這是怎樣學集合的運算，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

怎樣學集合的運算第1篇

學習目標：

（1）理解交集與并集的概念；

　　（2）掌握兩個較簡單集合的交集、并集的求法；

　　（3）通過對交集、并集概念的講解，培養學生觀察、比較、分析、概括、等能力，使學生認識由具體到抽象的思維過程；

　　（4）通過對集合符號語言的學習，培養學生符號表達能力，培養嚴謹的學習作風，養成良好的學習習慣。

教學重點：交集和并集的概念

教學難點：交集和并集的概念、符號之間的區別與聯系

合作探究展示：

一、 問題銜接

我們知道兩個實數除了可以比較大小外，還可以進行加法運算，類比實數的加法運算，兩個集合是否也可以“相加”呢？

思考（P8思考題），引入并集概念。

二、 新課教學

1. 并集

一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（Union）

記作：A∪B 讀作：“A并B”

即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}

Venn圖表示：

說明：兩個集合求并集，結果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合（重復元素只看成一個元素）。

例題（P8-9例4、例5）

說明：連續的（用不等式表示的）實數集合可以用數軸上的一段封閉曲線來表示。

問題：在上圖中我們除了研究集合A與B的并集外，它們的公共部分（即問號部分）還應是我們所關心的，我們稱其為集合A與B的交集。

2. 交集

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集（intersection）。

記作：A∩B 讀作：“A交B”

即： A∩B={x|∈A，且x∈B}

交集的Venn圖表示

說明：兩個集合求交集，結果還是一個集合，是由集合A與B的公共元素組成的集合。

例題（P9-10例6、例7）

拓展：求下列各圖中集合A與B的并集與交集

說明：當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集

3. 探索研究

A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A

AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A

三、 歸納小結（略）

四、 作業布置

書面作業：P12習題1.1，第6-8題

拓展提高：

題型一 已知集合的交集、并集求參數問題

例1http://www.ks5u.com/ 已知集合，若，

求實數的值http://www.ks5u.com/

解：∵，∴，而，

∴當，

這樣與矛盾；

當符合

∴

練習1已知集合若求a的值

答案 a=-3

例2.已知若求的取值范圍.

解（1）若此時

（2）若

綜上所述，的取值范圍是

練習2上題中若。

答案 ：不存在

題型二 交集、并集性質的運用

例3 設,其中,

如果，求實數的取值范圍http://www.ks5u.com/

解：由，而，

當，即時，，符合；

當，即時，，符合；

當，即時，中有兩個元素，而；

∴得

∴http://www.ks5u.com/

練習3設集合求實數的取值范圍.

答案：

隨堂檢驗：

1.滿足 （ B ）

（A）1 (B)2 (C)3 (D)4

2.已知集合那么等于 （ B ）

(A) (B) (C) (D)

3.已知集合那么 ( D )

(A)(0,2)(1,1) (B) (C) (D)

4.已知集合

5.已知集合則 -4

6.已知集合若求實數的取值范圍 x

1.1.3 集合的基本運算(第一課時)

一、課時學習目標

1、知識與技能：理解并集、交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。

2、過程與方法:體驗通過實例分析和閱讀自學探究集合間的關系與運算的過程，培養學生的自學 . 閱讀能力和自主探究能力。

3、情感：態度與價值觀。通過使用符號表示、集合表示、圖形表示集合間的關系與運算，讓學生感受集合語言在描述客觀現實和數學問題的意義，學習用數學的思維方式去認識世界，解決問題的能力，同時培養學生的語言轉換能力。

二、課時預習導學：請同學們閱讀課本P8—10內容完成下類問題：

1、一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的_____，記作_____，讀作_____即A∪B={x︱ }

思考：設，求

提示：⑴、在求解并集時應注意什么？同時思考以下關系：

⑵、生活用語中的“或”“或此”“或彼”只取其一，并不兼存，而并集中的“或”則是“或此”“或彼”“或彼此”可兼用“”包含三種情形：________________

2 如何用Venn圖表示集合A∪B。

3 一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的______，記作_____，讀作______，即A∩B=｛X|________｝

思考1、：設平面內直線1上點的集合為L1，直線2上的點的集合為L2，試用集合的運算表示1 . 2的位置關系；

提示： A∩B實際上是由集合A與集合B的公共元素所組成的集合，并不是任何兩個集合都有公共元素，當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而應該是A∩B=______

