這是函數怎么學最簡單方法，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

函數怎么學最簡單方法第 1 篇

從容說課

學習函數的表示，不僅是研究函數本身和應用函數解決實際問題所必須涉及的問題，而且是加深理解函數概念的過程.同時，基于高中階段所接觸的許多函數均可用幾種不同的方式表示，因而使得學習函數的表示也是向學生滲透數形結合方法的重要過程.

初中已經接觸過函數的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.高中階段是讓學生在了解三種表示法各自優點的基礎上，重點在于使學生面對實際情境時，會根據不同的需要選擇恰當的方法（圖象法、列表法、解析法）表示函數.根據實際問題中的條件列出函數解析式的訓練，是建立函數模型研究實際問題的關鍵步驟，這種應用意識的培養和應用能力的提高應不斷貫穿于以后的教學過程中.本課還介紹了分段函數，在實際問題中，有很多函數是用分段函數來表示的，所以探討分段函數是很有必要的，在教學中結合教材內容向學生滲透分類思想方法，對培養學生全面分析問題、解決問題的能力是很有幫助的.應該說這是知識螺旋化的一種體現，教學時要讓學生體會到函數三種表示法具有內在的聯系，它們在一定條件下是可以相互轉化的.對函數的解析式和圖象表示應重點研究.

三維目標

一、知識與技能

1.能熟練掌握函數的三種不同表示.

2.了解函數不同表示法的優缺點.

3.了解分段函數及其表示.

4.會求某些函數的解析式.

二、過程與方法

1.自主學習，了解函數表示形式的多樣性和轉化方法.

2.探究與活動，明白何時的函數用何種方法表示適宜.

3.增強動態意識、通過觀察、對比、分析，發展辯證思維能力.

三、情感態度與價值觀

培養學生重要數學思想方法——數形結合與分類討論思想方法，激發學生學習的熱情.

教學重點

函數的三種不同表示的相互間轉化.

教學難點

函數的解析式的表示，理解和表示分段函數.

教具準備

多媒體課件、投影儀、打印好的材料.

教學過程

一、創設情景，引入新課

師：在前面的課中，我們已經初步研究函數的概念和表示方法.今天我們再專門研究函數的表示方法.

（板書：函數的表示方法）

師：請考察下面三個函數：

投影膠片1（或多媒體制作鏡頭1）：估計人口數量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據.從人口統計年鑒中可以查得我國從至人口數據資料如表所示，你能根據這個表說出我國人口的變化情況嗎？

1949～我國人口數據表

年 份

人口數/百萬

1949

542

1954

603

1959

672

1964

705

1969

807

1974

909

1979

975

1984

1035

1989

1107

1994

1177

1999

1246

師：該題是用的什么方法來表示函數的？

生：這是一份表格.

師：這位同學說得很好.這種用列表來表示兩個變量之間函數關系的方法稱為列表法.

投影膠片2（或多媒體制作鏡頭2）：一物體從靜止開始下落，下落的距離y（m）與下落時間x（s）之間近似地滿足關系式y=4.9x2.若一物體下落2 s，你能求出它下落的距離嗎？

師：這種用等式來表示兩個變量之間函數關系的方法稱為解析式法.這個等式通常叫做函數的解析表達式，簡稱解析式.

投影膠片3（或多媒體制作鏡頭3）：

上圖為某市一天24小時內的氣溫變化圖.

請問：

（1）上午6時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？

（2）在什么時刻，氣溫為0℃？

師：這個問題我們用圖象表示了時刻與氣溫的關系，這種用圖象表示兩個變量之間函數關系的方法稱為圖象法.

二、講解新課

1.函數的表示法

（1）解析法

解析法，就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系，這個數學表達式叫做函數的解析式，簡稱為解析式，如S=60t2，S=2πrl，y=ax+b，y=ax2+bx+c（a≠0）等等，都是用解析式法表示的函數關系.

解析法有兩個優點：一是簡明、全面地概括了變量間的關系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數值.中學階段所研究的主要是能夠用解析式表示的函數.

