這是兩角差的余弦公式教案人教版，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

兩角差的余弦公式教案人教版第 1 篇

一.教學目標

1.掌握對數函數的概念，圖象和性質，且在掌握性質的基礎上能進行初步的應用.

2.通過指數函數與對數函數在圖象與性質上的對比，樹立相互聯系相互轉化的觀點，通過對數函數圖象和性質的學習，滲透數形結合，分類討論等思想，注重培養學生的觀察，分析，歸納等邏輯思維能力.

3.通過觀察指數函數與對數函數在圖象，對學生進行對稱美，簡潔美等審美教育，調動學生學習數學的積極性.

二.教材分析

對數函數是函數中一類重要的基本初等函數，它是在學生已經學過指數函數、對數與對數運算基礎上引入的.故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解.對數函數的概念，圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整，系統，同時又是對數和函數知識的拓展與延伸.它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數方程，對數不等式的基礎.

教學重點：理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖象性質.

教學難點：類比指數函數的圖象和性質得到對數函數的圖象和性質。

三：教法建議

(1)對數函數及其性質在引入前，就應讓學生回顧的指數函數及其性質得來的整個過程，讓學生通過對指數函數的認識逐步轉化為對對數函數的認識，從而了解知識的共性以及一般的認知規律。在畫對數函數圖象時，既要考慮到對底數的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質.

(2)在本節課中結合對數函數教學的特點，一定要讓學生動手做，動腦想，大膽猜，要以學生的研究為主，教師只是不斷地類比指數函數引導學生思考.這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法，獲取知識的途徑，使學生學有所思，思有所得，練有所獲，，從而提高學習興趣.

四.教學方法

啟發研討式

五.學情分析

所教學生中考分數普遍偏低，基礎較薄弱，探究能力也較弱，但求知欲旺盛，課堂很活躍，需要授課時主次分明、邏輯清晰，提問明確，對于難點要放慢節奏，適時引導并保留一定的時間供學生消化、揣摩、反思、討論，對于個別學生還需點撥、輔導，鞏固練習要重基礎知識，講究一題多變，借以提高學生的應變能力。

六.教學過程

(一)引入新課

師:從P63的例8我們知道經過的年數與人口的關系為人口=13×1.01年數,若知道年數我們就可以利用指數函數的模型來求人口,如20年后人口=13×1.0120≈16億,但若知道人口為18億要你預測年數的時候又怎么求呢?

(以提問的形式引入新課，讓學生很快進入思考的狀態，努力尋求解決問題的方法，同時也讓學生意識到新舊知識的聯系，以及明確數學知識很大程度上是由問題引發和拓展的。)

生:可以用我們剛學過的對數的運算來求,即年數=

師:若給出任意的人口數能否求出對應的年數呢?

生:把當作x,把年數當作y,則有y=log1.01x,利用這個關系式就可以知道任意的x均有唯一的y與之對應.

師:很好,這就是我們今天要學的對數函數.

類比指數函數總結定義：一般地,函數y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數函數。

在回顧研究指數函數的圖象和性質的基礎上，我們將一起來研究對數函數的圖象與性質.

二.對數函數的圖像與性質

1.作圖方法

由于指數函數的圖象按和分成兩種不同的類型，故對數函數的圖象也應以1為分界線分成兩種情況和，并分別以①和，②和為例畫兩組圖.

(讓學生通過自己動手畫同底的指數函數和對數函數，一方面可以幫助學生建立兩者的聯系和尋求差異的意識，另一方面也為了提高學生的作圖能力和探究能力。)

具體操作時，先畫出第①組的圖象，要求學生做到：

(1)先列表再作圖，指數函數的圖象要盡量準確(關鍵點的位置，圖象的變化趨勢等).如：*從上表中，我們發現了什么現象，反映在圖象上又會發現什么?

(2)畫出直線，觀察同一坐標中的圖象的位置有什么關系?

結論：同底的指數函數和對數函數，關于y=x對稱。

(3)利用第(2)的結論猜想要畫第②組的圖象，除了描點法還有其它什么方法?

