這是特殊角的銳角三角函數值教案，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

特殊角的銳角三角函數值教案第 1 篇

　　【內容概述】

　　證明圓的切線是近幾年中考常見的數學問題之一。最常用的是利用“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”證明。

　　本內容通過動手操作得出切線的判定定理，再利用解決兩道例題，總結歸納出兩種具體的證法：

　　①當直線與圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連結起來，證明直線垂直于這條半徑，簡稱為“連半徑，證垂直”；

　　②當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱為“作垂直，證半徑”。

　　歸納總結后，馬上給予兩道對應練習題鞏固理解兩種證明方法。

　　【教學重難點】

　　理解切線的判定方法，能選擇正確的方法證明一條直線是圓的切線。

　　【教學目標】

　　掌握判斷圓的切線的方法，并靈活解題。進一步培養使用“分類”與“歸納”等思想方法的能力。

　　【教學過程】

　　一、復習引入

　　平面內直線和圓存在著三種位置關系，即直線和圓相離、直線和圓相切、直線和圓相交，這三種位置關系中最重要的是直線和圓相切。那么怎樣證明直線和圓相切呢？怎樣判定一條直線是圓的切線？

　　⑴和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；（定義）

　　⑵到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（d=r）

　　除了這兩種方法，還有沒有其他方法判定一條直線是圓的切線呢?

　　活動一：在練習本上畫一個圓O,做一個半徑OA,做一條直線L,使L經過點A且垂直于OA。這樣的直線能畫幾條？這條直線和圓是什么位置關系？為什么？你得到了什么結論？

　　切線判定定理：經過直徑的一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

　　活動二：分析定理。經過直徑的一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

　　這個定理有什么用？證明一條直線是圓的切線，那根據這個判定定理，要證明一條直線是圓的切線，需要幾個條件？分別是什么？

　　對定理的理解：①經過半徑外端. ②垂直于這條半徑。

　　定理中的兩個條件缺一不可。

　　二、典型例題

　　例1：如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB,CA=CB，

　　求證：直線AB是⊙O的切線。

　　證明：連結0C

　　∵0A＝0B，CA＝CB，

　　∴AB⊥OC。

　　∵直線AB經過半徑0C的外端C，

　　并且垂直于半徑0C，

　　∴AB是⊙O的切線。

　　【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結論，特別要注意“經過半徑的`外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線。

　　例2：如圖，P是∠BAC上的平分線上一點，PD⊥AC，垂足為D，請問AB與以P

　　為圓心、PD為半徑的圓相切嗎？為什么 ？

　　證明：過P作PE⊥AB于E

　　∵AP平分∠BAC,PD⊥AC

　　∴PE=PD(角平分線上的點到角兩邊距離相等)

　　∴圓心P到AB的距離PE=PD=半徑

　　∴AB與圓相切

　　【設計意圖】通過例一和例二的解答，總結證明切線的兩種添加輔助線的方法。

　　①當直線與圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連結起來，證明直線垂直于這條半徑，簡稱為“連半徑，證垂直”；

　　②當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱為“作垂直，證半徑”。

　　三、知識應用（練習）

　　1、如圖，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長線上

　　的一點，AE⊥DC交DC的延長線于點E，弦AC平分∠EAB。

　　求證：DE是⊙O的切線．

　　［分析］：因直線DE與⊙O有公共點C，故應采用“連半徑，證垂直”的方法。

　　證明：連接OC，則OA=OC，

　　∴∠CAO=∠ACO(等邊對等角)

　　∵AC平分∠EAB(已知)

　　∴∠EAC=∠CAO(角平分線的定義)

　　∴∠EAC=∠ACO（等量代換）

　　∴AE∥CO，(內錯角相等，兩直線平行)

　　又AE⊥DE，

　　∴CO⊥DC，

　　∴DE是⊙O的切線．

　　【評析】本題綜合運用了圓的切線的性質與判定定理．一定要注意區分這兩個定理的題設與結論，注意在什么情況下可以用切線的性質定理，在什么情況下可以用切線的判定定理．希望同學們通過本題對這兩個定理有進一步的認識．本題若作OC⊥CD，就判斷出了CD與⊙O相切，這是錯誤的．這樣做相當于還未探究、判斷，就以經得出了結論，顯然是錯誤的。

