這是函數的定義和性質教案，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

函數的定義和性質教案第 1 篇

一、教材分析

本節課在教材中的地位及作用：函數是本章的重點內容，而本節內容又是函數知識的綜合應用。本節的學習，既是對函數知識的鞏固，又是對數學思想方法的再認識，同時強化了應用意識。本節內容正體現了這一特點。

根據中職《數學教學大綱》要求以及“以服務為宗旨，以就業為導向”的辦學方針。數學的教學主要目的是為專業課程服務，為學生將來的社會生活服務?；谝陨系恼J識，本課教學目標及重難點確定如下。

教學目標：

1.知識目標：

（1）理解分段函數的概念及應用；（2）了解實際問題中的分段函數問題。

2.能力目標：

（1）會求分段函數的定義域和函數值；（2）能建立簡單實際問題的分段函數關系式以培養學生數據處理及分析與解決實際問題的能力。

3.情感目標：

通過分段函數對營銷策略的引導作用讓學生體會數學為專業課服務的思想。

重點：對分段函數的認識和理解。在教學過程中，通過計算水費和解答基礎例題的突出重點。

難點：建立實際問題的分段函數關系。在教學過程中通過與專業相結合的例題解答及專業素質的訓練來突破難點。

關鍵：確定自變量在不同取值范圍內的對應函數關系式。

二、學情分析

本節課的教學對象是高一年級市場營銷專業的學生。從知識層面來說學生在前面已經學習了求函數定義域和求函數值，在此基礎上學生再學本節課相對能減小難度。從能力層面來說本班學生的整體數學基礎較差，缺乏學習興趣和主動性。從情感層面來說他們對新鮮事物感興趣，有很強的表現欲，較注重自己的專業素質的培養。針對以上學情，我是這樣處理教材的，將教學內容與學生的專業知識相結合，講授知識，訓練技能。

三、教法與學法

1.教法：“教必有法而教無定法”，只有方法得當才會有效。新課程標準要求教師是教學的組織者、引導者、合作者，在教學過程要充分調動學生的積極性、主動性。本著這一原則，在教學過程中我主要采用以下教學方法：

引導發現法：教學過程中通過水費計算案例，將知識融入到具體的事例中，引導學生歸納總結出相關知識。

小組合作討論法：教師布置任務分組合作制定出符合分段函數形式的商品促銷方案。

反饋式評價法：教師根據學生匯報自制的商品促銷方案對學生掌握情況進行評價。

2.學法：針對教法，在學法選擇上，我主要采用：自主探究法、合作交流法、歸納總結法。

四、教學過程

在本節課的教學過程中設置了七大環節：

環節1：導入新課。

所謂良好的開端是成功的一半。數學來自生活，又應用于生活和生產實踐。分段函數在我們日常生活中具有廣泛的應用，比如商品打折、水費、電費計算等等。本課采取的是創設生活情景，導入新課。

讓學生觀看一段生活中的節約水資源公益廣告，來激發學生節約水資源意識。并以此為引入新知做情感上的鋪墊。

環節2：引入新知。

教師給出關于水費計算方面的問題。

例1 我國是一個缺水的國家，很多城市的生活用水遠遠低于世界的平均水平，為了加強公民的節水意識，某城市制訂了每戶每月用水收費（含用水費和污水處理費）試寫出每戶每月用水量與水費之間的函數關系。

本環節教師運用引導發現法進行教學。首先給學生設置四個問題：

（1）自變量是什么？（用水量設為x）（2）自變量的取值范圍是什么？（x≥0）（3）自變量被分成了幾段？（2段）（4）每一段的函數解析式是什么？

讓學生自主思考、探究、回答這四個問題，并以表格形式列出答案。其次，教師利用解析式形式寫出函數表達式，從而讓學生發現此函數的特點。引出本節重點分段函數的相關概念。本環節是希望通過學生熟悉的實際生活問題引入課題為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離