(此時分兩組，第一組的同學采用列表描點法作圖，第二組的同學采用對稱的方法作圖。)

學生在畫圖本上完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出

和的圖像.(此時同底的指數函數和對數函數畫在同一坐標系內)如圖：

2.草圖.

教師畫完圖后再利用投影儀將和的圖象畫在同一坐標系內，如圖：

然后提出讓學生根據圖象說出對數函數的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

3.性質

(1)定義域：

(2)值域：

由以上兩條可說明圖象位于軸的右側.

(3)截距：令得，即在軸上的截距為1，與軸無交點即以軸為漸近線.

(4)奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于軸對稱.

(5)單調性：與有關.當時，在上是增函數.即圖象是上升的

當時，在上是減函數，即圖象是下降的.

之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況：

當時，有;當時，有.

最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.(特別強調它們單調性的一致性)

對圖象和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用.

三.簡單應用

1.研究相關函數的性質

例7.求下列函數的定義域：

(1)(2)

先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制.

2.利用單調性比較大小

例8.比較下列各組數的大小

(1)log23.4,log28.5;(2)log0.33.4,log0.38.5

(3)loga3.4loga8.5.

讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造對數函數利用單調性來比大小.最后讓學生以其中一組為例寫出詳細的比較過程.

擴展：比較log0.30.4,log20.5的大小

此時底數不一樣，該如何比較?

提示：如何比較0.30.4和20.5的大小

結論:當底數不同的時候,同樣可以插入中間量(1,0)或作圖描點比高低的方法來比較大小.

3.鞏固練習

若，求的取值范圍.

四.小結

知識點：理解對數函數的定義，重點掌握其圖象和性質。

能力點：函數的作圖、觀察、分析能力和類比研究能力。

方法點：領會對稱方法;對比、類比方法;數形結合方法。

五.作業略

六.探究活動

(1)指數函數當底數均大于1時,底數越大的圖象越靠近y軸,那在對數函數中會發生什么變化?

(2)指數函數當底數均小于1時,底數越大的圖象越遠離y軸,那在對數函數中會發生什么變化?

七.教學反思

本節課重點、難點把握很好，邏輯清楚，尤其是新舊知識的聯系處理到位，從學生熟悉的指數函數出發不斷地以舊帶新，一方面讓學生掌握知識的聯系和共性，一方面也幫助學生建立一個學生知識的框架和線條。在探索對數函數的圖象和性質的時候，讓學生自己動手列表描點，在列表的過程中發現所列的點的橫坐標和縱坐標恰好相反，在這個基礎上又生成新的問題，激發學生通過作圖來發現這樣的兩個點實質上是關于y=x對稱，從而也得出同底的對數函數和指數函數也是關于y=x對稱，在這個基礎上作出下一組圖的時候就可以利用這個結論快速作圖。最后仿照指數函數在同一坐標中畫出和，再通過觀察圖象讓學生自己總結出對數函數的性質，做到不死記硬背，而是腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.不足的地方是給學生作圖的時間較少，沒有完全放開，對于學生基礎較好的可以適當加快上課的進程。

兩角差的余弦公式教案人教版第 2 篇

教學目標

知識與技能

①了解兩角差的余弦公式的推導;

②掌握兩角差的余弦公式并能對公式進行初步的應用。

過程與方法

①經歷大膽猜想---初步驗證---理論證明---應用與拓展的數學化的過程讓學生感受到知識的產生和發展;

②利用信息技術揭示單角的三角函數值與兩角差的余弦值之間的關系，激發學生探究數學的積極性;

③培養學生獲取數學知識、數學交流的能力;

情感態度價值觀

①使學生體會聯想轉化、數形結合、分類討論的數學思想;

②培養學生大膽猜想、敢于探索、勇于置疑、嚴謹、求實的科學態度。

教學重點、難點

重點：兩角差余弦公式的探索和初步應用。

難點：探索過程的組織和引導。

教學手段用幾何畫板和PowerPoint演示。

教學流程

創設問題情景，揭示課題

感知猜想

利用幾何畫板驗證猜想

組織和引導學生共同合作探索公式

通過例題、練習，加強對公式的理解

回顧與反思

布置作業，引發其他公式的探究

教學設計

(一)創設問題情境，揭示課題

先讓學生口答的正弦余弦值，再提出

問題1.有什么關系?