（2）圖象法

圖象法，就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

圖象法的優點是直觀形象地表示自變量的變化，相應的函數值變化的趨勢，有利于我們通過圖象來研究函數的某些性質.圖象法在生產和生活中有許多應用，如企業生產圖，股市走勢圖等.

（3）列表法

列表法，就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.

列表法的優點是不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數值，表格法在實際生產和生活中也有廣泛應用.如銀行利率表、列車時刻表等.

2.例題講解

【例1】 教科書P22例3.

本例介紹了一個可以用三種表示方法來表示的函數.通過這個例子可以達到以下目的：

（1）讓學生體會到三種表示方法各自的優點.并且，本例后的“思考”為學生比較三種表示方法提供了機會，教學時教師應注意不要讓學生錯過這個機會.對于“所有的函數是否能用解析法表示”，學生比較難以回答，教學時不妨先舉一些例子啟發學生，然后再由學生試著舉一些例子.

（2）使學生看到函數的圖象可以是一些離散的點，這與學生以前接觸到的一次函數、二次函數的圖象是連續的曲線有很大的差別，教學時要考慮到學生的認知基礎，強調y=5x（x∈R）是連續的直線，但y=5x（x∈{1，2，3，4，5}）卻是5個離散的點，由此又讓學生看到，函數概念中，對應關系、定義域、值域是一個整體.

函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等.本例邊框中的問題“判斷一個圖形是不是函數圖象的依據是什么”，應在組織學生討論后獲得結論“平行于y軸的直線（或y軸）與圖形至多一個交點”.

【例2】 教科書P23例4.

本例利用表格給出了四個函數，它們分別表示王偉、張城、趙磊的各次考試成績及各次考試的班級平均分.由表格區分三位同學的成績高低不直觀，所以教科書選擇了圖象法表示.教學時要培養學生根據實際需要選擇恰當的函數表示法的能力.要注意的是，圖中的虛線不是函數圖象的組成部分，之所以用虛線連接散點，主要是為了區分這三個函數，并且讓三個函數的圖象具有整體性，以方便比較.教學時應引導學生觀察圖象，學習如何從圖象上獲取有用信息，為分析每位同學的學習情況提供依據.

【例3】 教科書P24例5.

本例的主要目的有兩個：一是讓學生進一步體會數形結合在理解函數中的重要作用，二是為介紹分段函數作準備.

【例4】 教科書P24例6.

本例的主要目的有以下幾點：

（1）讓學生嘗試用數學表達式去表達實際問題；

（2）學習分段函數及其表示；

（3）注意在數學模型中全面反映問題的實際意義；

（4）讓學生根據這個例題的邊框要求，自行設計任意兩站之間的票價表以方便售票員與乘客，體會在不同情境中使用恰當的函數表示法.

由上述例3和例4歸納出分段函數的概念如下：

2.分段函數

有些函數在它的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應關系不同，這樣的函數通常稱為分段函數.

實際生活中，出租車的計費、電信資費、個人所得稅額等均是分段函數.

【例5】 求下列函數的解析式：

（1）已知f（x）是二次函數，且f

（0）=2，f（x+1）－f（x）=x－1，求f（x）；

（2）已知f（+1）=x+2，求f（x），f（x+1），f（x2）；

（3）已知f（）=+，求f（x）；

（4）已知3f（x）+2f（－x）=x+3，求f（x）.

方法引導：

（1）由已知f（x）是二次函數，所以可設f（x）=ax2+bx+c（a≠0）設法求出a、b、c即可.

（2）若能將x+2適當變形，用+1的式子表示就好辦了.

（3）視為一整體不妨設為t，然后用t表示x，代入原表達式求解.

（4）x、－x同時使得f（x）有意義，用－x代x建立關于f（x）、f（－x）的兩個方程就好了.

解：

（1）設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f

（0）=2，得c=2.

由f（x+1）－f（x）=x－1，得恒等式2ax+a+b=x－1，得a=，b=－.故所求函數的表達式為f（x）=x2－x+2.

