這是復數的三角表示計算，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

復數的三角表示計算第 1 篇

　　教學課時：共2課時（第1課時）

　　教學目標：

　　1、能借助復數的幾何意義認識復數的三角形式，知道復數可以用三角形式來表示且可以與代數形式互化，正確識別復數的三角形式中模、輻角等相關概念．

　　2、結合知識學習進一步體會數形結合思想的應用，培養學生直觀想象、邏輯推理、數學建模核心素養；能熟練求出簡單代數形式的復數的三角形式．

　　3、體會事物聯系的普遍性，形式與內容相統一的辯證唯物主義觀點．

　　教學重點：將復數的代數形式化為三角形式的意義與轉化的方法步驟．

　　教學難點：將復數的代數形式化為三角形式的意義．

　　教學過程：

　　一、情境與問題

　　問題1：

　　設復數在復平面內對應的點為Z，你能不能寫出點Z的坐標，并在復平面內描出點Z的位置，做出向量？

　　問題2：

　　記r為向量的模，是以x軸正半軸為始邊，射線OZ為終邊的一個角，請求出r的值，并寫出的任意一個值．

　　問題3：

　　小組討論r、與的實部與虛部之間的關系．每個小組把討論得出的結論寫出來．請出幾個小組的代表發言．

　　【學生活動】：

　　1、閱讀教材43頁嘗試與發現．

　　2、回答文章中提出的問題．

　　3、小組討論并把討論得出的結論寫出來．

　　【設計意圖】：

　　引導學生自主思考復數的r、與復數的實部、虛部之間的聯系．建立引入復數的三角形式的學習情境．

　　二、新知探究

　　問題1：

　　是不是任意的復數的實部、虛部與復數的r、與之間都存在類似的關系？我們能不能利用r、表示復數？

　　【學生活動】學生動手推導復數的實部、虛部與復數的r、與之間的關系．

　　【設計意圖】通過學生自己動手推導，得到復數的實部、虛部與復數的r、與之間的關系，將推廣到z=a+bi．

　　問題2：

　　復數三角形式的定義是什么？

　　【學生活動】

　　嘗試總結復數三角形式的定義．

　　【設計意圖】引導學生自己總結復數三角形式的定義，調動學生學習的積極性，能幫助學生加深對復數三角形式的理解．

　　復數 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫復數z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中，θ為復數z的輻角．

　　問題3：

　　輻角是唯一的嗎？如果不唯一，它們之間有什么關系？

　　以Ox軸正半軸為始邊，向量所在的射線為終邊的角θ叫復數z=a+bi的輻角．任意非零復數的輻角都有無窮多個，任意兩個輻角之間相差2的整數倍．[0，2）內的輻角稱為輻角主值，記作arg z．z=0時，其輻角是任意的．

　　【學生活動】思考并討論．

　　【設計意圖】引導學生對輻角的概念進一步思考，討論得出正確答案．并培養思維的嚴謹性．

　　問題4：復數的三角形式與代數形式怎么互化？

　　【學生活動】學生思考并總結．

　　【設計意圖】明確三角形式與代數形式之間的互化．

　　三、例題示范

　　例1（教材44頁例1）

　　考查意圖：考查對復數三角形式的理解，數學運算能力，化歸思想．

　　思路分析：求出復數的模，找出復數的一個輻角（比如輻角主值）即可．

　　解：（1）；

　　（2）；

　　（3）．

　　解法評析：化成三角形式的關鍵是找到復數的模和其中一個輻角，通常是輻角主值．

　　例2：（教材48頁習題10-3A第一題）

　　把下列復數化為代數形式．

　　

　　考查意圖：考查對復數三角形式與代數形式的關系的理解．例1是代數形式化成三角形式，補充一道題，三角形式化成代數形式．

　　思路分析：打開括號，直接整理即可．

　　解：

　　

　　解法評析：復數的三角形式與代數形式的互化中，三角形式化代數形式比較容易．通過互化過程掌握兩種形式之間的聯系．

　　四、知能訓練

　　1、教材48頁習題10-3A第2題、第6題

　　考查意圖：復數的輻角

　　