環節3：鞏固新知。

教師板書分段函數定義：在自變量的不同取值范圍內，需要用不同的解析式來表示的函數叫做分段函數。

然后指出分段函數定義域和函數值的求法。并歸納總結出求函數值的步驟：先確定某個自變量所在的范圍，再把自變量代入不同范圍對應的解析式求出函數值。

根據分段函數的相關定義給出例題。

例2設函數f（x）=2x-1， x≤0；f（x）=x2， x>0

（1）求函數的定義域；（2）求f（2），f（0），f（-1）的值。

教師板書解題過程。結合例題學生進行口答練習，以加強鞏固相關知識點。

本環節的設計目的：通過講練結合的形式，突出本節的重點，加強學生對理論知識的掌握。

環節4：應用新知。

教師根據學生所學專業給出相應的例題。

例3 某商店規定，某種商品一次性購買10kg以下，按零售價格50元/kg銷售；若一次性購買量滿10kg，可打9折；若一次性購買量滿20kg，可按團購價格40元/kg供貨。

（1）試寫出支付金額y（元）與購買量x（kg）之間的函數關系式；

（2）分別求出購買15kg和25kg應支付的金額。

師生共同分析：在商品銷售問題中，銷售總金額=單價×銷售量。不同的購買量單價不同，所以這是一個分段函數。

（給學生一定的時間分析討論以得出例題的解題過程。解題過程找一名學生板演，教師帶領其他學生檢查解題過程，找出問題，共同糾正。）

通過此例題的解題過程讓學生歸納總結出應用分段函數知識解決實際問題的步驟：

利用分段函數建模的基本步驟是：

1.確定自變量和它的取值范圍。2.對自變量進行分段。3.分段寫出函數解析式。

本環節的設計目的：使學生們認識到我們數學學習在他們專業知識中的地位，并體現出生活中處處有數學的思想。

環節5：崗前培訓。

本環節把學生分成幾個學習小組以激發學生的團隊協作意識。教師布置任務：老師知道作為營銷專業的我們，咱們大部分同學都比較關注各商場的促銷活動。下面的時間同學參照例3的模式，把老師給的幾個促銷方式，根據課前的分組每組自選一種方式，在規定時間內確定一個促銷方案，并求出本次促銷方案中的分段函數關系式，以及某一顧客此次購買某件商品的購物金額。然后每組派一名代表闡述你們組的成果。

在小組討論時，教師到各小組指導，并檢查各小組討論的書面結果。

成果展示時，每組代表在大屏幕上展示本組的成果，以便同學能直觀地了解各小組的情況。

各組展示之后，教師以多媒體展示各小組的正確答案。

本環節的實際目的：讓學生把死板的理論知識運用到他們專業實踐中來，加深學生對本節課重點的理解，又可以突破本節課的難點。

環節6：總結評價。

評價主要采用學生自評和教師評價相結合的方式進行。教師在總結評價時，總結學生的掌握情況及比較各學習小組的特點，引導他們學習別人的長處，使學生的職業能力、實踐能力在評估中得到提高。

本環節的設計意圖：小結歸納不僅是對知識的簡單回顧，主要是發揮了學生的主體地位，從知識、方法、經驗等方面進行總結。

環節7：布置作業。

（1）讀書部分：教材章節3.3；（2）書面作業：學習與訓練3.3；（3）實踐調查：調查生活中分段函數的實例。

環節8：板書設計。

五、教學反思

本節課的教學過程中充分地體現了做中學的思想。90%的學生掌握了分段函數的相關概念，70%的學生能利用分段函數解決實際問題。教學目標完成，教學效果良好。存在問題：由于分段函數的實際應用在生活中涵蓋廣泛，因為時間關系，很多問題只能留到課下研討。

函數的定義和性質教案第 2 篇

一、前言

目前，高中數學教學過程中，很多學生對函數學習不夠重視，教師應當在教學過程中明確函數的地位和重要性，并采取積極有效的措施來提高學生學習函數的效果。

二、提高高中數學教學有效性的重要意義

在新時期下，傳統的應試教育（應試教育指脫離社會發展需要，違背自然發展規律，以應付升學考試為目的的教育理念和教育方式，是教育工作存在弊端的集中表現）已經無法滿足教育事業的發展要求，應試教育的教學模式亦不能滿足學生的學習需求，為保障我國教育事業的可持續發展，其必須轉變傳統的應試教育，開展新的教學模式，做到與時俱進，順應時代的發展趨勢，以實現教育事業的現代化。隨著我國社會經濟不斷發展，我國社會對人才的要求逐漸提高，其所需要的是實踐能力強、具有高素質的專業人才，而素質教育的推廣和應用則能實現這一目標。

