這是用樣本估計總體學情分析，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

用樣本估計總體學情分析第 1 篇

共1課時

　點和圓、直線和圓的位置… 初中數學 人教2011課標版

1教學目標

〖知識目標〗

1.掌握直線與圓相交、相切、相離三種位置關系，并會求圓的切線方程及與弦長等有關直線與圓的問題。

2.在解決直線與圓的位置關系的問題時,常通過”數”與”形”的結合,充分利用圓心的幾何性質、簡化運算.如利用圓心到直線的距離討論直線與圓的位置關系,利用過切點的半徑、弦心距及半徑構成的三角形去解決與弦長有關的問題.

〖能力目標〗 培養數形結合的思想、多方位多渠道解決問題能力。

2學情分析

總體來看，成績算是不錯的。在學生所學知識的掌握程度上，整個年級已經開始出現兩極分化了，對優生來說，能夠透徹理解知識，知識間的內在聯系也較為清楚，對后進生來說，簡單的基礎知識還不能有效的掌握，成績較差，學生仍然缺少大量的推理題訓練，推理的思考方法與寫法上均存在著一定的困難，對幾何有畏難情緒，相關知識學得不很透徹。在學習能力上，學生課外主動獲取知識的能力較差，為減輕學生的經濟負擔與課業負擔，不提倡學生買教輔參考書，學生自主拓展知識面，向深處學習知識的能力沒有得到培養。在以后的教學中，對有條件的孩子應鼓勵他們買課外參考書，不一定是教輔參考書，有趣的課外數學讀物更好，培養學生課外主動獲取知識的能力。學生的邏輯推理、邏輯思維能力，計算能力需要得到加強，以提升學生的整體成績，應在合適的時候補充課外知識，拓展學生的知識面，提升學生素質；在學習態度上，絕大部分學生上課能全神貫注，積極的投入到學習中去，少數幾個學生對數學處于一種放棄的心態，課堂作業，大部分學生能認真完成，少數學生需要教師督促，這一少數學生也成為老師的重點牽掛對象，課堂、家庭作業，學生完成的質量要打折扣；學生的學習習慣養成還不理想，預習的習慣，進行總結的習慣，自習課專心致至學習的習慣，主動糾正(考試、作業后)錯誤的習慣，比較多的學生不具有，需要教師的督促才能做，陶行知說：教育就是培養習慣，這是本學期教學中重點予以關注的。

3重點難點

重點：三種位置關系的判斷方法、過一點的圓的切線的求法以及弦長問題的解決方法，即圓心到直線的距離在圓與直線關系問題中的運用。 難點：利用數形結合的思想分析問題、解決問題。

4教學過程 4.1第一學時 教學活動 活動1【講授】直線和圓

課堂引入：

前面我們復習了圓的方程、點與圓的位置關系，這課我們復習用圓的方程來解決直線與圓的位置關系。請先做以下練習（教師巡堂以便了解課下預習情況）

(1)、判斷直線4x-3y=5與圓x +y =25的位置關系

(2)、求圓x +y =25的過點P(3,4)的切線方程.

(3)、求圓x +y =25的過點P(5,4)的切線方程.

(4)、求圓x +y =25被直線4x-3y-20=0所截得的弦長。

（這一部分在引入正課后直接用多媒體投影給出，并由學生快速運算，然后提問結果）

二、 知識梳理:

提出問題:直線與圓有幾種位置關系,用什么方法來判斷?

1 .直線和圓位置關系的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關系.

①Δ＞0，直線和圓相交.

②Δ=0，直線和圓相切.

③Δ＜0，直線和圓相離.

方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.

①d＜R，直線和圓相交.

②d=R，直線和圓相切.

③d＞R，直線和圓相離.

2. 直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況.先判斷點與圓的位置關系，再用切線的性質求方程。

1）若點p（x ，y ）在圓上，則圓x +y =r ：的切線方程為xx +y y = r ,圓(x-a) +(y-b) =r 的切線方程為（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）= r

2）若點p（x0，y0）在圓外：利用圓心到直線的距離等于半徑將切線的斜率求出來，再寫出切線的方程（斜率不存在的切線方程不要遺漏）.

3. 直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.

(師生一起歸納,并由教師板書)

三、例題解析:

例1.(1).設m>0，則直線 （x+y）+1+m=0與圓x2+y2=m(m＞0)的位置關系為

A.相切 B.相交

C.相切或相離 D.相交或相切

解析：圓心到直線的距離為d= ，圓半徑為 .

∵d－r= － = （m－2 +1）= （ －1）2≥0，

∴直線與圓的位置關系是相切或相離.

答案：C

(2).圓x2＋y2－4x+4y+6=0截直線x－y－5=0所得的弦長等于

A. B. C.1 D.5

解析：圓心到直線的距離為 ，半徑為 ，弦長為2 = .

答案：A

(進一步說明圓心到直線的距離在直線與圓的關系問題中的重要地位)

例2.已知圓滿足截①.y軸所得的弦長為2;②被x軸分兩段弧,其弧長之比為此3:1;③圓心到直線:x-2y=0的距離為 .求該圓的方程.

解:設圓的方程為: （x－a）2＋（y－b）2＝r 則由條件①得 =r (1)

又由②得a +1=r (2)

又由③得 (3)

聯立(1((2)(3),解方程組得a=-1,b=-1,r= 或 a=1,b=1,r=

所求圓的方程為: （x+1）2＋（y+1）2＝2或（x-1）2＋（y-1）2＝2

(這是早幾年的一道高考題,在高考復習中經常作為典型例題來用,我的學生對第(2)問的把握可能會有困難,因此,這一問要結合圖形來分析解決.由于學生對解含有絕對值的方程組有畏難情緒,因此,教師板書解題的整個過程,并且鼓勵學生面對這類問題時積極應對,常規方法入手,運算要快而準確)

例3 已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）

（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；

（2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.

剖析：直線過定點，而該定點在圓內，此題便可解得

(先由學生思考,提出他們的解答方案,再由老師補充:由含有一個參數的直線方程入手思考)

（1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

得

∵m∈R，∴

2x+y－7=0， x=3，

x+y－4=0， y=1，

即l恒過定點A（3，1）.

∵圓心C（1，2），｜AC｜＝ ＜5（半徑），

∴點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交于兩點.

（2）解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC＝－ ，

∴l的方程為2x－y－5=0.

思悟小結

1.直線和圓的位置關系有且僅有三種：相離、相切、相交.判定方法有兩個：幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑間的大小；代數法，看直線與圓的方程聯立所得方程組的解的個數.

2.解決直線與圓的位置關系的有關問題，往往充分利用平面幾何中圓的性質使問題簡化

【例4】 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點為A（1，2），要使過定點A（1，2）作圓的切線有兩條，求a的取值范圍.

解：將圓的方程配方得（x+ ）2+（y+1）2= ，圓心C的坐標為（－ ，－1），半徑r= ，

條件是4－3a2＞0，過點A（1，2）所作圓的切線有兩條，則點A必在圓外，即

＞ .

