這是《中位線》教案，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

　　1.中位線概念

　　(1)三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

　　(2)梯形中位線定義：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。

　　注意：

　　(1)要把三角形的中位線與三角形的中線區分開。三角形中線是連結一頂點和它對邊的中點，而三角形中位線是連結三角形兩邊中點的線段。

　　(2)梯形的中位線是連結兩腰中點的線段而不是連結兩底中點的線段。

　　(3)兩個中位線定義間的聯系：可以把三角形看成是上底為零時的梯形，這時梯形的中位線就變成三角形的中位線。

　　2.中位線定理

　　(1)三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.

　　如圖，三角形兩邊中點的連線(中位線)平行于第BC邊，且等于第三邊的一半。

　　三角形的中位線所構成的小三角形(中點三角形)面積是原三角形面積的四分之一。

　　證明

　　如圖，已知△ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊中點。

　　中位線證明

　　求證DE平行且等于BC/2

　　法一：過C作AB的平行線交DE的延長線于F點。

　　∵CF∥AD

　　∴∠A=∠ACF

　　∵AE=CE、∠AED=∠CEF

　　∴△ADE≌△CFE

　　∴AD=CF

　　∵D為AB中點

　　∴AD=BD

　　∴BD=CF

　　∴BCFD是平行四邊形

　　∴DF∥BC且DF=BC

　　∴DE=BC/2

　　∴三角形的中位線定理成立.

　　法二：利用相似證

　　∵D，E分別是AB，AC兩邊中點

　　∴AD=AB/2 AE=AC/2

　　∴AD/AE=AB/AC

　　又∵∠A=∠A

　　∴△ADE∽△ABC

　　∴DE/BC=AD/AB=1/2

　　∴∠ADE=∠ABC

　　∴DF∥BC且DE=BC/2

　　法三：坐標法：

　　設三角形三點分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)

　　則一條邊長為 :根號(x2-x1)^2+(y2-y1)^2

　　另兩邊中點為((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)

　　這兩中點距離為:根號((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2

　　最后化簡時將x3，y3消掉正好中位線長為其對應邊長的一半

　　三角形中位線定理的的逆定理

　　逆定理一：

　　如圖DE//BC，DE=BC/2，則D是AB的中點，E是AC的中點。

　　逆定理二：

　　如圖D是AB的中點，DE//BC，則E是AC的中點，DE=BC/2

　　【證法①】

　　取AC中點G ，聯結DG

　　則DG是三角形ABC的中位線

　　∴DG∥BC

　　又∵DE∥BC

　　∴DG和DE重合(過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線重合)

　　(2)梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

　　中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用。

　　性質

　　梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 .梯形

　　中位線的2倍乘高再除以二就等于梯形的面積，用符號表示是L.

　　L=(a+b)÷2

　　已知中位線長度和高，就能求出梯形的面積.

　　S梯=Lh

　　中位線在關于梯形的各種題型中都是一條得天獨厚的輔助線。

　　證明

　　四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分別是AB、CD邊上的中點，求證：EF∥AD，且EF=(AD+BC)/2

　　證明：

　　梯形中位線

　　連接AF并延長交BC的延長線于G。

　　∵AD∥BC

　　∴∠ADF=∠GCF

　　∵F是CD的中點

　　∴DF=FC

　　∵∠AFD與∠CFG是對頂角

　　∴∠AFD=∠CFG

　　∴△ADF≌△CGF(ASA)

　　∴AF=FG，AD=CG

　　∴F是AG的中點

　　∵E是AB的中點

　　∴EF是△ABG的中位線

　　∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG)/2

　　∴EF=(AD+BC)/2

　　∵AD∥BC

　　∴EF∥AD∥BC

　　3.擴展

　　三角形三條中位線所構成的三角形是原三角形的相似形。