　　2、教材48頁習題10-3A第3題、第4題，49頁習題10-3B第2題

　　考查意圖：復數的三角形式與代數形式的互化．

　　

　　五、歸納總結

　　1、知識內容及研究方法方面：復數的三角形式．

　　2、數學思想方法、核心素養及應用方法策略方面：數形結合；數學運算、直觀想象、邏輯推理、數據分析．

　　3、應注意的問題：復數由代數形式、幾何形式、三角形式，學習中應注意三種形式之間的區別與聯系．

　　4、學生活動方式說明：本節學習內容為選學內容，故學生可通過自我閱讀的方式來完成本節的學習．

　　5、作業建議：

　　48頁習題10-3A第2題、第3題、第4題第6題，

　　49頁習題10-3B第2題

復數的三角表示計算第 2 篇

第一部分內容：內容標準

1.了解復數乘、除運算的三角表示．

2.了解復數乘、除運算的幾何意義．

3.會利用復數三角形式進行復數乘、除運算.

... ... ...

復數的三角表示PPT，第二部分內容：課前 • 自主探究

[教材提煉]

知識點一　復數三角形式的乘法、除法法則

預習教材，思考問題

若復數z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能根據復數的乘法運算計算z1z2，并將結果表示成三角形式嗎？

知識梳理　設復數z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，

z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2.

知識點二　復數三角形式的乘法、除法幾何意義

知識梳理　復數z1，z2對應的向量分別為OZ1→，OZ2→

①復數乘法的幾何意義：

兩個復數z1，z2相乘時，如圖，把向量OZ1→繞點O按______方向旋轉角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→繞點O按______方向旋轉角|θ2|)，再把它的模變為原來的______倍，得到向量OZ→，OZ→表示的復數就是______ .這是復數乘法的幾何意義．

②復數除法的幾何意義：

兩個復數z1，z2相除時，如圖，把向量OZ1→繞點O按______方向旋轉角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→繞點O按______方向旋轉角|θ2|)，再把它的模變為原來的______倍，得到向量OZ→，OZ→表示的復數就是商z1z2.這是復數除法的幾何意義．

[自主檢測]

1．復數z＝(cos 25°＋isin 25°)(cos 50°＋isin 50°)的三角形式是(

　　)

A．cos (－25°)＋isin (－25°)

B．sin 75°＋icos 75°

C．cos 15°＋isin 15°

D．cos 75°＋isin 75°

2．計算：3(cos π3＋isin π3)÷2(cos 5π6＋isin 5π6)＝_________.(用代數形式表示)

3．將復數1＋i對應的向量OM→繞點O按逆時針方向旋轉π4，得到的向量為OM1→，那么OM1→對應的復數是________(用代數形式表示)．

... ... ...

復數的三角表示PPT，第三部分內容：課堂 • 互動探究

探究一　復數三角形式的乘法運算

[例1]　計算下列各式：

(1)16(cos4π3＋isin4π3)×4(cos5π6＋isin5π6)；

(2) 3(cos 20°＋isin 20° )[2(cos 50°＋isin 50°)]

[10(cos 80°＋isin 80° )]；

(3)(－1＋i)[3(cos 7π4＋isin 7π4)] .

[分析]　代入復數三角形式的乘法法則計算即可．

方法提升

復數三角形式的乘法運算

(1)直接利用復數三角形式的乘法法則：模數相乘，輻角相加．

(2)若遇到復數的代數形式與三角形式混合相乘時，需將相混的復數統一成代數形式或三角形式，然后進行復數的代數形式相乘或三角形式相乘．

探究二　復數三角形式的除法運算

[例2]　(1) 計算：

4(cos 80°＋isin 80°)÷2(cos 320°＋isin 320°)；

(2)已知復數z＝r(cos θ＋isin θ)，r≠0，求1z的三角形式．

方法提升

復數三角形式的除法運算

(1)利用復數三角形式的除法法則：模數相除，輻角相減．

(2)一個非零復數的倒數，其模是原來復數的模的倒數，其輻角是原來復數輻角的相反數．

... ... ...