化簡得a2+a+9＞0.

由

4－3a2＞0，

a2+a+9＞0，

解之得

－ ＜a＜ ，

a∈R.

∴－ ＜a＜ .

故a的取值范圍是（－ ， ）

(確定參數的解析幾何問題是學生最薄弱的環節,此題的選擇一方面是鞏固本節課的內容,另一方面也是對直線與圓錐曲線問題中難點的一個分散處理)

四﹑課堂小練

1.若圓（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y=2的距離等于1，則半徑r的范圍是( )

A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］

解析：數形結合法解.

答案：A

2.（2003年春季北京）已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形

A.是銳角三角形 B.是直角三角形

C.是鈍角三角形 D.不存在

解析：由題意得 =1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜構成的三角形為直角三角形.

答案：B

3.（2005年春季北京，11）若圓x2+y2+mx－ =0與直線y=－1相切，且其圓心在y軸的左側，則m的值為____________.

解析：圓方程配方得（x+ ）2+y2= ，圓心為（－ ，0）.

由條件知－ <0，即m>0.

又圓與直線y=－1相切，則0－（－1）= ，即m2=3，∴m= .

答案：

4.（2004年福建，13）直線x+2y=0被曲線x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦長等于____________.

解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25.

知圓心為（3，1），r=5.

由點（3，1）到直線x+2y=0的距離d= = .

可得 弦長為2 ，弦長為4 .

答案：4

5.自點A（－3，3）發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在直線的方程.

解：圓（x－2）2＋（y－2）2＝1關于x軸的對稱方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.

設l方程為y－3＝k（x＋3），由于對稱圓心（2，－2）到l距離為圓的半徑1，從而可得k1＝－ ，k2＝－ ．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

6.已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2（r>0）內異于圓心的一點，則直線x0x+y0y=r2與此圓有何種位置關系?

分析：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.

解：圓心O（0，0）到直線x0x+y0y=r2的距離為d= .

∵P（x0，y0）在圓內，∴

則有d>r，故直線和圓相離.

(課堂練習由多媒體投影給出,學生練完后,打出正確答案和解答過程)

五﹑課堂小結

1.有關直線和圓的位置關系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來確定.

2.當直線和圓相切時，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點與圓心連線構成的直角三角形；與圓相交時，弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構成的直角三角形.

3.有關圓的問題，注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用.

六課后作業

8.（文）求經過點A（－2，－4），且與直線l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圓的方程.

9.已知點P到兩個定點M（－1，0）、N（1，0）距離的比為 ，點N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程.

10.若直線y=x+k與曲線x= 恰有一個公共點,求k的取值范圍

直線與圓的位置關系 二.例題解析一.知識梳理: 例1 例4 1. 直線和圓位置關系: 例2

圓(x-a) +(y-b) =r ,直線:Ax+By+C=0

方法一:

方法二:d=| |

①d＜R，直線和圓相交. 例3 ②d=R，直線和圓相切.

③d＞R，直線和圓相離. 2. 直線和圓相切

3. 直線和圓相交小結: 二. 方法小結

七﹑板書設計

教學設計說明

1. 教材分析:這一章是解析幾何的基礎部分,其內容及方法在各類試題中均要涉及,是必須要牢牢掌握的.試題可能以各種形式出現.多以選擇題形式出現,有時也有解答題.即考查基礎知識的應用能力又考查綜合運用知識分析問題和解決問題的能力.利用方程解決直線和圓的位置關系問題是解析幾何的重點,也是直線與圓錐曲線關系的前奏,學好這一部分知識為后面的復習奠定基礎掃清障礙.作為復習課,是要在學生原有的基礎上,通過對直線與圓位置知識的系統化,使學生對基礎知識基本技能的掌握提高一步.所以知識點歸納是本節課的一個重要環節.

2. 我所任教的班級是政治普通班,班里基本沒有數學尖子生,班級平均分在多次模擬考試中以70到80分居多,相當一部分學生數學基礎薄弱,缺乏對數學學習的信心和科學的學習方法.概括﹑轉化﹑分析﹑歸納等方面的能力比較欠缺,但是值得一提的學習優勢是筆記認真,習慣記憶,針對這種特點,我在課前讓學生閱讀教材, 自己歸納知識點,一方面加快上課節奏上課,另一方面通過比較使他們對知識的掌握更加系統.文科學生的抽象思維能力較為欠缺,運算速度較慢, 處理運算的方法也較為死板,課堂上也應該注重這方面的教學,并且要常抓不懈.因此,課堂上安排了例題的板書過程.另外,在選擇例題時多以中檔題為主,練習則注重基礎知識的鞏固提高以及題型的變化.

3. 課堂教學過程中注意引導學生積極思維,鼓勵學生動手運算,多肯定,多補充少批判,培養學數學的信心.

4. 為了擴大課容量,本節課嘗試使用多媒體,幫助學生理解掌握,提高效率.

　點和圓、直線和圓的位置關系

課時設計 課堂實錄

　點和圓、直線和圓的位置關系

1第一學時 教學活動 活動1【講授】直線和圓

課堂引入：

前面我們復習了圓的方程、點與圓的位置關系，這課我們復習用圓的方程來解決直線與圓的位置關系。請先做以下練習（教師巡堂以便了解課下預習情況）

(1)、判斷直線4x-3y=5與圓x +y =25的位置關系

(2)、求圓x +y =25的過點P(3,4)的切線方程.

(3)、求圓x +y =25的過點P(5,4)的切線方程.

(4)、求圓x +y =25被直線4x-3y-20=0所截得的弦長。

（這一部分在引入正課后直接用多媒體投影給出，并由學生快速運算，然后提問結果）

二、 知識梳理:

提出問題:直線與圓有幾種位置關系,用什么方法來判斷?

1 .直線和圓位置關系的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關系.

①Δ＞0，直線和圓相交.

②Δ=0，直線和圓相切.

③Δ＜0，直線和圓相離.

方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.

①d＜R，直線和圓相交.

②d=R，直線和圓相切.

③d＞R，直線和圓相離.

2. 直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況.先判斷點與圓的位置關系，再用切線的性質求方程。

1）若點p（x ，y ）在圓上，則圓x +y =r ：的切線方程為xx +y y = r ,圓(x-a) +(y-b) =r 的切線方程為（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）= r

2）若點p（x0，y0）在圓外：利用圓心到直線的距離等于半徑將切線的斜率求出來，再寫出切線的方程（斜率不存在的切線方程不要遺漏）.

3. 直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.

(師生一起歸納,并由教師板書)

三、例題解析:

例1.(1).設m>0，則直線 （x+y）+1+m=0與圓x2+y2=m(m＞0)的位置關系為

A.相切 B.相交

C.相切或相離 D.相交或相切

解析：圓心到直線的距離為d= ，圓半徑為 .