思考2：設A=｛4 . 5 . 6 . 8 . 9 ｝，B=｛4 . 6 . 7 . 10｝，C=｛1 . 2 . 6 ｝求A∩B , B∩C

并回答以下問題： A∩B______B∩A , (A∩B) ∩C____A∩(B∩C) ,

4 如何用Vnne圖表示集合A∩B。

三、課內學習鞏固：

1、完成教材P8-9，例5、例6；

2、設集合A={-3，0，1}，B={t2-t+1}, 若A∪B=A則t=＿＿＿＿

3、設集合A={}，B={}, 若A∩B=｛－３｝求ａ的值。

四、課后拓展延伸

1、通過以上學習思考一下問題

⑴、A∩A =_____ A∩=_______

⑵、若則A∪B＝＿＿＿　A∩B=＿＿＿

　2、習題1.1 A組5-8,

　　B組1-3

3、已知

　　　⑴、若A∩B=A∪B，　求ａ的值；⑵、若，求ａ的值

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1．設集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，則A∪B等于(

　　)

A．{x|x≥3}

　　

　　

　　

　　

　　B．{x|x≥2}

C．{x|2≤x＜3} D．{x|x≥4}

【解析】　B＝{x|x≥3}．畫數軸(如下圖所示)可知選B.

【答案】　B

2．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，則A∩B＝(

　　)

A．{3,5} B．{3,6}

C．{3,7} D．{3,9}

【解析】　A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B＝{3,9}．故選D.

【答案】　D

3．50名學生參加甲、乙兩項體育活動，每人至少參加了一項，參加甲項的學生有30名，參加乙項的學生有25名，則僅參加了一項活動的學生人數為________．

【解析】　

設兩項都參加的有x人，則只參加甲項的有(30-x)人，只參加乙項的有(25-x)人．(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5.

∴只參加甲項的有25人，只參加乙項的有20人，

∴僅參加一項的有45人．

【答案】　45

4．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值．

【解析】　∵A∩B＝{9}，

∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.

當a＝5時，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}．

此時A∩B＝{－4,9}≠{9}．故a＝5舍去．

當a＝3時，B＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去．

經檢驗可知a＝－3符合題意．

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為(

　　)

A．0 B．1

C．2 D．4

【解析】　∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，

∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故選D.

【答案】　D

2．設S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，則S∩T＝(

　　)

A．? B．{x|x<－21}

C．{x|x>35} D．{x|－21

【解析】　S＝{x|2x＋1>0}＝{x|x>－21}，T＝{x|3x－5<0}＝{x|x<35}，則S∩T＝{x|－21

【答案】　D

3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，則A∪B＝(

　　)

A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}

C．{x|0

【解析】　集合A、B用數軸表示如圖，

A∪B＝{x|x≥－1}．故選A.

【答案】　A

4．滿足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的個數是(

　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】　集合M必須含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．故選B.

【答案】　B

二、填空題(每小題5分，共10分)

5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實數a的取值范圍是________．

【解析】　A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需

a≤1.

【答案】　a≤1

6．滿足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的個數是________．

【解析】　由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，則A?{1,3,5}，且A中至少有一個元素為5，從而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4個子集，因此滿足條件的A的個數是4.它們分別是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．

【答案】　4

三、解答題(每小題10分，共20分)

7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.

【解析】　由A∪B＝{1,2,3,5}，B＝{1,2，x2－1}得x2－1＝3或x2－1＝5.

若x2－1＝3則x＝±2；

若x2－1＝5，則x＝±；

綜上，x＝±2或±.

當x＝±2時，B＝{1,2,3}，此時A∩B＝{1,3}；

當x＝±時，B＝{1,2,5}，此時A∩B＝{1,5}．

8．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，求a的取值范圍．

【解析】　由A∩B＝?，

(1)若A＝?，

有2a>a＋3，∴a>3.

(2)若A≠?，

如圖：

∴，解得-≤a≤2.

綜上所述，a的取值范圍是{a|-≤a≤2或a>3}．

9．(10分)某班有36名同學參加數學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組．已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26,15,13，同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數學和化學小組的有多少人？

【解析】　設單獨參加數學的同學為x人，參加數學化學的為y人，單獨參加化學的為z人．

依題意x＋y＋z＝21，y＋4＋z＝13，解得z＝1.y＝8，

∴同時參加數學化學的同學有8人，

答：同時參加數學和化學小組的有8人．

怎樣學集合的運算第2篇

　　教學分析

　　課本從學生熟悉的集合出發，結合實例，通過類比實數加法運算引入集合間的運算，同時，結合相關內容介紹子集和全集等概念.在安排這部分內容時，課本繼續注重體現邏輯思考的方法，如類比等.