（2）∵f（+1）=x+2=（）2+2+1－1=（+1）2－1，

又∵≥0，+1≥1，

∴f（x）=x2－1（x≥1）.

（3）設=t，則x=，t≠1.

則f（t）=f（）=+=1++=1+（t－1）2+（t－1）=t2－t+1.

∴f（x）=x2－x+1（x≠1）.

（4）∵3f（x）+2f（－x）=x+3， ①

x用－x代得3f（－x）+2f（x）=－x+3. ②

解①②得f（x）=x+.

方法技巧：求函數解析式常見的題型有：

（1）解析式類型已知的，如本例

（1），一般用待定系數法，對于二次函數問題要注意一般式〔y=ax2+bx+c（a≠0）〕，頂點式〔y=a（x－h）2+k〕和標根式〔y=a（x－x1）（x－x2）〕的選擇.

（2）已知f［g（x）］求f（x）型問題方法一是用配湊法；方法二是用換元法.如本例

（2）、

（3）.

（3）函數方程問題，需建立關于f（x）的方程組，如本例

（4）.若函數方程中同時出現f（x）、f（），則一般x用代之，構造另一方程.

特別要指出的是，求函數解析式均應嚴格考慮函數的定義域.

三、課堂練習

教科書P27練習題1，2，3.

答案：1.y=x（0＜x＜50)，圖象如下.

2.（1）題與D圖，

（2）題與A圖，

（3）題與B圖吻合得最好，剩下與C圖相符的一件事可能為：

我出發后感到時間較緊，所以加速前進，后來發現時間還很充裕，于是放慢了速度.

3.四、課堂小結

1.本節學習的數學知識：

函數的表示法、分段函數、函數解析式的求法.

2.本節學習的數學方法：

定義法、換元法、待定系數法、數形結合與分類討論的思想方法.

五、布置作業

教科書P28習題1.2 A組5，7，9，10，11，12，13.