∵d－r= － = （m－2 +1）= （ －1）2≥0，

∴直線與圓的位置關系是相切或相離.

答案：C

(2).圓x2＋y2－4x+4y+6=0截直線x－y－5=0所得的弦長等于

A. B. C.1 D.5

解析：圓心到直線的距離為 ，半徑為 ，弦長為2 = .

答案：A

(進一步說明圓心到直線的距離在直線與圓的關系問題中的重要地位)

例2.已知圓滿足截①.y軸所得的弦長為2;②被x軸分兩段弧,其弧長之比為此3:1;③圓心到直線:x-2y=0的距離為 .求該圓的方程.

解:設圓的方程為: （x－a）2＋（y－b）2＝r 則由條件①得 =r (1)

又由②得a +1=r (2)

又由③得 (3)

聯立(1((2)(3),解方程組得a=-1,b=-1,r= 或 a=1,b=1,r=

所求圓的方程為: （x+1）2＋（y+1）2＝2或（x-1）2＋（y-1）2＝2

(這是早幾年的一道高考題,在高考復習中經常作為典型例題來用,我的學生對第(2)問的把握可能會有困難,因此,這一問要結合圖形來分析解決.由于學生對解含有絕對值的方程組有畏難情緒,因此,教師板書解題的整個過程,并且鼓勵學生面對這類問題時積極應對,常規方法入手,運算要快而準確)

例3 已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）

（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；

（2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.

剖析：直線過定點，而該定點在圓內，此題便可解得

(先由學生思考,提出他們的解答方案,再由老師補充:由含有一個參數的直線方程入手思考)

（1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

得

∵m∈R，∴

2x+y－7=0， x=3，

x+y－4=0， y=1，

即l恒過定點A（3，1）.

∵圓心C（1，2），｜AC｜＝ ＜5（半徑），

∴點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交于兩點.

（2）解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC＝－ ，

∴l的方程為2x－y－5=0.

思悟小結

1.直線和圓的位置關系有且僅有三種：相離、相切、相交.判定方法有兩個：幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑間的大小；代數法，看直線與圓的方程聯立所得方程組的解的個數.

2.解決直線與圓的位置關系的有關問題，往往充分利用平面幾何中圓的性質使問題簡化

【例4】 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點為A（1，2），要使過定點A（1，2）作圓的切線有兩條，求a的取值范圍.

解：將圓的方程配方得（x+ ）2+（y+1）2= ，圓心C的坐標為（－ ，－1），半徑r= ，

條件是4－3a2＞0，過點A（1，2）所作圓的切線有兩條，則點A必在圓外，即

＞ .

化簡得a2+a+9＞0.

由

4－3a2＞0，

a2+a+9＞0，

解之得

－ ＜a＜ ，

a∈R.

∴－ ＜a＜ .

故a的取值范圍是（－ ， ）

(確定參數的解析幾何問題是學生最薄弱的環節,此題的選擇一方面是鞏固本節課的內容,另一方面也是對直線與圓錐曲線問題中難點的一個分散處理)

四﹑課堂小練

1.若圓（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y=2的距離等于1，則半徑r的范圍是( )

A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］

解析：數形結合法解.

答案：A

2.（2003年春季北京）已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形

A.是銳角三角形 B.是直角三角形

C.是鈍角三角形 D.不存在

解析：由題意得 =1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜構成的三角形為直角三角形.

答案：B

3.（2005年春季北京，11）若圓x2+y2+mx－ =0與直線y=－1相切，且其圓心在y軸的左側，則m的值為____________.

解析：圓方程配方得（x+ ）2+y2= ，圓心為（－ ，0）.

由條件知－ <0，即m>0.

又圓與直線y=－1相切，則0－（－1）= ，即m2=3，∴m= .

答案：

4.（2004年福建，13）直線x+2y=0被曲線x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦長等于____________.

解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25.

知圓心為（3，1），r=5.

由點（3，1）到直線x+2y=0的距離d= = .

可得 弦長為2 ，弦長為4 .

答案：4

5.自點A（－3，3）發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在直線的方程.

解：圓（x－2）2＋（y－2）2＝1關于x軸的對稱方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.

設l方程為y－3＝k（x＋3），由于對稱圓心（2，－2）到l距離為圓的半徑1，從而可得k1＝－ ，k2＝－ ．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

6.已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2（r>0）內異于圓心的一點，則直線x0x+y0y=r2與此圓有何種位置關系?

分析：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.

解：圓心O（0，0）到直線x0x+y0y=r2的距離為d= .

∵P（x0，y0）在圓內，∴

則有d>r，故直線和圓相離.

(課堂練習由多媒體投影給出,學生練完后,打出正確答案和解答過程)

五﹑課堂小結

1.有關直線和圓的位置關系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來確定.

2.當直線和圓相切時，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點與圓心連線構成的直角三角形；與圓相交時，弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構成的直角三角形.

3.有關圓的問題，注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用.

六課后作業

8.（文）求經過點A（－2，－4），且與直線l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圓的方程.

9.已知點P到兩個定點M（－1，0）、N（1，0）距離的比為 ，點N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程.

10.若直線y=x+k與曲線x= 恰有一個公共點,求k的取值范圍

直線與圓的位置關系 二.例題解析一.知識梳理: 例1 例4 1. 直線和圓位置關系: 例2

圓(x-a) +(y-b) =r ,直線:Ax+By+C=0

方法一:

方法二:d=| |

①d＜R，直線和圓相交. 例3 ②d=R，直線和圓相切.

③d＞R，直線和圓相離. 2. 直線和圓相切

3. 直線和圓相交小結: 二. 方法小結

七﹑板書設計

教學設計說明

1. 教材分析:這一章是解析幾何的基礎部分,其內容及方法在各類試題中均要涉及,是必須要牢牢掌握的.試題可能以各種形式出現.多以選擇題形式出現,有時也有解答題.即考查基礎知識的應用能力又考查綜合運用知識分析問題和解決問題的能力.利用方程解決直線和圓的位置關系問題是解析幾何的重點,也是直線與圓錐曲線關系的前奏,學好這一部分知識為后面的復習奠定基礎掃清障礙.作為復習課,是要在學生原有的基礎上,通過對直線與圓位置知識的系統化,使學生對基礎知識基本技能的掌握提高一步.所以知識點歸納是本節課的一個重要環節.

2. 我所任教的班級是政治普通班,班里基本沒有數學尖子生,班級平均分在多次模擬考試中以70到80分居多,相當一部分學生數學基礎薄弱,缺乏對數學學習的信心和科學的學習方法.概括﹑轉化﹑分析﹑歸納等方面的能力比較欠缺,但是值得一提的學習優勢是筆記認真,習慣記憶,針對這種特點,我在課前讓學生閱讀教材, 自己歸納知識點,一方面加快上課節奏上課,另一方面通過比較使他們對知識的掌握更加系統.文科學生的抽象思維能力較為欠缺,運算速度較慢, 處理運算的方法也較為死板,課堂上也應該注重這方面的教學,并且要常抓不懈.因此,課堂上安排了例題的板書過程.另外,在選擇例題時多以中檔題為主,練習則注重基礎知識的鞏固提高以及題型的變化.

