這是平面向量的坐標表示及坐標運算，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

平面向量的坐標表示及坐標運算第 1 篇

　　（一）教學目標

　　1．知識與技能：通過實例理解等比數列的概念；探索并掌握等比數列的通項公式；理解這種數列的模型應用，體會等比數列與指數函數的關系．

　　２．過程與方法：通過豐富實例抽象出等比數列模型，經歷由發現幾個具體數列的等比關系，歸納出等比數列的定義；通過與等差數列的通項公式的推導類比，探索等比數列的通項公式；通過與指數函數的圖象比較，探索等比數列的通項公式的圖象特征及與與指數函數的關系。通過例題體會通項公式與方程、方程組之間的聯系。

　　３．情態與價值：感受數列是反映現實生活的模型，體會數學是來源于現實生活，并應用于現實生活的，培養學生從實際問題中抽象出數列模型的能力．

　　（二）教學重、難點

　　重點：等比數列的定義和通項公式

　　難點：等比數列通項公式的推導過程

　　（三）學法與教學用具

　　學法：首先由幾個具體實例抽象出等比數列的模型，從而歸納出等比數列的定義；與等差數列通項公式的推導類比，推導等比數列通項公式，通過與指數函數的圖象比較，探索等比數列的通項公式的圖象特征及與指數函數的關系。

　　教學用具：投影儀

　　（四）教學設想

　　首先先創設情境，從具體四個實例引入新課，得到四組數列；通過類比等差數列得出等比數列的`定義；類比等差中項得出等比中項；探究首項和公比是決定一個等比數列的必要條件；類比等差數列的通項公式得出等比數列通項公式；例題鞏固；等比數列的對稱性；探究等比數列與指數函數的關系，小結。

　　（五）教學過程

　　Ⅰ.課題導入

　　1、復習：等差數列的定義：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列.這個常數叫做等差數列的公差；公差通常用字母d表示

　　－=d，（n2，nN）

　　等差數列是一類特殊的數列，在現實生活中，除了等差數列，我們還會遇到下面一類特殊的數列。

　　2、[創設情景]解答下列問題（課本P41頁的4個例子）：【多媒體展示4個問題】

　　①觀察圖書P542.4-1，細胞的分裂有什么規律，你能寫出一個數列來表示細胞的分裂的個數嗎？

　　【1，2，4，8，16，】

　　②《莊子》中有這樣的論述一尺之錘，日取其半，萬世不竭。你能用現代語言敘述這段話嗎？若把一尺之錘看成單位1，那么日取其半會得到一個怎樣的數列？

　　【1，，，，，】

　　③一種計算機病毒可以查找計算機中的地址簿，通過郵件進行傳播。如果把病毒制造者發送病毒稱為第一輪，郵件接收者發送病毒稱為第二輪，依次類推。假設每一輪每一臺計算機都感染20臺計算機，那么在不重復的情況下，你能寫出一個數列描述這種病毒每一輪感染的計算機數嗎？

　　【1，20，，，，】

　　④我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式除了單利，還有一種支付利息的方式――復利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是通常說的利滾利。

　　學生觀察書上的表格，列出5年內各年末本利和，說說它們是怎樣得到的？

　　【，，，，，】

　　3、[探索研究]問題：【多媒體展示問題】

　　（1）、請同學們回憶數列的等差關系和等差數列的定義，并仔細觀察一下，以上①、②、③、④四個數列是等差數列嗎？若不是，看看它們有什么共同特征？該叫什么數列呢？

　　【共同特點：從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數。即具有等比關系】

　　（2）、如果我們將具有這樣特點的數列稱之為等比數列，那么你能給出等比數列一個什么樣的定義？可類比等差數列完成。

　　Ⅱ.講授新課

　　1．等比數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）。

　　與等差數列定義區別在哪里？

　　1從第二項起與前一項之比為常數(q)