復數的三角表示PPT，第四部分內容：課后 • 素養培優

數形結合思想在復數三角形式的乘除運算中的應用

直觀想象、邏輯推理、數學運算

復數的三角形式，就是形的的體現．利用數形結合和除法的幾何意義來解決三角形中角的大小問題，使問題變得簡單、方便．

[典例]　若向量OZ1→與OZ2→分別表示復數z1＝1＋23i，z2＝7＋3i, 則∠Z2OZ1＝________.

[審題視角]　先作出向量OZ1→與OZ2→，根據圖形，將∠Z2OZ1轉化為復數z1與z2的輻角的差，再借助復數除法的幾何意義轉化為z1z2的輻角主值．

[素養提升]　本題是復數與角的大小之間的關系，因此考慮復數三角形式的乘除運算的幾何意義，需要畫出復數對應的向量，借助圖形，將∠Z2OZ1轉化為復數z1與z2的輻角的差．利用數形結合和除法的幾何意義來解決三角形中角的大小問題，使問題變得簡單、方便．

復數的三角表示計算第 3 篇

　　教學課時：共2課時（第1課時）

　　教學目標：

　　1、能借助復數的幾何意義認識復數的三角形式，知道復數可以用三角形式來表示且可以與代數形式互化，正確識別復數的三角形式中模、輻角等相關概念．

　　2、結合知識學習進一步體會數形結合思想的應用，培養學生直觀想象、邏輯推理、數學建模核心素養；能熟練求出簡單代數形式的復數的三角形式．

　　3、體會事物聯系的普遍性，形式與內容相統一的辯證唯物主義觀點．

　　教學重點：將復數的代數形式化為三角形式的意義與轉化的方法步驟．

　　教學難點：將復數的代數形式化為三角形式的意義．

　　教學過程：

　　一、情境與問題

　　問題1：

　　設復數在復平面內對應的點為Z，你能不能寫出點Z的坐標，并在復平面內描出點Z的位置，做出向量？

　　問題2：

　　記r為向量的模，是以x軸正半軸為始邊，射線OZ為終邊的一個角，請求出r的值，并寫出的任意一個值．

　　問題3：

　　小組討論r、與的實部與虛部之間的關系．每個小組把討論得出的結論寫出來．請出幾個小組的代表發言．

　　【學生活動】：

　　1、閱讀教材43頁嘗試與發現．

　　2、回答文章中提出的問題．

　　3、小組討論并把討論得出的結論寫出來．

　　【設計意圖】：

　　引導學生自主思考復數的r、與復數的實部、虛部之間的聯系．建立引入復數的三角形式的學習情境．

　　二、新知探究

　　問題1：

　　是不是任意的復數的實部、虛部與復數的r、與之間都存在類似的關系？我們能不能利用r、表示復數？

　　【學生活動】學生動手推導復數的實部、虛部與復數的r、與之間的關系．

　　【設計意圖】通過學生自己動手推導，得到復數的實部、虛部與復數的r、與之間的關系，將推廣到z=a+bi．

　　問題2：

　　復數三角形式的定義是什么？

　　【學生活動】

　　嘗試總結復數三角形式的定義．

　　【設計意圖】引導學生自己總結復數三角形式的定義，調動學生學習的積極性，能幫助學生加深對復數三角形式的理解．

　　復數 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫復數z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中，θ為復數z的輻角．

　　問題3：

　　輻角是唯一的嗎？如果不唯一，它們之間有什么關系？

　　以Ox軸正半軸為始邊，向量所在的射線為終邊的角θ叫復數z=a+bi的輻角．任意非零復數的輻角都有無窮多個，任意兩個輻角之間相差2的整數倍．[0，2）內的輻角稱為輻角主值，記作arg z．z=0時，其輻角是任意的．