3. 課堂教學過程中注意引導學生積極思維,鼓勵學生動手運算,多肯定,多補充少批判,培養學數學的信心.

4. 為了擴大課容量,本節課嘗試使用多媒體,幫助學生理解掌握,提高效率.

用樣本估計總體學情分析第 2 篇

學習目標：

1、理解點與圓的位置關系由點到圓心的距離決定；

2、理解不在同一條直線上的三個點確定一個圓；

3、會畫三角形的外接圓，熟識相關概念

學習重點：點與圓的位置關系,三點定圓的定理

學習難點：反證法的運用

學具準備：圓規，直尺

教學過程：

一、探究點與圓的位置關系

1，提出問題：愛好運動的向銀元、葉少雄、李易然三人相

邀搞一次擲飛鏢比賽。他們把靶子釘在一面土墻上，規則是誰

擲出落點離紅心越近，誰就勝。如下圖中A、B、C三點分別

是他們三人某一輪擲鏢的落點，你認為這一輪中誰的成績好？

這一現象體現了平面內的位置關系．

2，歸納總結：如圖1所示，設⊙O的半徑為

圖

1

r，點到圓心的距離為d,

A點在圓內，則d r，B點在圓上，則d r，C點在圓

外，則d r

反之，在同一平面上，已知圓的半徑為r，則: ．．．．．

若d＞r，則A點在圓 ；若d＜r，則B點在圓 ；

若d=r，則C點在圓 。

結論：設⊙O的半徑為r，點P到圓的距離為d，

則有：點P在圓外_____d>r； 點P在圓上_____d=r；點

P在圓內_____d

例：如圖用4位同學擺成矩形ABCD,邊AB=3厘米，AD=4

厘米

（1

第一文庫網 ）以點A為圓心，3厘米為半徑作圓A，則點B、C、

D與圓A的位置關系如何？

（2）以點A為圓心，4厘米為半徑作圓A，則點B、C、

D與圓A的位置關系如何

（3）以點A為圓心，5厘米為半徑作圓A，則點B、C、

D與圓A的位置關系如何？

A

B

D A D C A B D C C B

二、探究確定圓的條件

1，問題：過一點可作幾條直線？過兩點呢？三點呢？

類比問題：那么究竟多少個點就可以確定一個圓呢？

試一試：畫圖準備：

圓的 確定圓的大小，圓的 確定圓的位置；

也就是說，若如果圓的這個圓就確定了。

畫圖：

2、畫過一個點的圓。已知一個點A，畫過A點的圓．

小結：經過一定點的圓可以畫 個。

3、畫過兩個點的圓。

提示：畫這個圓的關鍵是找到圓心，畫出來的圓要同時經

過A、B兩點，

那么圓心到這兩點距離 ，可見，圓心在線段AB的 上。

小結：經過兩定點的圓可以畫 個，但這些圓的圓心在線段的 上。

4、畫過三個點（不在同一直線）的圓。

提示：如果A、B、C三點不在一條直線上，那么經過A、B兩點所畫的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上，而經過B、C兩點所畫的圓的圓心在線段BC的垂直平分線上，此時，這兩條垂直平分線一定相交，設交點為O，則OA＝OB＝OC，于是以O為圓心，OA為半徑畫圓，便可畫出經過A、B、C三點的圓．

小結：不在同一條直線上的三個點確定 個圓． ．．．．．

5，過在同一直線上的`三點能做圓嗎？

通過路邊苦李的故事體會反證法的思想及運用方法。

三，有關概念：

1，三角形的外接圓。

2，三角形的外心。

3，圓的內接三角形。

四，學以致用

1，如何解決“破鏡重圓”的問題。

2，已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的內角.

求證： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一個不小于60°

3、寫出用“反證法”證明下列命題的第一步“假設”.

(1)互補的兩個角不能都大于90°.

(2)△ABC中,最多有一個鈍角

五，小結

這節課你學到了什么？說出來和大家分享一下！

六，拓展延伸

分別畫一個銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，再畫出它們的外接圓，觀察并敘述各三角形與它的外心的位置關系.

用樣本估計總體學情分析第 3 篇

1重點難點

教學重點：1.不在同一直線上的三個點確定一個圓其它們的運用．

2.探索并了解直線和圓的位置關系．

教學難點：1.講授反證法的證明思路．

2.掌握識別直線和圓的位置關系的方法．

2教學過程 2.1第一學時評論(0) 教學目標

1．理解不在同一直線上的三個點確定一個圓并掌握它的運用．

2．了解三角形的外接圓和三角形外心的概念．

3．了解反證法的證明思想．

評論(0) 學時重點

不在同一直線上的三個點確定一個圓其它們的運用．

評論(0) 學時難點

講授反證法的證明思路．

教學活動 活動1【導入】情境導入

探究1、經過平面內的已知點A能作多少個圓？

探究2、經過平面內的兩個點A、B能作多少個圓？

這些圓有什么特點？為什么？

探究3、經過平面內的三個點A、B、C能作多少個圓？

（1）若三個點共線，則無法作出滿足條件的圓；

（2）若三個點不共線，則可以作出唯一的一個圓。

活動2【講授】新課講解

不在同一直線上的三個點確定一個圓．

經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓．

外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，這個點叫做這個三角形的外心．

三角形外心的性質：三角形的外心到三個頂點的距離相等。

三角形的外心的位置因三角形的形狀而改變，分四個小組作圖找出三角形的外心的位置（4個小組分別作：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形和等腰三角形）

結論：銳角三角形的外心在三角形內；

直角三角形的外心是斜邊的中點；

鈍角三角形的外心在三角形外。

說明：設置等腰三角形一組，是用來說明研究三角形的外心的位置不能按邊分。

活動3【活動】課堂反饋

1、經過平面上的兩點可以作無數個圓，這些圓的圓心在這兩點所連線段的垂直平分線上；經過平面內的三個點可以作0個或1個圓。

2、下列說法：①一個圓僅有一個內接三角形；②等腰三角形的外心在三角形內；③弦是圓的一部分；④作三角形任意兩邊的垂直平分線的交點就是這個三角形的外心；其中正確的有 ④ .

3、（2007株洲）已知△ABC的三邊長分別為6cm，8cm，10cm，則這個三角形的外接圓的面積為 cm2.

4、（2007山東）青島國際帆船中心要修建一處公共服務設施，使它到三所運動員公寓A、B、C的距離相等。

（1）若三所運動員公寓A、B、C的位置如圖所示，請你在圖中確定這處

公共設施（用點P表示）的位置（寫出作法，保留作圖痕跡）；

（2）若∠BAC=66°，則∠BPC= 132°

5、已知點O為△ABC的外心，若∠A=80°，則∠BOC= 160°；

若∠BOC= 100°，則∠BAC= 50°或130°

反證法的證明步驟：

①假設結論不成立；（假設結論的反面）

②推出矛盾；

③假設不成立，原結論成立。

6、用反證法證明：一條直線與兩條平行線中的一條相交，也必與另一條相交。

已知：如圖，直線a∥b，直線c與直線a相交于點M.