三、高中函數數學的學習內容

首先是函數概念的學習，在高中階段，我們用映射的觀點去定義函數，實際上函數就是一個特殊的映射，是兩個非空數集之間的映射，所以，我們要注意函數的三要素：定義域、值域、對應法則。盡管對應法則是構成函數的核心，但定義域也是構成函數的重要組成部分，是構成函數的三大要素之一，是函數賴以變化的基礎。函數定義域的變化對函數圖像和性質的改變等方面有著不容忽視的制約作用。

函數還具有多種表示法，如解析法、列表法、圖象法、箭頭法；加強不同表示法之間的聯系和轉換，使學生學會在面臨一個具體問題時能根據問題的特點靈活選擇表示的方法，加強函數與其他數學知識的聯系是函數概念教學的內在要求。教材通過例題給出高一某班三位同學在六次測試中的成績及相應的班平均分的數據，要求分析三位同學的學習情況。解決這個問題的關鍵就是根據函數的表格表示法與圖象表示法的特點，將表格表示轉化為圖象表示。

其次函數性質的學習，高中函數的性質主要有單調性，奇偶性，周期性。學習這些性質的時候主要會各個性質的證明，應用。要理解記憶一些結論，如函數圖像有兩條對稱軸即為周期函數等，利用圖像掌握這些性質的特點和應用。

再次是函數和其他知識點的結合，函數、方程和不等式的綜合。這些題目在選擇題和填空題中有，常在高考數學的壓軸題中出現。在解答題中把導數、一元二次函數、分式函數、方程、不等式等結合起來，作為函數綜合題，要求較高。函數和數列的綜合。數列是特殊的函數，在數列題目中常常會用到單調性、周期性等，特別是和不等式的結合往往是難點。函數和解析幾何的綜合。解析幾何主要用到方程的知識，但是在求最值等問題時也常和函數、不等式等結合，運算量比較大。

四、高中教學中需要注意的問題

1、情感方面。第一，積極引導學生體驗高中數學中函數的美好，不斷激發學生的求知欲望和學習熱情。在實際的教學中，教師可根據學生的需求和興趣制定不同的教學方案，設置一些比較精致有趣的教學問題，不斷采用新的情景模式美化數學函數圖形，從而使教學方法更加簡單化，數學格式更加細致化。與此同時，還可以在課堂上開展多媒體教學，積極培養學生的審美情趣，帶動學生的學習熱請和積極性。

第二，創造和諧優美的教學環境，不斷拓寬學生的視野和思想創新渠道。新課程改革環境下的教學不再是傳統的“教師講、學生聽”的模式，它要求師生之間要時常進行互動和交流，促進師生感情的融合。教師在實際的教學過程中，應該站在學生的立場考慮問題，尊重學生的主體地位，善于發現和表揚學生的優點，培養學生的自信心和優越感，通過肯定和贊許等方式使學生感悟到成功的喜悅，增強其學習的興趣。

第三，關注個性差異，培養學生自己動手解決問題的能力。高中函數的學習比較復雜，學生的掌握程度和靈活運用情況會具有一定的差異。因此，在課堂上，教師應該多關注學習比較吃力的學生，鼓勵并幫助其克服學習函數的困難，促進學生的整體發展。

2、知識方面。扎實的基礎在高中函數的學習過程中起到非常重要的作用，也是學生創新思維以及開展研究活動的的重要前提，更是奠定不同數學能力的基礎，因此，在實際的教學中，教師必須認識到基礎知識和拓展知識的重要性。首先，學生應該在教師的指導下，熟練的掌握函數的的概念、性質和圖形，相應的公式及定理也應該掌握扎實，這是解決疑難問題的堅實基礎，便于更好的解決深入學習中遇到的問題。其次，應該不斷加強通性通法以及常用解題方法與思想的訓練學習，在教師的指引下，學生要充分掌握解題的思路和方法，養成科學合理的嚴密的解題習慣，為以后知識的學習和解題方法的不斷累積奠定堅實的基礎。