()

問題2.對于a、b、c

(讓學生討論，老師歸納其討論結果，并指出不成立。因為

)

問題3.對于任意角α、β，

(設計意圖：由特殊問題引發一般問題，喚起學生解決問題的意識，拋出新知識引起學生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發學生的求知欲，引導學習方向。)

(二)感性認知，提出猜想

問題：如何用任意角α和β的正弦、余弦值來表示cos(α-β)?

雖然但學生自然猜想到它們之間有一定的等量關系，于是讓學生憑借直覺，發揮想象，將sinα、sinβ、cosα、cosβ隨意組合，構造出結果的表示形式。

(三)驗證猜想

借助幾何畫板，呈現猜想的式子，計算出cos(α-β)和各式子的值，發現當隨意變換角度α和β時，總有cos(α-β)和

cosαcosβ+sinαsinβ的結果相等，所以猜測公式的形式可能是：

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

(第一組驗證)

(第二組驗證)

(設計意圖：使學生看到現代化信息技術對探討數學問題的幫助，從而引導學生在今后的學習和工作中能重視現代信息技術的應用。)

(四)聯想轉化、探索論證

讓學生加強新舊知識的聯系，尋找已有知識點的理論支持，選定探討方法，適時提問，逐步引導，層層推進。

問題(1)剛才的驗證可靠嗎?為什么?

(不可靠，它并不能代表一般性)

問題(2)對于任意的α和β,你如何證明上式恒成立呢?你聯想到哪些相關知識?

1.根據學生的回答，先利用向量來證明。

問題(3)你是如何聯想到向量?用向量證明得先做哪些準備?

問題(4)在圖中選擇哪些向量，它們如何表示?

問題(5)如何利用向量的運算構造出等式的左右兩邊?

問題(6)證明是否嚴密?若有，請你補充。

(設計意圖：讓學生經歷利用向量知識解決一個數學問題的過程，體會向量方法解決數學問題的簡潔性。)

2.利用學生對舊知識的聯想提出利用三角函數線來證明。

讓學生研讀教材，并提出相應的問題，拓寬學生的思維。

問題(1)如何構造三角函數線來證明公式?

問題(2)證明前提是什么?證明完成了嗎?

(是在三個角都是銳角的前提下證明的,不具備一般性)

問題(3)兩種證明方法用的是哪一種數學思想方法?

問題(4)你認為哪一種方法好?

(設計意圖：分化難點，突出重點，拓寬思維，養成研讀教材，善于思考，善于提問，小組合作的好習慣)

3.分析公式結構特點，尋求簡單記憶

(記作,諧音記憶為:烤烤曬曬符號反)

拓展與應用

1.利用差角余弦公式求的值

(求解過程讓學生獨立完成，注意引導學生多方向、多維度思考問題)

2.

(讓學生結合公式，明確需要再求哪些三角函數值，可使問題得到解決。并使學生體會到思維的有序性和表達的條理性是三角變換的基本要求。)

變式：去掉α的范圍，對結果有影響嗎?

(提醒學生注意三角函數的符號問題，并培養學生分類討論的思想)

3.①求的值

②求的值

③求的值

(設置題目由簡單到復雜，由具體角度到任意角，培養學生的靈活變換能力和逆向思維能力)

4.

(讓學生結合公式，明確需要先求哪些三角函數值，可使問題得到解決。)

(讓學生自主練習，收集學生的解法，對比點評，培養學生對角進行拆分，構造出差角，靈活運用公式)

變式二：

(鞏固對角的拆分，突出靈活的重要性)

(例題和習題的設計意圖：通過基礎訓練和變式訓練，加強學生對公式的理解和應用，體驗公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學生掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題，培養了學生的靈活思維品質，提高學生的數學交流能力，促進思維的創新。)

回顧與反思

1.回顧公式的推導過程，讓學生口述并輔以簡單的流程圖。

2.體會其中蘊涵的數學思想。

3.你在公式的推導過程中有什么啟發和感受?