板書設計

例1

例2

例3

例4

例5

課堂練習

課堂小結

函數怎么學最簡單方法第 2 篇

教學目標： 1、通過實例，了解函數的概念．（重難點） 2、了解函數的三種表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)圖象法． 3、理解函數值的概念，并會在簡單情況下，根據函數的表示式求函數的值． 教學過程： 一、課前準備 小明的哥哥是一名大學生，他利用暑假去一家公司打工，報酬按16元／時計算．設小明的哥哥這個月工作的時間為t時，應得報酬為y元，填寫下表： 工作時間t（時） 1 5 10 15 20 … … 報酬y（元） 然后回答下列問題： （1）在上述問題中，哪些是常量？哪些是變量？ （2）能用x的代數式來表示y的值嗎？ 二、 課上探究 1、自主學習 （1） 自學課本P116并回答： ---------------------------------------------------------函數，------叫做自變量． 例如，上面的問題中，----是----的函數，----是自變量； （2）函數的表示法 ①解析法：問題中，y =16x，這種表示函數關系的等式，叫做函數解析式，簡稱函數式．用函數解析式表示函數的'方法也叫解析法． ②列表法：有時把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表．這種表示函數關系的方法是列表法．如下表表示的是一年內某城市月份與平均氣溫的函數關系． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均氣溫（℃） 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 ③圖象法: 我們還可以用圖象法來表示函數，例如課本P113圖5-5表示的是溫度T關于時間t的函數關系． 解析法、圖象法和列表法是函數的三種常用的表示方法． （3）函數值概念 ---------------------------------叫做函數值，它與------的取值有關，通常函數值隨著-------的變化而變化． 若函數用解析法表示， ---------------------------就能得到相應的函數值． 若函數用列表法表示．----------------------------就能得到相應的函數值． 若函數用圖象法表示．----------------------------就能得到相應的函數值． 2、合作探究 （1）什么叫函數，你能從生活中舉出幾個函數的例子嗎？ （2）你是如何理解函數的值與代數式的值的？ 3、有效訓練 （1）課本P117練習1、2、3 （2） 等腰△ABC的周長為20，底邊BC長為x，腰AB長為y，求： ①y關于x的函數解析式； ②當腰長AB=7時，底邊的長； ③當x=11和x=4時，函數值是多少？ 三、課后延伸：必做題： 1、某城市共有綠化面積108m2，這個城市人均占有綠化面積y(m2)與人數a的函數關系是__________· 2．地面氣溫是25℃，如果每升高1千米，氣溫下降5℃．則氣溫t℃與高度h千米的函數關系式是________，其中自變量是___________。 3、已知函數 ，當x=1時，y= ________ ，當y=0時，x= ________ ； 4．一個蓄水池儲水20 m3，用每分鐘抽水0．5 m3的水泵抽水，則 蓄水池的余水量y(m3)與抽水時間t(分)之間的函數關系式是__________。 5．根據圖18-1-3所示的程序計算y值，若輸入的x的值為 時，則輸出的結果為 ( ) A． B． C． D． 6．圓柱的底面半徑為2 cm，當圓柱的高由小到大變化時，圓柱的體積也發生了變化． （1）如果圓柱的高為x (cm)，圓柱的體積V (cm3)與x的關系式為_______； （2）當圓柱的高由2cm變化到4 cm時，圓柱的體積由______cm3變化到________cm3； （3）當圓柱的高每增加1 cm時，它的體積增加_________cm3． 選做題： 1、燒一壺水，假設冷水的水溫為20℃，燒水時每分鐘可使水溫 提高8℃，燒了x分鐘后水壺的水溫為y℃，當水開時就不再燒了． （1）y與x的關系式為_________； （2）x=1時，y＝________；x=5時，y＝__________； （3）x＝_________時，y=48；x＝_________時，y=80 2、下表是某市2006年一月份部分居民用電度數x以及所要繳納的電費y(元)的明細表： （1）從表中你能知道該市民用電費標準是每度多少元? （2）y與x之間有什么關系? （3）若一居民用94度電，應付電費多少元?

函數怎么學最簡單方法第 3 篇

各位領導老師大家好，今天我說課的內容是函數的近代定義也就是函數的第一課時內容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函數是數學中最主要的概念之一，而函數概念貫穿在中學數學的始終，概念是數學的基礎，概念性強是函數理論的一個顯著特點，只有對概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應用。本課中學生對函數概念理解的程度會直接影響數學其它知識的學習，所以函數的第一課時非常的重要。

2、教學目標及確立的依據：

教學目標：

（1）教學知識目標：了解對應和映射概念、理解函數的近代定義、函數三要素，以及對函數抽象符號的理解。

（2）能力訓練目標：通過教學培養學生的抽象概括能力、邏輯思維能力。

（3）德育滲透目標：使學生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯系和相互制約的辯證唯物主義觀點。

教學目標確立的依據：

函數是數學中最主要的概念之一，而函數概念貫穿整個中學數學，如：數、式、方程、函數、排列組合、數列極限等都是以函數為中心的代數。加強函數教學可幫助學生學好其他的數學內容。而掌握好函數的概念是學好函數的基石。

3、教學重點難點及確立的依據：

教學重點：映射的概念，函數的近代概念、函數的三要素及函數符號的理解。

教學難點：映射的概念，函數近代概念，及函數符號的理解。

重點難點確立的依據：

映射的概念和函數的近代定義抽象性都比較強，要求學生的理性認識的能力也比較高，對于剛剛升入高中不久的學生來說不易理解。而且由于函數在高考中可以以低、中、高擋題出現，所以近年來高考有一種“函數熱”的趨勢，所以本節的重點難點必然落在映射的概念和函數的近代定義及函數符號的理解與運用上。

二、教材的處理：

將映射的定義及類比手法的運用作為本課突破難點的關鍵。函數的定義，是以集合、映射的觀點給出，這與初中教材變量值與對應觀點給出不一樣了，從而給本身就很抽象的函數概念的理解帶來更大的困難。為解決這難點，主要是從實際出發調動學生的學習熱情與參與意識，運用引導對比的手法，啟發引導學生進行有目的的反復比較幾個概念的異同，使學生真正對函數的概念有很準確的認識。

