這是《相似三角形的判定》教研教案，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

　　【教學目標】

　　1、能說出三角形相似的判定定理1和直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似的重要結論;

　　2、會用三角形相似的判定定理1和重要結論來證明有關問題;

　　3、通過用三角形全等的判定方法類比得出三角形相似的判定方法，使學生進一步領悟類比的思想方法。

　　4、通過解題的引申練習，培養學生練習后反思的好習慣。

　　【重點和難點】

　　理解相似三角形的判定定理1和重要結論，并能用其來解決有關問題

　　【教 具】

　　三角板、量角器、多媒體設備

　　【教學設計】

　　一、復習舊知識，運用類比的思想方法引導學生提出問題

　　1、什么叫相似三角形?怎么表示?

　　(在學生回答完后，教師總結)對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形。(注意：三角形相似不一定限定在兩個三角形之間，可以是兩個以上，但不能是一個。)表示：如果?ABC與?A'B'C'相似，則記作?ABC∽?A'B'C'.

　　用數學符號表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且，∴?ABC∽?A'B'C'.

　　注意：與三角形全等的書寫類似，表示對應角的字母順序需要一樣

　　2、上節課我們還學習了一個判定兩三角形相似的定理，哪位同學能說說?

　　學生回答完之后投影：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似.

　　3、除了用定義和上面的定理來判定三角形相似外，還有什么方法可判定兩個三角形相似?我們知道判定兩個三角形全等的方法有“AAS”、“ASA”、“SAS”、

　　“SSS”、“HL”等，那么類似地，判定兩個三角形相似還有哪些方法?今天我們開始來研究這個問題。

　　二、(新課)師生共同解決問題

　　問題：如圖(4)所示，在?ABC與?A'B'C'中，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，試猜想：?ABC與?A'B'C'是否相似?并證明你猜的結論。

　　讓學生思考討論，從圖形的外觀，絕大多數學生會猜這兩個三角形相似。結論的證明以教師講授為主，并引導學生思考：根據題設條件，難于用定義來證明，因為用定義來證明需要的條件較多，所以不妨考慮用定理來證明。為此，需要構造出符合定理條件的圖形：在?ABC中，作BC的平行線，且在?ABC中截得的三角形與?A'B'C'又有著非常緊密的聯系(全等)，這樣師生共同分析，完成證明。教師把證明過程投影到屏幕。

　　證明：在?ABC 的邊AB上截取AD=A'B'，過點D作DE∥BC，交AC于點E，則有

　　?ADE∽?ABC.

　　∵∠ADE=∠B， ∠B=∠B'，

　　∴ ∠ADE=∠B'.

　　又∠A=∠A' ，AD=A'B'，

　　∴ ?ADE≌ ?A'B'C'.

　　∴?ABC ∽ ?A'B'C'.

　　告訴學生，如圖(5)、圖(6)這樣作輔助線也可以證明這個問題。

　　最后師生共同歸納，得出結論：(投影)

　　判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.可簡單說成：兩角對應相等，兩三角形相似.

　　用數學符號表示這個定理：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴?ABC∽?A'B'C'.

　　(讓學生說，最后教師板書即投影)

　　對于三角形來說，有兩個角對應相等意味著三個角都對應相等。

　　三、應用舉例，變式練習

　　例1：已知：?ABC和?DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°，求證：?ABC∽?DEF.

　　讓學生運用本節學習的定理自己證明，然后教師總結并且把證明過程投影到屏幕。

　　證明：∵在?ABC中，∠A=40°，∠B=80°

　　∴∠C=180°- 40°- 80°=60°

　　∵在?DEF中，∠E=80°，∠F=60°

　　∴∠B=∠E，∠C=∠F

　　∴?ABC∽?DEF(兩角對應相等，兩三角形相似).

　　課堂練習(投影)

　　1、應用這節課學的判定定理1判定下列三角形中哪些是相似的?哪些不是相似的?相似的用線段把它們聯起來.

　　例2：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似.

　　說明：在教師的引導下，先由學生自己作出圖形，并寫出已知、求證、證明.

　　然后教師總結并給出解答參考：

　　已知：如圖(7)， ?ABC中，CD是斜邊上的高.

　　求證：?ABC∽?CBD∽?ACD.

　　證明：∵∠B=∠B，

　　∠CDB=∠ACB=90°，

　　∴?ABC∽?CBD

　　(兩角對應相等，兩三角形相似).

　　同理 ?ABC∽?ACD.

　　∴?ABC∽?CBD∽?ACD.

　　(最后告訴學生，以后可以直接用例2的結論來判定直角三角形相似.)

　　課堂練習(投影)

　　2、判斷題：

　　(1)兩個頂角相等的等腰三角形是相似的三角形。 ( )

　　(2)兩個等腰直角三角形是相似三角形。 ( )

　　(3)底角相等的兩個等腰三角形是相似三角形。 ( )

　　(4)兩個直角三角形一定是相似三角形。 ( )

　　(5)一個鈍角三角形和一個銳角三角形有可能相似。 ( )

　　(6)有一個角相等的兩個直角三角形是相似三角形。 ( )

　　(7)有一個銳角相等的兩個直角三角形是相似三角形。 ( )

　　(8)三角形的三條中位線圍成的三角形與原三角形相似。( )

　　(9)所有的正三角形都相似。 ( )

　　(10)兩個等腰三角形只要有一個角對應相等就相似. ( )

　　3、填空：(填上“不”、“不一定”或“一定” )

　　兩個等腰三角形都有一個角為45°，這兩個等腰三角形_______相似;如果都有一個角為95°，這兩個等腰三角形_______相似.

　　(提問：做完了就完了嗎?然后引導學生在練習的過程中，養成反思的好習慣)

　　*引申：(即反思)已知當兩個等腰三角形都有一個角為時，這兩個等腰三角形一定相似，則 的取值范圍是多少?(90°≤ <180°或 =60°)

　　分析：兩種情況，一種是當等腰三角形的底角和頂角相等時，這時為等邊三角形，結論是顯然的;第二種是這時的取值要保證頂角和底角不出現相等的情況，這時必為頂角的度數。因為等腰三角形的底角不可能≥90°，而等腰三角形的頂角可為0°～180°之間的任意度數，所以只有當90°≤ <180°時， 才不至于有頂角和底角相等的情況(兩個等腰三角形之間)。

　　4、如右圖，

　　(1)若∠B=∠C，則 ?ABE∽?______;

　　?DBO∽?______.

　　*(2) 若∠B=∠C，且∠1=∠A，則圖中相似三角形共有______對.

　　(因為這時出現4個三角形，它們之間任意兩個都相似，所以這個問題可以歸為：在平面上有4個點，在這4點任意兩點聯線段，共有多少條線段?更一般地，如果有n個點的話，則共有1+2+…(n-1)= 條)

　　(如還有時間，可再做幾道練習)

　　四、小結

　　(教師可向學生提問：到目前為止，我們學習了哪些判定三角形相似的方法?然后師生共同總結)

　　到目前為止我們學習了判定三角形相似的方法有：

　　1、定義法

　　2、 平行于三角形一邊的直線的定理.

　　∵DE∥BC ∴?ADE∽?ABC

　　3、判定定理1

　　∵∠A=∠A'，∠B=∠B'

　　∴?ABC∽?A'B'C'

　　4、直角三角形的一個重要結論：

　　∵∠ACB=90°,CD⊥AB

　　∴?ABC∽?ACD∽?CBD

　　教研活動教案相似三角形判定 40° B C 80° A 65° D 65° 45° 70° E 45° 75° 40°