　　｛｝成等比數列=q（,q0）

　　2隱含：任一項

　　3q=1時，{an}為常數。

　　2、類比等差中項的定義【多媒體展示定義】，得等比中項

　　若三個數a，A，b組成的等差數列，則A叫做a與b的等差中項。且，或A-=-A由此可可得：成等差數列

　　類比等差中項的概念，請學生自己給出等比中項的概念。

　　如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等差中項。

　　這時a、b的符號有什么特點？你能用a與b表示G嗎？

　　這時,a,b一定同號,G2=ab

　　與等差數列等差中項區別在哪里？

　　3、探究【多媒體展示問題】：決定一個等比數列的必要條件

　　（1）既是等差數列又是等比數列的數列存在嗎？如果存在，你能舉出例子嗎？

　　（2）寫出一個首項為1的等比數列的前5項，同桌的互相比較是否相同？

　　寫出一個公比為2的等比數列的前5項，同桌的互相比較是否相同？

　　（3）兩個數列的任一項｛an｝及公比q相同，則這兩個數列相同嗎？

　　（4）若兩個等比數列相同，需要什么條件？

　　【學生先完成，討論交流，解答完成】

　　探究目的是為了說明首項和公比是決定一個等比數列的必要條件，為等比數列的通項公式的推導做準備。

　　4.問題：回顧等差數列的通項公式的推導過程【多媒體展示推導過程】，你能推導等比數列的通項公式嗎？【學生分三組分別就三種方法完成，學生上臺板書過程】

　　等比數列的通項公式1:

　　方法1：

　　由等比數列的定義，有：

　　；；；

　　方法2：由=====q,

　　得

　　觀察上式，每一道式子里，項的下標與q的指數，你能發現什么共同的特征嗎？

　　【項的下標與q的指數的和都是n】

　　等比數列的通項公式2:

　　方法3：由=====q,

　　得：=q，=q,=q,==q

　　=qn-1

　　等差數列與等比數列的通項公式區別在哪里？

　　5、[范例講解]

　　例1P58例3【多媒體展示例題】一個等比數列的第3項和第4項分別是12和18，求它的第1項和第2項。

　　解：設這個等比數列的第一項是a1，公比q，

　　那么a1q2=12,a1q3=18

　　解得：a1=q=

　　a2=8

　　例2、課本P57例1、【多媒體展示例題】某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年剩留的這種物質是原來的84％。這種物質的的半衰期為多少（精確到1年）？

　　解：設這種物質最初的質量是1，經過n年，剩余量是。由條件可得，數列｛｝是一個等比數列，其中：a1=0.84,q=0.84.

　　設an=0.5,則0.84n=0.5.

　　兩邊取對數，得nlg0.84=lg0.5.n4.

　　答：這種物質的的半衰期為4年。

平面向量的坐標表示及坐標運算第 2 篇

教學目標

1.理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式，并能運用公式解決簡單的問題.

（1）正確理解等比數列的定義，了解公比的概念，明確一個數列是等比數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等比數列，了解等比中項的概念；

（2）正確認識使用等比數列的表示法，能靈活運用通項公式求等比數列的首項、公比、項數及指定的項；

（3）通過通項公式認識等比數列的性質，能解決某些實際問題.

2.通過對等比數列的研究，逐步培養學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質.

3.通過對等比數列概念的歸納，進一步培養學生嚴密的思維習慣，以及實事求是的科學態度.

教學建議

教材分析

（1）知識結構

等比數列是另一個簡單常見的數列，研究內容可與等差數列類比，首先歸納出等比數列的定義，導出通項公式，進而研究圖像，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應用.

（2）重點、難點分析

教學重點是等比數列的定義和對通項公式的認識與應用，教學難點在于等比數列通項公式的推導和運用.

①與等差數列一樣，等比數列也是特殊的數列，二者有許多相同的性質，但也有明顯的區別，可根據定義與通項公式得出等比數列的特性，這些是教學的重點.

②雖然在等差數列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但對學生來說仍然不熟悉；在推導過程中，需要學生有一定的觀察分析猜想能力；第一項是否成立又須補充說明，所以通項公式的推導是難點.