三、教學方法和學法

教學方法：講授為主，學生自主預習為輔。

依據是：因為以新的觀點認識函數概念及函數符號與運用時，更重要的是必須給學生講清楚概念及注意事項，并通過師生的共同討論來幫助學生深刻理解，這樣才能使函數的概念及符號的運用在學生的思想和知識結構中打上深刻的烙印，為學生能學好后面的知識打下堅實的基礎。

學法：四、教學程序

一、課程導入

通過舉以下一個通俗的例子引出通過某個對應法則可以將兩個非空集合聯系在一起。

例1：把高一（12）班和高一（11）全體同學分別看成是兩個集合，問，通過“找好朋友”這個對應法則是否能將這兩個集合的某些元素聯系在一起？

二.新課講授：

（1）接著再通過幻燈片給出六組學生熟悉的數集的對應關系引導學生總結歸納它們的共同性質（一對一，多對一），進而給出映射的概念，表示符號f：AB，及原像和像的定義。強調指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的對應法則f。進一步引導學生總結判斷一個從A到B的對應是否為映射的關鍵是看A中的任意一個元素通過對應法則f在B中是否有唯一確定的元素與之對應。

（2）鞏固練習課本52頁第八題。

此練習能讓學生更深刻的認識到映射可以“一對多，多對一”但不能是“一對多”。

例1.給出學生初中學過的函數的傳統定義和幾個簡單的一次、二次函數，通過畫圖表示這些函數的對應關系，引導學生發現它們是特殊的映射進而給出函數的近代定義（設A、B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f，使得A中的任何一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應則這樣的對應叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及從A到B的對應法則f），并說明把函f：AB記為y=f（x），其中自變量x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x的值相對應的y（或f（x））值叫做函數值，函數值的集合{f（x）：x∈A}叫做函數的值域。

并把函數的近代定義與映射定義比較使學生認識到函數與映射的區別與聯系。（函數是非空數集到非空數集的映射）。

再以讓學生判斷的方式給出以下關于函數近代定義的注意事項：

2.函數是非空數集到非空數集的映射。

3.f表示對應關系，在不同的函數中f的具體含義不一樣。

4.f（x）是一個符號，不表示f與x的乘積，而表示x經過f作用后的結果。

5.集合A中的數的任意性，集合B中數的唯一性。

6.“f：AB”表示一個函數有三要素：法則f（是核心），定義域A（要優先），值域C（上函數值的集合且C∈B）。

三.講解例題

例1.問y=1（x∈A）是不是函數？

解：y=1可以化為y=0*X+1

畫圖可以知道從x的取值范圍到y的取值范圍的對應是“多對一”是從非空數集到非空數集的映射，所以它是函數。

[注]：引導學生從集合，映射的觀點認識函數的定義。四.課時小結：

1.映射的定義。

2.函數的近代定義。

3.函數的三要素及符號的正確理解和應用。

4.函數近代定義的五大注意點。

五.課后作業及板書設計

書本P51習題2.1的1、2寫在書上3、4、5上交。

預習函數三要素的定義域，并能求簡單函數的定義域。

函數怎么學最簡單方法第 4 篇

1教學目標

教學目標：

（1）通過豐富實例，學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；

（2）了解構成函數的三要素；

2學情分析 3重點難點

教學重點：理解函數的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函數。

教學難點：理解函數的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函數。

4教學過程 4.1第一學時評論(0) 教學目標 評論(0) 學時重點 評論(0) 學時難點 教學活動 活動1【導入】【知識回顧】

1、初中學習的函數概念是什么？

設在一個變化過程中有兩個變量 與 ，如果對于 的每一個值， 都有唯一的值與它對應，則稱 是自變量， 是 的函數.

