這是實際問題與二次函數教案第三課時，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

實際問題與二次函數教案第三課時第 1 篇

　　目標：

　　1．使學生掌握用待定系數法由已知圖象上一個點的坐標求二次函數y＝ax2的關系式。

　　2. 使學生掌握用待定系數法由已知圖象上三個點的坐標求二次函數的關系式。

　　3．讓學生體驗二次函數的函數關系式的應用，提高學生用數學意識。

　　重點難點：

　　重點：已知二次函數圖象上一個點的坐標或三個點的坐標，分別求二次函數y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的關系式是的重點。

　　難點：已知圖象上三個點坐標求二次函數的關系式是教學的難點。

　　教學過程：

　　一、創設問題情境

　　如圖，某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線型(曲線AOB)的薄殼屋頂。它的拱高AB為4m，拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢?

　　分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的直角坐標系，再寫出函數關系式，然后根據這個關系式進行計算，放樣畫圖。

　　如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標系。這時，屋頂的橫截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設它的函數關系式為： y＝ax2 (a＜0) (1)

　　因為y軸垂直平分AB，并交AB于點C，所以CB＝AB2 ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以點B的坐標為(2，－0.8)。

　　因為點B在拋物線上，將它的坐標代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以a＝－0.2

　　因此，所求函數關系式是y＝－0.2x2。

　　請同學們根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線。

　　二、引申拓展

　　問題1：能不能以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系?

　　讓學生了解建立直角坐標系的方法不是唯一的，以A點為原點，AB所在的直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系也是可行的。

　　問題2，若以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂直為y軸，建立直角坐標系，你能求出其函數關系式嗎?

　　分析：按此方法建立直角坐標系，則A點坐標為(0，0)，B點坐標為(4，0),OC所在直線為拋物線的'對稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，O點坐標為(2；0．8)。即把問題轉化為：已知拋物線過(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三點，求這個二次函數的關系式。

　　二次函數的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求這個二次函數的關系式，跟以前學過求一次函數的關系式一樣，關鍵是確定o、6、c，已知三點在拋物線上，所以它的坐標必須適合所求的函數關系式；可列出三個方程，解此方程組，求出三個待定系數。

　　解：設所求的二次函數關系式為y＝ax2＋bx＋c。

　　因為OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，

　　所以O點坐標為(2，0.8)，A點坐標為(0，0)，B點坐標為(4，0)。

　　由已知，函數的圖象過(0，0)，可得c＝0，又由于其圖象過(2，0.8)、(4，0)，可得到4a＋2b＝0.816＋4b＝0 解這個方程組，得a＝－15b＝45 所以，所求的二次函數的關系式為y＝－15x2＋45x。

　　問題3：根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線，其圖象是否與前面所畫圖象相同?

　　問題4：比較兩種建立直角坐標系的方式，你認為哪種建立直角坐標系方式能使解決問題來得更簡便?為什么?

　　(第一種建立直角坐標系能使解決問題來得更簡便，這是因為所設函數關系式待定系數少，所求出的函數關系式簡單，相應地作圖象也容易)

　　請同學們閱瀆P18例7。

　　三、課堂練習： P18練習1．(1)、(3)2。

　　四、綜合運用

　　例1．如圖所示，求二次函數的關系式。

　　分析：觀察圖象可知，A點坐標是(8，0)，C點坐標為(0，4)。從圖中可知對稱軸是直線x＝3，由于拋物線是關于對稱軸的軸對稱圖形，所以此拋物線在x軸上的另一交點B的坐標是(－2，0)，問題轉化為已知三點求函數關系式。

　　解：觀察圖象可知，A、C兩點的坐標分別是(8，0)、(0，4)，對稱軸是直線x＝3。因為對稱軸是直線x＝3，所以B點坐標為(－2，0)。

　　設所求二次函數為y＝ax2＋bx＋c，由已知，這個圖象經過點(0，4)，可以得到c＝4，又由于其圖象過(8，0)、(－2，0)兩點，可以得到64a＋8b＝－44a－2b＝－4 解這個方程組，得a＝－14b＝32

　　所以，所求二次函數的關系式是y＝－14x2＋32x＋4

　　練習： 一條拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點(0，0)與(12，0)，最高點的縱坐標是3，求這條拋物線的解析式。

　　五、小結：

　　二次函數的關系式有幾種形式，函數的關系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一種常見的形式。二次函數關系式的確定，關鍵在于求出三個待定系數a、b、c，由于已知三點坐標必須適合所求的函數關系式，故可列出三個方程，求出三個待定系數。

　　六、作業

　　1．P19習題 26．2 4．(1)、(3)、5。

　　2．選用課時作業優化設計，

實際問題與二次函數教案第三課時第 2 篇

　　第1課時 二次函數與圖形面積

　　出示目標

　　能從實際問題中分析、找出變量之間的二次函數關系，并能利用二次函數的圖象和性質求出實際問題的答案.