③對等差數列、等比數列的綜合研究離不開通項公式，因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點.

教學建議

（1）建議本節課分兩課時，一節課為等比數列的概念，一節課為等比數列通項公式的應用.

（2）等比數列概念的引入，可給出幾個具體的例子，由學生概括這些數列的相同特征，從而得到等比數列的定義.也可將幾個等差數列和幾個等比數列混在一起給出，由學生將這些數列進行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括等比數列的定義.

（3）根據定義讓學生分析等比數列的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解.

（4）對比等差數列的表示法，由學生歸納等比數列的各種表示法.啟發學生用函數觀點認識通項公式，由通項公式的結構特征畫數列的圖象.

（5）由于有了等差數列的研究經驗，等比數列的研究完全可以放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節奏，作為一節課的組織者出現.

（6）可讓學生相互出題，解題，講題，充分發揮學生的主體作用.

教學設計示例

課題：等比數列的概念

教學目標

1.通過教學使學生理解等比數列的概念，推導并掌握通項公式.

2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養學生的觀察、概括能力.

3.培養學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹的科學態度.

教學重點，難點

重點、難點是等比數列的定義的歸納及通項公式的推導.

教學用具

投影儀，多媒體軟件，電腦.

教學方法

討論、談話法.

教學過程

一、提出問題

給出以下幾組數列，將它們分類，說出分類標準.（幻燈片）

①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

②8，16，32，64，128，256，…

③1，1，1，1，1，1，1，…

④243，81，27，9，3，1，，，…

⑤31，29，27，25，23，21，19，…

⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…

⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…

⑧0，0，0，0，0，0，0，…

由學生發表意見（可能按項與項之間的關系分為遞增數列、遞減數列、常數數列、擺動數列，也可能分為等差、等比兩類），統一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質的一類數列（學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為等比數列）.

二、講解新課

請學生說出數列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題.假設每經過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設開始有一個變形蟲，經過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經過兩個單位時間就有了四個變形蟲，…，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數得到了一列數這個數列也具有前面的幾個數列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數列——等比數列.（這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步）

等比數列（板書）

1.等比數列的定義（板書）

根據等比數列與等差數列的名字的區別與聯系，嘗試給等比數列下定義.學生一般回答可能不夠完美，多數情況下，有了等差數列的基礎是可以由學生概括出來的.教師寫出等比數列的定義，標注出重點詞語.

請學生指出等比數列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無數列既是等差數列又是等比數列.學生通過觀察可以發現③是這樣的數列，教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學生再舉兩例.而后請學生概括這類數列的一般形式，學生可能說形如的數列都滿足既是等差又是等比數列，讓學生討論后得出結論：當時，數列既是等差又是等比數列，當時，它只是等差數列，而不是等比數列.教師追問理由，引出對等比數列的認識：

2.對定義的認識（板書）

（1）等比數列的首項不為0；

（2）等比數列的每一項都不為0，即；

問題：一個數列各項均不為0是這個數列為等比數列的什么條件？

（3）公比不為0.

用數學式子表示等比數列的定義.

是等比數列①.在這個式子的寫法上可能會有一些爭議，如寫成，可讓學生研究行不行，好不好；接下來再問，能否改寫為是等比數列？為什么不能？

式子給出了數列第項與第項的數量關系，但能否確定一個等比數列？（不能）確定一個等比數列需要幾個條件？當給定了首項及公比后，如何求任意一項的值？所以要研究通項公式.

3.等比數列的通項公式（板書）

問題：用和表示第項.

①不完全歸納法

.

②疊乘法

，…，，這個式子相乘得，所以.

（板書）（1）等比數列的通項公式

得出通項公式后，讓學生思考如何認識通項公式.

（板書）（2）對公式的認識

由學生來說，最后歸結：

①函數觀點；

②方程思想（因在等差數列中已有認識，此處再復習鞏固而已）.