4.公式的應用過程中應該注意什么問題，你有什么體會?

(設計意圖：讓學生通過自己小結，反思學習過程，加深對公式的推導和應用過程的理解，促進知識的內化。)

設置作業和思考題.

作業:的1,4題

思考:你能利用如何用cos(α-β)繼續探究α±β的三角函數?

(設計意圖：鞏固本節課的知識,并根據本節課所講的知識提出問題，而用下一節課要學的知識解決問題作為課堂教學的結束，使新舊知識建立聯系，給學生留下懸念。使學生在探索學習的過程中，充滿好奇心和興趣，充分調動了學生的主觀能動性。)

兩角差的余弦公式教案人教版第 3 篇

1教學目標

1、理解用向量方法推導兩角差的余弦公式的過程；

2、通過簡單運用兩角和與差的余弦公式，初步理解公式；

3、通過三角函數，余弦公式，向量的數量積等等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系與辨證統一；

2學情分析

學生在第一章已經學習了三角函數的基本關系和誘導公式以及平面向量，但只對有特殊關系的兩個角的三角函數關系通過誘導公式變換有一定的了解。對任意兩角和、差的三角函數知之甚少。學生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望，但應用已有知識解決問題的能力還處在初期，需進一步提高。

3重點難點

1、重點：兩角差余弦公式的探索和簡單應用。

2、難點：探索過程的組織和引導。

4教學過程 4.1第一學時 教學活動 活動1【導入】引入思考

不用計算器計算cos(-375°)

活動2【導入】自學指導

一、自主學習（閱讀課本P124-P127的內容，并聯系平面向量知識完成以下內容，時間5分鐘！）

1、已知點P（x，y）為角α的終邊與單位圓的交點，則cosα ＝___，sinα ＝____，即點P的坐標又可表示為_________________。

2、已知 a =( x1，y1)， b=(x2，y2)，則a•b= 。

自主探究一：

1、能不能不用計算器求值cos45°,cos30°,cos15° ;

2、cos(45° -30°)=cos45°-cos30°是否成立？

自主探究二：兩角差余弦公式推導

1、如圖，角α，β的終邊與單位圓的交于點A,B，寫出

OA‍ ,

OB‍ 的坐標

2、利用定義法和坐標法分別計算

OA‍ •

OB‍

3、觀察2中的結果，你會發現cos(α-β)= ？

4、不用計算器求值cos15°

自主探究三：

1、cos(α+β)=？

2、不用計算器求值cos75°

活動3【講授】排疑解惑

1、利用幾何畫板演示，先讓學生觀察

α ，

β 的大小變化時，它們的余弦的差、差角的余弦的關系，讓學生感知cos(α–β)

‍≠ cosα-cosβ，并通過繼續觀察差角的余弦與各自的正余弦值得關系歸納出差角的余弦公式。

2、利用幾何畫板演示，證明以上歸納的合理性。

3、cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

4、以上公式特征有何特征？

5、不改變本質的情況下你對公式的形式可以做哪些改造？

例1.利用兩角和（差）余弦公式證明下列誘導公式：

（1）cos(90°-α)=sinα

（2）cos(360°-α)=cosα

例2.已知sinα=4/5，α

∈ （90°，180°），cosβ=5/13， β是第四象限角，求cos(α+β)，cos(α-β)的值。

活動4【活動】當堂訓練

1、求值

（1）cos24ºcos36º–sin24ºsin 36º

（2）cos66ºcos21º+sin66ºcos69º

2、化簡

(1)cos(α-β）cos(α+β）+sin(α-β）sin(α+β）

(2)cos(60º+β)+cos(60º–β)

3、不通過計算器，求cos105º的值

4、(1)已知cosα=-3/5，α∈ （90°，180°)，求cos(45º+α)的值

(2)已知sinα=-2/3，α∈ （180°，270°），cosβ=3/4， β∈ （270°，360°），求cos(β-α)的值

5、已知sin(30º+α)=3/5，60º<α<150º，求cosα的值

活動5【活動】課后小結

1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

2.利用公式可以求非特殊角的三角函數值,化簡三角函數式和證明三角恒等式。使用公式時要靈活使用，并要注意公式的逆向使用.