求證：直線c與直線b也相交.

證明：假設直線c與直線b不相交，則b∥c.

∵a∥b ∴a∥c

此結論與“直線c與直線a相交于點M”矛盾。

所以，直線c與直線b也相交.

下面我們來證明：經過同一條直線上的三個點不能作出一個圓． （書92頁）

證明：如圖，假設過同一直線L上的A、B、C三點可以作一個圓，設這個圓的圓心為P，那么點P既在線段AB的垂直平分線L1，又在線段BC的垂直平分線L2，即點P為L1與L2點，而L1⊥L，L2⊥L，這與我們以前所學的“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾．

所以，過同一直線上的三點不能作圓．

活動4【活動】課時小結

1．不在同一直線上的三個點確定一個圓．

2．三角形外接圓和三角形外心的概念．

3．反證法的證明思想．

活動5【作業】布置作業

完成課后練習

2.2第二學時評論(0) 教學目標 評論(0) 學時重點

探索并了解直線和圓的位置關系．

評論(0) 學時難點

掌握識別直線和圓的位置關系的方法．

教學活動 活動1【導入】情境導入

(1)“大漠孤煙直，長河落日圓”是唐朝詩人王維的詩句，它描述了黃昏日落時分塞外特有的景象．如果我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，那你能根據直線和圓的公共點個數想象一下，直線和圓有幾種位置關系嗎？

(2)觀察用鋼鋸切割鋼管的過程，抽象成幾何圖形間的位置關系.

活動2【講授】控究直線與圓的交點與位置的關系

請同學在紙上畫一條直線，把硬幣的邊緣看作圓，在紙上移動硬幣，你能發現直線和圓的公共點個數的變化情況嗎？公共點個數最少時有幾個？最多時有幾個？

活動3【導入】相關概念與判定方法

問題：

(1) 能否根據基本概念來判斷直線與圓的位置關系？

(2) 是否還有其他的方法來判斷直線與圓的位置關系？

活動4【練習】知識應用

(1)應用

例 已知：如圖所示，∠AOB=30°，P為OB上一點，且OP=5 cm，以P為圓心，以R為半徑的圓與直線OA有怎樣的位置關系？為什么？

①R=2 cm；

②R=2.5 cm；

③R=4 cm．

(2) 練習

活動5【活動】小結

小結

這節課我們主要研究了直線和圓的三種位置關系和識別直線和圓的位置關系的方法，你有哪些收獲？

活動6【作業】課后作業

必做：教科書P101：1-5

選做：教科書P102：10-14

　點和圓、直線和圓的位置關系

課時設計 課堂實錄

　點和圓、直線和圓的位置關系

1第一學時 教學目標

1．理解不在同一直線上的三個點確定一個圓并掌握它的運用．

2．了解三角形的外接圓和三角形外心的概念．

3．了解反證法的證明思想．

學時重點

不在同一直線上的三個點確定一個圓其它們的運用．

學時難點

講授反證法的證明思路．

教學活動 活動1【導入】情境導入

探究1、經過平面內的已知點A能作多少個圓？

探究2、經過平面內的兩個點A、B能作多少個圓？

這些圓有什么特點？為什么？

探究3、經過平面內的三個點A、B、C能作多少個圓？

（1）若三個點共線，則無法作出滿足條件的圓；

（2）若三個點不共線，則可以作出唯一的一個圓。

活動2【講授】新課講解

不在同一直線上的三個點確定一個圓．

經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓．

外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，這個點叫做這個三角形的外心．

三角形外心的性質：三角形的外心到三個頂點的距離相等。

三角形的外心的位置因三角形的形狀而改變，分四個小組作圖找出三角形的外心的位置（4個小組分別作：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形和等腰三角形）

結論：銳角三角形的外心在三角形內；

直角三角形的外心是斜邊的中點；

鈍角三角形的外心在三角形外。

說明：設置等腰三角形一組，是用來說明研究三角形的外心的位置不能按邊分。

活動3【活動】課堂反饋

1、經過平面上的兩點可以作無數個圓，這些圓的圓心在這兩點所連線段的垂直平分線上；經過平面內的三個點可以作0個或1個圓。

2、下列說法：①一個圓僅有一個內接三角形；②等腰三角形的外心在三角形內；③弦是圓的一部分；④作三角形任意兩邊的垂直平分線的交點就是這個三角形的外心；其中正確的有 ④ .

3、（2007株洲）已知△ABC的三邊長分別為6cm，8cm，10cm，則這個三角形的外接圓的面積為 cm2.

4、（2007山東）青島國際帆船中心要修建一處公共服務設施，使它到三所運動員公寓A、B、C的距離相等。

（1）若三所運動員公寓A、B、C的位置如圖所示，請你在圖中確定這處

公共設施（用點P表示）的位置（寫出作法，保留作圖痕跡）；

（2）若∠BAC=66°，則∠BPC= 132°

5、已知點O為△ABC的外心，若∠A=80°，則∠BOC= 160°；

若∠BOC= 100°，則∠BAC= 50°或130°

反證法的證明步驟：

①假設結論不成立；（假設結論的反面）

②推出矛盾；

③假設不成立，原結論成立。

6、用反證法證明：一條直線與兩條平行線中的一條相交，也必與另一條相交。

已知：如圖，直線a∥b，直線c與直線a相交于點M.

求證：直線c與直線b也相交.

證明：假設直線c與直線b不相交，則b∥c.

∵a∥b ∴a∥c

此結論與“直線c與直線a相交于點M”矛盾。

所以，直線c與直線b也相交.

下面我們來證明：經過同一條直線上的三個點不能作出一個圓． （書92頁）

證明：如圖，假設過同一直線L上的A、B、C三點可以作一個圓，設這個圓的圓心為P，那么點P既在線段AB的垂直平分線L1，又在線段BC的垂直平分線L2，即點P為L1與L2點，而L1⊥L，L2⊥L，這與我們以前所學的“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾．

所以，過同一直線上的三點不能作圓．

活動4【活動】課時小結

1．不在同一直線上的三個點確定一個圓．

2．三角形外接圓和三角形外心的概念．

3．反證法的證明思想．

活動5【作業】布置作業

完成課后練習

用樣本估計總體學情分析第 4 篇

共1課時

　點和圓、直線和圓的位置… 初中數學 人教2011課標版

1教學目標

〖知識目標〗

1.掌握直線與圓相交、相切、相離三種位置關系，并會求圓的切線方程及與弦長等有關直線與圓的問題。

2.在解決直線與圓的位置關系的問題時,常通過”數”與”形”的結合,充分利用圓心的幾何性質、簡化運算.如利用圓心到直線的距離討論直線與圓的位置關系,利用過切點的半徑、弦心距及半徑構成的三角形去解決與弦長有關的問題.