這里強調方程思想解決問題.方程中有四個量，知三求一，這是公式最簡單的應用，請學生舉例（應能編出四類問題）.解題格式是什么？（不僅要會解題，還要注意規范表述的訓練）

如果增加一個條件，就多知道了一個量，這是公式的更高層次的應用，下節課再研究.同學可以試著編幾道題.

三、小結

1.本節課研究了等比數列的概念，得到了通項公式；

2.注意在研究內容與方法上要與等差數列相類比；

3.用方程的思想認識通項公式，并加以應用.

平面向量的坐標表示及坐標運算第 3 篇

　　教學目標

　　1.理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式，并能運用公式解決簡單的問題.

　　(1)正確理解等比數列的定義，解公比的概念，明確一個數列是等比數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等比數列，解等比中項的概念;

　　(2)正確認識使用等比數列的表示法，能靈活運用通項公式求等比數列的首項、公比、項數及指定的項;

　　(3)通過通項公式認識等比數列的性質，能解決某些實際問題.

　　2.通過對等比數列的研究，逐步培養學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質.

　　3.通過對等比數列概念的歸納，進一步培養學生嚴密的思維習慣，以及實事求是的科學態度.

　　教學建議

　　教材分析

　　(1)知識結構

　　等比數列是另一個簡單常見的數列，研究內容可與等差數列類比，首先歸納出等比數列的定義，導出通項公式，進而研究圖像，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應用.

　　(2)重點、難點分析

　　教學重點是等比數列的定義和對通項公式的認識與應用，教學難點在于等比數列通項公式的推導和運用.

　　①與等差數列一樣，等比數列也是特殊的數列，二者有許多相同的性質，但也有明顯的區別，可根據定義與通項公式得出等比數列的特性，這些是教學的重點.

　　②雖然在等差數列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但對學生來說仍然不熟悉;在推導過程中，需要學生有一定的觀察分析猜想能力;第一項是否成立又須補充說明，所以通項公式的推導是難點.

　　③對等差數列、等比數列的綜合研究離不開通項公式，因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點.

　　教學建議

　　(1)建議本節課分兩課時，一節課為等比數列的'概念，一節課為等比數列通項公式的應用.

　　(2)等比數列概念的引入，可給出幾個具體的例子，由學生概括這些數列的相同特征，從而得到等比數列的定義.也可將幾個等差數列和幾個等比數列混在一起給出，由學生將這些數列進行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括等比數列的定義.

　　(3)根據定義讓學生分析等比數列的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解.

　　(4)對比等差數列的表示法，由學生歸納等比數列的各種表示法. 啟發學生用函數觀點認識通項公式，由通項公式的結構特征畫數列的圖象.

　　(5)由于有等差數列的研究經驗，等比數列的研究完全可以放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節奏，作為一節課的組織者出現.

　　(6)可讓學生相互出題，解題，講題，充分發揮學生的主體作用.

　　教學設計示例

　　課題：等比數列的概念

　　教學目標

　　1.通過教學使學生理解等比數列的概念，推導并掌握通項公式.

　　2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養學生的觀察、概括能力.

　　3.培養學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹的科學態度.

　　教學重點，難點

　　重點、難點是等比數列的定義的歸納及通項公式的推導.

　　教學用具

　　投影儀，多媒體軟件，電腦.

　　教學方法

　　討論、談話法.

　　教學過程

　　一、提出問題

　　給出以下幾組數列，將它們分類，說出分類標準.(幻燈片)

　　①-2，1，4，7，10，13，16，19，

　　②8，16，32，64，128，256，

　　③1，1，1，1，1，1，1，

　　④243，81，27，9，3，1，

　　⑤31，29，27，25，23，21，19，

　　⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，

　　⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，

　　⑧0，0，0，0，0，0，0，

　　由學生發表意見(可能按項與項之間的關系分為遞增數列、遞減數列、常數數列、擺動數列，也可能分為等差、等比兩類)，統一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質的一類數列(學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為等比數列).