活動6【作業】課后作業

P137：1(1)(2),2,3,4

3.1.1 兩角差的余弦公式

課時設計 課堂實錄

3.1.1 兩角差的余弦公式

1第一學時 教學活動 活動1【導入】引入思考

不用計算器計算cos(-375°)

活動2【導入】自學指導

一、自主學習（閱讀課本P124-P127的內容，并聯系平面向量知識完成以下內容，時間5分鐘！）

1、已知點P（x，y）為角α的終邊與單位圓的交點，則cosα ＝___，sinα ＝____，即點P的坐標又可表示為_________________。

2、已知 a =( x1，y1)， b=(x2，y2)，則a•b= 。

自主探究一：

1、能不能不用計算器求值cos45°,cos30°,cos15° ;

2、cos(45° -30°)=cos45°-cos30°是否成立？

自主探究二：兩角差余弦公式推導

1、如圖，角α，β的終邊與單位圓的交于點A,B，寫出

OA‍ ,

OB‍ 的坐標

2、利用定義法和坐標法分別計算

OA‍ •

OB‍

3、觀察2中的結果，你會發現cos(α-β)= ？

4、不用計算器求值cos15°

自主探究三：

1、cos(α+β)=？

2、不用計算器求值cos75°

活動3【講授】排疑解惑

1、利用幾何畫板演示，先讓學生觀察

α ，

β 的大小變化時，它們的余弦的差、差角的余弦的關系，讓學生感知cos(α–β)

‍≠ cosα-cosβ，并通過繼續觀察差角的余弦與各自的正余弦值得關系歸納出差角的余弦公式。

2、利用幾何畫板演示，證明以上歸納的合理性。

3、cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

4、以上公式特征有何特征？

5、不改變本質的情況下你對公式的形式可以做哪些改造？

例1.利用兩角和（差）余弦公式證明下列誘導公式：

（1）cos(90°-α)=sinα

（2）cos(360°-α)=cosα

例2.已知sinα=4/5，α

∈ （90°，180°），cosβ=5/13， β是第四象限角，求cos(α+β)，cos(α-β)的值。

活動4【活動】當堂訓練

1、求值

（1）cos24ºcos36º–sin24ºsin 36º

（2）cos66ºcos21º+sin66ºcos69º

2、化簡

(1)cos(α-β）cos(α+β）+sin(α-β）sin(α+β）

(2)cos(60º+β)+cos(60º–β)

3、不通過計算器，求cos105º的值

4、(1)已知cosα=-3/5，α∈ （90°，180°)，求cos(45º+α)的值

(2)已知sinα=-2/3，α∈ （180°，270°），cosβ=3/4， β∈ （270°，360°），求cos(β-α)的值

5、已知sin(30º+α)=3/5，60º<α<150º，求cosα的值

活動5【活動】課后小結

1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

2.利用公式可以求非特殊角的三角函數值,化簡三角函數式和證明三角恒等式。使用公式時要靈活使用，并要注意公式的逆向使用.

活動6【作業】課后作業

P137：1(1)(2),2,3,4

兩角差的余弦公式教案人教版第 4 篇

一、教學內容解析

三角恒等變換處于三角函數與數學變換的結合點和交匯點上，是前面所學三角函數知識的繼續與發展，是培養學生推理能力和運算能力的重要素材．兩角差的余弦公式是《三角恒等變換》這一章的基礎和出發點，公式的發現和證明是本節課的重點，也是難點．

由于和與差內在的聯系性與統一性，我們可以在獲得其中一個公式的基礎上，通過角的變換得到另一個公式．我們可以用“隨機、自然進入”的方式選擇其中的一個作為突破口．教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎，其基本出發點是使公式的證明過程盡量簡潔明了，易于學生理解和掌握，同時也有利于提高學生運用向量解決相關問題的意識和能力．

教材沒有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結果、證明結果兩步進行探究，并從簡單情況入手得出結果．這樣的安排不僅使探究更加真實，也有利于學生學會探究、思維發展．