　　2、如圖，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=AB，E、F分別是AC、

　　BC的中點，求證：以EF為直徑的⊙O 與AB 相切。

　　［分析］：因直線AB與⊙O無確定的公共點，故應采用“作垂直，證半徑”方法。

　　證明：過O點作OH⊥AB于H

　　∵E、F分別為AC、BC的中點（已知）

　　∴EF∥AB，且EF=AB（三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）

　　∴G點為CD的中點，OH=GD=CD

　　∵CD=AB ∴EF=CD

　　∴OH=EF

　　∴AB為⊙O的切線

　　四、小結升華

　　本節課里，你學到了哪些知識，它們是如何應用的？

　　證明切線的方法：(1)直線和圓有交點時，“連半徑，證垂直”；

　　(2)直線和圓無確定交點時，“作垂直，證半徑”。

　　【設計意圖】讓學生自己通過這節課的學習歸納總結出本知識點，即判斷直線與

　　圓相切的方法以及二種添加輔助線的方法。

特殊角的銳角三角函數值教案第 2 篇

　　復習目的：

　　1.本節課主要通過習題與考點實體的分析，使學生在復習過程中了解中招試題與課本的內在聯系，避免在復習過程中拋開課本，一味地鉆到偏題、怪題的題海里。

　　2.通過本節的復習，讓學生牢牢地把握圓的切線的基礎知識。

　　3.在基礎知識掌握的同時去發揮：改變題的條件與結論、增加或減少條件、給出條件探索結論、給出結論探索條件等形成新題。

　　復習重點：

　　例習題的改造及分析。

　　復習難點：

　　試題的解答。

　　教具：

　　多媒體課件。

　　教學過程：

　　一、新課引入：

　　現在考試題目并不推崇怪題、偏題，很多題目就是以課本習題為藍本，通過改編而成，所以深入挖掘研究教材是大有可為的。請看下面題目：

　　二、講新課：

　　例1 （2001年湖北荊州市中考題） 如圖1，在△ABC中，∠B=

　　90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交與點E與AC切于點D。

　　⑴求證：DE‖OC；

　　⑵若AD＝2，DC＝3，求tan∠ADE的值。

　　（讓學生讀題,引導學生分析)

　　師:由AC與⊙O相切可得哪些結論?

　　生:AC與過切點D的半(直)徑垂直.

　　師:連結OD后,圖中都有哪些相等的角?

　　生:∠CDO=∠CBO=90°,∠ACO=∠BCO,∠COD=∠COB,

　　∠ODE=∠OED, ∠ACB=∠AOD(∵∠ACB+∠DOB=180°,∠AOD+∠DOB=180°,∴∠ACB=∠AOD.)

　　師:由∠ACB=∠AOD,還能得出相等的角嗎?(關鍵引導得出:

　　∠COD=∠COB=∠ODE=∠OED.再由∠COD=∠ODE或

　　∠COB=∠OED.最后由內錯角相等或同位角相等證明DE‖OC)

　　師: 第 ⑵問在第 ⑴問DE‖OC的基礎上,若AD＝2，DC＝3，求tan∠ADE的值,∠ADE與哪些角相等?

　　生:∠ADE=∠ACO,∠ADE=∠BCO.

　　師: 求tan∠ADE的值,若能求出tan∠BCO的'值即可.Rt△OCB中，CB=CD=3，只要求出OB的值，能求出OB的值嗎？（設OB＝x，由勾股定理得AB＝4，由DE‖OC，得＝，即＝，得x=1.5,

　　tan∠ADE=1.5.)

　　師:此題似曾相識，它的圖形與我們學過的哪個題的圖形差不多？區別在哪里？比課本上的題的難度怎樣？（引導學生回憶，它的第⑴問是將幾何第三冊P94例3如圖2，已知:AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,切點為B,OC平行于弦AD.求證C是⊙O的切線.兩題中的平行的條件和切線的結論交換了位置，來源于教材，難度卻在教材之上。）（課本中的例3不必再作）

特殊角的銳角三角函數值教案第 3 篇

　　【內容概述】

　　證明圓的切線是近幾年中考常見的數學問題之一。最常用的是利用“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”證明。

　　本內容通過動手操作得出切線的判定定理，再利用解決兩道例題，總結歸納出兩種具體的證法：

　　①當直線與圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連結起來，證明直線垂直于這條半徑，簡稱為“連半徑，證垂直”；

　　②當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱為“作垂直，證半徑”。

　　歸納總結后，馬上給予兩道對應練習題鞏固理解兩種證明方法。

　　【教學重難點】

　　理解切線的判定方法，能選擇正確的方法證明一條直線是圓的切線。

　　【教學目標】

　　掌握判斷圓的切線的方法，并靈活解題。進一步培養使用“分類”與“歸納”等思想方法的能力。

　　【教學過程】

　　一、復習引入

　　平面內直線和圓存在著三種位置關系，即直線和圓相離、直線和圓相切、直線和圓相交，這三種位置關系中最重要的是直線和圓相切。那么怎樣證明直線和圓相切呢？怎樣判定一條直線是圓的切線？

　　⑴和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；（定義）

　　⑵到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（d=r）

　　除了這兩種方法，還有沒有其他方法判定一條直線是圓的切線呢?