　　值得注意的問題：在全集和補集的教學中，應注意利用圖形的直觀作用，幫助學生理解補集的概念，并能夠用直觀圖進行求補集的運算.

　　三維目標

　　1.理解兩個集合的并集與交集、全集的含義，掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法，會求給定子集的補集，感受集合作為一種語言，在表示數學內容時的簡潔和準確，進一步提高類比的能力.

　　2.通過觀察和類比，借助Venn圖理解集合的基本運算.體會直觀圖示對理解抽象概念的作用，培養數形結合的思想.

　　重點難點

　　教學重點：交集與并集、全集與補集的概念.

　　教學難點：理解交集與并集的概念，以及符號之間的區別與聯系.

　　課時安排

　　2課時

　　教學過程

　　第1課時

　　導入新課

　　思路1.我們知道，實數有加法運算，兩個實數可以相加，例如5+3=8.類比實數的加法運算，集合是否也可以“相加”呢?教師直接點出課題.

　　思路2.請同學們考察下列各個集合，你能說出集合C與集合A，B之間的關系嗎?

　　(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6};

　　(2)A={x|x是有理數}，B={x|x是無理數}，C={x|x是實數}.

　　引導學生通過觀察、類比、思考和交流，得出結論.教師強調集合也有運算，這就是我們本節課所要學習的內容.

　　思路3.(1)①如圖1甲和乙所示，觀察兩個圖的陰影部分，它們分別同集合A、集合B有什么關系?

　　圖1

　　②觀察集合A，B與集合C={1,2,3,4}之間的關系.

　　學生思考交流并回答，教師直接指出這就是本節課學習的課題：集合的基本運算.

　　(2)①已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，寫出由集合A，B中的所有元素組成的集合C.

　　②已知集合A={x|x>1}，B={x|x<0}，在數軸上表示出集合A與B，并寫出由集合A與B中的所有元素組成的集合C.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　(1)通過上述問題中集合A，B與集合C之間的關系，類比實數的加法運算，你發現了什么?

　　(2)用文字語言來敘述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關系.

　　(3)用數學符號來敘述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關系.

　　(4)試用Venn圖表示A∪B=C.

　　(5)請給出集合的并集定義.

　　(6)求集合的并集是集合間的一種運算，那么，集合間還有其他運算嗎?

　　請同學們考察下面的問題，集合A，B與集合C之間有什么關系?

　　①A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8};

　　②A={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級女同學}，B={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級男同學}，C={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級同學}.

　　(7)類比集合的并集，請給出集合的交集定義，并分別用三種不同的語言形式來表達.

　　活動：先讓學生思考或討論問題，然后再回答，經教師提示、點撥，并對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路，主要引導學生發現集合的并集和交集運算并能用數學符號來刻畫，用Venn圖來表示.

　　討論結果：(1)集合之間也可以相加，也可以進行運算，但是為了不和實數的運算相混淆，規定這種運算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A與B的并集.記為A∪B=C，讀作A并B.

　　(2)所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成了集合C.

　　(3)C={x|x∈A，或x∈B}.

　　(4)如圖1所示.

　　(5)一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集.其含義用符號表示為A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn圖表示，如圖1所示.

　　(6)集合之間還可以求它們的公共元素組成的集合，這種運算叫求集合的交集，記作A∩B，讀作A交B.①A∩B=C，②A∪B=C.

　　(7)一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.

　　其含義用符號表示為：

　　A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

　　用Venn圖表示，如圖2所示.

　　圖2

　　應用示例

　　例1 集合A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，則A∩B，B∪C，A∩B∩C分別是什么?

　　活動：學生先思考集合中元素的特征，明確集合中的元素.將集合中元素利用數形結合在數軸上找到，那么運算結果尋求就易進行.這三個集合都是用描述法表示的數集，求集合的并集和交集的關鍵是找出它們的公共元素和所有元素.

　　解：因為A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，在數軸上表示，如圖3所示，所以A∩B={x|00}，A∩B∩C= .

　　圖3

　　點評：本題主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集時，①明確集合中的元素;②依據并集和交集的含義，直接觀察或借助于數軸或Venn圖寫出結果.

　　變式訓練

　　1.設集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

　　解：對任意m∈A，則有m=2n=2•2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那么m∈B，即對任意m∈A有m∈B，所以A⊆B.

　　而10∈B但10 A，即A B，那么A∩B=A，A∪B=B.