〖能力目標〗 培養數形結合的思想、多方位多渠道解決問題能力。

2學情分析

總體來看，成績算是不錯的。在學生所學知識的掌握程度上，整個年級已經開始出現兩極分化了，對優生來說，能夠透徹理解知識，知識間的內在聯系也較為清楚，對后進生來說，簡單的基礎知識還不能有效的掌握，成績較差，學生仍然缺少大量的推理題訓練，推理的思考方法與寫法上均存在著一定的困難，對幾何有畏難情緒，相關知識學得不很透徹。在學習能力上，學生課外主動獲取知識的能力較差，為減輕學生的經濟負擔與課業負擔，不提倡學生買教輔參考書，學生自主拓展知識面，向深處學習知識的能力沒有得到培養。在以后的教學中，對有條件的孩子應鼓勵他們買課外參考書，不一定是教輔參考書，有趣的課外數學讀物更好，培養學生課外主動獲取知識的能力。學生的邏輯推理、邏輯思維能力，計算能力需要得到加強，以提升學生的整體成績，應在合適的時候補充課外知識，拓展學生的知識面，提升學生素質；在學習態度上，絕大部分學生上課能全神貫注，積極的投入到學習中去，少數幾個學生對數學處于一種放棄的心態，課堂作業，大部分學生能認真完成，少數學生需要教師督促，這一少數學生也成為老師的重點牽掛對象，課堂、家庭作業，學生完成的質量要打折扣；學生的學習習慣養成還不理想，預習的習慣，進行總結的習慣，自習課專心致至學習的習慣，主動糾正(考試、作業后)錯誤的習慣，比較多的學生不具有，需要教師的督促才能做，陶行知說：教育就是培養習慣，這是本學期教學中重點予以關注的。

3重點難點

重點：三種位置關系的判斷方法、過一點的圓的切線的求法以及弦長問題的解決方法，即圓心到直線的距離在圓與直線關系問題中的運用。 難點：利用數形結合的思想分析問題、解決問題。

4教學過程 4.1第一學時 教學活動 活動1【講授】直線和圓

課堂引入：

前面我們復習了圓的方程、點與圓的位置關系，這課我們復習用圓的方程來解決直線與圓的位置關系。請先做以下練習（教師巡堂以便了解課下預習情況）

(1)、判斷直線4x-3y=5與圓x +y =25的位置關系

(2)、求圓x +y =25的過點P(3,4)的切線方程.

(3)、求圓x +y =25的過點P(5,4)的切線方程.

(4)、求圓x +y =25被直線4x-3y-20=0所截得的弦長。

（這一部分在引入正課后直接用多媒體投影給出，并由學生快速運算，然后提問結果）

二、 知識梳理:

提出問題:直線與圓有幾種位置關系,用什么方法來判斷?

1 .直線和圓位置關系的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關系.

①Δ＞0，直線和圓相交.

②Δ=0，直線和圓相切.

③Δ＜0，直線和圓相離.

方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.

①d＜R，直線和圓相交.

②d=R，直線和圓相切.

③d＞R，直線和圓相離.

2. 直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況.先判斷點與圓的位置關系，再用切線的性質求方程。

1）若點p（x ，y ）在圓上，則圓x +y =r ：的切線方程為xx +y y = r ,圓(x-a) +(y-b) =r 的切線方程為（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）= r

2）若點p（x0，y0）在圓外：利用圓心到直線的距離等于半徑將切線的斜率求出來，再寫出切線的方程（斜率不存在的切線方程不要遺漏）.

3. 直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.

(師生一起歸納,并由教師板書)

三、例題解析:

例1.(1).設m>0，則直線 （x+y）+1+m=0與圓x2+y2=m(m＞0)的位置關系為

A.相切 B.相交

C.相切或相離 D.相交或相切

解析：圓心到直線的距離為d= ，圓半徑為 .

∵d－r= － = （m－2 +1）= （ －1）2≥0，

∴直線與圓的位置關系是相切或相離.

答案：C

(2).圓x2＋y2－4x+4y+6=0截直線x－y－5=0所得的弦長等于

A. B. C.1 D.5

解析：圓心到直線的距離為 ，半徑為 ，弦長為2 = .

答案：A

(進一步說明圓心到直線的距離在直線與圓的關系問題中的重要地位)

例2.已知圓滿足截①.y軸所得的弦長為2;②被x軸分兩段弧,其弧長之比為此3:1;③圓心到直線:x-2y=0的距離為 .求該圓的方程.

解:設圓的方程為: （x－a）2＋（y－b）2＝r 則由條件①得 =r (1)

又由②得a +1=r (2)

又由③得 (3)

聯立(1((2)(3),解方程組得a=-1,b=-1,r= 或 a=1,b=1,r=

所求圓的方程為: （x+1）2＋（y+1）2＝2或（x-1）2＋（y-1）2＝2

(這是早幾年的一道高考題,在高考復習中經常作為典型例題來用,我的學生對第(2)問的把握可能會有困難,因此,這一問要結合圖形來分析解決.由于學生對解含有絕對值的方程組有畏難情緒,因此,教師板書解題的整個過程,并且鼓勵學生面對這類問題時積極應對,常規方法入手,運算要快而準確)

例3 已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）

（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；

（2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.

剖析：直線過定點，而該定點在圓內，此題便可解得

(先由學生思考,提出他們的解答方案,再由老師補充:由含有一個參數的直線方程入手思考)

（1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

得

∵m∈R，∴

2x+y－7=0， x=3，

x+y－4=0， y=1，

即l恒過定點A（3，1）.

∵圓心C（1，2），｜AC｜＝ ＜5（半徑），

∴點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交于兩點.

（2）解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC＝－ ，

∴l的方程為2x－y－5=0.

思悟小結

1.直線和圓的位置關系有且僅有三種：相離、相切、相交.判定方法有兩個：幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑間的大小；代數法，看直線與圓的方程聯立所得方程組的解的個數.

2.解決直線與圓的位置關系的有關問題，往往充分利用平面幾何中圓的性質使問題簡化

【例4】 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點為A（1，2），要使過定點A（1，2）作圓的切線有兩條，求a的取值范圍.

解：將圓的方程配方得（x+ ）2+（y+1）2= ，圓心C的坐標為（－ ，－1），半徑r= ，

條件是4－3a2＞0，過點A（1，2）所作圓的切線有兩條，則點A必在圓外，即

＞ .

化簡得a2+a+9＞0.

由

4－3a2＞0，

a2+a+9＞0，

解之得

－ ＜a＜ ，

a∈R.

∴－ ＜a＜ .