五、高中函數優化教學設計的實踐案例

1、高中函數概念教學的實踐案例 。課程通過具體的實例展開討論，從特殊例子當中歸納一般的規律和函數的定義，課堂是一個動態生成的過程，教師引導學生進行交流合作、觀察分析、抽象概括、鞏固運用、歸納總結，為學生提供交流合作的機會，讓學生在輕松的教學氛圍中學習知識、提升能力，符合新課程以學生為主題的教學原則。第一步驟，教師進行情境創設，對函數概念的發展過程和中外數學家的努力事跡進行簡單介紹，采取故事性的形式吸引高中生的注意力，讓學生將精力集中到課堂當中。第二步驟，進行課堂復習和新課講授?；仡櫝踔兴鶎W的函數概念，后教師進行舉例，讓學生運用初中函數的概念驗證所舉例子是否符合函數的定義；進行班級分組，讓學生進行交流討論，引導學生發型恩格爾系數和時年份函數相關，數表是函數的一個表示方式；教師引導學生發現例子之間的異同點，從而總結函數概念的要素為對應關系、兩個數集、集合1當中的每個元素以及集合2當中的唯一元素，函數的表現形式可以是圖像、解析式、圖表。第三步驟，教師給出函數新的定義，引導學生關注概念的那個在的限制條件和要點，提升高中生閱讀和分析數學知識的能力。同時，根據班級學生的思維特點進行錯誤認識的糾正。第四步驟，進行課堂練習；進行課堂小結，小結內容包括函數和實際的聯系、函數的概念和三要素；布置作業，讓學生尋找生活當中的函數實例，進行變量間依存關系的分析。

2、指數函數教學的實踐案例。課程的教學設計體系從特殊到一般的過程，課堂當中以學生為主體，教師為主導，從具體實例當中建立函數的關系，進而采用辨證概括的方法獲取指數函數之概念；依據具體的圖像，觀察并總結一般的指數函數的性質。從而，數學的概念在過程當中形成，學生的思維能力和學習能力也得到培養，有助于形成優良的數學品質，提升高中生的數學素養。步驟一，采用2個例子進行新課的引入，從例子當中獲得稱之為指數函數的函數關系式，讓學生從實例當中了解指數函數。步驟二，介紹并分析指數函數的定義，列出多個函數例子，讓學生進行判斷，引發學生對于指數函數概念中限制條件的注意。步驟三，介紹指數函數的圖像，布置學生進行繪圖，并對學生的繪圖存在偏差和錯誤的地方進行指導；使用幾何畫板進行四個函數圖像的繪制，引導學生們觀察圖像從左至右的變化趨勢、圖像所在的象限及意義、圖像的共同之處和特征等等，從而總結得出指數函數的圖像特征，整理指數函數性質。步驟四，進行鞏固練習和小結，小結內容包括指數函數的定義和注意點、指數函數的性質及圖像的特征。

六、結語

總而言之，高中數學教學過程中，函數知識至關重要，學生必須要牢固掌握函數的相關知識，才能為未來的學習奠定基礎。所以，老師要更加注重函數知識的教授，采取更加科學的教學方法提高學生學習水平。

函數的定義和性質教案第 3 篇

在高中新課程中，函數是在實際中應用最多的內容之一，它是反映現實生活和其它學科規律的基本的數學模型。作為新課程的一條主線，函數與函數的應用貫穿在高中新課程的始終。

一、 函數與方程

用函數的觀點看待方程，可以用動態的觀點看方程，把方程看成函數變化過程中的一個特殊狀態，方程的根是函數的零點，解方程就是求函數的零點。

例1.設6ec8aac122bd4f6e，若僅有一個常數c使得對于任意的6ec8aac122bd4f6e，都有6ec8aac122bd4f6e滿足方程6ec8aac122bd4f6e，這時，6ec8aac122bd4f6e的取值的集合為 。

分析:題目給出的方程中含有6ec8aac122bd4f6e等多個字母，而條件中是對任意的6ec8aac122bd4f6e都有6ec8aac122bd4f6e，這使我們聯想到函數的定義域、值域，所以必須把方程改寫為關于6ec8aac122bd4f6e的函數，再進一步研究函數的性質。