　　2.求滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的個數.

　　解：滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};還可含1或2其中一個，有{1,3}，{2,3};還可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4個滿足條件的集合B.

　　3.設集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.

　　解：∵A∩B={9}，則9∈A，a-1=9或a2=9.

　　∴a=10或a=±3.

　　當a=10時，a-5=5 ,1-a=-9;

　　當a=3時，a-1=2不合題意;

　　當a=-3時，a-1=-4不合題意.

　　故a=10.此時A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，滿足A∩B={9}.

　　4.設集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3

　　A.{x|-3

　　C.{x|x>-3} D.{x|x<1}

　　解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，

　　觀察或由數軸得A∩B={x|-3

　　答案：A

　　例2 設集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

　　活動：明確集合A，B中的元素，教師和學生共同探討滿足A∩B=B的集合A，B的關系.集 合A是方程x2+4x=0的解組成的集合，可以發現，B⊆A，通過分類討論集合B是否為空集來求a的值.利用集合的表示 法來認識集合A，B均是方程的解集，通過畫Venn圖發現集合A，B的關系，從數軸上分析求得a的值.

　　解：由題意得A={-4,0}.

　　∵A∩B=B，∴B⊆A.

　　∴B= 或B≠ .

　　當B= 時，即關于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0無實數解，

　　則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

　　當B≠ 時，若集合B僅含有一個元素，則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，

　　此時，B={x|x2=0}={0}⊆A，即a=-1符合題意.

　　若集合B含有兩個元素，則這兩個元素是-4,0，

　　即關于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

　　則有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.

　　解得a=1，則a=1符合題意.

　　綜上所得，a=1或a≤-1.

　　變式訓練

　　1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，則能使A⊆(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?

　　解：由題意知A⊆(A∩B)，即A⊆B，A非空，利用數軸得 解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.

　　2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m -1}，且A∪B=A，試求實數m的取值范圍.

　　分析：由A∪B=A得B⊆A，則有B= 或B≠ ，因此對集合B分類討論.

　　解：∵A∪B=A，∴B⊆A.

　　又∵A={x|-2≤x≤5}≠ ，∴B= ，或B≠ .

　　當B= 時，有m+1>2m-1，∴m<2.

　　當B≠ 時，觀察圖4：

　　圖4

　　由數軸可得 解得2≤m≤3.

　　綜上所述，實數m的取值范圍是m<2或2≤m≤3，即m≤3.

　　點評：本題主要考查集合的運算、分類討論的思想，以及集合間關系的應用.已知兩個集合的運算結果，求集合中參數的值時，由集合的運算結果確定它們的關系，通過深刻理解集合表示法的轉換，把相關問題化歸為其他常見的方程、不等式等數學問題.這稱為數學的化歸思想，是數學中的常用方法，學會應用化歸和分類討論的數學思想方法解決有關問題.

　　知能訓練

　　課本本節練習1,2,3.

　　【補充練習】

　　1.設集合A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，

　　(1)求A∩B，A∪B.

　　(2)用適當的符號(⊇，⊆)填空：

　　A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.

　　解：(1)因A，B的公共元素為5,8，故兩集合的公共部分為5,8，

　　則A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.

　　又A，B兩集合的所有相異元素為3,4,5,6,7,8，故A∪B={3,4,5,6,7,8}.

　　(2)由Venn圖可知

　　A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B.

　　2.設A={x|x<5}，B={x|x≥0}，求A∩B.

　　解：因x<5及x≥0的公共部分為0≤x<5，

　　故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.

　　3.設A={x|x是銳角三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B.

　　解：因三角形按角分類時，銳角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B兩集合沒有公共部分.

　　所以A∩B={x|x是銳角三角形}∩{x|x是鈍角三角形}= .

　　4.設A={x|x>-2}，B={x|x≥3}，求A∪B.

　　解：在數軸上將A，B分別表示出來，得A∪B={x|x>-2}.

　　5.設A={x|x是平行四邊形}，B={x|x是矩形}，求A∪B.

　　解：因矩形是平行四邊形，故由A及B的元素組成的集合為A∪B，A∪B={x|x是平行四邊形}.

　　6.已知M={1}，N={1,2}，設A={(x，y)|x∈M，y∈N}，B={(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.

　　分析：M，N中的元素是數，A，B中的元素是平面內的點集，關鍵是找其元素.

　　解：∵M={1}，N={1,2}，∴A={(1,1)，(1,2)}，B={(1,1)，(2,1)}，故A∩B={(1,1)}，A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}.