　　【學生活動】思考并討論．

　　【設計意圖】引導學生對輻角的概念進一步思考，討論得出正確答案．并培養思維的嚴謹性．

　　問題4：復數的三角形式與代數形式怎么互化？

　　【學生活動】學生思考并總結．

　　【設計意圖】明確三角形式與代數形式之間的互化．

　　三、例題示范

　　例1（教材44頁例1）

　　考查意圖：考查對復數三角形式的理解，數學運算能力，化歸思想．

　　思路分析：求出復數的模，找出復數的一個輻角（比如輻角主值）即可．

　　解：（1）；

　　（2）；

　　（3）．

　　解法評析：化成三角形式的關鍵是找到復數的模和其中一個輻角，通常是輻角主值．

　　例2：（教材48頁習題10-3A第一題）

　　把下列復數化為代數形式．

　　

　　考查意圖：考查對復數三角形式與代數形式的關系的理解．例1是代數形式化成三角形式，補充一道題，三角形式化成代數形式．

　　思路分析：打開括號，直接整理即可．

　　解：

　　

　　解法評析：復數的三角形式與代數形式的互化中，三角形式化代數形式比較容易．通過互化過程掌握兩種形式之間的聯系．

　　四、知能訓練

　　1、教材48頁習題10-3A第2題、第6題

　　考查意圖：復數的輻角

　　

　　2、教材48頁習題10-3A第3題、第4題，49頁習題10-3B第2題

　　考查意圖：復數的三角形式與代數形式的互化．

　　

　　五、歸納總結

　　1、知識內容及研究方法方面：復數的三角形式．

　　2、數學思想方法、核心素養及應用方法策略方面：數形結合；數學運算、直觀想象、邏輯推理、數據分析．

　　3、應注意的問題：復數由代數形式、幾何形式、三角形式，學習中應注意三種形式之間的區別與聯系．

　　4、學生活動方式說明：本節學習內容為選學內容，故學生可通過自我閱讀的方式來完成本節的學習．

　　5、作業建議：

　　48頁習題10-3A第2題、第3題、第4題第6題，

　　49頁習題10-3B第2題

復數的三角表示計算第 4 篇

知識點：

一、三角運算：

復數除法

復數乘法

其實，這個結論也不難驗證，用代數形式化簡就可以的。

但是，這個結論的意義又是不一般的，它同時使得向量有了伸縮和旋轉兩種變換。

而且，由它可以很容易的得出復數的乘方運算和模的性質。

當然，復數的加減運算，按照三角形或平行四邊形法則，可是不具備如此好的性質的。

但它和向量一樣，也有下面這個不等關系：

視頻教學：

練習：

1．復數cosπ6－isinπ6的輻角主值為(

　　)

A． － π6

　　

　　

　　 B．π6

C． 5π6 D． 11π6

2．下列復數是復數的三角形式的是(

　　)

A． －3as4alco1(cos(ππ12) B．3as4alco1(cos(ππ12)

C． cosπ3＋isinπ4 D． cos5π6＋isin5π6

3．把復數－33＋3i化為三角形式為(

　　)

A．6as4alco1(cos(ππ6) B．6as4alco1(cos(5π5π6)

C．6as4alco1(cos(7π7π6) D．6as4alco1(cos(11π11π6)

4．設z1＝cosπ4＋isinπ4，z2＝3as4alco1(cos(5π5π12)，則z1·z2＝(

　　)

A． 32＋3)2i B．32－3)2i

C． －32＋3)2i D．－32－3)2i

5．設z1＝4as4alco1(cos(7π7π12)，z2＝cos11π12＋isin11π12，則z1z2＝(

　　)

A． 2＋23i B．－2＋23i

C． －2－23i D．2－23i

課件：

教案：

教材分析

復數的三角形式乘、除運算的三角表示是對其代數形式乘除運算數形結合的產物，其幾何意義充分揭示了其平面圖形的變化規律.本節教材內容主要就復數的三角形式乘、除運算及其幾何意義進行基本闡述.

教學目標與核心素養

課程目標：

1.掌握會進行復數三角形式的乘除運算；

2.了解復數的三角形式乘、除運算的三角表示的幾何意義.