由于本節課可以從不同的角度提出不同的問題，并且可以用不同的途徑與方法解決問題，因此本節課為學生的思維發展提供了很好的空間和平臺，教師要注意引導學生用觀察、聯想、對比、化歸等方法分析、處理問題，尋找解決問題的思路．

二、教學目標解析

1．掌握兩角差的余弦公式，并能簡單運用這個公式求解教材上的練習和習題．

2．全體學生能理解“探求結果，證明結果”這一常用的探究的步驟；多數學生能在兩角差余弦公式的探究過程中體會以退求進、割補思想、分類討論、觀察聯想等數學思想方法和思維方法，能體會到數學思維的合理性與條理性．

3．能理解怎樣運用向量解決問題，充分認識和感受向量的工具價值；課堂上能樂于思考和主動探究，并有愉悅的情感體驗．

三、教學問題診斷分析

1．按常規，學生很可能想到先探究兩角和的正弦公式，怎樣想到先研究兩角差的余弦公式是一個難點(但非重點)，教學時可以直接提出研究兩角差的余弦公式，但這樣探究會顯得預設太多，而生成不足，也不夠自然，不利于學生思維的發展．

2．兩角和正弦余弦公式的猜想與發現也是一個難點．因為學生可能不明白為什么要添輔助線和如何添輔助線，也不會想到用“割補法”求正弦線、余弦線．

3．盡管教材在前面的習題中，已經為用向量法證明兩角差的余弦公式做了鋪墊，但多數學生仍難以想到．教師需要在引導學生仔細觀察cos(+）=coscos－sinsin或cos(－）=coscos+sinsin的構成要素和結構特征的基礎上，聯想到單位圓上點的坐標特點和向量的數量積公式，努力使數學思維顯得自然、合理．

4．用向量的數量積公式證明兩角差的余弦公式時，學生容易犯思維不嚴謹、不嚴密的錯誤，教學時需要引導學生搞清楚兩角差與相應向量的夾角的聯系與區別．

四、教學支持條件分析

1．學生認知基礎：學生對用舉反例推翻猜想、以退求進、單位圓、割補法、用向量解決三角問題已經有一定的基礎，但還遠未達到綜合運用這些方法自主探究和證明兩角差余弦公式的水平．

2．教學設備：整節課借助多媒體進行輔助教學，但關鍵的探究過程和推理過程要借助黑板．在當、、+都是銳角時得到兩角和的正弦、余弦公式后，設計多媒體軟件取任意角進行驗證．

五、教學過程設計

(一)提出問題

問題1：觀察誘導公式，，，．我們會發現：當角變成+或者+時，其正弦、余弦的三角函數值都與角的正弦、余弦有關，那大家有沒有想過當角變成或者+時，其正弦、余弦與、的正弦、余弦又有怎樣的聯系呢？

[設計意圖]引導學生從聯系的角度與變換的角度自然地提出接近研究水平的問題，增強學生的問題意識．不直接提出先研究cos(-)，是為了使探究更真實、更自然；不用教材上的實際問題情境而改為開門見山直奔主題，是為了不讓學生在情境的理解上花過多的時間，同時離本節課的主題更近．

(二)探究問題

1．明確探究的思路與步驟

問題2：我們應該用怎樣的思路和方法進行探究？

學生可能會說：把探究分為兩個步驟，一是探求表示結果；二是對結果的正確性加以證明．

[設計意圖]引導學生搞清楚探究的大背景、大思路，學會從宏觀到微觀、理性地、有條理地思考和探究問題，避免盲目性．

2．猜想結果

問題3：同學們第一反應這個結果可能是什么？

如果有學生提出sin(+)=sin+sin，cos(+)=cos+cos，則引導學生取特殊值進行驗證，同時分析錯誤的原因：正弦、余弦函數名與角之間并不是相乘關系，因此類比乘法分配律在思維方法上是錯誤的．

[設計意圖]讓學生體驗如何用反例進行反駁，同時搞清錯誤的原因，避免以后犯類似的錯誤．

問題4：對這個問題，老師也曾猜想， ,其中都是常數．但最后發現都不成立．那我們該怎么辦呢？

引導學生以退求進，先討論、、+都是銳角的情況．

[設計意圖]進一步強化學生的猜想與探究意識，同時讓學生感受或學會思維受阻時如何“拐彎”．

問題5：當、、+都是銳角時，我們又該怎么辦？

引導學生在直角三角形或單位圓中構造這些角進行討論．

問題6：怎樣用、的三角函數來表示sin(+)，cos(+)?