　　7.若A，B，C為三個集合，A∪B=B∩C，則一定有(

　　)

　　A.A⊆C B.C⊆A C.A≠C D.A=

　　解析：思路一：∵(B∩C)⊆B，(B∩C)⊆C，A∪B=B∩C，

　　∴A∪B⊆B，A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.

　　思路二：取滿足條件的A={1}，B={1,2}，C={1,2,3}，排除B，D，

　　令A={1,2}，B={1,2}，C={1,2}，則此時也滿足條件A∪B=B∩C，

　　而此時A=C，排除C.

　　答案：A

　　拓展提升

　　觀察：(1)集合A={1,2}，B={1,2,3,4}時，A∩B，A∪B這兩個運算結果與集合A，B的關系;

　　(2)當A= 時，A∩B，A∪B這兩個運算結果與集合A，B的關系;

　　(3)當A=B={1,2}時，A∩B，A∪B這兩個運算結果與集合A，B的關系.

　　由(1)(2)(3)你發現了什么結論?

　　圖5

　　活動：依據集合的交集和并集的含義寫出運算結果，并觀察與集 合A，B的關系.用Venn圖來發現運算結果與集合A，B的關系.(1)(2)(3)中的集合A，B均滿足A⊆B，用Venn圖表示，如圖5所示，就可以發現A∩B，A∪B與集合A，B的關系.

　　解：A∩B=A⇔A⊆B⇔A∪B=B.

　　用類似方法，可以得到集合的運算性質，歸納如下：

　　A∪B=B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B);A∪A=A，A∪ =A，A⊆B⇔A∪B=B;

　　A∩B=B∩A;(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B;A∩A=A;A∩ = ;A⊆B⇔A∩B=A.

　　課堂小結

　　本節主要學習了：

　　1.集合的交集和并集.

　　2.通常借助于數軸或Venn圖來求交集和并集.

　　作業

　　1.課外思考：對于集合的基本運算，你能得出哪些運算規律?

　　2.請你舉出現實生活中的一個實例，并說明其并集、交集和補集的現實含義.

　　3.書面作業：課本習題1.1，A組，6,7,8.

　　設計感想

　　由于本節課內容比較容易接受，也是歷年高考的必考內容之一，所以在教學設計上注重加強練習和拓展課本內容.設計中通過借助于數軸或Venn圖寫出集合運算的結果，這是突破本節教學難點的有效方法.

　　第2課時

　　導入新課

　　問題：①分別在整數范圍和實數范圍內解方程(x-3)(x-3)=0，其結果會相同嗎?

　　②若集合A={x|0

　　學生回答后，教師指明：在不同的范圍內集合中的元素會有所不同，這個“范 圍”問題就是本節學習的內容，引出課題.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　①用列舉法表示下列集合：

　　A={x∈Z|(x-2) =0};

　　B={x∈Q|(x-2) =0};

　　C={x∈R|(x-2) =0}.

　　②問題①中三個集合相等嗎?為什么?

　　③由此看，解方程時要注意什么?

　　④問題①中，集合Z，Q，R分別含有所解方程時所涉及的全部元素，這樣的集合稱為全集，請給出全集的定義.

　　⑤已知全集U={1,2,3}，A={1}，寫出全集中不屬于集合A的所有元素組成的集合B.

　　⑥請給出補集的定義.

　　⑦用Venn圖表示?UA.

　　活動：組織學生充分討論、交流，使學生明確集合中的元素，提示學生注意集合中元素的范圍.

　　討論結果：①A={2}，B=2，-13，C=2，-13，2.

　　②不相等，因為三個集合中的元素不相同.

　　③解方程時，要注意方程的根在什么范圍內，同一個方程，在不同的范圍其解會有所不同.

　　④一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記為U.

　　⑤B={2,3}.

　　⑥對于一個集合A，全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集.

　　集合A相對于全集U的補集記為?UA，即?UA={x|x∈U，且x A}.

　　⑦如圖6所示，陰影表示補集.

　　圖6

　　應用示例

　　思路1

　　例1 設U={x|x是小于9的正整數}，A={1,2,3}，B={3,4,5,6}，求?UA，?UB.

　　活動：讓學生明確全集U中的元素，回顧補集的定義，用列舉法表示全集U，依據補集的定義寫出?UA，?UB.

　　解：根據題意，可知U={1,2,3,4,5,6,7,8}，

　　所以?UA={4,5,6,7,8}，?UB={1,2,7,8}.