解：由已知6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e（其中6ec8aac122bd4f6e），函數為反比例函數，在6ec8aac122bd4f6e（6ec8aac122bd4f6e）上為單調遞減，所以當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e又因為對于任意的6ec8aac122bd4f6e，都有6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e，因為有且只有一個常數6ec8aac122bd4f6e符合題意，所以6ec8aac122bd4f6e，解得6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e的取值的集合為6ec8aac122bd4f6e。

本題看似方程問題，實質是函數問題，通過分析、轉化為函數，并運用函數的性質將問題轉化為不等式組解出，自覺地、巧妙地運用函數的思想來指導解答問題。

二、 函數與數列

數列是特殊的函數。因為它的定義域一般是自然數集或其子集，而自然數是離散的，因此，數列通常稱為離散函數。教材中從兩個角度對數列給出了定義，一是描述性定義：數列是按照一定順 序排列著的一列數，二是函數性定義：數列是一類定義在整數集或它的有限子集上的一種特殊函數，由此可見，任何數列問題都具有函數的性質以及函數的一些固有特征。充分利用函數的概念、圖象、性質去揭示它們之間的內在聯系，從而達到更有效、更快捷地解決數列的問題。如等差數列與一次函數的聯系，等比數列與指數函數的聯系，等差數列的前n項和與二次函數的聯系，構造特殊函數模型結合圖象解決問題等。

例2． 數列通項,前30項中最大項和最小項分別是( )

A B C D

分析:用分離常數法,得.該函數圖象是經過坐標軸平移后的反比例函數圖像

三、函數與不等式、線性規劃

用函數的觀點看不等式——運動變化、數形結合、幾何直觀。例如二次不等式、高次不等式的解法，都是以函數為載體，通過數形結合的方法來實現。從函數的觀點看，線性規劃問題就是確定目標函數在可行域（由約束條件確定的定義域）內的最值問題，是函數知識在更高維度上的擴展。

例3． 不等式恰好有一個實數解，則的取值范圍是 。

分析：如果僅從不等式的角度去思考問題，就要解兩個含參不等式，并且使其交集只含有一個元素，理論上可行，但實際解決起來很繁瑣。換一角度思考：由不等式可構造函數：，題目轉化為該二次函數的圖像在軸和直線僅僅出現一個點，不難想象二次函數的圖像應滿如圖所示的樣子，即拋物線的最低點在直線上，故，解得。

四、函數與解析幾何

平面曲線是函數概念的重要背景，嚴格定義后它們有差異，但仍有緊密聯系。例如：從函數的角度看，一元二次函數的圖象是拋物線，體現的是變量之間的對應關系；從方程和曲線的角度看，拋物線是由“到定點和定直線等距”這一幾何特征確定的曲線。函數為解析幾何學習中所需的數、形結合思想奠定了基礎。

例4． 已知P點在圓x2+(y-4)2=1上移動，Q點有橢圓上移動,Q點在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。

分析：兩個都是動點，看不出究竟，P、Q在什么位置時|PQ|最大

故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值。

解：設Q（x，y），則|O1Q|2= x2+(y-4)2=1 ①

因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) ⑵

將②代入①得

|O1Q|2=9（1-y2）+（y-4）2

=

因為Q在橢圓上移動，所以 —1≤y≤1

故當時，|O1Q|mox=

此時 |PQ| mox=+1

函數法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數最常見的有二次函數等。

五、函數與導數

函數是導數的研究對象。沒有導數時，函數性質的研究需要許多技巧；導數是研究函數的通用、有效、簡便的工具。用導數研究函數性質、進一步理解函數概念和性質的聯系，是對函數概念理解的又一次上升。如求函數的最值問題，判斷函數的單調性問題等。

例5．已知函數，

(2)若在區間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區間上的最小值．

解：(1) ，解得，如下圖，所以函數的單調遞減區間為（－∞，－1），（3，＋∞）．

(2)

于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．

故，因此f (－1)＝－7，即函數f (x)在區間[－2，2]上的最小值為－7．

二次函數的有關性質及其應用是函數內容中的一個重點，而隨著導數知識的介入，三次函數在函數問題的研究中凸顯出其重要性。三次函數問題,可通過求導轉化為二次函數或二次方程問題,然后結合導數的基本知識及二次函數的性質來解決。