2、我們在初中學過哪些函數？

一次函數、二次函數、反比例函數、正比例函數

活動2【活動】講授

函數的概念：

設 是非空數集，如果按照某種確定的對應關系 ，使對于集合 中的 ，在集合 中都有 和它對應，那么就稱 為從集合 到 的一個函數，記作： ，其中 叫 ， 的取值范圍 叫做函數的 ，與 的值相對應的 值叫做 ，函數值的集合 叫做函數的 。

活動3【活動】講授

例如：

函數類型

對應關系

定義域

值 域

一次函數

反比例函數

二次函數

【注釋】

（1）函數的本質：建立在兩個非空數集之間的一種對應關系

（2）重視函數定義中的關鍵詞： ， ，

※ “ 非空數集”說明：函數的定義域和函數值的所在的集合不會是空集

活動4【活動】講授

如：對應關系： 是函數關系嗎？若是，定義域，值域分別是什么？

※“任意”指的是x在其允許的取值范圍內取的每一個確定值，這個允許取值范圍就是函數的定義域（即：使函數有意義的自變量 的取值范圍）；如：函數 要使函數有意義，則 ，對于在 范圍內的每一個x的值，y都有唯一確定的值與之對應。

※“唯一”是指在自變量的取值范圍內，x每取一個確定的值，y都有唯一的值與之對應，并且 ，否則y不是x的函數；x取不同的值，y的取值可以相同；

如：函數 中，盡管 與 之間有關系式，但是由于 在 的范圍內每取一個值， 都有兩個確定的值與它對應，所以 不是 的函數。

如：函數 中，

（3）函數符號 的含義：它表示 是 的函數，而不是 和 的乘積.其中 表示對應法則，小括號表示把對應法則 施加于 這個變量之上，而等號表示施加之后對應于 。對應關系可以是一個或幾個解析式，可以是圖像、表格，也可以是文字描述。

如： ,這里是用一個代數式把 所表示的對應法則具體化了，就是說“把自變量 先平方再二倍再加3”即得 對應的函數值，而 就表示了這一套運算手續.

（4）要注意 與 的聯系與區別： 表示當自變量 時函數 的值，它是一個常量；而 是自變量 的函數，在一般情況下，它是一個變量， 是 的一個特殊值. 如果由解析式表達，則可算出 ，若 由圖表給出，那么就可以通過點的坐標或查表找出 .例如： 在 時的函數值分別為

；

（5）函數的三要素：由函數的定義可知，函數由定義域、值域和對應法則三部分組成，這三部分就叫做函數的三要素,而確定函數的要素是定義域和對應法則.當定義域和對應法則確定之后，函數的值域也就隨著確定了,至于用什么字母表示自變量和函數則是無關緊要的，如： 與 表示的是同一函數.另外，在同時研究兩個或多個函數時，要用不同的符號來表示它們.除了 外還常用 等符號.

（6）若函數的值域為 ,則

如：判斷下列對應是不是從A到B的函數?如果是,求出函數的定義域和值域.

（1）

（2）

（7）函數圖像與 軸的垂線 公共點。

如：（1）下列能表示函數的圖像的是：

（2）設集合 那么下面 的4個圖形中，能表示集合 到集合 的函數關系的有

A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.②

思考：（1）對應關系： 是函數嗎？

（2）對應關系：“ ”是函數嗎？

【典型例題選講】

例1、已知函數 ，

（1）求函數的定義域（2）求 的值；

（3）當a>0時，求 的值。

例2、下例函數中哪個與函數 相等

（1） （2） （3） (4)

例3、（1）函數 ，則

（2）已知函數 ，則

課后思考：

1、已知函數 滿足對于任意實數a,b都有 成立

（1）求 和 （2）若 ，求

2、函數 對于任意 滿足條件 成立，若 求

3、已知函數 滿足： ，

則

4.2第二學時評論(0) 教學目標 評論(0) 學時重點 評論(0) 學時難點 教學活動

1.2.1　函數的概念

課時設計 課堂實錄

1.2.1　函數的概念

1第一學時 教學目標 學時重點 學時難點 教學活動 活動1【導入】【知識回顧】

1、初中學習的函數概念是什么？

設在一個變化過程中有兩個變量 與 ，如果對于 的每一個值， 都有唯一的值與它對應，則稱 是自變量， 是 的函數.