　　點評：本題主要考查補集的概念和求法.用列舉法表示的集合，依據補集的含義，直接觀察寫出集合運算的結果.

　　常見結論：?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB);?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

　　變式訓練

　　1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5,7}，B={3,4,5}，則(?UA)∩(?UB)等于(

　　)

　　A.{1,6}

　　

　　　B.{4,5}

　　C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}

　　解析：思路一：觀察得(?UA)∩(?UB)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6}.思路二：A∪B={2,3,4,5,7}，則(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={1,6}.

　　答案：A

　　2.設集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,4}，B={2}，則A∩(?UB)等于(

　　)

　　A.{1,2,3,4,5} B.{1,4}

　　C.{1,2,4} D.{3,5}

　　答案：B

　　3.設全集U={1,2,3,4,5,6,7}，P={1,2,3,4,5}，Q={3，4,5,6,7}，則P∩(?UQ)等于(

　　)

　　A.{1,2} B.{3,4,5}

　　C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5}

　　答案：A

　　例2 設全集U={x|x是三角形}，A={x |x是銳角三角形}，B={x|x是鈍角三角形}.求A∩B，?U(A∪B).

　　活動：學生思考三角形的分類和集合的交集、并集和補集的含義.結合交集、并集和補集的含義寫出結果.A∩B是由集合A， B中公共元素組成的集合，?U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素組成的集合.

　　解：根據三角形的分類可知A∩B= ，

　　A∪B={x|x是銳角三角形或鈍角三角形}，

　　?U(A∪B)={x|x是直角三角形}.

　　變式訓練

　　1.已知集合A={x|3≤x<8}，求?RA.

　　解：?RA={x|x<3，或x≥8}.

　　2.設S={x|x是至少有一組對邊平行的四邊形}，A={x|x是平行四邊形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，求B∩C，?AB，?SA.

　　解：B∩C={x|x是正方形}，?AB={x|x是鄰邊不相等的.平行四邊形}，?SA={x|x是梯形}.

　　3.已知全集I=R，集合A={x|x2+ax+12b=0}，B={x|x2-ax+b=0}，滿足(?IA) ∩B={2}，(?IB)∩A={4}，求實數a，b的值.

　　解：a=87，b=-127.

　　4.設全集U=R，A={x|x≤2+3}，B={3,4,5,6}，則(?UA)∩B等于(

　　)

　　A.{4}

　　　B.{4,5,6}

　　　C.{2,3,4}

　　　D.{1,2,3,4}

　　解析：∵U=R，A={x|x≤2+3}，∴?UA={x|x>2+3}.而4,5,6都大于2+3，∴(?UA)∩B={4,5,6}.

　　答案：B

　　思路2

　　例1 已知全集U=R，A={x|-2≤x≤4}，B={x|-3≤x≤3}，求：

　　(1)?UA，?UB;

　　(2)(?UA)∪(?UB)，?U(A∩B)，由此你發現了什么結論?

　　(3)(?UA)∩(?UB)，?U(A∪B)，由此你發現了什么結論?

　　活動：學生回想補集的含義，教師指導學生利用數軸來解決.依據補集的含義，借助于數軸求得.

　　解：在數軸上表示集合A，B，如圖7所示，

　　圖7

　　(1)由圖得?UA={x|x<-2，或x>4}，?UB={x|x<-3，或x>3}.

　　(2)由圖得(?UA)∪(?UB)={x|x<-2，或x>4}∪{x|x<-3，或x>3}={x|x<-2，或x>3};∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3}，

　　∴?U(A∩B)=?U{x|-2≤x≤3}={x|x<-2，或x>3}.

　　∴得出結論?U(A∩B)=(?UA)∪(?U B).

　　(3)由圖得(?UA)∩(?UB)={x|x<-2，或x>4}∩{x|x<-3，或x>3}={x|x<-3，或x>4};∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4}，∴?U(A∪B)=?U{x|-3≤x≤4}={x|x<-3，或x>4}.∴得出結論?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

　　變式訓練

　　1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5,7}，B={3,4,5}，則(?UA)∪(?UB)等于(

　　)

　　A.{1,6}

　　

　　　B.{4,5}

　　C.{1,2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}

　　答案：D

　　2.設集合I={x||x|<3，x∈Z}，A={1,2}，B={-2，-1，2}，則A∪(?IB)等于(

　　)

　　A.{1}

　　　 B.{1,2} C.{2}

　　　 D.{0,1,2}

　　答案：D

　　例2 設全集U={x|x≤20，x∈N，x是質數} ，A∩(?UB)={3,5}，(?UA)∩B={7,19}，(?UA)∩(?UB)={2,17}，求集合A，B.