數學學科素養

1.數學運算：復數的三角形式乘、除運算;

2.直觀想象：復數的三角形式乘、除運算的幾何意義;

3.數學建模：結合復數的三角形式乘、除運算的幾何意義和平面圖形，數形結合，綜合應用，培養學生對數學的學習興趣.

教學重難點

重點：復數三角形式的乘除運算．

難點：復數三角形式的乘除運算的幾何意義的理解.

課前準備

教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練.

教學工具：多媒體.

教學過程

一、情景導入

復數的代數形式有乘除運算，那么復數的三角形式是否可以乘、除運算？如果可以，又以什么規律進行運算？

要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本86-89頁，思考并完成以下問題

1、復數的三角形式乘、除運算如何進行？

2、復數的三角形式乘、除運算的三角表示的幾何意義是？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1、復數三角形式的乘法及其幾何意義

設的三角形式分別是：

簡記為 ：模數相乘，幅角相加

幾何意義：把復數對應的向量繞原點逆時針旋轉的一個輻角，長度乘以的模，所得向量對應的復數就是．

2、復數三角形式的除法及其幾何意義

設的三角形式分別是：

簡記為 ：模數相除，幅角相減

幾何意義：把復數對應的向量繞原點順時針旋轉的一個輻角，長度除以的模，所得向量對應的復數就是．

四、典例分析、舉一反三

題型一 復數的三角形式乘法運算

例1已知，，求，請把結果化為代數形式，并作出幾何解釋.

【答案】;詳見解析

【解析】

首先作與對應的向量，，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉，再將其長度伸長為原來的2倍，這樣得到一個長度為3，輻角為的向量（如圖）.即為積所對應的向量.

解題技巧（復數的三角形式乘法運算的注意事項）

兩個復數相乘，積還是一個復數，它的模等于各復數的模的積，它的幅角等于各復數的幅角的和。簡單的說，兩個復數三角形式相乘的法則為：模數相乘，幅角相加.

跟蹤訓練一

1．計算下列各式：

（1）；

（2）；

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）.

（2）

題型二 復數的三角形式除法運算

例2計算.

【答案】

【解析】原式.

解題技巧： (復數的三角形式除法運算的注意事項)

兩個復數相除，商還是一個復數，它的模等于被除數的模除以除數的模，它的幅角等于被除數的輻角減去除數的輻角。簡單的說切記兩個復數三角形式除法運算法則：模數相除，幅角相減.

跟蹤訓練二

1．計算下列各式：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）

（2）

題型三 復數的三角形式乘、除運算的幾何意義

例3如圖，向量對應的復數為，把繞點O按逆時針方向旋轉120°，得到.求向量對應的復數（用代數形式表示）.

【答案】

【解析】 向量對應的復數為

解題技巧（復數的三角形式乘、除運算的幾何意義的注意事項）

復數乘法幾何意義是解題關鍵．把復數對應的向量繞原點逆時針旋轉的一個輻角，長度乘以的模，所得向量對應的復數就是．

復數除法幾何意義是解題關鍵．把復數對應的向量繞原點順時針旋轉的一個輻角，長度除以的模，所得向量對應的復數就是．

跟蹤訓練三

1．設對應的向量為，將繞點O按逆時針方向和順時針方向分別旋轉45°和60°，求所得向量對應的復數（用代數形式表示）.

【答案】逆時針方向旋轉45°所得向量對應的復數為：；按順時針方向旋轉60°所得向量對應的復數為

【解析】將繞點O按逆時針方向旋轉45°所得向量對應的復數為：

將繞點O按順時針方向旋轉60°所得向量對應的復數為

五、課堂小結

讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧

六、板書設計

七、作業

課本89頁練習，89頁習題7.3的剩余題.

教學反思

本節課主要復數的三角形式乘、除運算的三角表示及其幾何意義三種題型對本節課知識進行講解，由于本節課知識規律性比較強，所以學生掌握起來比較快捷.但是再理解其幾何意義時，旋轉方向是學生易忽略的地方，需多強調.