2、我們在初中學過哪些函數？

一次函數、二次函數、反比例函數、正比例函數

活動2【活動】講授

函數的概念：

設 是非空數集，如果按照某種確定的對應關系 ，使對于集合 中的 ，在集合 中都有 和它對應，那么就稱 為從集合 到 的一個函數，記作： ，其中 叫 ， 的取值范圍 叫做函數的 ，與 的值相對應的 值叫做 ，函數值的集合 叫做函數的 。

活動3【活動】講授

例如：

函數類型

對應關系

定義域

值 域

一次函數

反比例函數

二次函數

【注釋】

（1）函數的本質：建立在兩個非空數集之間的一種對應關系

（2）重視函數定義中的關鍵詞： ， ，

※ “ 非空數集”說明：函數的定義域和函數值的所在的集合不會是空集

活動4【活動】講授

如：對應關系： 是函數關系嗎？若是，定義域，值域分別是什么？

※“任意”指的是x在其允許的取值范圍內取的每一個確定值，這個允許取值范圍就是函數的定義域（即：使函數有意義的自變量 的取值范圍）；如：函數 要使函數有意義，則 ，對于在 范圍內的每一個x的值，y都有唯一確定的值與之對應。

※“唯一”是指在自變量的取值范圍內，x每取一個確定的值，y都有唯一的值與之對應，并且 ，否則y不是x的函數；x取不同的值，y的取值可以相同；

如：函數 中，盡管 與 之間有關系式，但是由于 在 的范圍內每取一個值， 都有兩個確定的值與它對應，所以 不是 的函數。

如：函數 中，

（3）函數符號 的含義：它表示 是 的函數，而不是 和 的乘積.其中 表示對應法則，小括號表示把對應法則 施加于 這個變量之上，而等號表示施加之后對應于 。對應關系可以是一個或幾個解析式，可以是圖像、表格，也可以是文字描述。

如： ,這里是用一個代數式把 所表示的對應法則具體化了，就是說“把自變量 先平方再二倍再加3”即得 對應的函數值，而 就表示了這一套運算手續.

（4）要注意 與 的聯系與區別： 表示當自變量 時函數 的值，它是一個常量；而 是自變量 的函數，在一般情況下，它是一個變量， 是 的一個特殊值. 如果由解析式表達，則可算出 ，若 由圖表給出，那么就可以通過點的坐標或查表找出 .例如： 在 時的函數值分別為

；

（5）函數的三要素：由函數的定義可知，函數由定義域、值域和對應法則三部分組成，這三部分就叫做函數的三要素,而確定函數的要素是定義域和對應法則.當定義域和對應法則確定之后，函數的值域也就隨著確定了,至于用什么字母表示自變量和函數則是無關緊要的，如： 與 表示的是同一函數.另外，在同時研究兩個或多個函數時，要用不同的符號來表示它們.除了 外還常用 等符號.

（6）若函數的值域為 ,則

如：判斷下列對應是不是從A到B的函數?如果是,求出函數的定義域和值域.

（1）

（2）

（7）函數圖像與 軸的垂線 公共點。

如：（1）下列能表示函數的圖像的是：

（2）設集合 那么下面 的4個圖形中，能表示集合 到集合 的函數關系的有

A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.②

思考：（1）對應關系： 是函數嗎？

（2）對應關系：“ ”是函數嗎？

【典型例題選講】

例1、已知函數 ，

（1）求函數的定義域（2）求 的值；

（3）當a>0時，求 的值。

例2、下例函數中哪個與函數 相等

（1） （2） （3） (4)

例3、（1）函數 ，則

（2）已知函數 ，則

課后思考：

1、已知函數 滿足對于任意實數a,b都有 成立

（1）求 和 （2）若 ，求

2、函數 對于任意 滿足條件 成立，若 求

3、已知函數 滿足： ，

則