　　活動：學生回顧集合的運算的含義，明確全集中的元素.利用列舉法表示全集U，根據題中所給的條件，把集合中的元素填入相應的Venn圖中即可.求集合A，B的關鍵是確定它們的元素，由于全集是U，則集合A，B中的元素均屬于全集U，由于本題中的集合均是有限集并且元素的個數不多，可借助于Venn圖來 解決.

　　解：U={2,3,5,7,11,13,17,19}，

　　由題意借助于Venn圖，如圖8所示，

　　圖8

　　∴A={3,5,11,13}，B={7,11,13,19}.

　　點評：本題主要考查集合的運算、Venn圖以及推理能力.借助于Venn圖分析集合的運算問題，使問題簡捷地獲得解決，將本來抽象的集合問題直觀形象地表示出來，這正體現了數形結合思想的優越性.

　　變式訓練

　　1.設I為全集，M，N，P都是它的子集，則圖9中陰影部分表示的集合是(

　　)

　　圖9

　　A.M∩[(?IN)∩P]

　　B.M∩(N∪P)

　　C.[(?IM)∩(?IN)]∩P

　　D.M∩N∪(N∩P)

　　解析：思路一：陰影部分在集合M內部，排除C;陰影部分不在集合N內，排除B，D.

　　思路二：陰影部分在集合M內部，即是M的子集，又陰影部分在P內不在集合N內，即在(?IN)∩P內，所以陰影部分表示的集合是M∩[(?IN)∩P].

　　答案：A

　　2.設U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(?UA)∩B={3,7}，(?UB)∩A={2,8}，(?UA)∩(?UB)={1,5,6}，則集合A=________，B=________.

　　解析：借助Venn圖，如圖10，把相關運算的結果表示出來，自然地就得出集合A，B了.

　　圖10

　　答案：{2,4,8,9}　{3,4,7,9}

　　知能訓練

　　課本本節練習4.

　　【補充練習】

　　1.設全集U=R，A={x|2x+1>0}，試用文字語言表述?UA的意義.

　　解：A={x|2x+1>0}，即不等式2x+1>0的解集，?UA中元素均不能使2x+1>0成立，即?UA中元素應當滿足2x+1≤0.∴?UA即不等式2x+1≤0的解集.

　　2.如圖11所示，U是全集，M，P，S是U的三個子集，則陰影部分表示的集合是________.

　　圖11

　　解析：觀察圖可以看出，陰影部分滿足兩個條件：一是不在集合S內;二是在集合M，P的公共部分內，因此陰影部分表示的集合是集合S的補集與集合M，P的交集的交集，即(?US)∩(M∩P).

　　答案：(?US)∩(M∩P)

　　3.設集合A，B都是U={1,2,3,4}的子集，已知(?UA)∩(?UB)={2}，(?UA)∩B={1}，則A等于(

　　)

　　A.{1,2}

　　　B.{2,3}

　　　C.{3,4}

　　　D.{1,4}

　　解析：如圖12所示.

　　圖12

　　由于(?UA)∩(?UB)={2}，(?UA)∩B={1}，則有?UA={1,2}.∴A={3,4}.

　　答案：C

　　4.設全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，則?U(S∪T)等于(

　　)

　　A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}

　　解析：直接觀察(或畫出Venn圖)，得S∪T={1,3,5,6}，則?U(S∪T)={2,4,7,8}.

　　答案：B

　　5.已知集合I={1,2,3,4}，A={1}，B={2,4}，則A∪(?IB)等于(

　　)

　　A.{1} B.{1,3} C.{3} D.{1,2,3}

　　解析：∵?IB={1,3}，∴A∪(?IB)={1}∪{1,3}={1,3}.

　　答案：B

　　拓展提升

　　問題：某班有學生50人，解甲、乙兩道數學題，已知解對甲題者有 34人，解對乙題者有28人，兩題均解對者有20人，問：

　　(1)至少解對其中一題者有多少人?

　　(2)兩題均未解對者有多少人?

　　分析：先利用集合表示解對甲、乙兩道數學題的各種類型，然后根據題意寫出它們的運算，問題便得到解決.

