù)性質(zhì)的研究需要許多技巧；導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的通用、有效、簡便的工具。用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、進(jìn)一步理解函數(shù)概念和性質(zhì)的聯(lián)系，是對函數(shù)概念理解的又一次上升。如求函數(shù)的最值問題，判斷函數(shù)的單調(diào)性問題等。

例5．已知函數(shù)，

(2)若在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

解：(1) ，解得，如下圖，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，－1），（3，＋∞）．

(2)

于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．

故，因此f (－1)＝－7，即函數(shù)f (x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7．

二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用是函數(shù)內(nèi)容中的一個重點(diǎn)，而隨著導(dǎo)數(shù)知識的介入，三次函數(shù)在函數(shù)問題的研究中凸顯出其重要性。三次函數(shù)問題,可通過求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或二次方程問題,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的基本知識及二次函數(shù)的性質(zhì)來解決。

六、立體幾何中的“動態(tài)問題”，是指空間圖形中的某些點(diǎn)、線、面的位置是不確定的、可變的一類開放問題。點(diǎn)、線、面的變化必然導(dǎo)致位置關(guān)系或一些量的變化，在具體問題中，讓變量變化，考慮由此變化所引發(fā)的其它量的變化，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，則可將立體幾何問題用代數(shù)方法解決。

例6．等邊三角形ABC的邊長為a，將它沿平行于BC的線段DE折起，使平面ADE平面BDEC，若折疊后AB的長度為d，則d的最小值為（ ）

A. B. C. D.

分析：在此問題中，DE在三角形ABC中的位置是

變化的，由此變化引起翻折后AO、OF的變化，從而

導(dǎo)致AF的變化，進(jìn)而形成了折疊后AB的長度的變化。

設(shè)AO=x，則，

由此易知時，取得最小值為

七、函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)實世界中的許多關(guān)系是運(yùn)用函數(shù)模型來刻畫的，算法作為研究函數(shù)的工具，二者有著密切的聯(lián)系。例如:算法的順序結(jié)構(gòu)：輸入——處理——輸出，和函數(shù)的定義：對任意一個x,都有唯一的y與之對應(yīng)。那么一個簡單的函數(shù)關(guān)系y=2x+1：就可以用相應(yīng)的順序結(jié)構(gòu)來寫出算法:輸入x的值——求出y=2x+1——輸出y的值。通過這樣的一個例子，我們將函數(shù)和算法自然而然結(jié)合起來，既學(xué)習(xí)了順序結(jié)構(gòu)這一新知，又復(fù)習(xí)了函數(shù)的定義，使二者相符相成。當(dāng)進(jìn)入條件結(jié)構(gòu)的教學(xué)時，我們自然而然地引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到分段函數(shù)。

例7． 鐵路托運(yùn)行李，從甲地到乙地，按規(guī)定每張車票托運(yùn)行李不超過50kg時，每千克0.13元，如超過50kg，超過的部分按每千克0.20元計算，如果行李重量為W(kg),運(yùn)費(fèi)為F（元），函數(shù)模型為：

請設(shè)計程序，輸入行李的重量W，輸出運(yùn)費(fèi)F.

分析：運(yùn)費(fèi)F是行李重量W的分段函數(shù)，

可以用條件結(jié)構(gòu)的算法解決，

框圖如下：

通過上面的例子，我們就會體會到順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和函數(shù)有著必然的聯(lián)系，使我們更加體會到函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的重要。

從20世紀(jì)初函數(shù)開始進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)，克萊因提出了一個重要的思想——以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容，這足見“函數(shù)”的重要地位。新課程中，在義務(wù)教育基礎(chǔ)上又進(jìn)行了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的研究，其中涉及他們的定義、圖像、性質(zhì)以及基本應(yīng)用。而函數(shù)與方程、函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)與不等式、函數(shù)與線性規(guī)劃、函數(shù)與算法等等都有著不可分割的聯(lián)系，新課程中函數(shù)真的是無處不在。在教學(xué)過程中，始終堅持以函數(shù)為綱，做到“綱舉目張”。

函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)地位分析第 4 篇

一、地位：

（1）函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的入門知識，是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

（2）函數(shù)教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中起主導(dǎo)作用，其所涉及的一些數(shù)學(xué)思想方法貫穿整個高中數(shù)學(xué)的始終，并對其它相關(guān)理科學(xué)科有指導(dǎo)意義。

（3）學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的必備知識。

二、新舊教材的對比及變化：

（1）刪掉了函數(shù)的奇偶性。

（2）淡化了映射的概念。

（3）加強(qiáng)了求函數(shù)解析式部分的內(nèi)容，新教材無論從例題的數(shù)量還是質(zhì)量都得到了提升，這說明新教材對學(xué)生的能力要求有所提高。

（4）新教材出現(xiàn)了一些與生活實際密切相關(guān)的新題，如稅收問題、噴泉水池問題等等，一方面教材也在與時俱進(jìn)；另一方面加強(qiáng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用功能和實用價值。

三、重點(diǎn)難點(diǎn)分析：

1、函數(shù)的概念的教學(xué)