引導學生構造如下直角三角形，并用割、補的方法得到

sin(+)==sincos+cossin，

cos(+)==coscos－sinsin．

　　

　　　

[設計意圖]讓學生感受如何化陌生問題為熟悉問題，如何通過作輔助線，用“割補法”尋找量與量之間的聯系．

問題7：那上面兩個式子是否對任意角、都成立呢？

引導學生再用非銳角的特殊角或任意角進行驗證，而教師借助事先設計的多媒體軟件，由學生提出任意角進行驗證．

3．證明結果

問題8：數學是嚴謹的，數學結論必須經過嚴格的邏輯證明．現在初步結果已經出來，目標和方向已經明確．請大家仔細觀察上面兩式的構成要素和結構特征，看看從中會得到什么樣的啟發？產生怎樣的聯想？或有什么新的發現？

[設計意圖] 讓學生通過觀察，聯想到,終邊與單位圓的交點分別為A(cos,sin),B(cos,sin),同時發現的右邊與向量數量積公式的坐標表示十分相近，進而聯想到=

．這樣有助于強化“為什么想到”和“怎樣想到”，凸顯數學思維的自然性與合理性，并突破思維難點，同時再現“有心栽花花不開，無心插柳柳成蔭”這種真實的探究過程．

問題9：如何證明？

[設計意圖]引導學生關注兩個向量的夾角與是的聯系與區別，并通過觀察和討論搞清楚，增強學生用數形結合、分類討論的方法解決問題的意識，感受數學思維的嚴謹性．

問題10：時間關系，我們把兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式的證明與探究留給大家課外去完成．剛才我們經歷了完整、曲折的探索過程，回顧來看，大家有什么啟發和感悟？教材為什么要先提出求cos(-)？

[設計意圖]引導學生從探究思路、數學思想方法、所用到的數學知識等方面進行回顧與反思，強化學生的思維發展，突出向量的工具價值．

問題11：兩角差的余弦公式有什么特點：

引導學生總結公式的特點：左邊是兩角差的余弦，右邊同名三角函數的積的和．

(三)鞏固應用

例1 利用差角余弦公式求cos15°的值．

引導學生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°兩種方法求解．

[鞏固練習]求值：

(1)cos15°cos105°+sin15°sin105°= ．

(2)cos(+21°)cos(-24°)+sin(+21°)sin(-24°)= ．

例2 已知是第三象限角，求cos(-)的值．

[設計說明]如果學生基礎比較好，這兩個例題可以讓學生獨立完成．同時在完成例2后提出，如果去掉這一條件，又該怎么辦？

(四)回顧小結

1．學生小結：

引導學生從學到了什么知識、怎么獲得這些知識和有什么感悟與體會三方面進行小結．

2．教師小結：

(1)本節課所走過的路：

(2)兩位數學大家的名言很好地概括了本節課的探究思路與學習感悟：

G·波利亞：“在你證明一個數學定理之前，你必須猜想到這個定理；在你搞清證明細節之前，你必須猜想出證明的主導思想．”

高斯所說：“一個人在無結果地深思一個真理后能夠用迂回的方法證明它，并且最后找到了它的最簡明而又最自然的證法，那是極其令人高興的．”“假如別人和我一樣深刻和持續地思考數學真理，他會作出同樣的發現．”衷心祝愿大家通過數學學習變得更加聰明、更加富有創造力．

[設計意圖]讓學生對探究的過程與思路、方法有一個清晰的認識，進一步達到“教思維”的目的．

(五)課外作業：

1．教材習題第2，3，4題中試根據自己的情況選做2題．

2．試自主探究公式，并加以證明．

3．(選做題)課本P138頁習題B組第4題．