　　二、講解新課 請學生說出數列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題

　　假設每經過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設開始有一個變形蟲，經過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經過兩個單位時間就有四個變形蟲，，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數得到一列數這個數列也具有前面的幾個數列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數列等比數列. (這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步)

　　等比數列(板書)

　　1.等比數列的定義(板書)

　　根據等比數列與等差數列的名字的區別與聯系，嘗試給等比數列下定義.學生一般回答可能不夠完美，多數情況下，有等差數列的基礎是可以由學生概括出來的.教師寫出等比數列的定義，標注出重點詞語.

　　請學生指出等比數列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無數列既是等差數列又是等比數列.學生通過觀察可以發現③是這樣的數列，教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學生再舉兩例.而后請學生概括這類數列的一般形式，學生可能說形如的數列都滿足既是等差又是等比數列，讓學生討論后得出結論：當時，數列既是等差又是等比數列，當時，它只是等差數列，而不是等比數列.教師追問理由，引出對等比數列的認識。

平面向量的坐標表示及坐標運算第 4 篇

　　教學目標

　　1.理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式，并能運用公式解決簡單的問題.

　　（1）正確理解等比數列的定義，了解公比的概念，明確一個數列是等比數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等比數列，了解等比中項的概念；

　　（2）正確認識使用等比數列的表示法，能靈活運用通項公式求等比數列的首項、公比、項數及指定的項；

　　（3）通過通項公式認識等比數列的性質，能解決某些實際問題.

　　2.通過對等比數列的研究，逐步培養學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質.

　　3.通過對等比數列概念的歸納，進一步培養學生嚴密的思維習慣，以及實事求是的科學態度.

　　教學建議

　　教材分析

　　（1）知識結構

　　等比數列是另一個簡單常見的數列，研究內容可與等差數列類比，首先歸納出等比數列的定義，導出通項公式，進而研究圖像，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應用.

　　（2）重點、難點分析

　　教學重點是等比數列的定義和對通項公式的認識與應用，教學難點在于等比數列通項公式的推導和運用.

　　①與等差數列一樣，等比數列也是特殊的數列，二者有許多相同的性質，但也有明顯的區別，可根據定義與通項公式得出等比數列的特性，這些是教學的重點.

　　②雖然在等差數列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但對學生來說仍然不熟悉；在推導過程中，需要學生有一定的觀察分析猜想能力；第一項是否成立又須補充說明，所以通項公式的推導是難點.

　　③對等差數列、等比數列的綜合研究離不開通項公式，因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點.

　　教學建議

　　（1）建議本節課分兩課時，一節課為等比數列的概念，一節課為等比數列通項公式的應用.

　　（2）等比數列概念的引入，可給出幾個具體的例子，由學生概括這些數列的相同特征，從而得到等比數列的定義.也可將幾個等差數列和幾個等比數列混在一起給出，由學生將這些數列進行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括等比數列的定義.

　　（3）根據定義讓學生分析等比數列的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解.

　　（4）對比等差數列的表示法，由學生歸納等比數列的各種表示法. 啟發學生用函數觀點認識通項公式，由通項公式的結構特征畫數列的圖象.

　　（5）由于有了等差數列的研究經驗，等比數列的研究完全可以放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節奏，作為一節課的組織者出現.

　　（6）可讓學生相互出題，解題，講題，充分發揮學生的主體作用.

　　教學設計示例

　　課題：等比數列的概念

　　教學目標

　　1.通過教學使學生理解等比數列的概念，推導并掌握通項公式.

　　2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養學生的觀察、概括能力.

　　3.培養學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹的科學態度.

　　教學重點，難點

　　重點、難點是等比數列的定義的歸納及通項公式的推導.

　　教學用具

　　投影儀，多媒體軟件，電腦.

　　教學方法

　　討論、談話法.

　　教學過程

　　一、提出問題

　　給出以下幾組數列，將它們分類，說出分類標準.（幻燈片）

　　①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

　　②8，16，32，64，128，256，…

　　③1，1，1，1，1，1，1，…