　　預習導學

　　閱讀教材第49至50頁,自學“ 探究1”，能根據幾何圖形及相互關系建立二次函數關系式，體會二次函數這一模型的意義.

　　自學反饋 學生獨立完成后集體訂正

　　①如圖，點C是線段AB上的一點，AB=1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個正方形的面積之和，下列判斷正確的是(A)

　　A.當C是AB的中點時，S最小

　　B.當C是AB的中點時，S最大

　　C.當C為AB的三等分點時，S最小

　　D.當C是AB的三等分點時，S最大

　　②用長8 的鋁合金制成如圖所示的矩形窗框，使窗戶的透光面積最大，那么這個窗戶的最大透光面積是 2.

　　第②題圖 第③題圖

　　③如圖所示，某村修一條水渠，橫斷面是等腰梯形，底角為120°，兩腰與下底的和為4 c，當水渠深x為 時，橫斷面面積最大，最大面積是 .

　　先列出函數的解析式，再根據 其增減性確定最值.

　　合作探究1

　　活動1 小 組討論

　　例1 某建筑的窗戶如圖所示 ，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料長為15 (圖中所有線條長度之和)，當x等于多少時，窗戶通過的光線最多(結果精確到0.01 )？此時，窗戶的面積是多少？

　　解:由題意可知4+ ×2πx+7x=15.化簡得= .

　　設窗 戶的面積為S 2，則S= πx2+2x× =-3. 5x2+7.5x.

　　∵a=-3.5<0，∴S有最大值.∴當x=- = ≈1.07 ()時，

　　S最大= ≈4.02(2).即當x≈1.07 時，窗 戶通過的光線最多.

　　此時，窗戶的面積是4.02 2.

　　此題較復雜，特別要注意:中間線段用x的代數式來表示時，要充分利用幾何關系；要注意頂點的橫坐標是否在自變量x的取值范圍內.

　　活動2 跟蹤訓練(小組討論解題思路共同完成并展示)

　　如圖，要設計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米 ，在兩腰中點連線(虛線)處有一條橫向甬道，兩腰之間有兩條豎直甬道，且它們的寬度相等，設甬道的寬為x米.

　　①用含x的式子表示橫向甬道的面積；

　　②當三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬；

　　③根據設計的要 求，甬道的寬不能超過6米，如果修建甬道的`總費用(萬元)與甬道的寬度成正比例關系，比例系數是5.7，花壇其余部分的綠化費用為每平方米0.02萬元，那么當甬道的寬度為多少米時，所建花壇的總費用最少？最少費用是多少萬元？

　　解：①150x 2；②5 ；③當甬道寬度為6 時，所建花壇總費用最少，為238.44萬元.

　　想象把所有的陰影部分拼在一起就是一個小梯形.

　　合作探究2

　　活動1 小組討論

　　例2 如圖，從一張矩形紙較短的邊上找一點E，過E點剪下兩個正方形，它們的 邊長分別是AE、DE，要使剪下的兩個正方形的面積和最小，點E應選在何處？為什么？

　　解:設矩形紙較短邊長為a，設DE=x，則AE=a-x.

　　那么兩個正方形的面積和為=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.當x= a時，

　　最小=2×( a)2-2a× a+a2= a2. 即點E選在矩形紙較短邊的中點時，剪下的兩個正方形的面積和最小.

　　此題關鍵是充分利用幾何關系建立二次函數模型，再利用二次函數性質求解.

　　活動2 跟蹤訓練(獨立完成后展示學習成果)

　　如圖，有一塊空地，空地外有一面長10 的圍墻，為了美化生活環境，準備靠墻修建一個矩形花圃， 用32 長的不銹鋼作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準備在花圃的中間再圍出一條寬為1 的通道及在左右花圃各放一個1 寬的門，花圃的寬AD究竟應為多少米才能使花圃的面積最大？

　　解：當x=6.25 時，面積最大為56.25 2 .

　　此題要結合函數圖象求解，頂點不在取值范圍內.

　　活動3 課堂小結

　　學生試述:這節課你學到了些什么？

　　當堂訓練

　　教學至此，敬請使用學案當堂訓練部分.