故a的取值范圍是（－ ， ）

(確定參數的解析幾何問題是學生最薄弱的環節,此題的選擇一方面是鞏固本節課的內容,另一方面也是對直線與圓錐曲線問題中難點的一個分散處理)

四﹑課堂小練

1.若圓（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y=2的距離等于1，則半徑r的范圍是( )

A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］

解析：數形結合法解.

答案：A

2.（2003年春季北京）已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形

A.是銳角三角形 B.是直角三角形

C.是鈍角三角形 D.不存在

解析：由題意得 =1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜構成的三角形為直角三角形.

答案：B

3.（2005年春季北京，11）若圓x2+y2+mx－ =0與直線y=－1相切，且其圓心在y軸的左側，則m的值為____________.

解析：圓方程配方得（x+ ）2+y2= ，圓心為（－ ，0）.

由條件知－ <0，即m>0.

又圓與直線y=－1相切，則0－（－1）= ，即m2=3，∴m= .

答案：

4.（2004年福建，13）直線x+2y=0被曲線x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦長等于____________.

解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25.

知圓心為（3，1），r=5.

由點（3，1）到直線x+2y=0的距離d= = .

可得 弦長為2 ，弦長為4 .

答案：4

5.自點A（－3，3）發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在直線的方程.

解：圓（x－2）2＋（y－2）2＝1關于x軸的對稱方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.

設l方程為y－3＝k（x＋3），由于對稱圓心（2，－2）到l距離為圓的半徑1，從而可得k1＝－ ，k2＝－ ．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

6.已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2（r>0）內異于圓心的一點，則直線x0x+y0y=r2與此圓有何種位置關系?

分析：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.

解：圓心O（0，0）到直線x0x+y0y=r2的距離為d= .

∵P（x0，y0）在圓內，∴

則有d>r，故直線和圓相離.

(課堂練習由多媒體投影給出,學生練完后,打出正確答案和解答過程)

五﹑課堂小結

1.有關直線和圓的位置關系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來確定.

2.當直線和圓相切時，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點與圓心連線構成的直角三角形；與圓相交時，弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構成的直角三角形.

3.有關圓的問題，注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用.

六課后作業

8.（文）求經過點A（－2，－4），且與直線l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圓的方程.

9.已知點P到兩個定點M（－1，0）、N（1，0）距離的比為 ，點N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程.

10.若直線y=x+k與曲線x= 恰有一個公共點,求k的取值范圍

直線與圓的位置關系 二.例題解析一.知識梳理: 例1 例4 1. 直線和圓位置關系: 例2

圓(x-a) +(y-b) =r ,直線:Ax+By+C=0

方法一:

方法二:d=| |

①d＜R，直線和圓相交. 例3 ②d=R，直線和圓相切.

③d＞R，直線和圓相離. 2. 直線和圓相切

3. 直線和圓相交小結: 二. 方法小結

七﹑板書設計

教學設計說明

1. 教材分析:這一章是解析幾何的基礎部分,其內容及方法在各類試題中均要涉及,是必須要牢牢掌握的.試題可能以各種形式出現.多以選擇題形式出現,有時也有解答題.即考查基礎知識的應用能力又考查綜合運用知識分析問題和解決問題的能力.利用方程解決直線和圓的位置關系問題是解析幾何的重點,也是直線與圓錐曲線關系的前奏,學好這一部分知識為后面的復習奠定基礎掃清障礙.作為復習課,是要在學生原有的基礎上,通過對直線與圓位置知識的系統化,使學生對基礎知識基本技能的掌握提高一步.所以知識點歸納是本節課的一個重要環節.

2. 我所任教的班級是政治普通班,班里基本沒有數學尖子生,班級平均分在多次模擬考試中以70到80分居多,相當一部分學生數學基礎薄弱,缺乏對數學學習的信心和科學的學習方法.概括﹑轉化﹑分析﹑歸納等方面的能力比較欠缺,但是值得一提的學習優勢是筆記認真,習慣記憶,針對這種特點,我在課前讓學生閱讀教材, 自己歸納知識點,一方面加快上課節奏上課,另一方面通過比較使他們對知識的掌握更加系統.文科學生的抽象思維能力較為欠缺,運算速度較慢, 處理運算的方法也較為死板,課堂上也應該注重這方面的教學,并且要常抓不懈.因此,課堂上安排了例題的板書過程.另外,在選擇例題時多以中檔題為主,練習則注重基礎知識的鞏固提高以及題型的變化.

3. 課堂教學過程中注意引導學生積極思維,鼓勵學生動手運算,多肯定,多補充少批判,培養學數學的信心.

4. 為了擴大課容量,本節課嘗試使用多媒體,幫助學生理解掌握,提高效率.

　點和圓、直線和圓的位置關系

課時設計 課堂實錄

　點和圓、直線和圓的位置關系

1第一學時 教學活動 活動1【講授】直線和圓

課堂引入：

前面我們復習了圓的方程、點與圓的位置關系，這課我們復習用圓的方程來解決直線與圓的位置關系。請先做以下練習（教師巡堂以便了解課下預習情況）

(1)、判斷直線4x-3y=5與圓x +y =25的位置關系

(2)、求圓x +y =25的過點P(3,4)的切線方程.

(3)、求圓x +y =25的過點P(5,4)的切線方程.

(4)、求圓x +y =25被直線4x-3y-20=0所截得的弦長。

（這一部分在引入正課后直接用多媒體投影給出，并由學生快速運算，然后提問結果）

二、 知識梳理:

提出問題:直線與圓有幾種位置關系,用什么方法來判斷?

1 .直線和圓位置關系的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關系.

①Δ＞0，直線和圓相交.

②Δ=0，直線和圓相切.

③Δ＜0，直線和圓相離.

方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.

①d＜R，直線和圓相交.

②d=R，直線和圓相切.

③d＞R，直線和圓相離.

2. 直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況.先判斷點與圓的位置關系，再用切線的性質求方程。

1）若點p（x ，y ）在圓上，則圓x +y =r ：的切線方程為xx +y y = r ,圓(x-a) +(y-b) =r 的切線方程為（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）= r

2）若點p（x0，y0）在圓外：利用圓心到直線的距離等于半徑將切線的斜率求出來，再寫出切線的方程（斜率不存在的切線方程不要遺漏）.

3. 直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.

(師生一起歸納,并由教師板書)

三、例題解析:

例1.(1).設m>0，則直線 （x+y）+1+m=0與圓x2+y2=m(m＞0)的位置關系為

A.相切 B.相交

C.相切或相離 D.相交或相切

解析：圓心到直線的距離為d= ，圓半徑為 .

∵d－r= － = （m－2 +1）= （ －1）2≥0，

∴直線與圓的位置關系是相切或相離.

答案：C

(2).圓x2＋y2－4x+4y+6=0截直線x－y－5=0所得的弦長等于

A. B. C.1 D.5

解析：圓心到直線的距離為 ，半徑為 ，弦長為2 = .

答案：A

(進一步說明圓心到直線的距離在直線與圓的關系問題中的重要地位)

例2.已知圓滿足截①.y軸所得的弦長為2;②被x軸分兩段弧,其弧長之比為此3:1;③圓心到直線:x-2y=0的距離為 .求該圓的方程.