六、立體幾何中的“動態問題”，是指空間圖形中的某些點、線、面的位置是不確定的、可變的一類開放問題。點、線、面的變化必然導致位置關系或一些量的變化，在具體問題中，讓變量變化，考慮由此變化所引發的其它量的變化，構建目標函數，則可將立體幾何問題用代數方法解決。

例6．等邊三角形ABC的邊長為a，將它沿平行于BC的線段DE折起，使平面ADE平面BDEC，若折疊后AB的長度為d，則d的最小值為（ ）

A. B. C. D.

分析：在此問題中，DE在三角形ABC中的位置是

變化的，由此變化引起翻折后AO、OF的變化，從而

導致AF的變化，進而形成了折疊后AB的長度的變化。

設AO=x，則，

由此易知時，取得最小值為

七、函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，現實世界中的許多關系是運用函數模型來刻畫的，算法作為研究函數的工具，二者有著密切的聯系。例如:算法的順序結構：輸入——處理——輸出，和函數的定義：對任意一個x,都有唯一的y與之對應。那么一個簡單的函數關系y=2x+1：就可以用相應的順序結構來寫出算法:輸入x的值——求出y=2x+1——輸出y的值。通過這樣的一個例子，我們將函數和算法自然而然結合起來，既學習了順序結構這一新知，又復習了函數的定義，使二者相符相成。當進入條件結構的教學時，我們自然而然地引導學生聯想到分段函數。

例7． 鐵路托運行李，從甲地到乙地，按規定每張車票托運行李不超過50kg時，每千克0.13元，如超過50kg，超過的部分按每千克0.20元計算，如果行李重量為W(kg),運費為F（元），函數模型為：

請設計程序，輸入行李的重量W，輸出運費F.

分析：運費F是行李重量W的分段函數，

可以用條件結構的算法解決，

框圖如下：

通過上面的例子，我們就會體會到順序結構、條件結構和函數有著必然的聯系，使我們更加體會到函數思想在高中數學中的重要。

從20世紀初函數開始進入中學數學，克萊因提出了一個重要的思想——以函數概念和思想統一數學教育的內容，這足見“函數”的重要地位。新課程中，在義務教育基礎上又進行了冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數的研究，其中涉及他們的定義、圖像、性質以及基本應用。而函數與方程、函數與數列、函數與不等式、函數與線性規劃、函數與算法等等都有著不可分割的聯系，新課程中函數真的是無處不在。在教學過程中，始終堅持以函數為綱，做到“綱舉目張”。

函數的定義和性質教案第 4 篇

從容說課

學習函數的表示，不僅是研究函數本身和應用函數解決實際問題所必須涉及的問題，而且是加深理解函數概念的過程.同時，基于高中階段所接觸的許多函數均可用幾種不同的方式表示，因而使得學習函數的表示也是向學生滲透數形結合方法的重要過程.

初中已經接觸過函數的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.高中階段是讓學生在了解三種表示法各自優點的基礎上，重點在于使學生面對實際情境時，會根據不同的需要選擇恰當的方法（圖象法、列表法、解析法）表示函數.根據實際問題中的條件列出函數解析式的訓練，是建立函數模型研究實際問題的關鍵步驟，這種應用意識的培養和應用能力的提高應不斷貫穿于以后的教學過程中.本課還介紹了分段函數，在實際問題中，有很多函數是用分段函數來表示的，所以探討分段函數是很有必要的，在教學中結合教材內容向學生滲透分類思想方法，對培養學生全面分析問題、解決問題的能力是很有幫助的.應該說這是知識螺旋化的一種體現，教學時要讓學生體會到函數三種表示法具有內在的聯系，它們在一定條件下是可以相互轉化的.對函數的解析式和圖象表示應重點研究.

三維目標

一、知識與技能

1.能熟練掌握函數的三種不同表示.

2.了解函數不同表示法的優缺點.

3.了解分段函數及其表示.

4.會求某些函數的解析式.

二、過程與方法

1.自主學習，了解函數表示形式的多樣性和轉化方法.

2.探究與活動，明白何時的函數用何種方法表示適宜.