　　活動一：在練習本上畫一個圓O,做一個半徑OA,做一條直線L,使L經過點A且垂直于OA。這樣的直線能畫幾條？這條直線和圓是什么位置關系？為什么？你得到了什么結論？

　　切線判定定理：經過直徑的一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

　　活動二：分析定理。經過直徑的一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

　　這個定理有什么用？證明一條直線是圓的切線，那根據這個判定定理，要證明一條直線是圓的切線，需要幾個條件？分別是什么？

　　對定理的理解：①經過半徑外端. ②垂直于這條半徑。

　　定理中的兩個條件缺一不可。

　　二、典型例題

　　例1：如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB,CA=CB，

　　求證：直線AB是⊙O的切線。

　　證明：連結0C

　　∵0A＝0B，CA＝CB，

　　∴AB⊥OC。

　　∵直線AB經過半徑0C的外端C，

　　并且垂直于半徑0C，

　　∴AB是⊙O的切線。

　　【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結論，特別要注意“經過半徑的`外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線。

　　例2：如圖，P是∠BAC上的平分線上一點，PD⊥AC，垂足為D，請問AB與以P

　　為圓心、PD為半徑的圓相切嗎？為什么 ？

　　證明：過P作PE⊥AB于E

　　∵AP平分∠BAC,PD⊥AC

　　∴PE=PD(角平分線上的點到角兩邊距離相等)

　　∴圓心P到AB的距離PE=PD=半徑

　　∴AB與圓相切

　　【設計意圖】通過例一和例二的解答，總結證明切線的兩種添加輔助線的方法。

　　①當直線與圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連結起來，證明直線垂直于這條半徑，簡稱為“連半徑，證垂直”；

　　②當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱為“作垂直，證半徑”。

　　三、知識應用（練習）

　　1、如圖，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長線上

　　的一點，AE⊥DC交DC的延長線于點E，弦AC平分∠EAB。

　　求證：DE是⊙O的切線．

　　［分析］：因直線DE與⊙O有公共點C，故應采用“連半徑，證垂直”的方法。

　　證明：連接OC，則OA=OC，

　　∴∠CAO=∠ACO(等邊對等角)

　　∵AC平分∠EAB(已知)

　　∴∠EAC=∠CAO(角平分線的定義)

　　∴∠EAC=∠ACO（等量代換）

　　∴AE∥CO，(內錯角相等，兩直線平行)

　　又AE⊥DE，

　　∴CO⊥DC，

　　∴DE是⊙O的切線．

　　【評析】本題綜合運用了圓的切線的性質與判定定理．一定要注意區分這兩個定理的題設與結論，注意在什么情況下可以用切線的性質定理，在什么情況下可以用切線的判定定理．希望同學們通過本題對這兩個定理有進一步的認識．本題若作OC⊥CD，就判斷出了CD與⊙O相切，這是錯誤的．這樣做相當于還未探究、判斷，就以經得出了結論，顯然是錯誤的。

　　2、如圖，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=AB，E、F分別是AC、

　　BC的中點，求證：以EF為直徑的⊙O 與AB 相切。

　　［分析］：因直線AB與⊙O無確定的公共點，故應采用“作垂直，證半徑”方法。

　　證明：過O點作OH⊥AB于H

　　∵E、F分別為AC、BC的中點（已知）

　　∴EF∥AB，且EF=AB（三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）

　　∴G點為CD的中點，OH=GD=CD

　　∵CD=AB ∴EF=CD

　　∴OH=EF

　　∴AB為⊙O的切線

　　四、小結升華

　　本節課里，你學到了哪些知識，它們是如何應用的？

　　證明切線的方法：(1)直線和圓有交點時，“連半徑，證垂直”；

　　(2)直線和圓無確定交點時，“作垂直，證半徑”。

　　【設計意圖】讓學生自己通過這節課的學習歸納總結出本知識點，即判斷直線與

　　圓相切的方法以及二種添加輔助線的方法。

特殊角的銳角三角函數值教案第 4 篇

1、教材分析

（1）知識結構

（2）重點、難點分析

重點：切線長定理及其應用．因切線長定理再次體現了圓的軸對稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系等提供了理論依據，它屬于工具知識，經常應用，因此它是本節的重點．

難點：與切線長定理有關的證明和計算問題．如120頁練習題中第3題，它不僅應用切線長定理，還用到解方程組的知識，是代數與幾何的綜合題，學生往往不能很好的把知識連貫起來．

2、教法建議

本節內容需要一個課時．

（1）在教學中，組織學生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長定理的基本圖形；對重要的結論及時總結；

（2）在教學中，以“觀察——猜想——證明——剖析——應用——歸納”為主線，開展在教師組織下，以學生為主體，活動式教學．

教學目標

1．理解切線長的概念，掌握切線長定理；

2．通過對例題的分析，培養學生分析總結問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想．

3．通過對定理的猜想和證明，激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，樹立科學的學習態度．

教學重點:

切線長定理是教學重點

教學難點 :

切線長定理的靈活運用是教學難點

教學過程 設計:

（一）觀察、猜想、證明，形成定理

1、切線長的概念．

如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長．

引導學生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.