　　解：設全集為U，A={只解對甲題的學生}，B={只解對乙題的學生}，C={甲、乙兩題都解對的學生}，則A∪C={解對甲題的學生}，B∪C={解對乙題的學生}，

　　A∪B∪C={至少解對一題的學生}，?U(A∪B∪C)={兩題均未解對的學生}.

　　由已知，A∪C有34個人，C有20個人，

　　從而知A有14個人;B∪C有28個人，C有20個人，所以B有8個人.因此A∪B∪C有N1=14+8+20=42(人)，?U(A∪B∪C)有N2=50-42=8(人).

　　∴至少解對其中一題者有42個人，兩題均未解對者有8個人.

　　課堂小結

　　本節課學習了：

　　①全集和補集的概念和求法.

　　②常借助于數軸或Venn圖進行集合的補集運算.

　　作業

　　課本習題1.1A組　9,10，B組　4

　　設計感想

　　本節教學設計注重滲透數形結合的思想方法，因此在教學過程中要重點指導學生借助于數軸或Venn圖進行集合的補集運算.由于高考中集合常與以后學習的不等式等知識緊密結合，本節對此也予以體現，可以利用課余時間學習有關解不等式的知識.

　　備課資料

　　【備選例題】

　　【例1】已知A={y|y=x2-4x+6，x∈R，y∈N}，B={y|y=-x2-2x+7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分別用描述法、列舉法表示它.

　　解：y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2，A={y|y≥2，y∈N}，

　　又∵y=-x2-2x+7=-(x+1)2+8≤8，∴B={y|y≤8，y∈N}.

　　故A∩B={y|2≤y≤8}={2,3,4,5,6,7,8}.

　　【例2】設S={(x，y)|xy>0}，T={(x，y)|x>0，且y>0}，則(

　　)

　　A.S∪T=S

　　 B.S∪T=T 　C.S∩T=S

　　 D.S∩T=

　　解析：S={(x，y)|xy>0}={(x，y)|x>0且y>0，或x<0且y<0}，則T⊆S，所以S∪T=S.

　　答案：A

　　【例3】某城鎮有1 000戶居民，其中有819戶有彩電，有682戶有空調，有535戶彩電和空調都有，則彩電和空調至少有一種的有________戶.

　　解析：設這1 000戶居民組成集合U，其中有彩電的組成集合A，有空調的組成集合B，如圖13所示.有彩電無空調的有819-535=284(戶);有空調無彩電的有682-535=147(戶)，因此二者至少有一種的有284+147+535=966(戶).填966.

　　圖13

　　答案：966

　　【知識拓展】

　　差集與補集

　　有兩個集合A，B，如果集合C是由所有屬于A但不屬于B的元素組成的集合，那么C就叫做A與B的差集，記作A-B(或AB).

　　例如，A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，C=A-B={a，b}.

　　也可以用Venn圖表示，如圖14所示(陰影部分表示差集).

　　圖14

　　圖15

　　特殊情況，如果集合B是集合I的子集，我們把I看作全集，那么I與B的差集I -B，叫做B在I中的補集，記作B.

　　例如，I={1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，B=I-B={4,5}.

　　也可以用Venn圖表示，如圖15所示(陰影部分表示補集).

　　從集合的觀點來看，非負整數的減法運算，就是已知兩個不相交集合的并集的基數，以及其中一個集合的基數，求另一個集合的基數，也可以看作是求集合I與它的子集B的差集的基數.

怎樣學集合的運算第3篇

　　集合的運算

　　集合的基本運算有交集、并集、相對補集、絕對補集、子集。集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象匯總而成的集體。其中，構成集合的這些對象則稱為該集合的元素。

　　1.交集：集合論中，設A，B是兩個集合，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的交集，記作A∩B。

　　2.并集：給定兩個集合A，B，把他們所有的元素合并在一起組成的集合，叫做集合A與集合B的并集，記作A∪B，讀作A并B。

　　3.相對補集：若A和B是集合，則A在B中的相對補集是這樣一個集合：其元素屬于B但不屬于A，B-A={x|x∈B且x∉A}。

　　4.絕對補集：若給定全集U，有A⊆U，則A在U中的相對補集稱為A的絕對補集（或簡稱補集），寫作?UA。

　　5.子集：子集是一個數學概念：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集。符號語言：若∀a∈A，均有a∈B，則A⊆B。

　　集合的特性

　　1、確定性

　　給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬于或者不屬于該集合，二者必居其一，不允許有模棱兩可的情況出現。

　　2、互異性

　　一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。

　　3、無序性

　　一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關系，定義了序關系后，元素之間就可以按照序關系排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。