3.增強動態意識、通過觀察、對比、分析，發展辯證思維能力.

三、情感態度與價值觀

培養學生重要數學思想方法——數形結合與分類討論思想方法，激發學生學習的熱情.

教學重點

函數的三種不同表示的相互間轉化.

教學難點

函數的解析式的表示，理解和表示分段函數.

教具準備

多媒體課件、投影儀、打印好的材料.

教學過程

一、創設情景，引入新課

師：在前面的課中，我們已經初步研究函數的概念和表示方法.今天我們再專門研究函數的表示方法.

（板書：函數的表示方法）

師：請考察下面三個函數：

投影膠片1（或多媒體制作鏡頭1）：估計人口數量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據.從人口統計年鑒中可以查得我國從至人口數據資料如表所示，你能根據這個表說出我國人口的變化情況嗎？

1949～我國人口數據表

年 份

人口數/百萬

1949

542

1954

603

1959

672

1964

705

1969

807

1974

909

1979

975

1984

1035

1989

1107

1994

1177

1999

1246

師：該題是用的什么方法來表示函數的？

生：這是一份表格.

師：這位同學說得很好.這種用列表來表示兩個變量之間函數關系的方法稱為列表法.

投影膠片2（或多媒體制作鏡頭2）：一物體從靜止開始下落，下落的距離y（m）與下落時間x（s）之間近似地滿足關系式y=4.9x2.若一物體下落2 s，你能求出它下落的距離嗎？

師：這種用等式來表示兩個變量之間函數關系的方法稱為解析式法.這個等式通常叫做函數的解析表達式，簡稱解析式.

投影膠片3（或多媒體制作鏡頭3）：

上圖為某市一天24小時內的氣溫變化圖.

請問：

（1）上午6時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？

（2）在什么時刻，氣溫為0℃？

師：這個問題我們用圖象表示了時刻與氣溫的關系，這種用圖象表示兩個變量之間函數關系的方法稱為圖象法.

二、講解新課

1.函數的表示法

（1）解析法

解析法，就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系，這個數學表達式叫做函數的解析式，簡稱為解析式，如S=60t2，S=2πrl，y=ax+b，y=ax2+bx+c（a≠0）等等，都是用解析式法表示的函數關系.

解析法有兩個優點：一是簡明、全面地概括了變量間的關系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數值.中學階段所研究的主要是能夠用解析式表示的函數.

（2）圖象法

圖象法，就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

圖象法的優點是直觀形象地表示自變量的變化，相應的函數值變化的趨勢，有利于我們通過圖象來研究函數的某些性質.圖象法在生產和生活中有許多應用，如企業生產圖，股市走勢圖等.

（3）列表法

列表法，就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.

列表法的優點是不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數值，表格法在實際生產和生活中也有廣泛應用.如銀行利率表、列車時刻表等.

2.例題講解

【例1】 教科書P22例3.

本例介紹了一個可以用三種表示方法來表示的函數.通過這個例子可以達到以下目的：

（1）讓學生體會到三種表示方法各自的優點.并且，本例后的“思考”為學生比較三種表示方法提供了機會，教學時教師應注意不要讓學生錯過這個機會.對于“所有的函數是否能用解析法表示”，學生比較難以回答，教學時不妨先舉一些例子啟發學生，然后再由學生試著舉一些例子.

（2）使學生看到函數的圖象可以是一些離散的點，這與學生以前接觸到的一次函數、二次函數的圖象是連續的曲線有很大的差別，教學時要考慮到學生的認知基礎，強調y=5x（x∈R）是連續的直線，但y=5x（x∈{1，2，3，4，5}）卻是5個離散的點，由此又讓學生看到，函數概念中，對應關系、定義域、值域是一個整體.

函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等.本例邊框中的問題“判斷一個圖形是不是函數圖象的依據是什么”，應在組織學生討論后獲得結論“平行于y軸的直線（或y軸）與圖形至多一個交點”.

【例2】 教科書P23例4.