2、觀察

利用電腦變動點P 的位置，觀察圖形的特征和各量之間的關系．

3、猜想

引導學生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB． PA＝PB．

4、證明猜想，形成定理．

猜想是否正確。需要證明．

組織學生分析證明方法．關鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA＝PB．

想一想：根據圖形，你還可以得到什么結論？

∠OPA＝∠OPB(如圖)等．

切線長定理：從圓外一點引圓的'兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．

5、歸納：

把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質

6、切線長定理的基本圖形研究

如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點．直線OP交⊙O于點D，E，交AP于C

(1)寫出圖中所有的垂直關系；

(2)寫出圖中所有的全等三角形；

(3)寫出圖中所有的相似三角形；

(4)寫出圖中所有的等腰三角形．

說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵，它是靈活應用知識的基礎．

（二）應用、歸納、反思

例1、已知：如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，

A和B是切點，BC是直徑．

求證：AC∥OP．

分析：從條件想，由P是⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，A，B是切點可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB＝OC，由此聯想到與直徑有關的定理“垂徑定理”和“直徑所對的圓周角是直角”等．于是想到可能作輔助線AB.

從結論想，要證AC∥OP，如果連結AB交OP于O，轉化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線來考慮．也可考慮通過平行線的判定定理來證，可獲得多種證法．

證法一．如圖．連結AB．

PA，PB分別切⊙O于A，B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

∴ OP ⊥AB

又∵BC為⊙O直徑

∴AC⊥AB

∴AC∥OP (學生板書)

證法二．連結AB，交OP于D

PA，PB分別切⊙O于A、B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

∴AD＝BD

又∵BO=DO

∴OD是△ABC的中位線

∴AC∥OP

證法三．連結AB，設OP與AB弧交于點E

PA，PB分別切⊙O于A、B

∴PA＝PB

∴ OP ⊥AB

∴ =

∴∠C＝∠POB

∴AC∥OP

反思：教師引導學生比較以上證法，激發學生的學習興趣，培養學生靈活應用知識的能力．

例2、 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．

（分析和解題略）

反思：（1）例3事實上是圓外切四邊形的一個重要性質，請學生記住結論．（2）圓內接四邊形的性質：對角互補．

P120練習：

練習1 填空

如圖,已知⊙O的半徑為3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分別切⊙O于A，B，則PA＝_______，∠APB＝________

練習2 已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的內切圓分別和BC，AC，AB切于點D，E，F，求AF，AD和CE的長．

分析：設各切線長AF，BD和CE分別為x厘米，y厘米，z厘米．后列出關于x , y，z的方程組，解方程組便可求出結果．

（解略）

反思：解這個題時，除了要用三角形內切圓的概念和切線長定理之外，還要用到解方程組的知識，是一道綜合性較強的計算題．通過對本題的研究培養學生的綜合應用知識的能力．

（三）小結

1、提出問題學生歸納

（1）這節課學習的具體內容；

（2）學習用的數學思想方法；

（3）應注意哪些概念之間的區別?

2、歸納基本圖形的結論

3、學習了用代數方法解決幾何問題的思想方法．

（四）作業

教材P131習題7．4A組1．(1)，2，3，4．B組1題．

探究活動

圖中找錯

你能找出（圖1）與（圖2）的錯誤所在嗎？

在圖2中，P1A為⊙O1和⊙O3的切線、P1B為⊙O1和⊙O2的切線、P2C為⊙O2和⊙O3的切線．

提示：在圖1中，連結PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點只能作一條直徑，所以此圖是一張錯圖，點O應在圓上．

在圖2中，設P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A＝P3C＝c，則有

a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+ c ①

c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+ b ②

a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+ b ③

將②代人①式得

a =P1P3+（P2P3+ b）=P1P3+P2P3+ b，

∴a-b=P1P3+P2P3

由③得a-b=P1P2得

∴P1P2=P2P3+ P1P3

∴P1、P 2 、P3應重合，故圖2是錯誤的．

數學教案－切線長定理