解:設圓的方程為: （x－a）2＋（y－b）2＝r 則由條件①得 =r (1)

又由②得a +1=r (2)

又由③得 (3)

聯立(1((2)(3),解方程組得a=-1,b=-1,r= 或 a=1,b=1,r=

所求圓的方程為: （x+1）2＋（y+1）2＝2或（x-1）2＋（y-1）2＝2

(這是早幾年的一道高考題,在高考復習中經常作為典型例題來用,我的學生對第(2)問的把握可能會有困難,因此,這一問要結合圖形來分析解決.由于學生對解含有絕對值的方程組有畏難情緒,因此,教師板書解題的整個過程,并且鼓勵學生面對這類問題時積極應對,常規方法入手,運算要快而準確)

例3 已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）

（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；

（2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.

剖析：直線過定點，而該定點在圓內，此題便可解得

(先由學生思考,提出他們的解答方案,再由老師補充:由含有一個參數的直線方程入手思考)

（1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

得

∵m∈R，∴

2x+y－7=0， x=3，

x+y－4=0， y=1，

即l恒過定點A（3，1）.

∵圓心C（1，2），｜AC｜＝ ＜5（半徑），

∴點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交于兩點.

（2）解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC＝－ ，

∴l的方程為2x－y－5=0.

思悟小結

1.直線和圓的位置關系有且僅有三種：相離、相切、相交.判定方法有兩個：幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑間的大小；代數法，看直線與圓的方程聯立所得方程組的解的個數.

2.解決直線與圓的位置關系的有關問題，往往充分利用平面幾何中圓的性質使問題簡化

【例4】 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點為A（1，2），要使過定點A（1，2）作圓的切線有兩條，求a的取值范圍.

解：將圓的方程配方得（x+ ）2+（y+1）2= ，圓心C的坐標為（－ ，－1），半徑r= ，

條件是4－3a2＞0，過點A（1，2）所作圓的切線有兩條，則點A必在圓外，即

＞ .

化簡得a2+a+9＞0.

由

4－3a2＞0，

a2+a+9＞0，

解之得

－ ＜a＜ ，

a∈R.

∴－ ＜a＜ .

故a的取值范圍是（－ ， ）

(確定參數的解析幾何問題是學生最薄弱的環節,此題的選擇一方面是鞏固本節課的內容,另一方面也是對直線與圓錐曲線問題中難點的一個分散處理)

四﹑課堂小練

1.若圓（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y=2的距離等于1，則半徑r的范圍是( )

A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］

解析：數形結合法解.

答案：A

2.（2003年春季北京）已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形

A.是銳角三角形 B.是直角三角形

C.是鈍角三角形 D.不存在

解析：由題意得 =1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜構成的三角形為直角三角形.

答案：B

3.（2005年春季北京，11）若圓x2+y2+mx－ =0與直線y=－1相切，且其圓心在y軸的左側，則m的值為____________.

解析：圓方程配方得（x+ ）2+y2= ，圓心為（－ ，0）.

由條件知－ <0，即m>0.

又圓與直線y=－1相切，則0－（－1）= ，即m2=3，∴m= .

答案：

4.（2004年福建，13）直線x+2y=0被曲線x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦長等于____________.

解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25.

知圓心為（3，1），r=5.

由點（3，1）到直線x+2y=0的距離d= = .

可得 弦長為2 ，弦長為4 .

答案：4

5.自點A（－3，3）發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在直線的方程.

解：圓（x－2）2＋（y－2）2＝1關于x軸的對稱方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.

設l方程為y－3＝k（x＋3），由于對稱圓心（2，－2）到l距離為圓的半徑1，從而可得k1＝－ ，k2＝－ ．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

6.已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2（r>0）內異于圓心的一點，則直線x0x+y0y=r2與此圓有何種位置關系?

分析：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.

解：圓心O（0，0）到直線x0x+y0y=r2的距離為d= .

∵P（x0，y0）在圓內，∴

則有d>r，故直線和圓相離.

(課堂練習由多媒體投影給出,學生練完后,打出正確答案和解答過程)

五﹑課堂小結

1.有關直線和圓的位置關系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來確定.

2.當直線和圓相切時，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點與圓心連線構成的直角三角形；與圓相交時，弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構成的直角三角形.

3.有關圓的問題，注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用.

六課后作業

8.（文）求經過點A（－2，－4），且與直線l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圓的方程.

9.已知點P到兩個定點M（－1，0）、N（1，0）距離的比為 ，點N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程.

10.若直線y=x+k與曲線x= 恰有一個公共點,求k的取值范圍

直線與圓的位置關系 二.例題解析一.知識梳理: 例1 例4 1. 直線和圓位置關系: 例2

圓(x-a) +(y-b) =r ,直線:Ax+By+C=0

方法一:

方法二:d=| |

①d＜R，直線和圓相交. 例3 ②d=R，直線和圓相切.

③d＞R，直線和圓相離. 2. 直線和圓相切

3. 直線和圓相交小結: 二. 方法小結

七﹑板書設計

教學設計說明

1. 教材分析:這一章是解析幾何的基礎部分,其內容及方法在各類試題中均要涉及,是必須要牢牢掌握的.試題可能以各種形式出現.多以選擇題形式出現,有時也有解答題.即考查基礎知識的應用能力又考查綜合運用知識分析問題和解決問題的能力.利用方程解決直線和圓的位置關系問題是解析幾何的重點,也是直線與圓錐曲線關系的前奏,學好這一部分知識為后面的復習奠定基礎掃清障礙.作為復習課,是要在學生原有的基礎上,通過對直線與圓位置知識的系統化,使學生對基礎知識基本技能的掌握提高一步.所以知識點歸納是本節課的一個重要環節.

2. 我所任教的班級是政治普通班,班里基本沒有數學尖子生,班級平均分在多次模擬考試中以70到80分居多,相當一部分學生數學基礎薄弱,缺乏對數學學習的信心和科學的學習方法.概括﹑轉化﹑分析﹑歸納等方面的能力比較欠缺,但是值得一提的學習優勢是筆記認真,習慣記憶,針對這種特點,我在課前讓學生閱讀教材, 自己歸納知識點,一方面加快上課節奏上課,另一方面通過比較使他們對知識的掌握更加系統.文科學生的抽象思維能力較為欠缺,運算速度較慢, 處理運算的方法也較為死板,課堂上也應該注重這方面的教學,并且要常抓不懈.因此,課堂上安排了例題的板書過程.另外,在選擇例題時多以中檔題為主,練習則注重基礎知識的鞏固提高以及題型的變化.

3. 課堂教學過程中注意引導學生積極思維,鼓勵學生動手運算,多肯定,多補充少批判,培養學數學的信心.

4. 為了擴大課容量,本節課嘗試使用多媒體,幫助學生理解掌握,提高效率.