本例利用表格給出了四個函數，它們分別表示王偉、張城、趙磊的各次考試成績及各次考試的班級平均分.由表格區分三位同學的成績高低不直觀，所以教科書選擇了圖象法表示.教學時要培養學生根據實際需要選擇恰當的函數表示法的能力.要注意的是，圖中的虛線不是函數圖象的組成部分，之所以用虛線連接散點，主要是為了區分這三個函數，并且讓三個函數的圖象具有整體性，以方便比較.教學時應引導學生觀察圖象，學習如何從圖象上獲取有用信息，為分析每位同學的學習情況提供依據.

【例3】 教科書P24例5.

本例的主要目的有兩個：一是讓學生進一步體會數形結合在理解函數中的重要作用，二是為介紹分段函數作準備.

【例4】 教科書P24例6.

本例的主要目的有以下幾點：

（1）讓學生嘗試用數學表達式去表達實際問題；

（2）學習分段函數及其表示；

（3）注意在數學模型中全面反映問題的實際意義；

（4）讓學生根據這個例題的邊框要求，自行設計任意兩站之間的票價表以方便售票員與乘客，體會在不同情境中使用恰當的函數表示法.

由上述例3和例4歸納出分段函數的概念如下：

2.分段函數

有些函數在它的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應關系不同，這樣的函數通常稱為分段函數.

實際生活中，出租車的計費、電信資費、個人所得稅額等均是分段函數.

【例5】 求下列函數的解析式：

（1）已知f（x）是二次函數，且f

（0）=2，f（x+1）－f（x）=x－1，求f（x）；

（2）已知f（+1）=x+2，求f（x），f（x+1），f（x2）；

（3）已知f（）=+，求f（x）；

（4）已知3f（x）+2f（－x）=x+3，求f（x）.

方法引導：

（1）由已知f（x）是二次函數，所以可設f（x）=ax2+bx+c（a≠0）設法求出a、b、c即可.

（2）若能將x+2適當變形，用+1的式子表示就好辦了.

（3）視為一整體不妨設為t，然后用t表示x，代入原表達式求解.

（4）x、－x同時使得f（x）有意義，用－x代x建立關于f（x）、f（－x）的兩個方程就好了.

解：

（1）設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f

（0）=2，得c=2.

由f（x+1）－f（x）=x－1，得恒等式2ax+a+b=x－1，得a=，b=－.故所求函數的表達式為f（x）=x2－x+2.

（2）∵f（+1）=x+2=（）2+2+1－1=（+1）2－1，

又∵≥0，+1≥1，

∴f（x）=x2－1（x≥1）.

（3）設=t，則x=，t≠1.

則f（t）=f（）=+=1++=1+（t－1）2+（t－1）=t2－t+1.

∴f（x）=x2－x+1（x≠1）.

（4）∵3f（x）+2f（－x）=x+3， ①

x用－x代得3f（－x）+2f（x）=－x+3. ②

解①②得f（x）=x+.

方法技巧：求函數解析式常見的題型有：

（1）解析式類型已知的，如本例

（1），一般用待定系數法，對于二次函數問題要注意一般式〔y=ax2+bx+c（a≠0）〕，頂點式〔y=a（x－h）2+k〕和標根式〔y=a（x－x1）（x－x2）〕的選擇.

（2）已知f［g（x）］求f（x）型問題方法一是用配湊法；方法二是用換元法.如本例

（2）、

（3）.

（3）函數方程問題，需建立關于f（x）的方程組，如本例

（4）.若函數方程中同時出現f（x）、f（），則一般x用代之，構造另一方程.

特別要指出的是，求函數解析式均應嚴格考慮函數的定義域.

三、課堂練習

教科書P27練習題1，2，3.

答案：1.y=x（0＜x＜50)，圖象如下.

2.（1）題與D圖，

（2）題與A圖，

（3）題與B圖吻合得最好，剩下與C圖相符的一件事可能為：

我出發后感到時間較緊，所以加速前進，后來發現時間還很充裕，于是放慢了速度.

3.四、課堂小結

1.本節學習的數學知識：

函數的表示法、分段函數、函數解析式的求法.

2.本節學習的數學方法：

定義法、換元法、待定系數法、數形結合與分類討論的思想方法.

五、布置作業

教科書P28習題1.2 A組5，7，9，10，11，12，13.

板書設計

例1

例2

例3

例4

例5

課堂練習

課堂小結