（1）函數(shù)與映射的關(guān)系。

（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)法則、值域

（3）定義域是函數(shù)不可缺少的重要組成部分，在解題時要引起高度重視。

（4）要重視分段函數(shù)的教學(xué)。

（5）掌握求一個函數(shù)的反函數(shù)的基本步驟。

（6）在講解函數(shù)概念時，要注意文字語言、符號語言、圖像語言及數(shù)表語言之間的相互轉(zhuǎn)化。

例1已知函數(shù)y=f(x),x[a,b],那么集合{(x,y)}|y=f(x),x[a,b]}

∩{(x,y)|x=1,y∈R}中，所含元素的個數(shù)是________。

例2 設(shè) 集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2}，給出下列4個圖像

其中能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系的有_______個。

（7）求抽象函數(shù)的定義域是本節(jié)內(nèi)容的一個難點(diǎn)。

例3 若f(x)的定義域是[-1,1]求函數(shù)f(x+1)的定義域。

（8）求函數(shù)的值域也是本節(jié)內(nèi)容的一個難點(diǎn)，針對函數(shù)值域的教學(xué)，應(yīng)該循序漸進(jìn)，逐步推進(jìn)。

（9）求函數(shù)解析式既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，這部分的教學(xué)要做到（1）掌握常見函數(shù)的解析式；（2）會用待定系數(shù)法求解析式。（3）掌握其它求解析式的常見方法（換元，配湊等）（4）能結(jié)合實際問題建立數(shù)學(xué)模型，求出目標(biāo)函數(shù)，重視函數(shù)的應(yīng)用。

2、函數(shù)的性質(zhì)的教學(xué)

（1）熟練掌握函數(shù)各種性質(zhì)的定義，（單調(diào)性，周期性，對稱性等）。

（2）運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解題是一個難點(diǎn)。

例3用函數(shù)單調(diào)性定義證明f(x)=在（-∞，1/2）上單調(diào)減。

證明，任取x1,x2∈(-∞,1/2)且使x1

f(x1)-f(x2)= －

=

=>0

（3）熟悉各種符號語言與函數(shù)性質(zhì)的等價轉(zhuǎn)化

例4 定義在R上的函數(shù)f(x)，下列符號語言分別表示f(x)具有哪些性質(zhì)？

1、若f(-x)= f(x)則f(x)的圖像關(guān)于___________。

2、若f(-x)= -f(x)則f(x)的圖像關(guān)于___________。

3、若f(a+x)= f(a-x)則f(x)的圖像關(guān)于___________。

4、若f(a+x)= -f(a-x)則f(x)的圖像關(guān)于___________。

5、若f(x+a)= f(x-a)則f(x)___________。

6、若f(x+a)= -f(x-a)則f(x)___________。

3、函數(shù)的圖像的教學(xué)

（1）要能正確畫出基本初等函數(shù)的圖像。

（2）滲透函數(shù)圖像間的三種變換：平移變換，伸縮變換和對稱變換，這是圖像教學(xué)的一個難點(diǎn)。

例5 函數(shù)y=log2(-x)的圖像通過怎樣的變換得到函數(shù)y=log2(-x+3)的圖像。

例6 已知函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（0，1）則函數(shù)f(x+3)的反函數(shù)的圖像必經(jīng)過點(diǎn)___________。

（3）會用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題：

例7 （1）試討論方程|1-x|=kx的實數(shù)根的個數(shù)。

（2）試討論方程|2x2-4x|-a=0的解的個數(shù)。

（3）已知0

（4）方程x2-mx+4=0在[-1，1]上有解，求m的取值范圍。

教學(xué)關(guān)鍵：1、選擇合適的函數(shù)2、正確作出所設(shè)函數(shù)的圖像。

3、通過對動曲線的平移或旋轉(zhuǎn)尋找變化規(guī)律。

4、函數(shù)的應(yīng)用的教學(xué)：

（1）應(yīng)用問題主要考查應(yīng)用數(shù)學(xué)意識，觀點(diǎn)，方法去處理實際問題的能力，在教學(xué)中要處理好解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的三個關(guān)鍵步驟：

①閱讀理解 ②數(shù)學(xué)建模 ③數(shù)學(xué)求解

（2）應(yīng)用函數(shù)知識解應(yīng)用題時應(yīng)注意的方法和步驟：

①、正確地將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，這是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化來源于對已知條件的綜合分析，歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，以確定函數(shù)模型的種類。

②、用相關(guān)的函數(shù)知識，進(jìn)行合理設(shè)計，確定最佳解題方案，進(jìn)行數(shù)學(xué)上的計算求解。

③、把計算獲得的結(jié)果回到實際問題中去解釋實際問題，即對實際問題進(jìn)行總結(jié)作答。

（3）解函數(shù)應(yīng)用問題學(xué)生中常見的錯誤。

①、不會將實際問題抽象轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，或轉(zhuǎn)化不全面。

②、在求解過程中忽略實際問題對變量參數(shù)的限制條件。

5、需要補(bǔ)充說明的問題：

（1）關(guān)注定義域是函數(shù)教學(xué)永遠(yuǎn)的目標(biāo)，要著力培養(yǎng)學(xué)生自覺考慮函數(shù)定義域的習(xí)慣和意識。

（2）加強(qiáng)對二次函數(shù)的補(bǔ)缺，補(bǔ)漏教學(xué)，做好初高中教材的銜接教學(xué)，切實把二次函數(shù)的教學(xué)分散落實到各單元函數(shù)教學(xué)中去。

（3）提升指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容。