　　5

實際問題與二次函數教案第三課時第 3 篇

1教學目標

1．會求二次函數y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能夠從實際問題中抽象出二次函數，并運用二次函數的性質解決最小（大）值等實際問題．

2學情分析

學生已經學習了二次函數的圖象以及它的性質，了解了其在實際問題中的簡單應用。這節課將圍繞二次函數的最大值的求法進行更進一步的探究，已獲得化解實際問題的一般解題方法。

3重點難點

探究利用二次函數的最大值（或最小值）解決實際問題的方法．

4教學過程 4.1第一學時 教學活動 活動1【導入】活動一

　　創設情境，引出問題

情境：教師向上垂直拋一小球，讓學生觀察．請學生判斷“小球的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）是否為函數關系”，并說明理由．

教師：小球的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）我們可以近似地看做是一個二次函數關系，接下來我們就應用二次函數這一模型來研究一些實際問題．（板書課題，投影問題）

問題1 從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h＝30t－5t2（0≤t≤6）．小球的運動時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？

活動2【活動】活動二

　　互動交流，尋求解法

學生活動：用已經學過的知識，試著找出解決這個問題的思路，然后在小組中交流．

學生自主分析，3分鐘后，教師組織學生開始在小組內交流各自的解題思路．

教師：說說你們的解題思路吧！

學生1：因為小球的高度h是小球的運動時間t的二次函數，所以我們可以利用二次函數的圖象來研究這個問題．

教師：很好！根據函數的圖象，我們可以發現這些函數所具有的性質，也就能夠找到問題解決的途徑．接下來，就請大家先做出函數的圖象，并給出解題的過程．

學生按照列表、描點、連線的過程作出h＝30t－5t2（0≤t≤6）的圖象，教師巡視并指導學生作圖．

教師投影學生作出的圖象，并請學生結合圖象分析“小球的運動時間是多少時，小球最高”，說出它的最大高度．

學生2：小球運動的最大高度對應著函數圖象中的最高點，也就是函數圖象的頂點．

學生3：小球運動的最大高度對應著函數自變量取頂點橫坐標時的函數值．

教師：那么，我們如何求出這個大高度呢？

學生4：當 時，h有最大值為 ．也就是說，當運動的時間是3s時，小球運動中的最大高度是45m．

問題2 對于二次函數y＝ax2＋bx＋c，如何求出它的最小（大）值呢？

學生活動：根據前面解決問題的方法，總結出求二次函數y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值的方法．

（板書：當 時，y有最小（大）值為 ．）

鞏固練習 用總長為 60 m 的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化．當l是多少米時，場地的面積S最大？

（一學生板演，其余學生自主解答，教師巡視指導，并結合板演進行點評）

活動3【活動】活動三

　　適度拓展，形成通法

學生活動：認真閱讀問題3至問題5，看看它們與問題1有和差別，并試著用解決問題1時作出的圖象去解決這些問題．

問題4 從地面豎直向上拋出一小球，如果小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h＝30t－5t2（0≤t≤2）．小球的運動時間是多少時，小球最高？最大高度是多少？

問題5 從地面豎直向上拋出一小球，如果小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h＝30t－5t2（1≤t≤4）．小球的運動時間是多少時，小球最高？最大高度是多少？

問題6 從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h＝30t－5t2（4≤t≤6）．小球的運動時間是多少時，小球最高？最大高度是多少？

學生自主解答，教師巡視指導，然后在全班交流解題的思路．

教師：通過解決上述5個問題，給你今后化解與二次函數有關的實際問題帶來什么啟示？請在小組中交流．

歸納：

（1）列出二次函數的解析式，并根據自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍；

（2）在自變量的取值范圍內，找到函數圖象的最高（低）點，從而求出二次函數的最小(大)值．

活動4【練習】活動四

　　即時訓練，鞏固新知

為了改善小區環境，某小區決定要在一塊一邊靠墻的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，墻長為am（0＜a＜40），另三邊用總長為40m的柵欄圍住（如圖1）．設綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為y（m2)．

　　（1）若a＝25，當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？最大面積是多少m2？

　　（2）若a＝15，當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？最大面積是多少m2？

活動5【講授】活動五

　　課堂小結，歸納提升

通過這節課的學習，你有哪些收獲？

（1）如何求二次函數的最小（大）值，并利用其解決實際問題？

（2）在解決問題的過程中應注意哪些問題？

活動6【導入】活動六

　　布置作業，課外延伸

必做題：教科書習題22.3　第1，4，5題．

選做題：教科書習題22.3　第7，8題．

活動7【導入】【板書設計】

22.3 實際問題與二次函數

課時設計 課堂實錄

22.3 實際問題與二次函數

1第一學時 教學活動 活動1【導入】活動一

　　創設情境，引出問題

情境：教師向上垂直拋一小球，讓學生觀察．請學生判斷“小球的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）是否為函數關系”，并說明理由．

教師：小球的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）我們可以近似地看做是一個二次函數關系，接下來我們就應用二次函數這一模型來研究一些實際問題．（板書課題，投影問題）

問題1 從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h＝30t－5t2（0≤t≤6）．小球的運動時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？

活動2【活動】活動二

　　互動交流，尋求解法

學生活動：用已經學過的知識，試著找出解決這個問題的思路，然后在小組中交流．

學生自主分析，3分鐘后，教師組織學生開始在小組內交流各自的解題思路．

教師：說說你們的解題思路吧！

學生1：因為小球的高度h是小球的運動時間t的二次函數，所以我們可以利用二次函數的圖象來研究這個問題．

教師：很好！根據函數的圖象，我們可以發現這些函數所具有的性質，也就能夠找到問題解決的途徑．接下來，就請大家先做出函數的圖象，并給出解題的過程．

學生按照列表、描點、連線的過程作出h＝30t－5t2（0≤t≤6）的圖象，教師巡視并指導學生作圖．

教師投影學生作出的圖象，并請學生結合圖象分析“小球的運動時間是多少時，小球最高”，說出它的最大高度．

學生2：小球運動的最大高度對應著函數圖象中的最高點，也就是函數圖象的頂點．

學生3：小球運動的最大高度對應著函數自變量取頂點橫坐標時的函數值．

教師：那么，我們如何求出這個大高度呢？

學生4：當 時，h有最大值為 ．也就是說，當運動的時間是3s時，小球運動中的最大高度是45m．

問題2 對于二次函數y＝ax2＋bx＋c，如何求出它的最小（大）值呢？

學生活動：根據前面解決問題的方法，總結出求二次函數y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值的方法．

（板書：當 時，y有最小（大）值為 ．）

鞏固練習 用總長為 60 m 的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化．當l是多少米時，場地的面積S最大？

（一學生板演，其余學生自主解答，教師巡視指導，并結合板演進行點評）

活動3【活動】活動三

　　適度拓展，形成通法

學生活動：認真閱讀問題3至問題5，看看它們與問題1有和差別，并試著用解決問題1時作出的圖象去解決這些問題．

問題4 從地面豎直向上拋出一小球，如果小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h＝30t－5t2（0≤t≤2）．小球的運動時間是多少時，小球最高？最大高度是多少？

問題5 從地面豎直向上拋出一小球，如果小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h＝30t－5t2（1≤t≤4）．小球的運動時間是多少時，小球最高？最大高度是多少？

問題6 從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h＝30t－5t2（4≤t≤6）．小球的運動時間是多少時，小球最高？最大高度是多少？

學生自主解答，教師巡視指導，然后在全班交流解題的思路．

教師：通過解決上述5個問題，給你今后化解與二次函數有關的實際問題帶來什么啟示？請在小組中交流．

歸納：

（1）列出二次函數的解析式，并根據自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍；

（2）在自變量的取值范圍內，找到函數圖象的最高（低）點，從而求出二次函數的最小(大)值．

活動4【練習】活動四

　　即時訓練，鞏固新知

為了改善小區環境，某小區決定要在一塊一邊靠墻的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，墻長為am（0＜a＜40），另三邊用總長為40m的柵欄圍住（如圖1）．設綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為y（m2)．

　　（1）若a＝25，當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？最大面積是多少m2？

　　（2）若a＝15，當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？最大面積是多少m2？

活動5【講授】活動五

　　課堂小結，歸納提升

通過這節課的學習，你有哪些收獲？

（1）如何求二次函數的最小（大）值，并利用其解決實際問題？

（2）在解決問題的過程中應注意哪些問題？

活動6【導入】活動六

　　布置作業，課外延伸

必做題：教科書習題22.3　第1，4，5題．

選做題：教科書習題22.3　第7，8題．

活動7【導入】【板書設計】

實際問題與二次函數教案第三課時第 4 篇

學習目標：

1、體會二次函數是一類最優化問題的數學模型，了解數學的應用價值。

2、掌握實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大值、最小值。

學習重點：應用二次函數最值解決實際問題中的最大利潤。

學習難點：能夠正確地應用二次函數最值解決實際問題中的最大利潤．特別是把握好自變量的取值范圍對最值的影響。

學習過程：

一、情景導學：

1、問題：某商店經營T恤衫，已知成批購進時單價是2。5元。根據市場調查，銷售量與銷售單價滿足如下關系：在某一時間內，單價是13。5元時，銷售量是500件，而單價每降低1元，就可以多售出200件。 請你幫助分析：銷售單價是多少時，可以獲利最多?

問題1、總利潤= × ，單件利潤= — 。

2、在這個問題中有那些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？

3、根據前面的分析我們若設每個漲價x元，總利潤為y元，此時y與x之間的函數關系式是 ，化為一般式 。這里y是x的 函數。現在求最大利潤，實質就是求此二次函數的最值，你會求嗎？試試看。